teoria y problemas fisica (78)

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𝑎/^(©) = 𝑎𝑐𝑜𝑠40Y 
𝑎/^(ª) = 𝑎𝑠𝑒𝑛40Y 
 
Reemplazar (3) en (2): 
𝑅© = 𝑚𝑎𝑐𝑜𝑠40Y 
𝑅ª = 20 −𝑚𝑎𝑠𝑒𝑛40Y 
 
4. Analizar el movimiento de rotación. Es conveniente tomar 
torques a partir del eje que pasa por el centro de la barra debido 
a que si se toman en la articulación se eliminan Rx y Ry: 
 
𝛴𝜏Y = 𝐼Y𝛼 
 
5. Con las direcciones elegidas para las reacciones, ambas 
generarán torques positivos, puesto que tratan de hacer rotar a 
la barra en el sentido en que lo hace: 
 
 𝑅ª r
«
0
s 𝑐𝑜𝑠40Y + 𝑅© r
«
0
s 𝑠𝑒𝑛40Y = �
0
𝑚𝐿0𝛼 
 
6. Haciendo operaciones algebraicas: 
 
𝛼 =
3𝑔𝑐𝑜𝑠40Y
2𝐿 = 4.6 n
𝑟𝑎𝑑
𝑠0o p 
 
Ejemplo 6.17 ¡Tratar de resolver! Un cilindro uniforme de 5[kg] y 
0.6[m] de radio gira sin deslizarse a lo largo de una superficie 
horizontal bajo la acción de una fuerza de 120[N], como se muestra 
en la figura. Calcular la aceleración angular del cilindro. 
 
Estrategia de Resolución. Puesto que el cilindro está girando, se 
utilizará la ley de Newton para rotación. El eje donde se toma torques 
no deberá pasar por el centro del cilindro puesto que, en ese punto, 
todas las fuerzas se anularían. 
1. Determinar el torque con respectoal punto “P”. 
 
𝛴𝜏­ = 𝐼­𝛼 
 
𝐹𝑠𝑒𝑛37Y(𝑅) + 𝐹𝑐𝑜𝑠37Y(𝑅) = 𝐼­𝛼 
 
2. Aplicar el teorema de Steiner paracalcular IP. 
 
𝐼­ = 𝐼Y +𝑚𝑅0 
 
𝐼­ =
1
2𝑚𝑅
0 +𝑚𝑅0 =
3
2𝑚𝑅
0 
 
 
3. Reemplazar (2) en (1): 
 
0.6𝐹𝑅 + 0.8𝐹𝑅 =
3
2𝑚𝑅
0𝛼 
 
𝛼 =
(2)(1.4𝐹)
3𝑚𝑅 =
(2.8)(12)
(3)(5)(0.6) = 3.73 n
𝑟𝑎𝑑
𝑠0o p 
 
6.8. RODADURA	DE	UN	CUERPO	
RIGIDO	
 
 
Se entiende por rodadura al movimiento combinado de rotación 
alrededor de un eje, y traslación de un cuerpo rígido. Todo cuerpo 
que se encuentra en movimiento de rodadura, esta girando alrededor 
de un eje y, al mismo tiempo, trasladándose, por lo que el movimiento 
de los cuerpos que ruedan puede tratarse como una combinación de 
un movimiento de traslación y uno de rotación. Para que exista 
movimiento de rodadura (rotación + traslación), es necesario que, la 
superficie por la que “rueda” el cuerpo rígido, tenga una gran 
fricción, de otra manera, el cuerpo rígido resbalaría sobre la 
superficie. Este rozamiento generará una fuerza de 
rozamientoestática que no disipa energía y, por tanto no realiza 
trabajo. 
6.8.1.	EQUIVALENCIA	A	ROTACION		
PURA	
 
Fig. 6.17 
 
El movimiento de rodadura puede describirse como de exclusiva 
rotación, para lo que se considera que en un instante cualquiera, la 
parte inferior del cuerpo está en reposo, ya que no resbala. 
En el movimiento de un cilindro, por ejemplo, se supone que el punto 
A de contacto está en reposo y quepor él pasa el "eje instantáneo de 
rotación". Esto equivale a decir que el cilindro gira alrededor de un eje 
fijo que pasa por A, con una determinada velocidad angular en ese 
instante. Puesto que el movimiento en ese punto A es exclusivamente 
de rotación, la energía cinética total se puede escribir como: 
𝐸�(®) =
1
2 𝐼A𝜔
0 
Pero, el momento de inercia respecto al eje instantáneo de rotación 
A, IA, debe ser determinadomediante el teorema de ejes paralelos: 
𝐼A = 𝐼Y +𝑀𝑅0 
Sabemos que la energía cinética de rotación es: 
𝐸�(®) =
1
2 𝐼A𝜔
0 
Reemplazando IA en la última ecuación: 
𝐸�(®) =
1
2
(𝐼Y +𝑀𝑅0)𝜔0 
𝐸�(®) =
1
2 𝐼Y𝜔
0 +
1
2𝑀	
(𝜔𝑅)0 
Recordemos que: 
𝑣 = 𝜔𝑅 
𝐸�(®) =
1
2 𝐼Y𝜔
0 +
1
2𝑀𝑣
0 
Se sabe que, en el movimiento de rodadura, la energía cinética total 
es la suma de las energías cinéticas de rotación y de traslación. 
Los efectos combinados de traslación y rotación de un cuerpo rígido 
que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, son 
equivalentes a una rotación pura, con la misma velocidad angular 
alrededor de un eje que pasa por el punto de contacto del cuerpo que 
rueda, con la superficie. 
 
Fig. 6.17 
Volvamos al cuerpo rígido. En un instante, el punto más bajo (A) se 
encuentra en reposo. Si consideramos que en ese momento todas las 
 
partículas que lo componen giran en torno a ese punto (eje 
instantáneo de rotación), solamente la partícula que se encuentra en 
A estará en reposo (vA = 0), todas las otras tendrán velocidades 
diferentes, las mismas que van en aumento a medida que la 
partícula se aleja del punto A, por tanto, la velocidad máxima la 
tendrá la partícula que se encuentre en el punto más alto (B). Puesto 
que las velocidades de las partículas son diferentes, se deberá hallar 
un punto representativo donde se ubica el promedio de velocidades 
de todas ellas, este punto se ubica en el centro de masa del cuerpo, 
por tanto, la velocidad representativa del cuerpo será la velocidad 
del centro de masa vcm. Muchas veces es necesario conocer la 
velocidad del cuerpo rígido en un punto diferente al mencionado, por 
ejemplo, en el extremo superior ¿cómo determinar esa velocidad? 
Considerando los dos triángulos semejantes mostrados en la figura 
6.18(triángulo de velocidades) podemos hallar una relación entre 
vcm y v: 
 
Fig. 6.18 
𝑣/^
𝑣 =
𝑅
2𝑅 
𝑣 = 2𝑣/^ 
Para hallar la relación de aceleraciones, derivamos la anterior 
ecuación respecto al tiempo: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 2
𝑑𝑣/^
𝑑𝑡 
Es decir: 
𝑎 = 2𝑎/^ 
 
Fig. 6.19 
Con lo cual se ha obtenido el triángulo de aceleraciones. 
El mismo principio puede ser utilizado para un sistema de discos o un 
carrete, como el que se muestra en la figura 6.20 
 
Fig. 6.20 
El triángulo de aceleraciones para este caso se muestra a 
continuación: 
																																																																																						𝑎 
																																																																																		𝑎2 
									2𝑅2																																																																						𝑎𝑐𝑚 
																					𝑅0 + 𝑅�						2𝑅�																																			𝑎� 
𝑅0 − 𝑅�