teoria y problemas fisica (59)

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Tabla de Contenidos 
5.1. SISTEMA DE PARTÍCULAS ...................... 178 
5.2. CENTRO DE MASA ................................. 178 
5.3. POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA .......... 178 
5.3.1. VELOCIDAD DE UN SISTEMA DE 
PARTICULAS ................................................... 182 
5.3.2. ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA .... 182 
5.4. MOMENTO LINEAL ............................... 184 
5.5. SISTEMA AISLADO ................................ 185 
5.6. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL185 
5.7. PRINCIPIO DEL IMPULSO PARA UN 
SISTEMA DE PARTÍCULAS ............................. 190 
5.9. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DEL 
IMPULSO Y DE LA CONSERVACIÓN DEL 
MOMENTO LINEAL ...................................... 193 
5.9.1. CHOQUES .............................................. 194 
5.9.1.1. COEFICIENTE DE RESTITUCION (E) ............ 195 
5.9.1.2. REGLA DE NEWTON. ............................ 195 
5.9.1.3. TIPOS DE CHOQUE DE ACUERDO AL 
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN .............................. 196 
5.9.2. PROPULSIÓN DE COHETES ............... 209 
5.9.3. FLUJO DE FLUIDOS ESTACIONARIOS ...... 210 
PROBLEMAS PROPUESTOS. ............................... 212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 
 
CONSERVACIÓN 
DEL MOMENTO 
LINEAL 	
5.1.	SISTEMA	DE	PARTÍCULAS	
 
En este capítulo ya no trabajaremos con unasola partícula como lo 
estuvimos haciendo hasta ahora, pues, si bien hemos trabajado con 
más de una, por ejemplo con dos o más automóviles o con varios 
bloques que presentan movimiento solidario o no solidario, 
tratábamos a cada uno como partícula independiente y, en 
consecuencia, la tratábamos independientemente, así, realizábamos 
un diagrama de cuerpo libre para cada una, o nos centrábamos en el 
movimiento de cada móvil. Ahora analizaremos el movimiento de los 
sistemas de partículas que se definen como una colección de estas 
que presenta dependencias entre partículas, en la cual cada una de 
ellas tiene una posición respecto de algún punto, una velocidad y una 
aceleración. Como sería muy difícil estudiar el movimiento de cada 
una de las partículas, se supone que están representadas por una 
única partícula cuya masa es la suma de todas ellas y que se 
encuentra posicionada en un punto llamado centro de masa. 
5.2.	CENTRO	DE	MASA	
 
En los capítulos anteriores hemos visto cómo se aplican las leyes de 
Newton suponiendo que los cuerpos analizados son partículas, tales 
como personas, automóviles, animales, aviones, etc. En este capítulo 
justificaremos el uso de la partícula, demostrando la existencia de un 
punto del sistema, denominado Centro de Masa, que se define como 
un punto en el que se considera concentrada toda la masa del 
sistema, y las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, se 
aplicarán, exclusivamente, sobre el mencionado punto(centro de 
masa). Para ilustrar mejor el concepto de centro de masa, 
suponemos que cada una de las partículas se traslada a ese punto, 
como muestra la figura 5.1. 
El movimiento de cualquier sistema de partículas, puede ser descrito 
en función del movimiento del centro de masa. El centro de masa, por 
tanto, tiene posición, y cuando corresponda, velocidad y/o 
aceleración. 
 
5.3.	POSICIÓN	DEL	CENTRO	DE	
MASA	
 
El centro de masa debe tener una posición con respecto a un sistema 
de referencia arbitrario. Por ejemplo, si consideramos un sistema 
simple de dos partículas de masas m1 y m2, cuyas distancias al origen 
del sistema de ejes coordenados en el plano son x1, y1 y x2 y y2, sus 
coordenadas del centro de masa serán: Xcm y Ycm, respectivamente, 
como se muestra en la figura 5.2, la posición del centro de masa del 
sistema será el punto	𝑟#$%%%%%%%⃗ = (𝑋#$, 𝑌#$).Cabe señalar que la 
posición del punto rcm responde a un balance de momentos de primer 
 
orden, cuya aplicación es de la mayor importancia tanto en el área de 
mecánica como en el de construcciones civiles. 
Para determinar dicha posición, se hallará el producto de la masa total 
del sistema por la distancia 𝑟#$%%%%%%⃗ = (𝑋#$, 𝑌#$) considerando que ésta 
es igual a la suma de los productos de cada masa por su distancia 
respectiva al mismo origen, es decir, se calculará el promedio 
ponderado de las masas y las distancias correspondientes, ya sea en X 
o en Y, vale decir: 
 
(𝑚. +𝑚0)𝑟#$ = 𝑚.�⃗�. +𝑚0𝑟0 
𝑟#$ =
𝑚.𝑟. +𝑚0𝑟0
𝑚. +𝑚0
 
Siendo la masa total del centro de masa: 
𝑀 = ∑𝑚 = 𝑚. +𝑚0 
Para un sistema de “n” partículas de masas m1, m2, m3,..., mn, el centro 
de masa con relación a un origen determinado puede ser calculado 
generalizando la ecuación anterior, (para dos partículas) a “n” 
partículas, en este caso se tiene: 
𝑚.𝑟. +𝑚0𝑟0 +𝑚3𝑟3 +⋯+𝑚5�⃗�5 = ∑𝑚6�⃗�6 
Donde la masa total del sistema es: 
𝑀 = ∑𝑚6 = 𝑚. +𝑚0 +𝑚3 +⋯+𝑚5														(5.1) 
 
𝑟#$ =
∑$78⃗7
∑$7
 (5.2) 
La ecuación vectorial 5.2 proporciona tres ecuaciones en el espacio, 
en tanto que solamente dos ecuaciones en el plano cartesiano, que 
es el que utilizaremos en este capítulo, vale decir que las 
coordenadas del centro de masa, serán entonces: 
																										𝑥#$ =
∑$7:7
∑$7
																																																											(5.3) 
 
𝑌#$ =
∑$7;7
∑$7
 (5.4) 
 
Entonces, la posición del centro de masa es 𝑟#$ = (𝑥#$, 𝑌#$) 
Para determinar el centro de masa de un cuerpo de masa continua, se 
reemplazará la sumatoria por una integral: 
�⃗�#$ =
.
< ∫ 𝑟𝑑𝑚																																												(5.5) 
Donde dm es un elemento de masa localizado en la posición𝑟. Cabe 
aclarar que, para cuerpos de forma regular, se calculará el centro de 
masa basado en la simetría del cuerpo, por ejemplo, para un cilindro 
homogéneo, el centro de masa se encontrará en el centro geométrico 
del cilindro. 
Existen otros términos, además del centro de masa, a los cuales se 
puede hacer referencia: 
 
Centro de Gravedad 
Llamado también Centro de Atracción. Es el centro de las fuerzas 
consideradas paralelas, que la gravedad ejerce sobre todas y cada 
una de las partículas que forman un cuerpo; cada partícula tendrá un 
peso dmig. (Figura 5.3). Teóricamente, se considera el centro de 
atracción en el infinito, logrando así lo siguiente: