teoria y problemas fisica (70)

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Fig.5.18 
Se ha despreciado el término 𝑅∆𝑡∆𝑣 por ser muy pequeño (resulta 
del producto de dos “deltas” o pequeñas variaciones). 
La variación del momento lineal será: 
∆𝑃 = 𝑃� − 𝑃d = 𝑚∆𝑣 − 𝑣p:�𝑅∆𝑡 
Dividiendo todo entre : 
∆𝑃
∆𝑡 = 𝑚
∆𝑣
∆𝑡 − 𝑣p:�𝑅 
Sabemos bien que, cuando ∆𝑡 tiende a cero, ∆j
∆W
 se aproxima a la 
derivada 
Tj
TW
 que viene a ser la aceleración. Si consideramos un 
cohete que está cercano a la superficie de la Tierra y que, además se 
mueve hacía arriba, la fuerza externa será: 
𝐹p:W = −𝑚𝑔 
Pero: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡 = 𝐹p:W = −𝑚𝑔 
 
Con todo lo anotado, podemos hallar la ecuación del cohete: 
 
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑅𝑣p:� + 𝐹p:W = 𝑅𝑣p:� −𝑚𝑔 
 
Es decir: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡 =
𝑅𝑣p:�
𝑚 − 𝑔 =
𝑅𝑣p:�
𝑚d − 𝑅𝑡
− 𝑔 
 
La magnitud Rvexp es la fuerza ejercida sobre el cohete por el gas que 
escapa y se denomina “fuerza de impulsión”: 
 
𝐹p:W = 𝑅𝑣p:� =
𝑑𝑚
𝑑𝑡 𝑣p:� 
El tiempo de conversión total tB viene de dado por: 
 
𝑡¨ =
𝑚d −𝑚�
𝑅 
5.9.3.	FLUJO	DE	FLUIDOS	
ESTACIONARIOS	
 
Los Principios del Impulso y de la Conservación del Momento Lineal 
pueden también ser aplicados al movimiento de un fluido. Para que 
un fluido se mueva, necesita que se le aplique fuerzas que son las 
que desarrollan flujos. Estas fuerzas son muy importantes en el área 
de mecánica, para el diseño y análisis de turbinas, bombas y 
ventiladores, entre otros. Desde el punto de vista del movimiento de 
un fluido, se dice que éste es de flujo estacionario cuando la forma 
del movimiento no cambia con el tiempo. Pero, ¿qué significa esto?, 
pues que aunque la velocidad de un elemento de fluido cambie 
cuando dicho elemento cambie de posición, la velocidad del fluido 
en cada punto, permanece constante. 
tD
 
 
 
Consideremos el tubo de la figura, en la que, el flujo entra al tubo con 
una velocidad v1 y sale del mismo con una velocidad v2. Estas 
velocidades son medidas desde un sistema de referencia inercial. En 
la figura se muestran los diagramas que representan tanto al 
momento lineal como al impulso, siendo åF la suma de fuerzas 
externas que actúan sobre el fluido. Las mencionadas fuerzas 
externas le proporcionan un Impulso al fluido, por tanto, el momento 
lineal cambia tanto en magnitud como en dirección. 
Debido a que el flujo es estacionario, la suma de fuerzas externas 
será constante durante el tiempo dt, durante el cual el fluido se 
encuentra en movimiento, por ello, una pequeña cantidad de masa 
dm va a entrar al tubo con una velocidad v1 en el tiempo t. 
Si el mencionado elemento de masa, conjuntamente con la masa que 
está dentro del tubo se consideran como un sistema aislado, en el 
tiempo t + dt, una masa dm (igual a la de ingreso) debe salir del tubo 
con velocidad v2. Cabe aclarar que dentro del tubo tiene una masa m 
y una velocidad media v que será constante durante el tiempo dt. 
A partir de la figura 6.36, puede aplicarse los principios del Impulso y 
la Conservación del Momento Lineal. 
 
�⃗�.𝑑𝑚 +𝑚�⃗� + ∑�⃗�𝑑𝑡 = 𝑚�⃗� + �⃗�0𝑑𝑚 
�⃗�.𝑑𝑚 +∑�⃗�𝑑𝑡 = �⃗�0𝑑𝑚 
A partir de la ecuación anterior se puede hallar la resultante de las 
fuerzas externas: 
∑�⃗� =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
(�⃗�0 − �⃗�.) 
Si consideramos un flujo en dos dimensiones, la ecuación anterior se 
convierte en: 
∑𝐹: =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
(𝑣0: − 𝑣.:) 
∑𝐹; =
𝑑𝑚
𝑑𝑡 @𝑣0; − 𝑣.;A 
Al igual que en la propulsión de cohetes, se utiliza la variación del 
flujo de masa en el tiempo dm/dt = R 
Si las áreas de las secciones transversales y las densidades del 
fluido a la entrada (1) y a la salida (2) son A1, A2, r1 y r2, 
respectivamente, tomando en cuenta, además, que la masa que entra 
es igual a la masa que sale (dm), se puede escribir la variación de la 
masa, de la siguiente manera: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 
Pero: 
𝑑𝑉 = 𝐴𝑑𝑠 
 
 
PROBLEMAS	PROPUESTOS.	
 
1. Un cañón de 1300[Kg] de masa, dispara una bala de 200[N] con 
una velocidad de salida de 550[m/s], formando un ángulo de 60o 
con la horizontal. El resorte tiene una constante de rigidez de 
4000[N/m]. Determinar la maxima compresión del 
resorte.Respuesta: x = 2.46[m] 
2. Un bloque de 10[Kg] cae desde una altura de 1[m] sobre una placa 
de 2[Kg] de masa, unida a un resorte de K = 100[N/m]. Si el choque 
es plástico, determinar la deformación máxima del 
resorte.Respuesta: xo = 0.20[m] 
3. Una bala de fusil de 40[g] que se mueve a una velocidad de 
420[m/s] se introduce e incrusta en un bloque de madera de 
0.8[Kg], inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. El 
proyectil se detiene a 6.5[cm] dentro del bloque, El coeficiente de 
rozamiento entre el bloque y el piso es µK = 0.4, hallar: (a) la 
velocidad del bloque inmediatamente después de que ha entrado 
la bala; (b) la distancia que recorre el bloque sobre el piso antes 
de detenerse; (c) la energía disipada por la bala al detenerse 
dentro del bloque; (d) la energía disipada por la fricción entre el 
bloque y la superficie.Respuestas: a) 20[m/s]; b) 51[m];c) 
3360[J]; d) 168[J] 
4. Un proyectil de 0.01 [kg] que se mueve horizontalmente a 
395[m/s] se incrusta en una caja de 1.5 [kg] que se halla en 
reposo, suspendida de un hilo largo de masa despreciable. 
Determinar con qué velocidad se moverá la caja con el proyectil 
dentro, luego del choque. Hallar también hasta que altura 
máxima se elevará el conjunto.Respuesta: h = 0.35[m] 
5. Un vagón de ferrocarril de 30 toneladas se mueve a 0.4[m/s] 
sobre una vía horizontal, hasta chocar con otro vagón de 20 
toneladas que venía moviéndose hacía él por la misma vía. 
Determinar la velocidad del segundo vagón un instante antes del 
choque, si luego del mismo quedaron ambos en reposo y juntos. 
Hallar la variación de energía cinética que se produce en este 
proceso. 
6. Una bala de 50 g es disparada contra un bloque de 3 Kg 
colocado en el extremo de un resorte de constante de rigidez K = 
1800 N/m. La bala se empotra en el bloque y el resorte se 
comprime 14 cm. Determinar la velocidad de la bala. 
7. Una masa de 2 Kg en reposo que contiene una pequeña carga 
explosiva de masa despreciable se desintegra en tres 
fragmentos. Dos de ellos tienen masas idénticas de 0.5 Kg cada 
uno; el tercero tiene una masa de 1 Kg. Las velocidades de los 
fragmentos de 0.5 Kg hacen un ángulo de 60º entre sí y la 
magnitud de dichas velocidades es de 100 m/s. ¿Cuál es la 
velocidad (magnitud y dirección) del fragmento de 1 Kg? 
8. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 300[m/s] a 
un ángulo de 60º sobre la horizontal. Cuando el proyectil está en 
la cúspide de su trayectoria, una explosión interna origina una 
rotura en dos partes de masas iguales. Una parte cae al piso 
como si partiera del reposo en la cúspide. Determinar la 
velocidad de la otra parte inmediatamente después de la 
explosión y la distancia entre el cañón y el punto de impacto. 
9. Un muchacho de 60[kg] se encuentra de pie en la parte trasera 
de una lancha de 6[m] de longitud y 120[kg] que flota en reposo 
en aguas tranquilas y sin rozamiento. La balsa se encuentra a 
0.5[m] de un embarcadero fijo. (a) El muchacho camina hasta la 
proa de la balsa y se detiene. ¿A qué distancia se halla ahora la 
balsa del embarcadero? (b) Mientras el chico camina, mantiene 
una velocidad constante de 3[m/s] relativa a la balsa. Determinar 
la energía cinética total del sistema (muchacho + balsa) y 
comparar con la energía cinética en el caso de que el muchacho 
caminara a 3[m/s] sobre una balsa atada al embarcadero. (c) 
¿De dónde procede esta energía y a dónde va cuando el chico 
se detiene en la proa de la balsa? (d) En tierra firme, el 
muchacho puede lanzar una bola de plomo a 6[m]. Situada en la 
parte trasera de la balsa, apunta hacia adelante y lanza la bola 
de modo que justo cuando sale de su mano, posee la misma 
velocidad respecto a ella que cuando la bola fue lanzada en tierra 
firme. ¿Dónde caerá la bola? Respuestas: a) 2.5[m]del 
embarcadero; b) 330[J];c) 60[J] que proceden de la energía 
química del chico. d) La bola caeráal agua. 
10. Dos partículas de masas my 4m se mueven en el vacío en 
ángulo recto, como indica la figura. Una fuerza �⃗�actúa sobre 
ambas partículas durante un tiempo t. Como resultado, la 
velocidad de la partícula m es 4v en su dirección original. 
Determinar la velocidad v’ de la partícula de masa 
4m.Respuesta: 𝟎. 𝟕𝟓𝒗»̂ − 𝒗¼̂ 
11. Un conductor descuidado choca por detrás contra un coche que 
está parado en una señal de tráfico. Justo antes del impacto, el 
conductor aprieta sus frenos bloqueando las ruedas. El conductor