teoria y problemas fisica (92)

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CAPÍTULO 7 
 
OSCILACIONES 
 
7.1. INTRODUCCIÓN 
 
Cuando se perturba un sistema y éste pierde su punto de equilibrio 
estable, se producen oscilaciones, es decir, movimientos de ida y 
vuelta alrededor de dicho punto, a las cuales se les llama 
oscilaciones. Por ejemplo, los barcos se balancean arriba y abajo, los 
péndulos de reloj oscilan a un lado y otro, y las cuerdas de los ins-
trumentos musicales vibran al producir los sonidos. 
 
 
7.2. MOVIMIENTO ARMÓNICO 
SIMPLE 
 
Un tipo corriente y muy importante de movimiento oscilatorio es el 
movimiento armónico simple, tal como el de un cuerpo unido a un 
resorte, como puede verse en la figura 7.1. 
 
Fig.7.1 
 
La característica fundamental del movimiento armónico simple es 
que: “La aceleración es proporcionaal desplazamientopero 
desentido contrario”. 
En el equilibrio, el mismo no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. 
Cuando éste se ve desplazado en una cantidad x de su posición de 
equilibrio, el resorte ejerce una fuerza que viene dada por la ley de 
Hooke: 
𝐹 = −𝑘𝑥																																															(7.1) 
Donde k es Ia constante de rigidez del resorte, el signo menos indica 
que se trata de una fuerza restauradora; es decir, se opone a la 
dirección del desplazamiento. Combinando la ecuación 7.1 con la 
segunda ley de Newton se tiene: 
𝐹' = 𝑚𝑎' 
−𝑘𝑥 = 𝑚𝑎' 
−𝑘𝑥 = 𝑚
𝑑+𝑥
𝑑𝑡+ 
 
es decir, la aceleración será: 
 
𝑎 = -
.'
-/.
= − 0
1
𝑥																															(7.2) 
 
Que puede escribirse de la siguiente forma: 
 
-.'
-/.
+ 0
1
𝑥 = 0																														(7.3) 
 
 
La ecuación 7.3 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. 
Su solución es la función𝑥 = 𝑥(𝑑𝑡) que representa el movimiento de 
la masa en contacto con el resorte. Para resolverla, podemos 
escribirla como sigue: 
 
𝑑+𝑥
𝑑𝑡+ =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑥 7
1
2𝑣
+: 
 
 
Igualando las dos últimas ecuaciones tenemos: 
 
	
 
𝑑 7
1
2𝑣
+: == −
𝑘
𝑚𝑥𝑑𝑥 
 
 
Integrando la ecuación entre los límites v0 y v para la variable v, y 
para la variable x, entre x0 y x, se obtiene: 
 
1
2𝑣
+ −
1
2𝑣;
+ =
1
2
𝑘
𝑚
(𝑥+ − 𝑥;+) 
 
 
Multiplicando por m y agrupando términos: 
 
1
2𝑣
+ +
1
2𝑘𝑥
+ =
1
2𝑣;
+ +
1
2𝑘𝑥;
+ = 𝐸 
 
 
Como podemos ver, esta ecuación es independiente del tiempo, 
solamente depende de las condiciones iniciales. 
 
Despejando la velocidad: 
 
𝑣 = ±>𝑣;+ +
𝑘
𝑚
(𝑥;+ − 𝑥+) 
 
 
El doble signo en la ecuación indica que la rapidez del móvil es 
constante cuando pasa por el punto x, sin embargo, el vector 
velocidad podrá estar dirigida en el eje x positivo o n el negativo. 
 
Analicemos esta ecuación. Si la raíz es 
imaginaria; por tanto, el movimiento sólo podrá realizarse entre los 
límites: 
 
 
 
La distancia máxima a la que se aparta el cuerpo de la condición de 
equilibrio se llama “elongación máxima” o “Amplitud”: 
 
 
 
Para hallar x(t) es necesario integrar una vez más: 
 
 
Es decir: 
 
 
Para resolver la integral, factorizamos k/m en la raíz y agrupamos 
términos en la siguiente forma: 
 
 
Introduciendo la amplitud A: 
 
 
 
 
 
 
Considerando que la fase inicial es y la 
pulsación la ecuación queda de la forma 
 
 (7.5) 
 
7.5 es la ecuación del movimiento oscilatorio armónico. Un sistema 
que obedece a esta ecuación se denomina oscilador lineal. 
 
La velocidad será: 
 
,20
2
0
2 kmvxx +>
2
0
2
0
2
0
2
0 vk
mxxv
k
mx +££+-
2
0
2
0max vk
mxxA +==
( )22020 xxm
kv
dt
dx
-+=
( )ò
-=
-+
x
x
tt
xxm
kv
dx
0
0
22
0
2
0 '
'
( )
( )ò -=
-+
x
x
tt
m
k
xxkmv
dx
0
022
0
2
0 '
'
( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
-÷
ø
ö
ç
è
æ=
-
-=
-
--ò
ò
A
x
sen
A
xsen
xA
dx
tt
m
k
xA
dx
x
x
x
x
011
22
022
0
0
'
'
'
'
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ
+-=÷
ø
ö
ç
è
æ --
A
x
sentt
m
k
A
xsen 010
1
( ),1 Axsen-=j
mk=w
( )[ ]jw +-= 0ttAsenx
 
	
 
 
 
Al igual que x, v varía con el tiempo en forma sinusoidal, con una 
amplitud Esta función está adelantada o desfasada en 
p/2 respecto de x. Por otra parte, debe tenerse en cuenta que la 
velocidad es máxima cuando la elongación vale cero y viceversa. 
 
La aceleración será: 
 
 
 
El valor máximo de la aceleración es amax = w2A, estando ahora 
adelantada en p respecto a la elongación; por tanto, la aceleración es 
máxima cuando la elongación es máxima, pero de sentido contrario. 
 
 
¿Notaste que se cumple la relación original 
 
 
 
La representación de las funciones x(t), v(t) y a(t) es mostrada en la 
siguiente figura. 
 
 
Fig. 7.2 
 
En resumen, los valores máximos de las variables cinemáticas son: 
 
𝑥 = 𝐴 
 
𝑣 = 𝐴𝜔 
 
𝑎 = 𝐴𝜔+ 
 
Ahora vamos a analizar cada uno de los parámetros (w, A y j) que 
están involucrados en la descripción del movimiento armónico 
oscilatorio. 
 
Habíamos mencionado que w es la “Pulsación”, con la cual están 
relacionados dos parámetros importantes que son la frecuencia de 
oscilación (f) y el período de oscilación (T). 
 
Período de Oscilación (T). Es el tiempo que tarda un cuerpo 
desplazado en realizar una oscilación completa (viaje de ida y vuelta) 
alrededor de su posición de equilibrio. 
 
 
Siendo un tiempo, sus unidades en el SI son segundos [s]. 
 
Frecuencia (f). Representa el número de oscilaciones por unidad de 
tiempo; es decir, el número de veces que el móvil pasa por por un 
punto en el mismo sentido. Es el recíproco del período. 
 
 (7.3) 
o también: 
 (7.4) 
 
La unidad de frecuencia es [s-1], que recibe el nombre de hertzio [Hz]. 
Por ejemplo, si el tiempo necesario para una oscilación completa es 
0,25 [s], la frecuencia es 4 [Hz]. 
 
El desplazamiento en un movimiento armónico simple en función del 
tiempo es: 
 
 (7.5) 
 
v = dx
dt
= Aω cos ω t − t0( )+φ⎡⎣ ⎤⎦
v = Aωsen ω t − t0( )+φ + π2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.max Av w=
a = d
2x
dt2
= −Aω 2sen ω t − t0( )+φ⎡⎣ ⎤⎦
a = Aω 2sen ω t − t0( )+φ +π⎡⎣ ⎤⎦
mkxxdtxd -=-= 222 w
k
mT p
w
p 22 ==
T
f 1=
m
kf p
w
p 22 ==
( )jw += tAx cos