ejercicio de fisica propuestos (11)

Vista previa del material en texto

El cálculo de los cosenos directores supone dividir cada componente por el módulo del vector,
|(axb) xc| = = /6318
Entonces nos queda, 15 o 3 78cosot = , cosp = ——— , COSY = —-—-----/6318 ^6318 y63T8
Donde a,0 y y son respectivamente los ángulos que forma el vector (axb)xc con los ejes cartesianos x,y,z.
- Para demostrar que axb es perpendicular a a basta con calcular su producto escalar y comprobar que es nulo. Así,
(axb) -a = (-8,-14,-!) • (3,-2,4) = -24 + 28 - 4 = 0
7 .- Determine el trabajo realizado por la fuerza peso, en la caída del cuerpo de masa m 
por un plano inclinado a grados, a lo largo de un recorrido de longitud L. ¿Qué trabajo 
realiza la componente paralela al plano? ¿Y la normal al mismo?.
El trabajo (dW) de una fuerza F en un desplazamiento dr, se define como el producto escalar F • dr.¿Por qué se define a través del producto escalar?Recordemos que el producto escalar equivale a proyectar un vector sobre el otro. Haciendo el producto escalar 
F-dr, nos quedamos con lo que realmente nos interesa, esto es, la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento, que será la que contribuya a aumentar la velocidad de la masa.Teniendo en cuenta esto, el trabajo de la fuerza peso en la bajada (dr) de la masa será,
dW = m g • dr = |m gj • |dr| • eos (90 - a) = mg dr senaObserve cómo el trabajo resulta proporcional a mgsena, que es la componente de mg paralela al plano inclinado.
22
En un trayecto finito el trabajo total, a lo largo de un trayecto L, será igual a la suma de los trabajos realizados en todos los desplazamientos dr que completan el trayecto (ver figura anterior). O sea, W = y mg- dr = f mgsena dr = mg senaf dr
Donde se ha tenido en cuenta que sena es constante (es el mismo en todos los productos escalares) y por tanto puede salir fuera de la integral. Por otro lado, se ha designado dr = | dr |; entonces, /Ldr = L . De esta manera, W = m g sena L.
Si consideramos que L sena = H, siendo H la altura correspondiente al desplazamiento de valor L a lo largo del plano, podremos expresar W como:W = mgH
Determinemos ahora el trabajo de las com­ponentes de la fuerza peso (en la dirección del plano y en la dirección normal o perpendicular al mismo).Si descomponemos el peso como mg = mg + mg, el trabajo en un desplazamiento dr será:
dW = mg- dr = m (g + g ) - dr - m g - dr + m g - dr 
-L || -LPero,
mg^ • dr = {mgsena} dr cosO° = mgsena dr
mg- dr = (mgcosa) dr eos 90° = 0
Luego mg-dr = mg,-dr = mg sena dr.
El resultado era de esperar dado que la componente normal carece de proyección en la dirección del desplazamiento, no contribuyendo a aumentar la velocidad de la masa. Es decir, dicha componente no trabaja.
23
8 .- Determinar el momento de la fuerza F = 5i-4j+k aplicada en el punto P(l,5,-3) con 
respecto al punto 0(2,3,1). Determinar también un punto Osituado a 3 metros de O, de 
manera que el momento de F con respecto a él sea el mismo que el anterior.
Sabemos que el momento de una fuerza F respecto a un punto dado O, es M = r x F. Conocemos el vector F, por lo que para calcular M, necesitamos conocer el vector r. Este vector es el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza F respecto del punto al que queremos calcular su momento, esto es, el punto O.
Así, r = (1,5,-3) - (2,3,1) = (-1,2,-4).
Entonces, el valor de M será:
M = r x F =
j *2 4-4 1 -141 - 19j - 6kVamos a determinar ahora el punto O' situado a 3m de O de forma que Mo = Mo . Para aclarar la cuestión fijémonos en la figura anterior.El punto O1 es un punto del espacio que deberá cumplir las dos condiciones anteriores (módulo de valor 3, y momento de F respecto de O igual que respecto de O). Así tendremos lo siguiente,
MQ. = O'P * F = (O 'O + OP ) * F = O'O * F + Mc
Entonces llegamos a la conclusión de que O'O x F = O Es decir, que el vector 0'0 debe ser paralelo al vector F, lo que es equivalente a decir que 0'0 = k F siendo k una constante real. El valor de dicha constante lo determinamos a partir de la segunda condición,
k |F| = |O'O| = 3 1121 1^1kAsí, 0'0 = 3/\/42 F = 3A/42 (5,-4,1). Para determinar las coordenadas del punto O' respecto de nuestro sistema de referencia basta con restar al vector de posición del punto O el vector 0'0.O'= (2,3,1) - 0'0 » (-0'31 , 4'54, 0'54).
24