ejercicio de fisica propuestos (20)

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Entonces el cambio que se produce en la magnitud V será de valor,△V = V (Q ) - V (P) » 2 '9942014 - 3 = -0 '0057986
Se ha tomado un número considerable de decimales en la evaluación de V(Q) con el objeto de hacer posteriormente una estimación más precisa de la diferencia A V - dV.
b) Según el enunciado, aproximamos los valores de dx,dy y dz como,dx “ 1 '999-2 = -0 '001
dy - 0 '0002-0 = 0 '0002
dz - -1 '001 - (-1) = -0 '001
Calculamos a continuación el valor de las derivadas parciales de V, en el punto P.
Sustituyendo, evaluamos el valor (aproximado) de dV,
dV dz
p
dV - 4-4 - 4-0 '0002+ 1- (-0 '001) =-0 '0058
De este modo, el error (en valor absoluto) que se cometería en la estimación del cambio en V (AV), como dV sería, |AV - dV| - 0 '0116
dV representa el cambio (infinitesimal) que se pro­duce en la función o magnitud V, cuando desde un cierto punto nos desplazamos dx en la dirección del eje x, dy en la dirección del eje y, y dz en la del eje z. Ese cambio se expresa como suma de tres términos.
El factor (dV/dx)P representa el cambio que se produce 
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en V por unidad de desplazamiento en x, desde el punto P, y manteniendo constantes la "y" y la "z".
Es decir si, estando en el punto P, realizo un desplazamiento en la dirección x (y por tanto manteniendo los mismos valores de "y" y de "z") de valor dx, el cambio que se produce en V será dV. Si lo que me desplazo es dx, el cambio que se producirá en V, por ese desplazamiento será de valor (dV/dx)P • dx.
Pero ese no será el cambio total producido en V como consecuencia del desplazamiento (dx, dy, dz). Faltará sumar los cambios producidos por los desplazamientos dy (manteniendo x y z constantes) y dz (manteniendo x e y constantes). De estos últimos dan cuenta los restantes sumandos de la expresión de V: (dV/dy)P-dy, y (dV/dz)P-dz.
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10 . - Determinar en qué dirección se produce la más fuerte variación de la función f - 
en el punto (2,1,-1).
Este ejercicio va a servimos para ver el concepto de gradiente de una función (magnitud) escalar. En Física encontraremos que existen magnitudes vectoriales que pueden expresarse como gradiente de una cierta magnitud escalar. Ello supondrá una simplificación importante en la descripción de dicha magnitud, y el cumplimiento de propiedades muy peculiares.
Antes de proceder a la resolución directa del ejercicio veremos entonces la definición de gradiente de una función escalar.
Sea una función escalar (j) que a cada punto del espacio (definido por las coordenadas cartesianas x,y,z) le asigna un valor numérico (de temperatura, de presión, de potencial eléctrico, etc...). Queremos saber cómo varía esa magnitud (<t>) si me muevo de un punto dado P a otro infinitamente próximo. El desplazamiento podrá describirse por medio de un vector dr = (dx,dy,dz), cuyas componentes reflejan el cambio de posición en cada una de las direcciones de los ejes de referencia.Como se ha visto con anterioridad, la variación infinitesimal ("muy pequeña") de la función (llamada dtf)) como consecuencia del desplazamiento dr será igual a,
dtp — dx + — dy + — dzM P dy) P dz) pEsta variación puede expresarse entonces como el producto escalar de dos vectores: uno de componentes (dx,dy,dz), que representa el cambio de posición respecto al punto P (dr), y el otro, el vector de componentes ((8<|)/8x)P, (8(j)/8y)P, (8(|)/8z)P) que se denomina 
gradiente de f en el punto P (V4>P). Así se tiene que,dtp = V(J>p • dr
Vamos a estudiar con más detalle cuáles son las características de este vector (módulo, dirección y sentido).
Se ha visto que la representación gráfica de una magnitud escalar se realiza a través de lo que se conoce como superficies equiescalares. Así, la ecuación 4>(x,y,z) = cte, representará una familia de superficies, formadas por puntos donde la magnitud toma el mismo valor cte. Así por ejemplo, por el punto P(2,l,-1) pasará una superficie (la de los puntos para los que 4> toma el valor 4>(2,1,-1) = 3- 23,l2-(-l) = -24).
Supongamos que nos desplazamos desde el punto P a un punto "muy próximo" a él y que se halla en la misma superficie equiescalar. Entonces el cambio que se producirá en (|) será
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