ejercicio de fisica propuestos (18)

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j
. O
= 1001 - 20 j t3-3 — 3 1001 - 20 j - 1251 + 25 jJo 2 — 2Sumando, v(5) = - 25i + 5j (m/s).
Note que la integración (suma) vectorial equivale a integrar (sumar) componentes, ya que los vectores i y j (y en su caso k) son constantes. Por tanto la integración vectorial supone en general la evaluación de tres integraciones numéricas (las de las tres componentes).
6 . - Dados los vectores:
a) a = 5 (60-1)°
b) b = (25 f + 3t) 30», donde t es la variable tiempo.
Determine los cambios que por segundo tienen lugar en los vectores en cualquier instante 
de tiempo. Represéntelos gráficamente en diferentes instantes de tiempo.
Los vectores están expresados en forma polar (módulo ángu|o). Observamos entonces que el vector a posee un módulo constante (de valor 5), mientras que el ángulo que forma con el eje horizontal va decreciendo desde su valor inicial de 60°. Es decir, el vector rota en sentido horario. Por otro lado, el vector b tiene un módulo que crece con el tiempo, mientras que el ángulo que forma con el eje horizontal es constante (de 30°). Por tanto su dirección y sentido son constantes.Para ver el cambio que por segundo se produce en cada vector, derivamos respecto al tiempo ambos vectores. Para hacerlo, los expresamos antes en coordenadas cartesianas, 
a) — = — (5C. J = — Í5cos ( 60 - t) i + 5 sen ( 60 - t) j] 
dt dt dt L J— = 5[sen(60-t) i - eos ( 60 - t) j]
Donde se ha considerado nuevamente que los vectores unitarios i y j son constantes en módulo, dirección y sentido, por lo que su derivada temporal es nula.
Llegamos a la conclusión de que, aunque el módulo del vector a es constante, su derivada temporal no lo es. ¿Por qué? Recordemos que un vector está definido dando su módulo, dirección y sentido. El vector cambiará si alguna de esas características cambia. En el caso del vector a, su dirección va cambiando con el tiempo, por lo que su derivada (que da cuenta de los cambios del vector) será diferente de cero.
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Veamos esto de otra forma. Expresemos el vector a como el producto de su módulo por un vector unitario u. Entonces se cumplirá que,dadt d dt 4^1 dt i i du u + a -----1 1 dt dudt
Donde se ha considerado que d|a|/dt = 0, al ser | a | = 5 = cte.
La interpretación de la expresión anterior es la siguiente: Hemos expresado el vector a como producto de dos factores, uno que da cuenta de su característica módulo (| a |) y otro que da cuenta de su característica dirección (u). La derivada de ese producto resulta en dos sumandos. El primero dará cuenta de los cambios con el tiempo en el módulo del vector, y el segundo, de los cambios en su dirección. Como el vector sólo cambia en dirección, sólo será diferente de cero la derivada du/dt.
El vector u en el caso que nos ocupa será,u = eos (60 - t) i + sen (60 - t) j|u| = ^cos2 (60 - t) + sen2 ( 60 - t) = 1
Y su derivada temporal, = ísen(60-t) i - eos dt L ( 60 - t) j]Y comprobamos efectivamente que da/dt = | a | -du/dt.
Representemos el vector a en distintos instantes de tiempo. Se ha dibujado el vector a en los instantes t=0, t=10, t=20 y t=30. El vector u sería un vector unitario rotando al unísono con el dibujado.
Este vector a podría representar por ejemplo el vector de posición de un móvil que se desplaza en movimiento circular, a velocidad constante.
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b) Procediendo como antes,
db 
dt
(25t2-3t)30 = JÍ [ (25 t2 - 3 t) • (cos30i + sen30 j)] dt
— = (cos30i+ sen30 j) • — (25 t2 - 3 t) dt dt----- = (50t-3) (cos30i +sen30 j) 
dt
Donde se ha tenido en cuenta que el vector cos30 i + sen30 j, es un vector constante, y además unitario, como puede comprobar fácilmente. En definitiva, se ha expresado el vector 
b como: b =|b|u , donde u es un vector unitario en la dirección y sentido del vector b. Entonces la derivada de b resulta:
db _ d
dt dt
u —— 
dt
Ya que u será un vector constante y, por tanto, du/dt=0.El valor de u es en este caso, u = cos30 i + sen30 j. Y la derivada d | b | /dt = 50t - 3.
El resultado obtenido (los cambios en el vector b se deben a cambios en su módulo, y no en su dirección) puede corroborarse al representar el vector b en diversos instantes de tiempo. En la figura de arriba se ha dibujado el vector b para t=0 y para t=l (segundo).
El vector b podría representar por ejemplo el vector de posición de un móvil que se desplaza rectilíneamente y con aceleración.
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