teoria y problemas fisica (3)

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[pies] a [m], sabiendo que 1[pie] vale 12[pulga]; 1[pulga] = 
2.54[cm] y, finalmente 100[cm] equivalen a 1[m]; el camino a 
seguir será: 
[𝑝𝑖𝑒𝑠] → [𝑝𝑢𝑙𝑔] → [𝑐𝑚] → [𝑚] 
Procedemos idéntico en el denominador, sabiendo que 1[h] son 
3600[s]: 
[ℎ] → [𝑠] 
3. Debemos “hacer desparecer” las unidades que tenemos para que 
vayan “apareciendo” las que queremos; para ello, si tenemos una 
unidad “arriba”, debemos asegurarnos de tener la misma unidad 
“abajo” para simplificarlas. En nuestro caso será: 
10[𝑝𝑖𝑒𝑠]
1[ℎ] ∗
12[𝑝𝑢𝑙𝑔]
1[𝑝𝑖𝑒] ∗
2.54[𝑐𝑚]
1[𝑝𝑢𝑙𝑔] ∗
1[𝑚]
100[𝑐𝑚] ∗
1[ℎ]
3600[𝑠] 
4. Los números serán operados y sus unidades serán las que 
quedan. En nuestro caso, el resultado será: 
10 !
𝑝𝑖𝑒𝑠
ℎ ' = 8.47𝑥10
?@ )
𝑚
𝑠 + 
1.9.	ANÁLISIS	DIMENSIONAL	
 
El análisis dimensional es muy importante puesto que permite escribir 
ecuaciones correctamente y se caracteriza porque ambos términos 
de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. 
Reglas para realizar el análisis dimensional 
1) Las ecuaciones que relacionan muchas cantidades físicas deben 
ser dimensionalmente homogéneas, por ejemplo, si una 
ecuación tiene la forma: 
Z = A + B – C 
 
 A, B, C y Z deben tener las mismas dimensiones. 
2) Se utilizan corchetes para indicar la dimensión de una variable, 
por ejemplo, la dimensión del tiempo será expresada como [T]. 
3) Todos los coeficientes numéricos deben ser reemplazados por 1, 
por ejemplo: 
5[L] + 3[L] –2[L] = [L] 
4) Todas las dimensiones se expresan en forma de enteros que 
pueden tener exponentes positivos o negativos: 
[𝑀]
[𝐿]
[𝑇D] =
[𝑀][𝐿][𝑇?D] 
5) Se considera que la medida de los ángulos (radián) es un 
número. 
Nota: Los problemas ¡trata deresolver! están diseñados para que tú 
solo resuelvas el problema planteado. Aunque éste se encuentra 
resuelto, deberás tapar (con la tapa que viene adjunta al libro) las 
filas de abajo, donde se encuentran las respuestas y tratar de 
resolver lo que está indicado en (FASES) luego podrás 
comparar y determinar tus aciertos y fallas, para ser superadas. 
 
Ejemplo 1.1. Se quiere hallar una ecuación que relacione la distancia 
d, recorrida por un objeto que parte del reposo y que se mueve en 
línea recta con aceleración constante a, en un tiempo t. Las 
dimensiones de distancia, tiempo y aceleración son, respectivamente 
[L] (metros), [T] (segundos) y [L/T2] (metros por segundo al cuadrado) 
¿Cuál será la forma de la ecuación para que sea dimensionalmente 
correcta? 
Estrategia de Resolución. La expresión que estamos buscando es 
de la forma: 
d = combinación donde intervengan t y a 
Para asegurar la homogeneidad dimensional deberán combinarse t y 
a de tal forma que, el lado derecho de la ecuación tenga también las 
dimensiones de d, es decir, [L]. 
1. Proponemos una expresión de la forma: 
𝑑 = 𝐶𝑎H𝑡J 
 
 
considerando a dimensional a C = cte, y a x, y, 
exponentes desconocidos a ser determinados. 
2. Dimensionalmente, la expresión tiene la forma: 
[𝑳] = !
𝑳
𝑻𝟐'
𝒙
[𝑻]𝒚 
[𝑳] = [𝑳]𝒙[𝑻]?𝟐𝒙[𝑻]𝒚 = [𝑳]𝒙[𝑻]𝒚?𝟐𝒙 
3. El primer miembro de la ecuación está elevado a la 
primera potencia, por tanto: 
x = 1 
4. Puesto que [T] no aparece en el primer miembro de la 
ecuación: 
y – 2x = 0 
y = 2 
5. Por tanto, la expresión tendrá la forma: 
𝑑 = 𝐶𝑎𝑡D 
Ejemplo 1.2 Para mantener a un cuerpo que se mueve a velocidad 
constante se requiere una fuerza centrípeta. Realizar el análisis 
dimensional de dicha fuerza. 
Estrategia de Resolución. La pregunta es ¿de cuántas variables 
depende la fuerza centrípeta? la respuesta es: de la masa, la 
velocidad con que se mueve el cuerpo y el radio de la trayectoria 
circular, por tanto, la ecuación dimensional tendrá una forma que 
relaciona F con M, v y R. Por otra parte, las unidades de la fuerza 
son [Kgm/s2], por tanto, su ecuación dimensional será: [F] = [M][L][T-
2]. Esta ecuación debe ser consistente con la de la fuerza centrípeta: 
1. Proponer una expresión para la fuerza centrípeta: 
 
[𝑭] = [𝑴]𝒙[𝒗]𝒚[𝑹]𝒛 = [𝑴]𝒙 !
𝑳
𝑻'
𝒚
[𝑳]𝒛 
2. Igualar las ecuaciones: [𝑴][𝑳][𝑻]?𝟐 = [𝑴]𝒙 )𝑳𝑻+
𝒚
[𝑳]𝒛 
 
3. Igualar los exponentes: 
x = 1 
y + z = 1 
z = 1 – y = 1 – 2 = -1 
y = 2 
4. Reemplazar exponentes: 
 
[𝑭] = [𝑴][𝑳](𝟐?𝟏)[𝑻]?𝟏 = [𝑴][𝑳][𝑻]?𝟐 
Por tanto, la ecuación propuesta es compatible. 
Ejemplo 1.3. La ecuación que proporciona la energía potencial 
es:𝐸Y = 𝑀𝑔ℎ. Hallar la ecuación dimensional. 
Estrategia de Resolución. La gravedad es una aceleración, por 
tanto, sus unidades serán: [m/s2] y sus dimensiones LT-2. Entonces, 
la ecuación que proporciona la energía potencial será: 
𝐸Y = 𝑀
𝐿
𝑇D 𝐿 = 𝑀𝐿
D𝑇?D 
 
Ejemplo 1.4. ¡Trata de resolver! La ley de atracción universal de las 
masas establece que: 
𝐹 = 𝐾
𝑚\𝑚D
𝑑D
 
Encontrar la ecuación dimensional de la constante universal K. 
Estrategia de Resolución. De la ecuación dada, deberá despejarse 
la constante universal K y luego reemplazar las dimensiones, 
sabiendo que la fuerza es igual a la masa por la aceleración. 
1. Despejar K de la ecuación: 
𝐾 =
𝐹𝑑D
𝑚\𝑚D
 
 2.Escribir las dimensiones de los componentes: 
 
 
F = Ma = MLT-2 
d2 = Lm1 = m2 = M 
 3.Reemplazar valores en la ecuación que proporciona 
K: 
[𝐾] = []][^][_]
`a[^]a
[]]a
 
 4.Por tanto, la ecuación dimensional de K será: 
[𝑲] = [𝑴]?𝟏[𝑳]𝟑[𝑻]?𝟐 
Ejemplo 1.4. ¡Trata de resolver! La potencia que requiere la hélice 
mayor de un helicóptero puede ser calculada mediante la siguiente 
expresión: 
𝑃 = 𝑘𝑅g𝜔i𝐷k 
 
Sabiendo que la potencia es el producto de la fuerza por la velocidad, 
¿cuánto deben valer los exponentes a, b y c? R = radio de la hélice 
[m] w = velocidad angular [rad/s]; D = densidad del aire [Kg/m3] y K a 
dimensional. 
Estrategia de Resolución: Deberá escribirse el primer miembro de 
la ecuación en términos de dimensiones de fuerza y velocidad e 
igualar con el segundo miembro. 
 1. Escribir P en función de F y v. 
[𝑃] = [𝐹][𝑣] = [𝑀][𝑎][𝑣] = [𝑀] !
𝐿
𝑇D' !
𝐿
𝑇' =
[𝑀][𝐿]D[𝑇]?m 
 2.Escribir el segundo miembro en función de sus 
dimensiones, teniendo en cuenta que los radianes son 
a dimensionales: 
[𝑃] = [𝐿]g !
1
𝑇'
i
!
𝑀
𝐿m'
k
= [𝑀]k[𝐿]g?mk[𝑇]i 
 3.Igualando exponentes: 
𝒄 = 𝟏 
𝒂 − 𝟑𝒄 = 𝟐 → 𝒂 = 𝟐 + 𝟑 = 𝟓 
𝒃 = −𝟑 
Por tanto, la ecuación será: 
[𝑷] = 𝒌[𝑴][𝑳]𝟓?𝟑[𝑻]?𝟑 = 𝒌[𝑴][𝑳]𝟐[𝑻]?𝟑 
Ejemplo 1.5. ¡Trata de resolver! La masa del sol puede ser 
determinada mediante la ecuación: 𝑀v = 𝐾𝑟H𝐺J𝑇y, donde K es 
una constante, r la distancia al sol, G la constante de Gravitación 
Universal, cuyas unidades son: !𝑁𝑚
D
𝑘𝑔?D{ ' y T es el periodo [s]. 
Determinar los exponentes x, y, z y escribir la ecuación dimensional 
de Ms. 
Estrategia de Resolución: Escribir el segundo miembro de la 
ecuación en términos de r, G y T y luego igualar exponentes. 
 1.Escribir Ms en función de los términos del segundo 
miembro de la ecuación 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙[𝑮]𝒚[𝑻]𝒛 = 𝑲[𝑳]𝒙 }
[𝑭][𝑳𝟐]
[𝑴]𝟐 ~
𝒚
[𝑻]𝒛 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙[𝑴]𝒚[𝒂]𝒚[𝑳]𝟐�𝒚[𝑴]𝒚?𝟐[𝑻]𝒛 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙[𝑴]𝒚[𝑳]𝒚[𝑻]?𝟐�𝒚[𝑳]𝟐�𝒚[𝑴]𝒚?𝟐[𝑻]𝒛 
[𝑴] = 𝒌[𝑳]𝒙�𝒚�𝟐�𝒚[𝑴]𝒚�𝒚?𝟐[𝑻]𝒚?𝟐�𝒛 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙�𝟐𝒚�𝟐[𝑴]𝟐𝒚?𝟐[𝑻]𝒚?𝟐�𝒛 
 2.Igualar exponentes: 
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎 
𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎 
𝒚 − 𝟐 − 𝒛 = −𝟐 
 3.Resolviendo el sistema: