ejercicio de fisica propuestos (17)

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dr _ dx dy 
dt dt ' dt,
dr (4 , 1) (m/s)
Vemos que este resultado se parece bastante a lo obtenido en los cocientes evaluados para At = 0'01 s y At = 0'001 s, y resulta muy diferente de lo obtenido para At = Is.¿Por qué cree que el cambio por unidad de tiempo de la componente "y" de r, no depende del tiempo considerado?.
4 .- La velocidad de un objeto viene dada por el vector v = 5i + (5/3 - 5t)j (en m/s), 
donde t representa al tiempo, y los vectores i y j son constantes (en módulo dirección y 
sentido). Determine el cambio que por segundo se produce en la velocidad del objeto.
Hemos visto que la derivada de una función representa el cambio en la función por unidad de cambio en la variable de la que depende.Y que de forma similar se puede razonar para el caso en que se trabaje con una magnitud vectorial dependiente de un cierto parámetro o variable, como puede ser el tiempo. Es decir, el cambio que se va a producir en el vector v por unidad de tiempo vendrá dado por laderivada del vector respecto al tiempo. O sea, 
dv d . .. d . ..— = — v i + — v j 
dt dt * dt y
dv. . di------x + v — dt x dt dvy . djdt y dt
Donde se ha considerado que las derivadas temporales de los vectores i y j son nulas, pues los vectores son constantes en módulo, dirección y sentido.
Del resultado obtenido pueden extraerse varias conclusiones: El cambio que por segundo se produce en el vector es siempre el mismo (pues j es constante); la magnitud del cambio (módulo del vector dv/dt) es de 5m/s cada segundo (5 m/s2) y se produce en la dirección del vector -j. Dado que el cambio se produce en una dirección diferente a la que tiene el vector v inicialmente (esto es, v(0) no va en la dirección del vector j), tendremos que,dv * d|v| 
dt dt
Lo que significa que el cambio en el módulo del vector v no será de 5 m/s cada segundo. Puede comprobar como ejercicio que por ejemplo la diferencia | v(2) | - | v( 1) | no es igual a 5m/s.
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A continuación veremos un ejemplo que servirá para incidir algo más en el concepto de derivada de un vector.Supongamos que sólo conocemos el valor de v en el instante inicial, v(t=0) = 5i + 573j, y que (como hemos visto antes) el cambio que por segundo se produce en el vector es de -5j (m/s2). El objetivo es calcular cómo será el vector v pasados At segundos desde el instante inicial. Como sabemos el cambio que por segundo se produce en el vector, y además permanece constante en el tiempo, tendremos que el que se producirá en At segundos será: 
dvAv = -----At = (-5j)At 
dtY el valor de v a los At segundos del instante inicial, quedará como:
dvv (At) = v (0) +Av = v (0) +-----At = v (0) - 5 At j 
dtAsí, pasado 1 segundo, el valor de v será:v (1) = v (0) + — (1 s) = 5 i + 5/3 j - 5 j = 5 i + (5/3 -5) j 
dtPasados dos segundos,
v (2) = v(0)+— (2s) = 5 i + 5/3j-2 • 5j = 5 i+ (5/3-10) j
Y así sucesivamente.
Lo obtenido analíticamente se ha representado en la figura adjunta. La suma de vectores se ha realizado empleando la conocida regla del paralelogramo.Dado que la variación de v lleva la dirección del vector -j, la componente horizontal (x) del vector v no sufrirá ningún cambio, tal como puede apreciarse en la figura derecha.
El movimiento que representa el vector velocidad analizado en este ejercicio podría corresponder al de lanzamiento (tiro parabó­lico) de un objeto de cierta masa, dentro de un campo gravitatorio. De hecho, los cuerpos así lanzados sufren una aceleración (a = dv/dt) constante en módulo y dirección, si se hacen ciertas aproximaciones (ausencia de rozamien­to con el aire, alcance no demasiado elevado, 
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etc...). Este tipo de movimientos será analizado con más profundidad en temas posteriores.
5 .- El cambio que por segundo se produce en la velocidad de un objeto viene dado por la 
expresión, = -3t2l * 2tj dt
Si la velocidad inicial del objeto es v(0) = lOOi - 20j, determine su velocidad a los 5 
segundos de iniciarse el movimiento.
Ahora, el cambio (Av) del vector v durante un cierto intervalo (finito) de tiempo At no será igual al producto de lo que cambia el vector en un segundo (dv/dt) por el intervalo de tiempo, dado que ese cambio por segundo del vector no se mantiene constante a lo largo del intervalo. Es decir,v (At) = v (0) + Av * v (0) + At 
dt¿Cómo calcularemos entonces el cambio que se produce en un cierto intervalo finito de tiempo? Podemos determinar el cambio (dv) que se produce en un intervalo muy pequeño (dt). Será de valor,
dv = ( - 3 t2 i + 2 t j) dt
De esta manera, si dividimos el intervalo de tiempo At en intervalos dt, el cambio neto que tendrá lugar en el vector v será la suma de todos los cambios dv.Es decir, Av = f dv = (~3t2i + 2tj) dt
J av J t=o
Esto es totalmente análogo a lo visto con anterioridad en el ejercicio de cálculo de la carga que circulaba por una resistencia durante un cierto intervalo de tiempo; sólo que ahora se trata de una magnitud vectorial (la velocidad) y en aquel caso de una magnitud escalar (la carga).De esta forma, el valor de v transcurridos 5 segundos desde el instante inicial será igual a,
v (5) = v (0) + ( {-3 t2 i + 2 tj) dt
J t=oV (5) 1001 - 20 j + ft=5 (-3 t2) dt
J t=o
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