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INGENIERÍA ECONÓMICA – SEMANA 9
Mg. Ing. Víctor Rodríguez 
Gallegos 
Conocer las operaciones de amortizaciones y las
operaciones que se realizan en el mercado para
cancelar prestamos
• Conocer las cuotas de amortizaciones en las
operaciones de préstamos en el mercado
• Saber los métodos de amortizaciones que
tenemos en el mercado
• Análisis de los tipos de amortizaciones como son
los sistemas de amortización francés, sistema de
amortización alemán y sistema de amortización
americano para la toma de decisiones
LOGRO DE LA UNIDAD
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 
OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN
1. Concepto de operación de amortización.
2. Métodos de amortización.
3. Operaciones de Préstamo en el Mercado, cálculo de tantos efectivos.
.
Concepto de Operación de Amortización.
En una operación de préstamo o amortización, el fin principal es hacer frente a
la devolución de un capital prestado al comienzo de la operación. El prestamista
entrega un capital al prestatario o deudor que designamos por capital inicial, éste se
compromete a su devolución mediante uno o varios pagos que reciben la
denominación de términos amortizativos
El préstamo es una operación financiera a largo plazo, consistente en la amortización
de un capital (Prestación) mediante la entrega de varios capitales (contraprestación). La
ley de valoración que se utiliza es la de capitalización compuesta.
Son generalmente operaciones compuestas de una única prestación y
contraprestación múltiple, de crédito unilateral.
Al saldo financiero de la operación de préstamo en un momento determinado del
tiempo se le denomina capital vivo o capital pendiente de amortizar.
3
C1
Cuadro de amortización
as = Is + As; El término amortizativo es la suma de la Cuota de Interés y la Cuota de 
Amortización.
La cuota de Interés Is = Cs-1 * is
La cuota de Amortización As= Cs-1 - Cs 
Capital Amortizado Ms = C0 - Cs
La estructura de disminución del capital prestado a lo largo del tiempo es:
C0
a1
A1
A2
a2
a3
A3
a4
A4
t0 t1 t2 t3 t4
C4
C3
C2
Período Términos 
Amortizativos
Cuota de 
Interés
Cuota de 
Amortización
Capital 
Amortizado
Capital 
Vivo
0
1
2
s
.
.
n
a1 
a2
as
.
.
an
I1 
I2
Is
.
.
In
A1 
A2
As
.
.
An
M1 
M2
Ms
.
.
Mn=C0
C0
C1
C2
Cs
.
.
Cn=0
1. Métodos de amortización.
1.1 Cuotas de Amortización Constantes.
En este método de amortización, las cuotas de amortización permanecen constante 
a largo de la operación de préstamo, siendo igual al importe del principal dividido entre
el número de períodos de amortización. El resultado es que en cada periodo
devolvemos una n-ésima parte del capital prestado, pagando intereses por el capital
restante. Debido a esto, las cuotas de intereses, si el tipo de interés de valoración se
mantiene constante a lo largo del tiempo serán decrecientes y por lo tanto los términos 
amortizativos también serán variables y decrecientes.
A 
C0 ;
n
M s A 
s.
* C ;
s 0
n
C  (n  s)  A 
n  s
*C ;
s 0
n
n  (s 1)
I s C s1 * i  * C * i
n
0
a1 
a  A C * i
C0  (C 
C0 ) * i 
C0 *1 (n 1) * i
2
A  C0 * i
C0
n n
 C0 * i  * (1 n * i);
C0


1
n
0
n n
a 
C0 *1 (n  s 1) * i
s
n
1.2 Método Americano Simple.
La amortización es única y se produce en el último periodo de la operación de
préstamo, As =0 , salvo en el último período An =C0
Lo que permanece constante es la Cuota de Interés (siempre que permanezca
constante el tipo de interés) As = i * C0.
5
0
1
A1  a  I 1  a  C0 * i 
M s  A1 * ss i
Cs  C0  M s .
Los términos amortizativos son todos iguales a la cuota de interés, excepto el último:
a1  a2  ...a´n1  Co * i 
an C0 * (1 i)
La estructura de amortización del método americano:
C0
an
t0 t1 t2 t3 tn
1.3 Método Francés.
Si el tanto de valoración es constante durante la duración de la operación financiera, 
el término amortizativo permanece constante a lo largo de la operación.
C  a a
n i
a  
C0
a 1  (1  i) n
n i
C0 * i
As  A * 1  i s1
Cualquier término amortizativo se puede escribir en función del primer 
término. Comparando el capital vivo en dos períodos consecutivos:
Cs = Cs-1 (1+ i) - a 
Cs+1 = Cs (1+ i) - a
Cs - Cs+1 = (Cs-1 - Cs) (1 + i)
Esta expresión nos indica que las cuotas de amortización crecen en progresión
geométrica de razón (1 + i). El primer término de la progresión es:
a1  C0 i A1  A1 aC0 i
a partir de este primer término se obtienen los siguientes:
As = A1 (1 + i)s-1
7
Operaciones de Préstamo en el Mercado, cálculo de tantos 
efectivos.
Cuando un particular o una empresa (prestatario) decide realizar una operación
de préstamo se encuentra con que debe hacer frente, no sólo a los capitales procedentes
de la operación pura (sea cual sea el método de amortización utilizado), sino que
además aparecerán otro conjunto de capitales adicionales (las características
comerciales de la operación) que harán que sea necesario el cálculo del coste efectivo
de la operación par poder comparar las distintas alternativas de financiación.
Si observamos la operación desde el punto de vista del prestamista, la incorporación de
las características comerciales que le afecten implicará el cálculo del
rendimiento efectivo de la operación.
En cuanto al tipo de interés que se aplica a las operaciones de amortización, en los
métodos estudiados en apartados anteriores hemos supuesto que este permanece
constante a lo largo de la vida de la operación, pero en muchas operaciones de mercado
esto no es así, sino que el tipo de valoración varía a lo largo del tiempo. La variación de
tipos puede ser conocida a priori (en el inicio de la operación conocer cuando y
que
8
valor irá tomando el tipo de interés aplicable) o no conocer a priori el valor del tipo pero sí el
momento de cambio y las estructura de dicho cambio, este tipo de operaciones se denominan
Indiciadas ya que la estructura de la variación va ligada a la variación de un índice representativo y
conocido por ambas partes (prestamista y prestatario).
Operaciones Indiciadas:
Una operación de amortización está indiciada cuando sus términos amortizativos varían ligados a
cambios de un índice representativo.
Lo normal es que la operación esté indiciada en la cuota de interés. En este caso el tipo de interés
utilizado en la operación será igual al tipo de referencia más (o menos) un diferencial.
is=irsd
por ejemplo, si el préstamo está referenciado al EURIBOR ( european interbank ofered rate) más
0,25 puntos, y el tipo EURIBOR en la fecha de modificación es del 4%, el tipo de interés
aplicable a nuestra operación será del 4,25%.
Las Circulares del B. de E. 8/1990, de 7 de septiembre y la 5/1994 regulan las operaciones
financieras, estableciendo que tipos de interés pueden utilizarse y como calcular los costes de
dichas operaciones. En concreto, para el cálculo del coste de una operación con tipo de interés
indiciado, se realizará una estimación de la TAE suponiendo que el tipo se mantiene fijo al
valor que tiene en el momento de realizar el contrato.
Para calcular en cada momento la cuantía de los términos amortizativos, se realiza el cálculo de
toda la operación de préstamo suponiendo el tipo que en ese momento esté en vigor como fijo para
el resto de la operación (al comienzo de la operación la calculamos como a tipo fijo). En el
momento de la revisión se recalcula el cuadro de amortización teniendo en cuenta el capital vivo
(capital que falta por amortizar) y el nuevo tipo como si se fuera a mantener constante para todo
el resto de la operación. De esta forma estamos recalculando la operación en cada momento de la
revisión (una vez al año, cada
seis meses).
Es de destacar que, dado que no conocemos el valor futuro del índice, no conocemos el
valor real que tomarán los términos amortizativos hasta que no concluya toda
la operación y por lo tanto, el coste real no podrá calcularse (aunque sí estimarse)
hasta que no finalice la operación.Cálculo de los tantos efectivos:
Para el cálculo de los tantos efectivos de coste de este tipo de operaciones se plantea
la equivalencia financiera entre todos los capitales que forman la prestación y
la contraprestación:
 Principal del préstamo
 Términos amortizativos
 Características comerciales.
Las características comerciales más comunes para una operación de préstamo son:
 Comisión de apertura (porcentaje del principal)
 Comisión de estudio (porcentaje del principal)
 Corretaje (porcentaje del principal) que se paga por la intervención de 
un corredor de comercio o un notario.
Cuando los préstamos son con garantía hipotecaria tenemos además:
 Gastos de tasación del inmueble a hipotecar
 Gastos derivados de la garantía hipotecaria
 Gastos de constitución de hipoteca: Impuestos, gastos notariales, de registro.
 Gastos por levantamiento de hipoteca: Notariales, de registro.
 Seguros.
 Subvenciones estatales, autonómicas, etc.…: Pueden ser subvenciones en los tipos de 
interés o cantidades a fondo perdido.
 Comisión por cancelación anticipada.
En préstamos hipotecarios la TAE normalmente no coincidirá con el tanto efectivo del prestatario,
pues incluye sólo las características comerciales bilaterales, dejando fuera los gastos de
tasación, notariales, etc., estos gastos pueden ser bastante elevados.
Tipos de Sistemas de Amortización
Sistema de Amortización Francés
Caracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del préstamo. También que
considera que el tipo de interés es único durante toda la operación. El pago de la deuda es en
cuotas constantes o uniformes. La cuota a pagar durante los plazos establecidos es constate o
uniforme. La cuota a pagar durante los plazos establecidos es constante hasta su liquidación. El
interés es al rebatir, es decir, aplicados sobre los saldos existentes de la deuda en un periodo. Es
muy utilizado por los bancos y tiendas que venden el crédito. Son ejemplos de este sistema de
pago los préstamos personales del sistema bancario, las ventas a crédito de los supermercados, etc.
El sistema francés o de amortización progresiva, la cuota periódica se calcula como una
renta constante vencida. De esa cuota se descuentan los intereses causados por la deudaen ese
periodo y el resto, es lo que amortiza el capital.
Características principales del sistema de amortización francés
 Cuota de interés
La primera cuota la obtenemos a través del capital inicial (importe del préstamo) porla tasa 
de interés unitaria anual. Las restantes, bien como el producto del capital
pendiente amortizar del periodo anterior por la tasa de interés, o bien por diferencia entre
el termino amortizado del periodo menos la cuota de amortizar constante.
 Capital pendiente de amortizar o capital vivo
El capital amortizado o devuelto hasta el periodo se obtiene multiplicando la cuota 
de amortización por el número de periodos transcurridos hasta dicho periodo.
También se puede obtener, bien como suma del capital amortizado del periodo anterior más
la cuota de amortizar o bien por diferencia entre el capital inicial (importe del
préstamo) menos el capital pendiente hasta dicho periodo.
Sistema de Amortización Alemán.-
En el sistema alemán o de amortización constante, la cuota de amortización se calcula dividiendo
la deuda entre el número de cuotas. A esa cuota se le añade los intereses causados por la deuda en
ese periodo y la suma de los dos es la cuota periódica. Las cuotas disminuyen periodo a
periodo, la amortización es constante hasta la extinción de la deuda. El interés compuesto y
una parte del principal son abonados periódicamente. Para la solución de casos con este
sistema de pagos, conocida la amortización, necesariamente operamos con las tablas de
amortización. No hay fórmulas para determinar las cuotas. El interés aplicado a los saldos es al
rebatir.
Características del sistema de amortización alemán
 Pago de intereses anticipado
Se lo realiza al principio del periodo correspondiente al tipo de interés prepagable.
 Cuotas de amortización.-
Las cuotas de amortización seguirán siendo pos pagable.
Sistema de Amortización Americano.-
Se cancela solo intereses en cada periodo pactado, considerando la amortización de la deuda total
en el último periodo de pago. Esto implica un periodo de gracia del mismo número de cuotas
fijas menos una que es la última cuota, donde se cancela el capital totaldel préstamo.
En el sistema Americano se crea un fondo de amortización y el préstamo se cancela totalmente en la 
fecha de vencimiento, con lo reunido en el fondo.
Como no se amortiza la deuda sino al final, el pago de intereses es constante, se 
hace periódicamente y se calculan sobre el total del préstamo.
En cada periodo se aporta una cantidad constante (la cuota periódica) dividida en una parte 
para depositar en el fondo y otra para cancelar los intereses.
Características del sistema de amortización americano
 Cuotas de amortización
Son iguales a cero, excepto la última, que coincide con el capital prestado.
 Intereses
En cada periodo se abona intereses, excepto en el último, en el que además de losintereses 
se abona la totalidad del capital prestado.
 Términos amortizativos
Son iguales a la cuota de interés, excepto el último, que será la suma de la cuota deinterés
más la cuota de amortización de reembolso de capital.
 Capital amortizado
Es constante e igual a la cuota de amortización de cada periodo que será cero,excepto
el último, que será el capital prestado.
 Capital pendiente de amortización
Es constante e igual al capital prestado, excepto el último periodo, que será cero.
Sistema de Amortización Francés ejercicio práctico.
Monto a solicitar 1,000.00
Frecuencia de pago Mensual
Cuotas 12
Línea de Crédito Línea de Consumo
Sistema de Amortización Francés
Cuota N° Abono
Capital
Interés Seguro
Desgravamen
Cuota Saldo
1 77.68 12.67 0.57 90.92 1,000.00
2 78.67 11.68 0.52 90.87 922.32
3 79.66 10.69 0.48 90.83 843.65
4 80.67 9.68 0.43 90.78 763.99
5 81.69 8.66 0.39 90.74 683.32
6 82.73 7.62 0.34 90.69 601.63
7 83.78 6.57 0.29 90.64 518.90
8 84.84 5.51 0.25 90.60 435.12
9 85.91 4.44 0.20 90.55 350.28
10 87.00 3.35 0.15 90.50 264.37
11 88.10 2.25 0.10 90.45 177.37
12 89.27 1.13 0.05 90.45 89.27
Total 1,000.00 84.25 3.77 1,088.02 0.00
Sistema de Amortización Alemán ejercicio práctico.
Sistema de Amortización Americano ejercicio práctico
Monto a solicitar 1,000.00
Frecuencia de pago Mensual
Cuotas 12
Línea de Crédito Línea Consumo
Sistema de Amortización Alemán
Cuota N° Abono
Capital
Interés Seguro
Desgravamen
Cuota Saldo
1 83.33 12.67 0.57 96.57 1,000.00
2 83.33 11.61 0.52 95.46 916.67
3 83.33 10.56 0.47 94.36 833.34
4 83.33 9.50 0.43 93.26 750.01
5 83.33 8.44 0.38 92.15 666.68
6 83.33 7.39 0.33 91.05 583.35
7 83.33 6.33 0.28 89.94 500.02
8 83.33 5.28 0.24 88.85 416.69
9 83.33 4.22 0.19 87.74 333.36
10 83.33 3.17 0.14 86.64 250.03
11 83.33 2.11 0.09 85.53 166.70
12 83.37 1.06 0.05 84.48 83.37
Total 1,000.00 82.34 3.69 1,086.03 0.00
Monto a solicitar 1,000.00
Frecuencia de pago Mensual
Cuotas 12
Línea de crédito Línea de Consumo
Sistema de Amortización Americano
Después de haber realizado la investigación respectiva del caso que antecede se dará la
debida respuesta acorde a lo solicitado.
En el Peru las instituciones financieras por disposición del Banco Central del Peru deben tener
dos sistemas de amortización de los cuales los más utilizados son: el Sistemade Amortización
Francés y el Sistema de Amortización Alemán, en la mayoría de las páginas web de las
entidades bancarias poseen un simulador de créditos, donde el usuario puede realizar un
cálculo de una crédito o préstamo, de acuerdo al sistema de amortización: francés o alemán
y línea de crédito a escoger, siendo esta ultima la que fije que fija la tasa de interés, una
vez finalizado el proceso se visualizara una tabla de amortización el mismo quedetalla los
valores mensuales a cancelar.
Una vez analizado cada sistema de amortización se puede afirmar que el más adecuado
para las instituciones financieras es el Sistema de Amortización Francés porque se
genera mayor rentabilidad el mismo es su eje fundamental para el crecimiento de la
institución.
Se preguntaran del porque no elegimos el sistema de amortización alemán o el sistema de
amortización americano, el motivo del porque no se selecciona los demás sistemas es por
su diferencia en los resultados de los valores ya que el sistema de amortización alemán
esmenor y se beneficia el usuario pero la institución no tendría utilidad ya que su
crecimiento empresarial estaría limitado, en cambio en el sistema americano tiene sus
cuotas muy altas para el usuario y eso no genera acogida de clientes en el mercado
financiero y al no haber acogida se afectaría su estabilidad dentro del sistema bancario.
Cuota N° Abono
Capital
Interés Seguro
Desgravamen
Cuota Saldo
1 77.69 12.67 3.58 90.35 922.31
2 78.67 11.68 3.58 90.35 843.64
3 79.67 10.69 3.58 90.35 763.98
4 80.68 9.68 3.58 90.35 683.30
5 81.70 8.66 3.58 90.35 601.60
6 82.73 7.62 3.58 90.35 518.87
7 83.78 6.57 3.58 90.35 435.09
8 84.84 5.51 3.58 90.35 350.25
9 85.92 4.44 3.58 90.35 264.33
10 87.00 3.35 3.58 90.35 177.33
11 88.11 2.25 3.58 90.35 89.22
12 89.22 1.13 3.58 90.35 0.00
Total 1,000.00 84.25 42.96 1,084.20
A nadie se le escapa la importancia de la innovación financiera en los mercados hipotecarios.
Una cuestión poco analizada hasta el momento es el efecto del sistema de
amortización más aplicado en los últimos años: el de cuota fija o variable. En este artículo
se muestra como el sistema de cuota fija ha abaratado en el corto plazo los
préstamos hipotecarios pero como los ha encarecido en el largo plazo. Con un sistema de
amortización constante los compradores de vivienda habitual habrían soportado un
coste financiero significativamente inferior. Además, la estructura de las cuotas por el
sistema deamortización constante habría podido contener en cierta medida la entrada en
el mercado hipotecario, contribuyendo a contener la especulación y evitando la
concesión de una parte de las hipotecas
Características de un sistema de amortizació
Consideraremos sistemas de amortización en el cual el préstamo V es devuelto en n cuotas
equis espaciadas en el tiempo: c1, c2, . . . , cn.
Tomaremos como unidad de tiempo el lapso entre dos cuotas consecutivas, y como origen 
del tiempo al momento del préstamo. Así el préstamo está ubicado en t = 0 y la k-ésima cuota ck
en t = k.
Denotaremos con i a la tasa de interés efectiva en el peroi do unitario de tiempo.
Cada cuota del sistema de amortización se compone de dos partes:
c k = v k + s k,
donde vk se denomina cuota de amortización real y sk es la cuota de interés. La suma de las n
cuotas de amortización real es igual al valor del préstamo:
V = v1 + v2 + · · · + vn,
mientras que las cuotas de interés se calculan como el interés sobre las cuotas de amortización
aún no pagadas: sk = i · (vk + · · · + vn ).
Esto significa que en cada cuota el deudor paga una parte del capital prestado, vk, y
los intereses sobre el capital aún adeudado, sk .
En particular, al momento de haber pagado la k-ésima cuota, el monto adeudado del présta-
mo es
1 
1 + i
V − (v1 + v2 + · · · + vk) = vk+1 + · · · + vn,
y esto coincide con el valor actual de las cuotas que restan pagar:
1 ≤ k < n,
1
VAk = c k+1 1 + i + c k + 2
2
+ · · · + cn
1 
1 + i
n−k
.
Cabe destacar que la renta finaliza al momento del pago de la última cuota de amortización
real, ya que de esta manera se completa el pago del préstamo V y por ende no hay más intereses
por cobrar.
Ejemplo Supón gase un préstamo de $1.000 que se amortiza en tres cuotas cada 30 dasí ,
y cuyas cuotas de amortización real son de $300, $300 y $400 respectivamente, y la tasa
de interés efectiva mensual es del 2 %.
Las cuotas a pagar estará´ conformadas de la siguiente manera:
Cuota
k
Amortización real
vk
Cuota de interés
sk
Cuota
ck
Saldo adeudado 
VAk
1 $300 $20(1. 000 · 0,02) $320 $700,00.
2 $300 $14(700 · 0,02) $314 $400,00.
3 $400 $8(400 · 0,02) $408 $0,00.
V
sk = i · (vk + · · · + vn) = i · (n + 1 − k) · n .
Como se puede observar, los valores s1, s2, . . . , decrecen en forma aritmética:
V
s k+1 = s k − i n .
Como las cuotas de amortización son constantes, esto implica que las cuotas del sistema de
amortización, ck , también decrecen en forma aritmética: ck + 1 = ck − i V/n. Dado que la primera
cuota es igual a la cuota de amortización más el interés sobre todo el préstamo:
V
c1 = n
+ i · V ,
y las cuotas disminuyen en i n , se sigue que las siguientes cuotas están dadas por
V
ck = c1 − (k − 1) · i n
Como ejemplo, la fila correspondiente a la cuota 2 debe leerse así: en la cuota 2, paga $300 de
amortización real más $14 de interés, por lo que la cuota es de $314. El saldo adeudado luego de
pagar la cuota resulta de $400.
El valor actual de la renta al momento del préstamo es
1 1 1
VA0 = 320 · 1,02
+ 314 ·
1,022
+ 408 ·
1,023
= 1000,
es decir el monto total del préstamo. El valor actual de la renta calculado inmediatamente des-
pués de pagar la primera cuota es:
VA 1
314
=
1,02
408
+ = 700,
1,022
es decir, el saldo adeudado a ese momento.
Sistema alemán.
El sistema alemán es un sistema de amortización donde las cuotas de amortización reales
son todas iguales. Es decir, si se prevén n cuotas, entonces cada cuota de amortización real es
igual a
v k =
V
n
, k = 1, 2, . . . , n.
Por lo tanto, el interés que se paga en cada cuota está dado por
V
= 1 + i (n − k + 1) , k = 2, 3, . . . , n.
V
n n
VAk = ck + 1 · an − k i − i n
V
n
=
= (n − k) a
V
n
Se puede ver además para este caso particular, que la renta determinada por las cuotas c1,
c2, . . . , cn es un sistema de amortización, es decir que el valor actual de las mismas al momento
del préstamo es igual al préstamo V . En efecto, teniendo en cuenta la fórmula para el cálculo
del valor actual de una renta en progresión aritmética con cuotas vencidas con cuota inicial
c = + i V y razón de progresión h = − i se tiene queV V
VA0 =
V
n
+ i V
V
n
an i − i
a n i − n · (1 + i)−n
V V
= n an i + i V a n i − n
an i + V (1 + i)
= V (1 + i)− n + i a n i = V.
− n
Es decir, el valor actual de la renta es igual al préstamo otorgado.
Con el mismo razonamiento se puede ver que el valor actual en t = k de la anualidad
compuesta por las cuotas ck + 1 , ck + 2 , , . . . , cn es igual a la parte del préstamo aún no amortizado.
Esto es
VA k = vk+1 + vk+2 + · · · + vn.
En efecto, en t = k resta el pago de n − k cuotas que conforman una renta en progresión
aritmética, con razón h = − i V/n y primer término ck + 1 . Ası́,
V a n− k i − (n − k ) (1 + i)−
(n − k)
i
!
+ i (n − k) a
V V
n − k i − n
a n − k i + n
(n − k) (1 + i)− (n− k)
V
n
V
= (n − k) n
.
n − k i i + (1 + i)
− (n − k )
i
Tenemos entonces que el sistema alemán cumple con las propiedades de un sistema de
amortización. Una caracterı́stica de este sistema es que las cuotas son decrecientes. Esto tiene
la desventaja de que las primeras cuotas son de mayor valor monetario, y por lo tanto más
difíciles de afrontar para el deudor. Una alternativa que suele usarse es modificar el sistema 
alemán variando la tasa de interés. Ası́, se calculan primero los valores de las cuotas para una
tasa baja de interés, y luego de pagar algunas cuotas se refinancia la deuda con una tasa de
interés más alta.
Ejemplo 1.2. Supóngase un préstamo por $10.000 a pagar en cuatro cuotas, aplicando el siste-
ma alemán con una tasa de interés del 2 % para las dos primeras cuotas y del 4 % para las dos
últimas.
Para las dos primeras cuotas se tiene:
c1 = 2. 500 + 200 = 2. 700, c2 = 2. 700 − 0,02 · 2. 500 = 2. 650.
El saldo adeudado al finalizar la segunda cuota es de $5.000, y la refinanciación implica que laspróximas cuotas serán c3 = 2. 500 + 0,04 · 5. 000 = 2. 700 y c4 = 2. 700 − 0,04 · 2500 = 2. 600. 
La anualidad de cuotas $2.700, $2.650, $2.700, $2.600 tiene un valor actual próximo a
$10.000 si se utiliza una tasa de interés constante del 2,6 %. Sin embargo, si se aplica el sistema
alemán con una tasa fija del 2,6 %, las dos primeras cuotas serı́an iguales a
c1 = 2. 500 + 260 = 2. 760, c2 = 2. 760 − 0,026 · 2. 500 = 2. 695,
algo superiores al sistema que utiliza dos tasas.
Otra alternativa es la aplicación del sistema francés, como veremos en la siguiente sección.
Sistema francés
El sistema francés es un sistema de amortización en el cual las n cuotas a pagar son todas
iguales: es decir, c1 = c2 = · · · = cn = c.
Para determinar el valor de c, tendremos en cuenta que el valor actual de la renta debe
ser igual al préstamo V . Por otro lado, utilizando la fórmula de actualización de una renta
con cuotas constantes y vencidas, este valor actual debe ser c · an i. Por lo tanto:
V i
c = = V .
a n i 1 − (1 + i)−n
−(n+1 i) (n i) 
a−n k+·1 i a n k i
−− − 
(1 + i)− (n− i) (1 − (1 + i)− 1)
y usando que 1 − (1 + i)− = 1 +ci oncluimos que
V · i 
(1 + i)− (n +1 − k ) = c ·(1 + i)− (n +1 − k ).
V · i 1 − (1 + i)− − − 1 + (1 +
i)−
i
−
vk =
Como hemos visto, cada cuota de la renta se compone de una cuota de amortización real vk
y una cuota de interés sk . La cuota vk es la parte del capital adeudado que se salda en el instante
t = k. As ı́, si denotamos con VAk el valor actual de la renta en t = k, entonces
vk = VAk 1 VAk = c
=
1 − (1 + i)−n
=
V
1 − (1 + i)−n
1 i
1 − (1 + i)−n
Además, puesto que c = vk + sk se sigue que
sk = c · (1 − (1 + i)− (n+1−k)).
Notemos que la sucesión de cuotas de amortización reales vk es creciente (1 ≤ k ≤ n) mientras
que sk es decreciente.
Naturalmente, el valor actual de esta renta es V (pues de esa manera ha sido elegido c), y
el valor final V F al momento del pago de la última cuota es
V · r (1 + i)n − 1
= V · (1 + i) n.V F = c · s =n r 1 − (1 + i)−n i
Concluimos esta sección con un par de ejemplos que muestran la amortización de un présta-
mo según el sistema alemán y el francés respectivamente.
Ejemplo 1.3. Un préstamo de $1000000 es amortizable en 5 años, con el 15 % de interés anual
sobre saldos. Los siguientes cuadros resumen los pagos a efectuar según los sistemas alemán y
francés respectivamente.
Cuadros de amortización. Los siguientes cuadros de amortización muestran el valor de las cuo-
tas a pagar según cada sistema, la composició n de las mismas, y el saldo adeudado al comienzo
del periodo.
Puede observarse que las primeras cuotas son mayores para el caso del sistema alemán, y
esta relación se invierte en las últimas cuotas.
Figura 1: Sistema Alemán
Figura 2: Sistema Francés
Capital adeudado
al comienzo del periodo
Intereses a
fines del periodo
Amortización real 
a fines del periodo
Cuota
a fines del periodo
Periodo
1 1000000 150000 200000 350000
2 800000 120000 200000 320000
3 600000 90000 200000 290000
4 400000 60000 200000 260000
5 200000 30000 200000 230000
suma 450000 1000000 1450000
Per ı́odo Capital adeudado
al comienzo del periodo
Intereses a
fines del periodo
Amortización
real a fines del
periodo
Cuota
a fines del periodo
1 1000000 150000 148315,55 298315,55
2 851684,45 127752,67 170562,89 298315,55
3 681121,56 102168,23 196147,32 298315,55
4 484974,24 72746,14 225569,42 298315,55
5 259404,83 38910,72 259404,83 298315,55
suma 491577,76 1000000 1491577,76
Sistema Americano y Fondo de amortización
El sistema americano es un sistema de amortización de n cuotas en las que las n− 1 primeras
están constituidas únicamente por intereses, y en la última se devuelve el total del préstamo
adeudado más los intereses correspondientes al último perıó do. De esta forma, si el valor del
préstamo es V y la tasa efectiva en cada perı́odo es i , entonces las n − 1 primeras cuotas son:
c1 = c2 = · · · = cn−1 = V i,
y la última cuota es cn = V + V i = V (1 + i).
Notemos que en este sistema la última cuota es considerablemente elevada, ya que su valor
es aún mayor que el monto total del préstamo. Por lo tanto, este sistema se suele combinar con
una serie de depósitos en un fondo de amortización. Esto es, al mismo tiempo que el deudor
devuelve las cuotas de interés, aporta al fondo una sucesión de pagos iguales de modo que se
forme finalmente un capital equivalente al préstamo. Estas cuotas están sujetas a una tasa de in-
terés i J, usualmente distinta e inferior a i . Si llamamos f a las cuotas del fondo de amortización, 
entonces se debe cumplir que
f sn i ′ = V, es decir f = s
V
.
n i ′
En un sistema americano combinado con el fondo de amortización, el deudor pagará una
renta de n cuotas constantes iguales a f + V i , donde las cuotas f reconstruyen el préstamo.
Cabe entonces preguntarse cuál es la diferencia entre el sistema americano y el sistema francés,
el cual también asume cuotas constantes.
El sistema francés vs. el sistema americano
Sea i la tasa de interés por perıó do sobre una deuda de valor V , tanto para el sistema francés
como para el sistema americano, y sea i J la tasa de interés para la formación del fondo de
amortización. Sea n el número de cuotas.
Según el sistema francés, cada cuota es igual a
C 1 =
V
an i
= V i
+
V 
,
s n i ′
y en el sistema americano las cuotas son iguales a
C 2 = V i + s
V
.
n i ′