6 Producto escalar - Arturo Lara (1)

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1- 6 Producto escalar
El producto escalar de dos vectores se define como el escalar igual al producto de las magnitudes de los vectores y el coseno del ángulo que forman entre sí, o sea.
A-B = z4Bcos0	(1-15)
Debido a su notación particular, el producto escalar también recibe el nombre de producto punto.
En la figura 1-13 se muestra una interpretación simple del producto escalar: (B eos @) A ~ “componente de B en la dirección de A por la magnitud de A” = (A eos &)B = “componente de A en la dirección de B por la magnitud de B”
De la ecuación (1-15) resulta obvio que el orden de los factores no altera el producto escalar, es decir,
A B = B A
(1-16)
y que si dos vectores son perpendiculares entre sí, entonces A* B = 0 y recíprocamente. Más aún, el cuadrado de un vector se puede interpretar como el vector multiplicado escalarmente por sí mismo; el resultado es el cuadrado de su magnitud, por lo que se puede escribir
A2 = A-A = A2
(M7)
Si únicamente se conocieran las componentes rectangulares de A y de B, no sería conveniente calcular A’B a partir de (1-15), ya que ello requeriría que se conociera el ángulo que forman entre sí. Afortunadamente, es posible expresar A’B directamente en función de las componentes rectangulares. Dado que el ángulo entre cada par de vectores unitarios de los definidos en la figura 1-6 es de 90°, se aprecia fácilmente que, de acuerdo con (1-15),
x-y = y-z = z-x = 0
(148)
y por (1-17)
Figura 1-13. El ángulo relativo al producto escalar.
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Vectores
Si se escriben A y B en la forma (1-5), entonces éstos se pueden multiplicar entre sí término a término para obtener
A • B = (4vx + 4, y +	+ Byy + Bzz)
= A A Bxx • x 4- AxBvxy + Ax Bzx • z + ...
y, tras usar (1-18) y (1-19) para simplificar los nueve términos resultantes, se obtiene
AB = AXBX + AVBV + AZB,
(1-20)
Supóngase ahora que é es un vector unitario que va en una dirección específica. Si Ae se define como la componente de A en esa dirección, se obtiene, usando (1-15), que
A¿ = A é
(1-21)
1- 7 Producto vectorial
A éste también se le llama producto cruz porque se escribe A X B. El resultado es un vector perpendicular tanto a A como a B y su magnitud se define como
|AXB| = /1 £sen0
(1-22)
Su dirección se determina según la siguiente regla de la mano derecha: si se doblan los dedos de la mano derecha en el sentido necesario para hacer girar a A hacia la misma dirección de B siguiendo el ángulo más pequeño entre ellos, el pulgar indicará la dirección de AXB. Esta regla se ilustra en la figura 1 -14.
Si se observa el plano que contiene a A y a B en la figura 1 -15, se tiene una interpretación sencilla del producto cruz. De la figura y de (1-22) se desprende que la magnitud del producto cruz es igual al área del paralelogramo que tiene a A y a B como lados.
B
Figura 1-15. Interpretación de la magnitud de un
producto cruz como un área.
Producto vectorial
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A partir de la definición de la dirección del producto cruz dada en la figura 1-14, resulta evidente que el orden de los factores sí es importante en este caso, ya que
BXA=-(AXB)	(1-23)
Si A y B son paralelos, de (1 -122) se desprende que A X B es igual a cero, y recíprocamente. En particular,
AXA = O	(1-24)
Para los vectores unitarios en la dirección de los ejes, mostrados en la figura 1-6, si se utilizan (1-22), la regla de la mano derecha, el hecho de que son mutuamente perpendiculares y que el producto cruz es perpendicular a ambos vectores, se obtiene
xXy = z, yXz = x,	zXx = y	(1-25)
y, de acuerdo con (1-24)
xXx = yXy = zXz = O	(1-26)
El producto vectorial se puede escribir también en función de las componentes rectangulares. Siguiendo un desarrollo similar al que se utilizó para obtener (1-20), se escriben A y B en la forma (1-5) y se multiplican término a término, utilizando después (1-23), (1 -25) y (1 -26) para simplificar los resultados. Se encuentra así que
A X B = (A B. - At By)x + (A!Bx- A,B,)y + (AxBy- AyBy)i (1-27)
Esto puede escribirse como un determinante muy fácil de recordar:
	
	* y
	z
	
	
	AxB =
	Ay A
x	y
	
	
	(1-28)
	
	Bx By
	
	
	
	Se deja como ejercicio verificar que
	
	
	
	
	
	
	Ax
	A
	
	A-(BXC) = (AXB)-C =
	Bx
	By Bz
	(1-29)
	
	
	cx
	cy cz
	
	y que
	
	
	
	
	AX(BXC) =
	= B(A C)-C(A B)
	(1-30)
En (1-29) se observa que el punto y la cruz se pueden intercambiar sin efectuar el triple producto escalar; por ello, los paréntesis no son realmente necesarios. En el triple producto cruz (1-30), sin embargo, los paréntesis sí son importantes porque (A X B) X C = —C X (AX B), por (1-23).
La división de vectores no está definida.
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Vectores
1- 8 Derivación con respecto a un escalar
Supóngase que A es una función continua de una variable escalar, a, de tal manera que se pueda escribir A = A (o). Esto es equivalente a las tres ecuaciones escalares: Ax = Ax (a), Ay = Ay (o) y Az = Az (o). Si a cambia a o + Aa, A generalmente puede variar tanto en dirección como en magnitud, como se muestra en la figura 1-16. El cambio en A es AA = A (o + Ao) —A (a). Se puede entonces definir la derivada del vector A con respecto al escalar o como sigue:
= lim = lim -A(°+y-V°)
ao Aa-»0 Ao Ao->0	Ao
(1-31)
Este proceso produce un vector a partir del otro. Ejemplos comunes de (1-31) son la velocidad y la aceleración de una partícula, que son derivadas sucesivas del vector de posición con respecto al tiempo.
Si A se escribe en función de sus componentes rectangulares, como en (1-5), y dado que los vectores unitarios son constantes, entonces de (1-31) se desprende que las componentes de la derivada son las derivadas de las componentes respectivas, por lo que se tiene
dA	dAx A dA „ dA,
-y- = —y— x+ —v- y + —¡r- z
do	do do do
(1-32)
Una vez definida la derivada de A, se puede proseguir con su diferencial dA, que viene a representar un cambio infinitesimal de A. Esto se logra al multiplicar (1-32) por do para obtener
dA = dAxx + dAyy + ¿¿4,z
(1-33)
Aplicando este resultado al vector de posición de (1-11), se obtiene
dr = dx x + dy y + dz i
(1-34)
Figura 1-16. A4 es el cambio en el vector que corresponde al
cambio Aodel escalar.
1- 9 Gradiente de un escalar
Supóngase que se tiene una cantidad escalar, u, que tiene función de posición, de tal manera que se pueda escribir u = (x, u, z). Tal función recibe el nombre de campo escalar. Un ejemplo sería la temperatura en cada punto de una habitación. En un punto dado, separado
Gradiente de un escalar
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porcfs de otro punto, el valor del escalar habría variado dezzazz d~du (véase la figura 1-7). De hecho.
i , dzz , ózz ,	z, „ ,
---¿V+— ^ + _	(1-35)
debiendo tomarse en cuenta que las derivadas se evalúan en el punto original, es decir, dzz/dx = (dzz/dAj/j, y así sucesivamente. Aunque para el desplazamiento se utilizó z/s, resulta evidente que en este caso se trata en realidad del cambio dx en el vector de posición del punto, de manera que
¿/s = dx x + dy y + dz z
(1-36)
de acuerdo con (1-34). Al comparar (1-35) y (1-36) con (1-20), se puede ver que du también se puede escribir como el producto de ds y el vector
dzz - diz , . dzz
a—ny ■a—
dx dy dz
('-37)
de modo que
du = ds-^u	(1-38)
El vector obtenido de esta manera y que está expresado en función de sus componentes rectangulares en (1 -37), recibe el nombre de gradiente de u y se suele escribir como grad u. Se puede considerar a (1-38) como la definición general de vzz, ya que es independiente de cualquier sistema coordenado en particular. En otras palabras, el gradiente es la cantidad que da el cambio en el escalar cuando se realiza el producto punto con el desplazamiento.
Para entender el significado del gradiente, considérese la figura 1-18, en la que se muestra una serie de superficies, cada una formada por aquellos puntos para los que u tiene el mismo valor; en otras palabras, son superficies de u constante, con sus valores correspondientes de zzj, zz2, zz3, . . . Un desplazamiento tal como ds\ , que mueve el punto a otro lugar de la misma superficie, no lo moverá a un punto donde zz haya cambiado. Por lo tanto, ¿/zz, = ds{ • Vzz = 0. Al comparar esto con (1-5), se ve que Vzzy dsx son perpendiculares entre sí; por lo tanto. Vzz es perpendicular a una superficie de zz constante, como también se muestra en la figura 1-18.
Considérense ahora desplazamientos de magnitud constante,dso, a partir de un punto dado pero con direcciones diferentes, tales como ds, ds” y ds” que aparecen en la fi-
P(x, y, z)
Figura 1-17. El cambio de una función escalar de la posición u como
resultado del desplazamiento ds.
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Vectores
Figura 1-18. Superficies de u constante. El gra-
diente es perpendicular a tales superficies.
gura 1-19. De acuerdo con (1-38) y (1-15), se puede ver que el cambio en u que resulta de cualquiera de estos desplazamientos es du ~dso lAu I eos 0 y que es diferente para cada uno de los desplazamientos únicamente por la diferencia en el valor de 0, o sea, el ángulo entre el desplazamiento y la dirección misma de Vu. Puede verse ahora que du será máxima para eos 0 = 1, es decir, 0 = 0 lo cual corresponde al caso en que Vw y el desplazamiento correspondiente son paralelos. En otras palabras, la dirección del gradiente es también la dirección en la que el escalar tiene su más alta razón de cambio.
Un vector unitario, ñ, perpendicular a una superficie dada en un punto específico, recibe el nombre de vertical normal} la figura 1-20 muestra el vector normal a una superficie u = const. Pero se acaba de ver que vm es también perpendicular a la superficie; por lo tanto ñ y Vu son paralelos. Así, de acuerdo con (1-4), se puede escribir
(1-39)
En este caso ft también indica la dirección en la que u está aumentando.
Ejemplo
Considérese un caso bidimensional para que u = y2 —kx, siendo k = cont. Si se escribe y2 - kx + u, se puede ver que las superficies de u constante son curvas en el plano xy. De hecho, son parábolas tales como las que se ilustran en la figura 1-21 para k = 1 y algunos valores específicos de u. Al sustituir esta expresión de u (k = 1) en (1-37) se obtiene
Figura 1-19. Desplazamientos de magnitud constante pero de direcciones diferentes.
Otras operaciones diferenciales
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Figura 1-21. Superficies de u constante para el ejemplo de la sección 1-9.
V u = — x + 2y y
de manera que, por (1-6), |Vu| = (1 + 4y2) 1 /2 y, por lo tanto, usando (1-39),
- x + 2yy
n=	
(l+4y2)1/2
(1-40)
Al usar este resultado se debe, desde luego, utilizar el valor de y que corresponde a un punto de la curva para la u dada. Por ejemplo, evalúese ft para el punto P de la figura 1-21 donde la parábola correspondiente a u3 = 2 cruza el eje y positivo. Aquí,xp = 0 y y2 p = xp +u3 — 2, de tal manera que yp = \pí. Al sustituir este valor en (1-40) se obtiene hp = - j x + •j \/2y- Este vector, con su componente x negativa y una componente y bastante más grande, también se ilustra en la figura.