teoria y problemas fisica (98)

Vista previa del material en texto

En donde t es la “tiempo de extinción” o “constante de tiempo”, y 
puede ser calculada mediante la siguiente ecuación: 
 
 
 
y, A0 es la amplitud máxima. 
 
Por otra parte, la frecuencia w¢ será: 
 
 
 
Donde w0 es la frecuencia cuando no hay amortiguamiento (
 para una masa sobre un resorte). 
 
Para un amortiguamiento débil, b/2mw0<< 1 y w¢ es 
aproximadamente igual a w0. Las curvas de trazos de la figura 8.8 
corresponden a x = A y x = -A, en donde A está dado por: 
 
 
 
Si la constante de amortiguamiento b crece gradualmente, la 
frecuencia angular w¢ disminuye hasta llegar a cero en el valor crítico 
 
 
Y pueden darse 
en los siguientes casos: 
 
a. Si b ³ bc el sistema no oscila 
 
b. Si b = bc el sistema está amortiguado críticamente y vuelve a 
su posición de equilibrio en el menor tiempo posible sin 
oscilación 
 
c. Si b > bc, el sistema es sobre amortiguado 
 
En la figura 7.10 puede verse el desplazamiento en función del 
tiempo de un oscilador amortiguado críticamente y uno sobre 
amortiguado. En muchas aplicaciones prácticas se utiliza estos tipos 
de osciladores para evitar las oscilaciones y sin embargo conseguir 
que el sistema vuelva al equilibrio rápidamente. Un ejemplo es el 
empleo de sistemas que absorben choques para amortiguar las 
oscilaciones de un automóvil sobre sus muelles; un sistema como 
éste se encuentra amortiguado críticamente o sobre amortiguado; y 
puede ser notado, por ejemplo, cuando se empuja la parte delantera 
o trasera de un automóvil, ¿qué pasa en este caso?, pues si lo hiciste 
habrás notado que, antes de detenerse el auto da una o dos 
oscilaciones. 
 
 
Fig. 7.10 
 
Ya habíamos comentado que la amplitud disminuye con el tiempo y 
que, el cuadrado de la misma es proporcional a la energía, por tanto, 
la energía de un oscilador sobre amortiguado disminuye 
exponencialmente con el tiempo: 
 
 
 
Donde: 
 
 
Analizando la ecuación de la energía, podemos ver que el tiempo de 
extinción es el tiempo necesario para que la energía se reduzca a e-1 
veces el valor original. 
 
El Factor de Calidad (Q) 
( ) ( )
( ) ( )jw
jw
t +=
+=
-
-
teAx
teAx tmb
'cos
'cos
2/1
0
2/
0
b
m
=t
2
0
2
02
0 2
1
2
' ÷
ø
ö
ç
è
æ-=÷
ø
ö
ç
è
æ-=
bmbm w
w
ww
mk=0w
( ) t2/
0
2/
0
ttmb eAeAA -- ==
( ) ttww /022/0222 2
1
2
1 tt eEeAmAmE -- ===
2
0
2
0 2
1 AmE w=
02 wmbc =
 
	
 
 
Algo que describe a un oscilador amortiguado es su factor de calidad 
Q que está relacionado con la pérdida de energía por ciclo, y viene 
dado por: 
 
Diferenciando la ecuación de la energía, se tiene: 
 
 
 
Cuando la pérdida de energía por período es muy pequeña, se puede 
reemplazar dE por DE y dt por el período T. Por tanto, ½DE½/E en un 
período dado será: 
 
 
 
 
 
 
7.4. OSCILACIONES FORZADAS 
Y RESONANCIA 
 
 
Si se quiere que un sistema amortiguado continúe oscilando se le 
deberá suministrar energía; cuando esto ocurre, se dice que el 
oscilador es forzado. Por ejemplo, cuando te sientas en un columpio 
y lo haces oscilar, suministras energía al sistema moviendo el cuerpo 
y las piernas adelante y atrás, como le diste energía, este sistema se 
convierte en un oscilador forzado. En este sentido, podemos 
diferenciar entre dos casos: 
 
a) Cuando se introduce energía en el sistema a un ritmo 
mayor que el que se disipa, la energía aumenta con el 
tiempo, lo cual se nota por el aumento de la amplitud del 
movimiento. 
b) Cuando la energía se introduce al mismo tiempo que se 
disipa, la amplitud permanece constante en el tiempo. 
 
7.4.1. Resonancia 
 
La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado 
estacionario, depende tanto de la amplitud como de la frecuencia del 
sistema impulsor. Se entiende por frecuencia natural de un 
oscilador, aquella que tendría si no hubiera ni amortiguamiento ni 
sistema impulsor, por ejemplo la frecuencia natural de un resorte es 
 Ahora, si la frecuencia impulsora es igual a la 
frecuencia natural del sistema, éste oscilará con una amplitud mucho 
mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora. Por ejemplo, si 
el soporte de la figura 8.11 oscila con la frecuencia natural del 
sistema masa – resorte, la masa oscilará con una amplitud mucho 
mayor que la del soporte; a este fenómeno se le llama resonancia. 
 
En el caso de que la frecuencia impulsora sea igual a la frecuencia 
natural de un oscilador, la energía absorbida por éste es máxima, por 
tanto, la frecuencia natural del sistema se denomina frecuencia de 
resonancia del sistema. 
 
 
7.4.2. Curvas de Resonancia 
 
Son curvas que relacionan la potencia media con la frecuencia de la 
fuerza impulsora. Recuerda que la cantidad media de energía 
absorbida por segundo es igual a la potencia producida por una 
fuerza, (la fuerza impulsora en este caso). En la figura 8.11 se 
muestran curvas de resonancia para dos valores diferentes de 
amortiguamiento. 
 
Fig. 7.11 
 
Cuando el amortiguamiento es pequeño y, por tanto, el valor de Q es 
alto, el oscilador absorbe mucha más energía que la fuerza impulsora 
a la frecuencia de resonancia, lo cual no ocurre a cualquier otra 
frecuencia y pueden darse dos casos. 
 
b
m
Q 00
w
tw ==
EdtdteEdE t
tt
t 11 /
0 -=-=
-
Q
T
E
E p
tw
p
t
22
0
===
D
( )
ciclo
EE
Q
D
=
p2
.0 mk=w
 
	
 
a) La anchura del pico de la curva de resonancia es 
correspondientemente estrecha y se dice que la 
resonancia es aguda. 
 
b) Cuando el amortiguamiento es grande, la curva de 
resonancia es ancha. 
 
La anchura Dw de cada curva de resonancia está indicada en la 
figura, y se rige por la siguiente ecuación: 
 
 
 
Lo que significa que el factor Q es una medida directa de la agudeza 
de la resonancia. Para probar lo que te digo respecto a la resonancia, 
podrías hacer el siguiente experimento; Agarra una regla de un metro 
por uno de sus extremos, de modo que actúe como un péndulo, 
desplazando la mano adelante y atrás horizontalmente para darle el 
impulso necesario, verás que sin quererlo, tu mano adelante y atrás 
con la frecuencia natural de la regla y la amplitud de sus oscilaciones 
será mucho mayor que la amplitud de las oscilaciones de tu mano; 
pero si las oscilaciones de tu mano tienen una frecuencia mucho 
mayor habrá una disminución de la amplitud de la regla oscilante. 
 
Bueno, el oscilador forzado está sujeto a las siguientes fuerzas: 
 
a) La fuerza restauradora. 
 
b) La fuerza de amortiguamiento, y 
 
c) La fuerza impulsora, fuerza externa, que varía 
armónicamente con el tiempo. 
 
Esta última fuerza tiene la siguiente forma: 
 
 
 
Donde w es la frecuencia angular de la fuerza, y no está 
relacionada con la frecuencia angular natural del sistema w0. Si 
aplicamos la segunda ley de Newton, se tiene: 
 
 
 
 
Que es la ecuación diferencial de un oscilador forzado. Cabe señalar 
que hemos utilizado y 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. El período de una partícula oscilante es 8[s]. En t = 0, la 
partícula está en x=A=10[cm]. (a) Dibujar un gráfico de x en 
función de t. (b) Hallar la distancia recorrida en el primero, 
segundo, tercero y cuarto segundos después de t = 0. 
Respuesta: 2.9[cm]; 7.1[cm]; 7.1[cm]; 2.9[cm] 
 
2. Hallar el periodo y la frecuencia de oscilación de un resorte, 
sabiendo que ejecuta 20 oscilaciones en 5[s]. Respuesta: 
4[Hz]; 0.25[s]. 
 
3. La posición de una partícula viene dada por x = 2.5cospt, en 
donde x se expresa en metros y t en segundos. (a) Determinar 
la velocidad máxima y la aceleración máxima de la partícula. (b) 
Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula cuando x 
= 1.5[m].Respuesta: (a) vmax = 7.85[m/s]; amax = 24.7[m/s2]; (b) 
v = 6.87.1[m/s]; a = -14.8[m/s2]. 
 
4. Hallar el periodo de un MAS si se sabe que la relación entre su 
máxima aceleración y su máxima velocidad es 4π. Respuesta: 
0.5[s]. 
 
5. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de 40[cm] de 
radio con una velocidad constante de 80[cm/s]. Hallar: (a) La 
frecuencia. (b) El período; (c) Escribir una ecuación para la 
componentex de la posición de la partícula en función del 
tiempo t, suponiendo que la partícula está sobre el eje x en el 
instante t = 0.Respuesta: (a) f=0.32[Hz]; (b) 3.1[s]; (c) x = 
40cos(2t). 
 
6. 
 
Qf
f 1
00
=
D
=
D
w
w
tFFext wcos0=
dt
dvmmaF ==S
tFxm
dt
dxb
dt
xdm
dt
dvmtFbvkx
ww
w
cos
cos
0
2
02
2
0
=++
=+--
2
0wmk = .
22 dtxddtdv =