teoria y problemas fisica (83)

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M
1 
r1 
R
1 
R
2 
r2 
M
2 
M
3 
R
3 r3 
�𝜏Y = 𝐼Y0𝛼0 
 
𝑓��𝑅 − 𝑇0𝑟 − 𝑇�𝑟 = 𝐼Y0𝛼0 
 
𝐼Y0 = 𝑀𝐾00 
 
 
�𝜏Y = 𝐼Y�𝛼� 
 
𝑓�0𝑅 + 𝑇�𝑅 − 𝑇�𝑅 = 𝐼Y�𝛼� 
 
𝐼Y� = 𝑀𝐾00 
 
 
Relación de aceleraciones: 
 
𝑎0 = 2𝛼�𝑅 
 
𝑎/^0 = 𝛼�𝑅 
 
𝑎/^� = 𝛼0𝑅 
 
𝑎� = 2𝛼�𝑅 
 
𝛼�
𝑅 + 𝑟 =
𝛼0
𝑅 − 𝑟 
 
𝛼0
𝑅 + 𝑟 =
𝛼�
𝑅 
 
Ejemplo 6.31.Para el sistema de la figura, dibujar los Diagramas de 
Cuerpo Libre y escribir las ecuaciones de Newton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Dibujar los DCL´s 
 
					𝑇1	
𝑀1𝑔𝑠𝑒𝑛𝜑 
 
𝑇2		 
 
𝑇1𝑇3 
𝑇2 
𝑓𝑟1 
𝑇3𝑇� 
𝑇4																																																		𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛𝜑 
𝑓𝑟2 
 
2. Plantear las ecuaciones de Newton: 
 
Movimiento de traslación: 
 
�𝐹 = 𝑀�𝑎/^� 
 
𝑀�𝑔𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝑇0 + 𝑇� − 𝑓�� = 𝑀�𝑎/^� 
 
 
�𝐹 = 𝑀�𝑎/^� 
 
𝑀�𝑔𝑠𝑒𝑛𝜌 − 𝑇� − 𝑇� − 𝑓�0 = 𝑀�𝑎/^� 
 
 
Movimiento de rotación: 
 
�𝜏Y = 𝐼Y�𝛼� 
 
𝑓��𝑅� + 𝑇�𝑟� − 𝑇0𝑟� = 𝐼Y�𝛼� 
 
𝐼Y� = 𝑀�𝐾�0 
 
 
 
�𝜏Y = 𝐼Y0𝛼0 
 
𝑇�𝑅0 + 𝑇�𝑟0 − 𝑇�𝑅0 − 𝑇0𝑟0 = 𝐼Y0𝛼0 
 
𝐼Y0 = 𝑀0𝐾00 
 
 
�𝜏Y = 𝐼Y�𝛼� 
 
𝑓�0𝑅� + 𝑇�𝑟� − 𝑇�𝑟� = 𝐼Y�𝛼� 
 
𝐼Y� = 𝑀�𝐾�0 
 
 
Relación de aceleraciones: 
 
𝑎/^� = 𝛼�𝑅� 
 
𝑎/^� = 𝛼�𝑅� 
 
𝛼0
2𝑅0
=
𝛼�
𝑅� − 𝑟�
 
 
𝛼�
𝑅� − 𝑟�
=
𝛼0
𝑅0 + 𝑟0
 
 
 
Ejemplo 6.31. Las partículas A y B giran alrededor de un círculo de 
0.15[m] de radio, en el mismo sentido, partiendo del mismo lugar y 
al mismo tiempo, como muestra la figura, A tiene una velocidad 
constante de p/2[rad/s], en tanto que B parte del reposo y acelera a 
p/6[rad/s2]. Determinar: (a) El tiempo que tardan en encontrarse; 
(b) El arco barrido en ese tiempo. 
 
Estrategia de resolución. La partícula A se mueve con velocidad 
angular constante, en tanto que la partícula B se mueve 
aceleradamente, por tanto, se planteará la ecuación para A y dos 
ecuaciones para B, la que relaciona la velocidad angular con el 
tiempo y la que la relaciona con el desplazamiento angular y, 
combinándolas adecuadamente, se obtendrá el tiempo que tardan 
en encontrarse; posteriormente se calculará el valor de q que, 
relacionado don el radio proporcionará el arco barrido. 
 
 
 A B 
 
 
 
 R 
 
 
 
 
1. Calcular t: 
𝜃 = 𝜔A𝑡 
𝜃 =
𝜋
2 𝑡 
ω¼ = αt 
ω¼ =
𝜋
6 t 
ωH0 = 2α	𝜃 =
𝜋
3 𝜃 
ωH0 =
𝜋
3 𝜃 
 
Reemplazando la ecuación (4) en la ecuación (6), se obtiene: 
𝜃 =
𝜋
12 𝑡
0 
Igualando (2) con (7), se tiene: 
𝑡 = 6[𝑠] 
𝜃 =
𝜋
2
(6) = 3𝜋[𝑟𝑎𝑑] 
𝑠 = 𝜃𝑅 = 3𝜋(0.15) = 0.45𝜋[𝑚] 
𝑠 = 1.41[𝑚] 
 
Ejemplo 6.32. El carrete de 3[kg] de masa, con radio exterior de 
0.5[m], radio interior de 0.2[m] y radio de giro de 0.4[m] es jalado 
por una fuerza F=6.0[N], como muestra la figura. Inicialmente en 
reposo, el carrete entra en movimiento de rodadura. Determinar la 
velocidad angular que adquiere en un tiempo de 2[s]. 
 
 
 F 
 
 r 
 
 R 
 
 
 
Estrategia de resolución. Se dibujará el DCL y se escribirán las 
ecuaciones de movimiento, tomando siempre en cuenta la 
existencia de la fuerza de rozamiento para que pueda tener 
movimiento de rodadura. 
 
Dibujar el DCL 
 
 F 
 
 
 
 
 
									𝑓� 
 
1. Plantear las ecuaciones de movimiento 
 
 
Movimiento de traslación: 
 
 
�𝐹 = 𝑚𝑎 
 
𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎 
Movimiento de rotación: 
 
�𝜏Y = 𝐼Y𝛼 
 
𝐹𝑅 + 𝑇𝑟 = 𝐼Y𝛼 
 
𝐼Y = 𝑚𝐾0𝛼 
 
 
Relación de aceleraciones: 
 
𝑎 = 𝛼𝑅 
Por otra parte: 
 
𝜔 = 𝛼𝑡 
 
 
2. Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: 
 
𝜔 = 1.1[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
 
 
Ejemplo 6.33. Para el sistema de la figura, determinar las 
aceleraciones de los sistemas de discos de m1=40[kg] y m2=120[kg], 
si se considera que tienen dimensiones iguales (R=1.2[m], r=0.6[m] y 
radio de giro K=0.9[m]). La polea que los une es un disco de radio r0= 
0.5[m] y 10[kg] de masa.