359858372-Algebra-Lineal-u1

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
	 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El concepto de número imaginario y después complejo se conoce en las matemáticas y se utiliza desde tiempos remotos. La historia de su surgimiento refleja aquel rasgo general de desarrollo de los cálculos maten áticos donde la introducción y utilización de las operaciones inversas conduce, como regla, a la necesidad de ampliación del dominio numérico. Así, la introducción de la sustracción necesito al fin y al cabo de la complementación de la serie natural con los números negativos, la división condujo a la ampliación de la serie natural hasta el conjunto de los números racionales. 
A su vez la operación de radicación resulto la causa operativa de introducción del concepto del número real. 
El caso particular, cuando se trata se la extracción de raíz de potencia par de un número negativo exigía la introducción de los números imaginarios. Solo en el siglo XVI en relación con la resolución algebraica de las ecuaciones cubicas R. Bonelli (1572) se apartó del tratamiento de los números imaginarios como misteriosos o absurdos y elaboro las reglas de las operaciones aritméticas con los números imaginarios. No obstante, a´un en el curso de mucho tiempo, a pesar de algunas ideas exitosas (por ejemplo, de Wallis) respecto a la interpretación de los números imaginarios y complejos, su naturaleza no fue comprendida y la relación con ellos era como con cierta sustancia sobrenatural en las matemáticas. 
Una gran cantidad de los hechos acumulados dio motivo a los maten áticos del siglo XVIII para trasladar el concepto de lo imaginario también al campo de las magnitudes variables. Ya que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia del carácter del problema, las magnitudes imaginarias se representaban frente a los investigadores con diferentes” apariencias”: física, geométrica o incluso analítica. 
El problema de la interpretación científica de los números complejos se resolvía a la vez en diferentes planos, junto con el desarrollo general del análisis matemático. 
 	 
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Investigación: Desarrollar un trabajo de investigación documentándose en diversas fuentes de información que contenga los siguientes subtemas: 
A) Definición y origen de los números complejos. 
Un numero complejo es la combinación de números reales y números imaginarios. 
Ejemplo: 
 
En las matemáticas a los números complejos se los considera como una extensión de los números reales, en tanto, en este último grupo se incluye a los números racionales, tanto positivos como negativos y al cero, y por otro lado a los números irracionales. 
 
El origen de los números complejos, es conocida como raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. 
	Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartalea, Cardan. 
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wiesse en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX. 
 
B) Elabore un cuadro sinóptico donde se visualicen las operaciones fundamentales con numero complejos, así como las distintas representaciones de los mismos. 
	
		
		Números complejos 	 
	
	
	Adicción 
	
	
	
	
	
	
	
	
	Sustracción 
	
	
	
	
	Multiplicación 
	
	
	
	
	Potenciación 
	
	
	
	
	Forma Binomica 
	
 
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
*El eje X se llama eje real. 
*El eje Y se llama eje imaginario. 
El número complejo a + vi se representa: 
 1.- Por el punto (a, b), que se llama su afijo. 
 
	Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d) 
	
	
	
	
	
	Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del 
sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d) 
	
	
	
	
	
	Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c) 
	
	
		La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una 
multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados. 
	La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi 
 
4
 
	
 
2.- Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b). 
 
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. 
3.- Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y. 
 
 
1
 
 
1
 
C) Explique y ejemplifique los procesos donde se involucren las potencias de “i” y el cálculo del módulo o valor absoluto de un numero complejo. 
Para poder elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las reglas de los productos notables. No debe de olvidarse o tener en cuenta la igualdad i2 = − 1: 
Cabe mencionar que para llevar a cabo operaciones de potencia en números complejos es conveniente hacer uso del Teorema de Moira, cuyo uso es bastante sencillo y rápido de aprenderse, pero nos hará falta antes revisar la conversión de número complejo estándar a su forma polar, pues es en la forma polar en la cual es aplicable el teorema de Moivre. 
D) Procedimiento para explicar un numero complejo en forma biónica a forma polar y exponencial. 
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene: 
 
Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano. 
 
Para 	cada 	número 	complejo 	z, 	la 	primera 
componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria. vectores. Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus 
partes reales y sus partes imaginarias. 
 
Usando este tipo de representación, la
 
suma de complejos
 
se c
orresponde con la suma de 
Dados dos 
vectores
 
 
y
 
 
su suma es
 
Se define el
 
módulo
 
de un número complejo como el 
módulo del vector que lo representa, es decir, 
el 
módulo 
, 
entonces 
 
es
 
.
 
El
 
conjugado
 
de un número complejo se define 
como su 
simétrico respecto del eje real, es decir, si
 
, 
entonces el conjugado de
 
 
es
 
.
 
El
 
opuesto
 
de un número complejo es su simétrico 
respecto del origen.
 
Es fácil ver que se cumple,
 
, por 
tanto,
 
podemos expresar el inverso de un número
 
en la 
.
 
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos 
usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los 
números complejos.
 
2.
 
Forma polar
 
o módulo
-
argumento
 
Otra forma de expre
sar un número complejo es la forma polar o forma módulo
-
 
 
si 
de 
 
 
 
 
forma 
argumento, , esto es, q es un ángulo tal que 
donde
 
el 
es 
módulo de
 
, 
y donde
 
q
 
es 
un
 
argumento
 
de
 
 
 
 
NOTA:
 
infinitos 
Un 
tiene 
complejo 
número 
argumentos distintos. De 
hecho,
 
se puede definir 
el 
argumento de un número complejo no nulo como el 
conjunto de todos los posibles valores
 
q
 
que 
verifican lo anterior, es decir,
 
Es claro, por tanto, que si
 
 
es un valor particular 
del argumento de
 
, entonces
 
Se denomina
 
argumento principal
 
al único 
valor
 
 
tal que
 
, y 
se denota
 
 
Se verifica entonces que
 
Dos númeroscomplejos
 
y
 
, 
representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales
 
, y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es 
decir,
 
, con
 
.
 
La
 
forma polar
 
de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, 
ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, 
si
 
, y
 
, entonces
 
Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nu
lo sin más 
que dividir los módulos y restar los argumentos:
 
 
 
. 
 
, 
siempre que . 
Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, 
si , entonces , para
 
 
Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre: 
 
Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que . 
En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, . 
(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre) Cambio de forma binómica a polar y viceversa: 
	Cambio de binómica a polar 
	Cambio de polar a binómica 
	 
 
 
	 
 
 
3. Forma exponencial 
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler: 
 
para . 
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial: 	 
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene . 
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma . 
 
E) Procedimiento para resolver Ecuaciones Polinómicas. 
 
1. Deja el polinomio en su forma estándar, de la mayor potencia a la menor potencia. La potencia es el número pequeño que hay en la parte superior de la x. Esto es un ejemplo: 6x² + 12x = -9. 
 
Necesitas pasar el -9 al otro lado del signo igual para dejar este polinomio en forma estándar. Como el número es -9, necesitas sumar nueve para que la parte de la derecha del signo igual sea 0. Recuerda, todo lo que hagas en un lado del signo igual lo tienes que hacer en el otro lado. Por tanto, hay que sumar 9 en ambos lados. Esta es la ecuación en forma estándar: 6x² + 12x + 9 = 0. 
 
2. Saca factor común. Mira otra vez el ejemplo: 6x² + 12x + 9 = 0. Puedes ver que el número 3 es factor común de los tres números. 3(2x² + 4x + 3)=0. Recuerda que 3x2=6, 3x4=12 y 3x3=9. 
 
3. Desmonta el polinomio o, en otras palabras, escribe el polinomio en su forma expandida. Recuerda el método PEIÚ: primero, externo, interno, último. 3(x+1)(x+3). Cualquier número multiplicado por sí mismo es el cuadrado de ese número; por tanto, x por x es igual a x², la primera letra de PEIÚ. La segunda letra de PEIÚ es la E de externo: x por 3, igual a 3x. La tercera letra es la I, de interno, 1 por x, igual a 1x o x y, por último, 1 por 3, igual a 3. 
 
Acuérdate de combinar los términos semejantes; por tanto, 3x+1x es igual a 4x, el término de en medio de la ecuación. 
Ahora sabes que 3(x+1) =0, o 3(x+3) =0. Sabes esto porque la ecuación es igual a 0, y cualquier número por 0 es igual a 0. 
 
4. Resuelve cada binomio. 3(x+1) =0, multiplica 3 por x y por 1: 3x+3=0. Necesitas hacer que 3x sea igual a -3, porque 3+3=0. Para convertir 3x en -3, la x debe ser igual a -1, por lo que -1 es la primera solución del sistema. Ahora mira el segundo binomio, 3(x+3) =0, y repite los mismos pasos. 
Multiplica 3 por x y por 3, 3x+9=0. 
 
5. Halla la x para que cuando multipliques 3 por x obtengas -9 (porque -9+9=0); x debe ser igual a -3. Ahora tienes la segunda solución del sistema. 
6. Escribe la respuesta en notación, {-1,-3}. Ahora sabes que la solución es o -1 o 3. 
7. Representa gráficamente el sistema y utiliza la función f(x) si es necesario. 
 
 
 
 	 
 
CONCLUSIONES 
 
Los números complejos tienen gran importancia en la matemática ya que fueron creados para solucionar un problema cuando se aplicaba la raíz cuadrada al número -1. Es así, que se inventó el número complejo i para que sea la respuesta a la raíz cuadrada de -1. Este tipo de números se escriben de varias maneras, siendo la más común la que se expresa como z=a+bi. En esta expresión la letra a representa a la parte real del número, mientras que la b es la parte imaginaria del mismo. 
Además es de suma importancia conocer cual es el conjugado de z. El mismo se expresa con la letra z con un “palito” horizontal sobre la misma y su igualdad es la siguiente: z conjugada= a – bi. Es decir, que a la parte imaginaria se le cambia el signo. 
 
Para finalizar estos te proporcionan herramientas de trabajó para resolver ecuaciones que no tenían solución en el dominio de los números reales. También te permite resolver ejercicios utilizando los símbolos ya estudiados para los conjuntos numéricos. Y ahora si, es momentos de poner en práctica los conocimientos adquiridos. 
 
 	 
FUENTES DE INFORMACIÓN 
 
 
· http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/complejos.htm 
· http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/13-potencias-de-i-modulo-ovalor.html?m=1 
· http://www.academia.edu/9182433/UNIDAD_1_NUMEROS_COMPLEJOS_1.
1_DEFINICI%C3%93N_Y_ORIGEN_DE_LOS_N%C3%9AMEROS_COMPL EJOS 
· http://www.sangakoo.com/es/temas/representacion-de-numeros-complejos-enel-plano 
· http://www.vitutor.com/di/c/a_4.html 
· https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-1/operacionesfundamentales-con-numeros-complejos 
· http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/12-operaciones-fundamentalescon.html?m=1 
 
· https://prezi.com/m/acz--mizmnbi/definición-y-origen-de-los-númeroscomplejos/ 
 
 
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