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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA ÁLGEBRA LINEAL 
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
ÍNDICE 
 
I. ASPECTOS DE LA PROBLEMÁTICA 	4 
I.1.Descripción de la realidad problemática	4 
I.2.Formulación y planteamiento del problema de investigación	4 
I.3.Justificación e Importancia de la investigación	4 
I.4.Objetivos	4 
I.5.Delimitación de la investigación 	4 
II. MARCO TEÓRICO	5 
 
	II.1.	Bases Teóricas 
5 
 
III.	REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 18 AGRADECIMIENTO 
 
 Este trabajo de investigación está dedicado en primer lugar a Dios por darnos la salud necesaria para cumplir nuestros objetivos. 
 
 A nuestros padres, por su esfuerzo inmenso en darnos la posibilidad de ser alguien mejor en un futuro. 
 
 A nuestros profesores por compartirnos sus conocimientos y experiencias en nuestra vida universitaria. 
 
ASPECTOS DE LA PROBLEMÁTICA 
 
Descripción de la realidad problemática 
 
Desconocimiento de las formas cuadráticas por parte de los estudiantes de la Facultad de Ingeniería Industrial – Escuela Profesional de Ingeniería Industrial del ciclo 2019-I, de la promoción 2018. 
 
Formulación y planteamiento del problema de investigación 
 
¿Qué son formas cuadráticas y cuál es su representación matricial? 
 
Justificación e Importancia de la investigación 
 
Una vez comprendido el concepto en clase que tendrá cierta relación para desarrollar dicho tema de formas cuadráticas se nos es necesario compararlo con nuestra realidad a fin que este tema sea muy importante para afrontar distintas problemáticas como parte del perfil profesional de Ingenieros Industriales que buscamos desarrollar. 
Objetivos 
 
	I.4.1.	Objetivo General 
 
▪ Definir forma cuadrática y representarlo matricialmente. 
 
	I.4.2.	Objetivos Específicos 
 
▪ Determinar la matriz asociada. 
▪ Hallar una matriz asociada por cambio de base. 
▪ Utilizar el método de los valores propios para clasificar una forma cuadrática. 
▪ Hallar máximos y mínimos en una forma cuadrática. 
▪ Representar el valor de una forma cuadrática a través de matrices. 
 
Delimitación de la investigación 
 
Universidad Nacional de Piura, Facultad de Ingeniería Industrial – Escuela de Ingeniería Industrial, durante el semestre académico 2019-I, durante la materia de Álgebra Lineal. 
 
MARCO TEÓRICO 
 
	II.1.	Bases Teóricas 
Definición: 
· Sean V un espacio vectorial de dimensión n y B una base V. 
Si (x1​ , x2​ , …,​ x​ n​) = [x]Bt y aij ∈R , 1≤i,j ≤n , se denomina “forma cuadrática” sobre V a toda función polinómica Q: V → R de la forma: 
Q(x) = ∑n aijxixj = (x1,x2,… ,xn)(a11 a12 ··· a1n a	 ... a1n ... a2n ⋱ ... ··· ann )(x1 x2 ... a ··· a
	12	22	2n
k=1
· Es decir, una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de grado 2 y “n” variables. 
· Además, una forma bilineal simétrica es considerada una forma cuadrática. 
 
 1
En dos variables (x, y) tendremos: f (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 
 
Y en tres variables: g (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 
 
	Y en el caso general de “n” variables (x1​ , x​	2​ , …, x​	n​ )​ sería: 
 
Q(x1,x2,… ,xn) = a11x12 + a22x22 + … + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx
 
	n	n
	Q(x1,x2,… ,xn) = ∑ akkxk2 +	∑	2aijxij
	k=1	i,j=1 i < j 	 
 
Clasificación de una forma cuadrática: 
	Sea Q: ​	ℝ​ n ​ ​ ​ ℝ una forma cuadrática, se dice que: 
	1. Q es una forma cuadrática “definida positiva” si: Q(x) > 0, 	x ε ℝn ​ ∖ {0} 
	Q es una forma cuadrática “definida negativa” si: Q(x) < 0, 	x ε ℝn ​ ∖ {0} 
 
2. Q es una forma cuadrática “semidefinida positiva” si: Q(x) ≥ 0, 	x ε ℝ​n Q es una forma cuadrática “semidefinida negativa” si: Q(x) ≤ 0, 	x ε ℝ​n 
 
3. Q es una forma cuadrática “indefinida” si: ∃x1,x2 ∈ ℝn​ / Q(x​1)​ < 0 ⋀ Q(x​2)​ > 0 
Se hace fácil clasificar una forma cuadrática cuando solo aparecen términos cuadrados en su expresión, de no ser así tenemos que ayudarnos de los distintos “métodos​ de clasificación”. 
 
Métodos de clasificación de las formas cuadráticas 
1. Valores propios: 
Sean λi los valores propios asociados a Q: 
 
	
	a 
	 , i = 1, 2, …, n 
	
	va 
	 , i = 1, 2, …, n 
	
	a 
	 , i = 1, 2, …, n 
	
	va 
	 , i = 1, 2, …, n 
	 
	/ λi > 0 , λj < 0 
nida
 
2. Menores principales dominantes: 
Se llama menor principal dominante de A​ ​ de orden r​​ al determinante de la submatriz formada por las r ​ ​primeras filas y las r​​ primeras columnas de A. 
 
3. Menores principales: 
Se llama menor principal de A​ ​ de orden r​​ al determinante de cualquier submatriz de dimensión r x r tal que su diagonal principal esté formada por elementos de la diagonal principal de A. 
Escribiremos Hi para designar al conjunto de los menores principales de orden i​​. 
 
EJERCICIOS DE FORMAS CUADRÁTICAS 
 
● Una empresa fabrica tres tipos de estructuras metálicas: puentes, torres eólicas y pasarelas peatonales. La función de beneficios de dicha empresa viene dada por: 
	​	B (x1,x2,x3) = x12 − x22 + x32 + 6x1x2 + 4x2x3 
 Donde las estructuras metálicas están representadas por las siguientes variables: 
 ​X​1 ​​ = es el número de puentes 
= es el número de torres eólicas X​3​ = es el número de pasarelas peatonales 
X​2 ​
 ​
	¿Existe alguna posibilidad de que esta empresa cierre con beneficios su ejercicio económico?​	 
1. Una multinacional, líder mundial en el mercado de torres eólicas, le ha propuesto que, dada la demanda existente, produzca el triple de torres eólicas que, de puentes. ¿Resulta interesante esta propuesta a la empresa? 
2. Una segunda multinacional propone a la empresa comprarle toda su producción si fabrica sólo puentes y pasarelas, en igual número. ¿Será ésta una buena opción para la empresa? 
3. Ante la cantidad de propuestas que la empresa recibe, han encargado a un técnico que determine otras posibilidades de producción. Este propone fabricar exclusivamente torres eólicas, intentado así rentabilizar economías de escala. ¿Es beneficiosa la idea del técnico? 
Solución: 
a)	Primero vamos a clasificarla sin restringir, para ello lo expresamos en su representación matricial, y posteriormente calculamos su matriz simétrica asociada: 
 B (x1,x2,x3) = x12 − x22 + x32 + 6x1x2 + 4x2x3 = [x1 x2x3][1 3 0 3 − 1 2 0 2 1 ][x1 x2 x3 ] 
Dónde: A = [1 3 0 3 − 1 2 0 2 1 ] 
Por el método de los menores principales se obtiene: 
 D​1=​ [1] = 1 > 0, D2​ = [1 3 3 − 1 ] = -10 	 < 0, D​3 =[1 3 0 3 − 1 2 0 2 1 ] = -14 < 0, B (x1,x2,x3) es indefinida, por tanto 	 
Existe
 (x_1,x_2,x_3 )∈Rˆ (3 ) tal que B(x_1,x_2,x_3 ) > 0 y existe (y_1,y_2,y_3 ) ∈ Rˆ 3 tal que B(y_1,y_2,y_3 ) < lo que quiere dar a entender que puede ver tanto beneficios como perdidas, dependiendo de la combinación de productos que determine fabricar la empresa. 
o Caso 1: 
●
	B (x1,x2,x3) queda restringida al subconjunto S = {(x​2 = 3x​​	1 	x1,x2,x3 ) ∈ R3 / x​2=3​	x​1​} 
 
B 
Donde la matriz simétrica asociada es A = [10 6 6 1 ] ahora por el método de los menores principales se obtiene 
D​1 = [10] = 10 > 0, D​2 =[10 6 6 1 ] = 10-36 = -26 < 0, es indefinida. 
	​	​
 
Con esta restricción la empresa no puede asegurar beneficios positivos ya que, para determinadas combinaciones de productos, la función de beneficios tiene signo negativo y por tanto no es una buena opción para la empresa. 
 
Caso 2:● x​1 ​= x​3, x​​	2​= 0 o
B (x1,x2,x3) queda restringida al subconjunto S = {(x1,x2,x3) ∈ R3 / x1 = x3 y x2 = 0} 
 Reemplazando la restricción en la ecuación de beneficio: 
 Se obtiene: 
 B , es definida positiva. Así, conesta restricción la empresa se asegura beneficios positivos, por tanto, en es una buena opción. 
 
 
 
 
 
 
 
o Caso 3: 
· x1 = x3 = 0 
 Donde la B (x1,x2,x3) queda restringida al subconjunto S = {(x1,x2,x3) ∈R3/ x1 = x3 = 0} 
 Remplazando x1 = x3 
 B(x2) = − x22 = [− x2 ] [1] [x2 ] →​ D​1 =​ [-1] = -1< 0, ∀x2≠0, es definida negativa. Con esta restricción la empresa tiene beneficios negativos (perdidas seguras), así la propuesta no es nada acertada. 
Rpta: La única posibilidad que tiene la empresa de cerrar con beneficio es produciendo igual número de puentes y número de pasarelas peatonales 
 
· Clasifique, utilizando el signo de los “autovalores”, la siguiente forma cuadrática: 
f(x,y,z) = xˆ 2 + 2yˆ 2 + zˆ 2 − 2xy − 2yz , 1. ¿Cambia el signo si la clasificamos ahora restringida α x + y = 0 ? 
Solución: 
Para poder clasificar la forma cuadrática por el signo de los valores propios tenemos que obtener los mismos. Para ello, construimos primero la matriz simétrica que representa dicha forma cuadrática, la cual se obtiene colocando en la diagonal principal los coeficientes de los términos cuadráticos, mientras que cada elemento aij , con i ≠ j , se obtiene de dividir por dos el coeficiente del término que multiplica la variable i por la j . Así tenemos: 
f (x,y,z) = x2 + 2y2 + z2 − 2xy − 2yz = (x,y,z)(1 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 1 )(x y z ) , 
Si calculamos sus valores propios tenemos 
 
|A − λI| = |1 − λ − 1 0 − 1 2 − λ − 1 0 − 1 1 − λ | = (1 − λ)2 (2 − λ) − 2(1 − λ) 
 
|A − λI| = (1 − λ)[(1 − λ)(2 − λ) − 2] = 0 
 
	|A − λI| => (1 − λ)(λ − 3)λ = 0 	 
 
· λ1 = 1 λ2 = 3 λ3 = 0 
· α1 = 1 α2 = 1 α3 = 1 
 
 
Con lo cual, la forma cuadrática sería Semidefinida positiva puesto que uno de ellos vale cero siendo los restantes positivos. 
Si clasificamos la forma cuadrática sujeta a la restricción x + y = 0 nos desaparece una de las variables, puesto que recordemos que si tenemos una forma cuadrática con “n” variables, (en nuestro caso n = 3) y la sujetamos a m restricciones (en nuestro caso m = 1 ) nos queda una forma cuadrática 
con n − m variables (3 – 1 = 2). 
 
Despejando en la restricción obtenemos que x = − y . Sustituyendo esta información en la forma cuadrática original nos queda: 
f (y,z) = y2 + 2y2 + z2 + 2y2 − 2yz = 5y2 + z2 − 2yz 
 
Cuya matriz es: 
AR = (5 − 1 − 1 1 ) 
	Si 	la 	clasificamos 	por 	el 	método 	de 	los 	menores 	principales, 	vemos 	cómo 
D1 = 5 > 0, y D2 = 4 > 0, por lo que pasa a ser definida positiva, cambiando su clasificación anterior sin restringir que recordemos era semidefinida positiva. 1
 
Representación Matricial: 
 Sea 
f (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 
 
Y en tres variables: g (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 
 
	Y en el caso general de “n” variables (x1​ , x​	2​ , …, x​	n​ )​ sería: 
 
Q(x1,x2,… ,xn) = a11x12 + a22x22 + … + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx
 
Nótese que hemos escrito los coeficientes de los términos cruzados como 2aij , la forma cuadrática que es una función (real de varias variables) Q: ​ n ​ ​ , puede expresarse a través de una matriz simétrica A = [aij] (una matriz cuadradaℝ​ seℝ​ dice simétrica cuando todos sus elementos verifican que aij = aij , es decir, cuando A coincide con su transpuesta, At = A. 
.
Q(x1,x2,… ,xn) = [x1 x2… xn][a11 a12 ··· a1n a12 a22 ··· a2n .. a1n ... a2n ⋱ ... ··· ann ][x1 x2 ... 
Donde: 
 X, es el vector columna de las variables, y A es una matriz simétrica cuyos elementos en la diagonal principal son los coeficientes de los términos elevados al cuadrado, y cuyos elementos que están fuera de la diagonal principal son la mitad de los coeficientes de los términos de producto cruzado. Siendo un poco más precisos, el elemento de la diagonal correspondiente al renglón i​ y la columna i​ es el coeficiente de X​ i​ ²,​ y​ el elemento fuera de la diagonal que está en el renglón i​ ​y la columna j​ es la mitad del coeficiente del producto ​	x​ i​x​ j ​ .​ 
Pasos para representar matricialmente una forma cuadrática: 
1) Consideramos una matriz simétrica de cantidad de filas y columnas igual a la cantidad de n variable. 
2) En la diagonal principal colocamos los coeficientes que están elevados al cuadrado. 
3) Por otro lado, multiplicamos a aquella matriz por el vector x, y, el vector de las variables. 
4) Del otro lado, multiplicamos por el vector xy, pero en su forma transpuesta, de forma horizontal. x
5) Luego de la multiplicación pasamos a sumar dicho producto, de tal forma que nos debe dar nuestra forma cuadrática con la que iniciamos. 
 
 
Cabe recalcar que las matrices simétricas son útiles, aunque no esenciales para representar formas cuadráticas, por ejemplo, la forma cuadrática 2x² + 6xy – 7y² se puede representar a través de: 
 x y 2 3 x x y 2 5 x 3​ -7 y 1 -7 y 
 Matriz simétrica Matriz no simétrica 
 
Sin embargo, por lo general resulta más conveniente trabajar con matrices simétricas, de modo que cuando se escribe una forma cuadrática como xtAx, siempre se dará por sobreentendido, incluso si no se indica explícitamente que A es simétrica. 
 
CAMBIO DE BASE DE UNA FORMA CUADRÁTICA: 
 
Sea F: V R, una forma cuadrática caracterizada por la matriz A, respecto de la base v = V​1, V​2, V​3, …, Vn 
	​	​	​
Se tiene entonces F(x)= `​ X.A.X,​ donde x es la matriz columna cuyos elementos son las coordenadas de x respecto de la base V. 
Si en V considera una base [V`], entonces X=P.X`, donde P es la matriz de pasar de la base [V`] a la base [V]. 
	 Sustituyendo X=P.X`​ en F(x) =​	`​ X.A.X​	 
 F(x)=`​ (​ P.X`​ )​ . A.(P.X`​ )​ 
	 = `​ X​ `​ . (​	`​ P.A. P).X​	`​ 
	 =`​ X​ `​ .B.X​	`​ 
 
La matriz de F respecto de la nueva base es: B=`​ P.A.​ P, las matrices A y B se llaman congruentes. Es​ decir, A es congruente a B si, y sólo si existe P no singular tal que B=`​ P.A.P.​	 
NOTA: 
Dos matrices simétricas se dice que son congruentes cuando son matrices asociadas a la misma forma cuadrática en distintas bases. Es decir, A y A’ simétricas son congruentes, si existe P invertible tal que A’ = P​t​ AP . Las matrices congruentes no son, en general, semejantes (solo coinciden congruencia y semejanza cuando la matriz P es ortogonal, P​t​ = P​-1 
 
NOTA: 
Una forma cuadrática xtAx se denomina positiva​ definida si xtAx > 0 para todo x≠0, y una matriz simétrica A se denomina matriz​ positiva definida si xtAx es una forma cuadrática positiva definida. 
 
EJERCICIOS DE REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE FORMAS 
CUADRÁTICAS 
 
	●	Dada la forma cuadrática Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1x2 - x1x3 + x22 + 2x2x3 - x32 
 Hallar: 
a) La matriz asociada a Q en la base canónica y en la base B {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} y realiza el cabio de base de la forma cuadrática 
b) Clasifica la forma cuadrática por el método de los valores propios 
Solución: 
	a)	Matriz asociada en la base canónica 
 Q ( x1 , x2 x3 ,) = x12 + x1x2 - x1x3 + x22 + 2x2x3 - x32 
 	 
[x1 x2 x3]1×3.[a b c d e f g h i ]3×3.[x1 x2 x3 ]3×1 
 
[ax1 + dx2 + gx3 bx1 + ex2 + hx3 cx1 + fx2 + ix3]1×3 . [x1 x2 x3 ]3×1 
 
[ax12 + dx1x2 + gx1x3 + bx1x2 + ex22 + hx2x3 + cx1x3 + fx2x3 + ix32]1×3 
 
[ax12 + (d + b)x1x2 + (g+ c)x1x3 + ex22 + (h + f)x2x3 + ix32]1×3 
 
 
a = 1 c = g =− 1/2 e = 1 	f = h = 1 i =− 1 
 
b = d = 1/2 
 
 
F(X)C = [x1 x2 x3]1×3.[1 21 −21 21 1 1 1 − 1 ]3×3.[x1 x2 x3 ]3×1 
 
 
 
Cambio de base 
1)	Hallar la matrizinvertible de la base canónica a la base B 
 
(1,1,1) = α(1,0,0) + β(0,1,0) + θ(0,0,1) 
[1 1 1 ] 
α = 1 β = 1 θ = 1 
 
(1,1,0) = α(1,0,0) + β(0,1,0) + θ(0,0,1) 	[1 1 0 ] α = 1 β = 1 θ = 0 
 
(1,2,0) = α(1,0,0) + β(0,1,0) + θ(0,0,1) 	[1 2 0 ] α = 1 β = 2 θ = 0 
 
P = [1 1 1 1 1 2 1 0 0 ] 
 
	2)	Hallar la matriz en la base B 
 
A′ = P T AP 
 
P T = [1 1 1 1 1 0 1 2 0 ] 
 
 
A′ = [1 1 1 1 1 0 1 2 0 ]. [1 21 −21 21 1 1 1 − 1 ].[1 1 1 1 1 2 1 0 0 ] 
 
A′ = [(1×1 + 1×12 + 1×) (1×12 + 1×1 + 1×1) (1× + 1×1 + 1× − 1) (1×1 + 1×12) (1×12 + 1×1) (1× + 1×1) (1×1 + 2×12) (1×12 +
 
A′ = [1 52 −21 32 32 12 2 52 32 ].[1 1 1 1 1 2 1 0 0 ] 
 
A′ = [1×1 + 52×1 + ×1 1×1 + 52×1 1×1 + 52×2 32×1 + 32×1 + 12×1 32×1 + 32×1 32×1 + 32×2 2×1 + 52×1 + 32×1 2×1 + 52×1 2×1 + 52×2 
 
A′ = [3 27 6 27 3 29 29 29 7 ] 
 
Hallar X = P.X′ 
[x1 x2 x3 ] = [1 1 1 1 1 2 1 0 0 ].[a b c ] 
a + b + c = x1 a + b + 2c = x2 
a = x3 
 
c = x2 − x1 b = 2x1 − x2 − x3 
 
F(X)B = [x3 2x1 − x2 − x3 x2 − x1 ]1×3.[3 27 6 27 3 29 29 29 7 ]3×3.[x3 2x1 − x2 − x3 x2 − x1 ]3×1 
 
	b)	Clasificación de la forma cuadrática 
 
.[1 21 −21 21 1 1 1 − 1 ]3×3 
 
Aplicando autovalores 
 
A − λI 
 
.[1 21 −21 21 1 1 1 − 1 ]3×3 − λ[1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = .[1 − λ 21 −21 21 1 − λ 1 1 − 1 − λ ]3×3 
 
 
det⁡(A − λI ) 
 
detdet (A − λI) = (1 − λ)|1 − λ 1 1 − 1 − λ | − 21 ||21 1 − 1 − λ || − 21 ||21 1 − λ −21 1 || 
 
detdet (A − λI) =− (1 − λ)(1 − λ2) − (1 − λ) + 41 (1 + λ) − 41 − 41 − 41(1 − λ) 
 
detdet (A − λI) = (λ − 1)(1 − λ2) + 41 (1 + λ) − 21 − 45(1 − λ) 
 
detdet (A − λI) =− λ3 + λ + λ2 − 1 + − 21 
 
− λ3 + 25λ + λ2 − 25 
 
	− λ3 + 25λ + λ2 − 25 = 0 	 
 
 
 
Por definición la forma cuadrática es indeterminada 
 
● Hallar la matriz correspondiente a la forma cuadrática: 
 
f (x,y) = x2 + y2 + 4xy 
Partimos de: xt.A.x 
[x y ]1x2.[a b c d ]2x2.[x y ]2x1 [ax + yc xb + dy ]1x2 .[x y ]2x1 
 
 x2 + cxy + bxy + dy2 c = b (Para obtener una matriz simétrica) 
 x2 + dy2 + (c + b)xy = x2 + y2 + 4xy 
a = 1 c = 2 d = 1 b = 2 
A = [a b c d ] = [1 2 2 1 ] 
 
1. Matriz correspondiente a la forma cuadrática, valores y vectores propios, máximos y mínimos. Restricciones. 
2. Encontrar los valores máximos y mínimos de la forma cuadrática. 
 
f (x,y) = x2 + y2 + 4xy 
Solución: Tomamos A = [1 2 2 1 ] 
 A − λI = [1 − λ 2 2 1 − λ ] 
detdet (A − λI) = 0 
 
detdet ([1 − λ 2 2 1 − λ ]) = 0 
1 − 2λ + λ2 − 4 = 0 →Ecuación caracteristica 
λ2 − 2λ − 3 = 0 
λ − 3 
		 
λ + 1 
 
[− 2 2 2 − 2 ].[u1 u2 ] = [0 0 ] 
(0 0 ) F 1 ( −˙21)↔ 
(0 0 ) F 2 − 2F 1↔ 
(0 0 ) 
u1 = t u2 = t 
	 	
[2 2 2 2 ].[u1 u2 ] = [0 0 ] 
(0 0 ) F 1 (˙21)↔ 
(0 0 ) F 2 − 2F 1↔ 
(0 0 ) 
u1 = t u2 =− t 
 
	 	
 
Normalizando: 
 
 
Así sujeto a la restricción x2 + y2 = 1, el valor máximo​ de la forma cuadrática es λ = 3 , que ocurre si , y . 
Entonces, 
F (Máximo) 
 
 
	El valor mínimo ocurre cuando λ =− 1 , que ocurre si 	 , y 
Entonces, F (Mínimo) 
 
 
Además, se pueden obtener otras bases para los autoespacios al multiplicar los vectores básicos 
anteriores por − 1 . 
	Así también tenemos un valor máximo adicional para λ = 3 , cuando ​	x , y √
2
=
−
1
Entonces, 
F (Máximo) 
 
	Del mismo modo, un valor mínimo para λ =− 1; cuando 	x , y . √
2
=
−
1
Entonces, 
F (Mínimo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
1. “Introducción al Álgebra Lineal” – Limusa Willey; 2011 – 5° edición, México 
	ISBN: 978-607-05-0290-3​	 
 
2. EduMatheOpt. Educación. [Online].; 2019 [cited 2019 Julio 20]. 
Available from: 
http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/forma-cuadratica#T_34_4_1_ htm 
 
3. Roda5. Ejercicios. [Online].; 2019 [cited 2019 Julio 20]. 
 Available from: 
https://rodas5.us.es/file/4db94978-48a1-6109-42a3-2a07d4423ac1/2/Ejerciciostema3_SCORM.zip/pa ge_01.htm 
 
4. Egormaximenko. FormasCuadráticas. [Online].; 2019 [cited 2019 Julio 21]. 
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5. Ealgaba. Álgebra. [Online].; 2019 [cited 2019 Julio 21]. 
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FORMAS CUADRÁTICAS 
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