Preguntas-Cuestionario-Segundo-Parcial-Calculo-Vectorial-1

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
 Preguntas de verdadero y falso 
 Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué; si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute el enunciado
1. La curva con ecuación vectorial r(t) = t3 i + 2t3 j + 3t3 k es una recta
2. La curva con ecuación vectorial r(t) = < t, t3 , t5 > es suave.
3. La curva con ecuación vectorial r(t) = < cos t, t2 , t4 > es suave (FALSA) 
Justificación: Es falso ya que para que la curva de una ecuación vectorial sea suave debe de si x’(t) , y’(t) , z’(t) son continuas en I y no se anulan simultáneamente, excepto posiblemente en los puntos terminales de I
4. La derivada de una función vectorial se obtiene al derivar cada función componente (VERDADERO)
Justificación (ejemplo): Si interpretas a la función inicial como que da la posición de una partícula como una función del tiempo, la derivada te da el vector velocidad de esa partícula como una función del tiempo.
5. Si u(t) y v(t) son funciones vectoriales derivables, entonces 
FALSO
	 La función vectorial que con sus componentes en (t), son todas derivables 
 en su valor (t)
6. Si r(t) es una función vectorial derivables, entonces 
VERDADERA la función vectorial derivable es un producto por un escalar
7. Si T (t) es el vector unitario tangente de una curva suave entonces la curvatura es ………………………………k = | dT /dt |.
(F)Falso
En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su dirección y por tanto T’ = 0. Si la curva no es una línea recta, la derivada T’ mide la tendencia de la tangente a cambiar su dirección. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por dT /ds donde s representa la longitud de arco.
8. El vector binormal es B(t) = N(t) X T(t).
(F)Falso
El producto cruz de T(t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T(t) como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por B(t), está definido así:
B(t) = T(t) × N(t)
El vector unitario B definido por el producto vectorial: B = T× N, perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. 
9. El círculo osculador de una curva C en un punto tiene vemos vector tangente, vector normal, y la misma curvatura C en ese punto
10. Diferentes parametrizaciones de la misma curva dan como resultado idénticos vectores tangentes en un punto dado a la curva. 
Ejercicios
Encuentre y trace el dominio de la función.
11. f( x,y ) = sen-1 x + tan -1 y
Dominio: [−1,1],{x|−1≤x≤1}
12. 
Dominio F: {x,y,z|z-x2-y2≥0}
No hay un gráfico para esta función.
Trace la gráfica de la función
13. 
14. 
Trace varias curvas de nivel de la función
15. 
16. 
Evalúe el límite o demuestre que no existe
17. 
18. 
19. Una placa metálica está situada en el plano xy y ocupa el rectángulo 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 8, donde x y y se miden en metros. La temperatura en el punto ( x, y ) del plano es T (x,y ), donde T se mide en grados Celsius. Se midió la temperatura en puntos igualmente espaciados y se registraron los valores en la tabla
y
	x
	0
	2
	4
	6
	8
	0
	30
	38
	45
	51
	55
	2
	52
	56
	60
	62
	61
	4
	78
	74
	72
	68
	66
	6
	98
	87
	80
	75
	71
	8
	96
	90
	86
	80
	75
	10
	92
	92
	92
	87
	78
a) Estime los valores de las derivadas parciales y . ¿Cuales son las unidades?
b) Estime el valor de , donde u = ( i + j ) / . Interprete su resultado
c) Estime el valor de 
20. Encuentre una aproximación lineal a la función de temperatura del ejercicio 9 cerca del punto ( 6,4 ). Luego úsela para estimar la temperatura en el punto ( 5, 3.8 )
Encuentre las primeras derivadas parciales
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. La velocidad del sonido en el mar es una función de la temperatura, salinidad y presión. Esa función ha sido modelada por:
 
Donde C es la velocidad del sonido (en metros por segundo), T es la temperatura (en grados Celsius), S es la salinidad (la concentración de sales en partes por millar, que significa el número de gramos de sólidos disueltos por 1000 g de agua), y D es la profundidad bajo la superficie oceánica (en metros). Calcule cuando partes por millar y . Explique el significado físico de estas parciales
Encuentre todas las derivadas parciales de f
27. 
28. 
29. 
30. 
31. Si , demuestre que 
32. Si , demuestre que 
Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto especificado
33. , (0, 1, 5)
34. , (1, 0, 1)
35. , (3, 2, 1)
36. , (2, 3, 4)
37. , (3, 2, -1)
38. Utilice computadora para trazar las gráficas de la superficie de su plano tangente y de la recta normal en (1, 2, 5) en la misma pantalla. Escoja el dominio y un punto de vista para obtener una buena imagen de los tres objetos.
39. Encuentre los puntos de la esfera donde el plano de la tangente es paralela al plano
40. Encuentre si 
41. Encuentre la aproximación lineal de la función en el punto (2, 3, 4) y utilícela para estimar el número
42. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 5m y 12m con un posible error de medición de a lo sumo 0.2 cm en cada uno. Utilice diferenciales para estimar el máximo error en el valor calculado de (a) el área del triángulo y (b) la longitud de la hipotenusa
43. Si , donde , y , utilice la regla de la cadena para hallar dw/dt.
44. Si , donde y , utilice la regla de la cadena para hallar y .
45. Suponga que , donde(1, 2)= -1, , , , , , y . Encuentre y cuando s=1 y t=2.
46. Utilice un diagrama de árbol para expresar la regla de la cadena para el caso donde todas son funciones diferenciales.
47. Si , donde f es diferenciable, demuestre que 
Preguntas de verdadero y falso 
Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué, si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute el enunciado.
 
48. . 
49. .Existe una función con con derivadas parciales continuas de segundo orden tal que y 
50. 
51. 
52. Si cuando (x,y) (a,b) por cualquier recta que pasa por (a,b), entonces 
53. Si y existen, entonces es diferenciable en (a,b). 
54. Si f tiene un mínimo local en (a,b) y f es diferenciable en (a,b), entonces 
(Falso) Su valor sería 0 por lo tanto no podría existir mínimo local.
55. Si f es una función, entonces 
(Verdadera) F(2,5) también es una función solo reemplazamos los valores de x y y respectivamente.
56. Si f (x,y) = ln y, entonces .
57. Si (2, 1) es un punto crítico de f y
Entonces f tiene un punto de ensilladura en (2, 1)
(VERDADERA) esta es una implicación directa de la segunda derivada. 
 Suponga que las segundas derivadas parciales de f existen en (a, b).
and if (a, b)=(a,b)=0 eso significa que (a, b) es un punto crítico
entonces considera: D = D(a,b) = fxx(a,b)*fyy(a,b)-[(fxy(a,b)^2)]
CASO 1: D > 0 y fxx(a,b) > 0 entonces f(a,b) es un mínimo local.
CASO 2: D > 0 y fxx(a,b) < 0 entonces f(a,b) es un máximo local.
CASO 3: D < 0, entonces f(a,b) no es un mínimo ni un máximo y se puede considerar como punto silla.
58. Si f (x, y)= sen x + sen y, entonces - 
(VERDADERA)
59. Si f (x, y) tiene dos máximos locales, entonces f debe tener un mínimo local. 
Falso
Puede ver dos máximos locales, pero no hay un mínimo local (y global). uno puede verificar analíticamente, pero está claro que este ejemplo da una forma de la función que no se satisface la afirmación.
Ejercicios 
60. Trace la curva con función vectorial r(t) = 2i + sen t j + cos t k 
x=2 y=sent
z=cost
(b) Halle r´(t) y r´´(t)
r´(t)=i +cos t j- sen t k
r´´(t)= -sen t j - cos t k
61. Se r(t) = ( t3, ,sent/t )
(a) Halle el dominio de r 
(b)Halle el 
(c) Halle r´(t)
62. Encuentre una función vectorial que represente la curva de la intersección del cilindro x2+ y2 =16 y en el plano x + y = 5 
63. Halle ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva x = t2, y = t4, z = t3 en el punto (1,1,1). Trace la gráfica de la curva y la recta tangente en una pantalla común.
 
64. Si r(t) = (t + t2) i + ( 2 + t3) j + t4 k, evalué 
65. Sea C la curva con ecuaciones x=2 – t3, y= 2t-1, z= ln t. halle (a) el punto donde C interseca al plano xz, (b) las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en (1,1,0) y (c) una ecuación del plano normal a C en (1,1,0)
66. Utilice la regla de Simpson con n=4 para estimar la longitud del arco de la curva con ecuaciones x = , y= 4/t, z=t2+1 de ( 1,4,2) a ( 2,1,17).
67. Encuentre la longitud de la curva r (t) = ( 2t3/2, cos 2t, sen2t ), 0 ≤ t ≤ 1.
68. La hélice r1(t) = cos t i + sen t j + t k interseca la curva r2(t) = ( 1 + t)i + t2 j + t3k en el punto (1,0,0). Halle el ángulo de intersección de estas curvas.
69. Reparametrice la curva r (t) = et i + et sen t j + e1 cos t k con respecto a la longitud de arco medido desde el punto ( 1,0,1) en la dirección creciente de t.
 
70. Para la curva dada por r(t) = ( t3/3 , t2/2, t), encuentre (a) el vector unitario tangente, (b) el vector unitario normal, y (c) la curvatura.
Comprobación de conceptos
71. ¿Qué es una función vectorial? ¿Cómo se encuentra su derivada y su integral?
RESPUESTA.Las funciones vectoriales son vectores en los que cada uno de sus componentes dependen de un parámetro t como variable independiente. La forma de las funciones vectoriales es la siguiente:
Derivar una función vectorial es simple. Es similar a derivar una función de una variable. La diferencia es que se deriva cada componente del vector de la función. Sin embargo, cada derivada se hace respecto al parámetro t.
La integral definida de una función vectorial continua(t) se puede definir casi de la misma manera que para las funciones de valores reales, excepto que la integral es un vector. Entonces podemos expresar la integral de r en términos de las integrales de sus funciones componentes f, g, h.
72. ¿Cuál es la relación entre funciones vectoriales y curvas espaciales?
RESPUESTA Hay una relación muy cercana entre funciones vectoriales y curvas espaciales, las funciones componentes de las funciones vectoriales f, g y h en un intervalo I, conjunto de puntos C en el espacio (x, y, z) donde las funciones hacer variar t a través del intervalo I, componen la curva espacial.
 73. (a) ¿Qué es una curva suave? 
RESPUESTA/ Se dice que una curva C, representada por c(t) en un intervalo I, es suave, si x'(t) , y'(t) , z'(t) son continuas en I y no se anulan simultáneamente, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. Se dice que la curva C es suave a trozos si es suave en cada subintervalo de alguna partición de I.
 (b) ¿Cómo se encuentra el vector tangente a una curva suave en un punto? ¿cómo se encuentra la recta tangente? ¿y el vector tangente unitario?
RESPUESTA Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico. El tangente unitario tiene la misma dirección como un vector tangente tradicional, pero tiene magnitud de 1.
Por lo tanto, para encontrar el vector tangente T(t) de una curva descrita por r(t), debemos:
-Determinar la derivada r'(t).
-Calcular la magnitud del vector anterior.
-Dividir el vector que encontramos en el paso 2 entre la magnitud del paso 3.
 74. Si u y v son funciones vectoriales que se pueden derivar, c es un escalar y f es una función de valor real, escriba las reglas para derivar las siguientes funciones vectoriales.
(a) u(t)+v(t) (b) cu(t) (c) f(t)u(t)
75.¿Cómo se encuentra la longitud de una curva espacial dada por una función vectorial r (t)
RESPUESTA:Es evidente que debemos indicar de alguna manera los puntos por donde pasa, los puntos que forman la curva. En algunos casos, podemos usar para ello las coordenadas cartesianas de los puntos P(x, y) de la curva, expresado y como una función de x y = F(x), por ejemplo y = 1 + x 2 , o x como una función de y X = G(y), por ejemplo x = cos2 y , o dar una relación entre x e y que defina implıcitamente a una variable en t´erminos de la otra H(x, y) = 0, por ejemplo x 2 +y 2 −16 = 0 . Hay curvas que se representan más fácilmente mediante otro sistema de coordenadas [por ejemplo, r = 2 cos θ usando coordenadas polares]
76.(a) ¿Cuál es la definición de curvatura?
RESPUESTA: En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco
(b) Escriba una fórmula para curvatura en términos de r´(t) y T´(t) 
(c) Escriba una fórmula para curvatura en términos de r´(t) y r´´(t)
(d) Escriba una fórmula para la curvatura de una curva plana con ecuación y=f[(x)]
RESPUESTA:
77.(a)Escriba fórmulas para los vectores unitarios normal y binomial de una curva suave en el espacio r(t)
RESPUESTA: Vector normal unitario
Si T (t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el vector normal unitario de C en P, denotado por N (t), es el vector unitario en la dirección de DtT (t).
Vector binormal unitario
El producto cruz de T (t) y N (t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t) como a N (t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por B (t), está definido así:
(b) ¿Cuál es el plano normal de una curva en un punto?
 RESPUESTA: El plano normal a una curva en un punto 1 es el plano ortogonal a la recta tangente y que contiene al punto 1
 ¿cuál es el plano osculador? 
RESPUESTA: El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva, también se puede definir como, es el plano que contiene a la recta normal tangente a una curva en un punto de ella. 
¿Cuál es el círculo osculador?
RESPUESTA: Es el círculo que pasa por tres puntos de una curva que están muy próximos, siendo la curva entre esos puntos prácticamente igual al arco de circunferencia del círculo osculador que contiene a los puntos.
El centro del círculo osculador es el centro de curvatura del arco y su radio el radio de curvatura.
78.(a)¿Cómo se encuentra la velocidad, la rapidez, y la aceleración de una partícula que se desplaza a lo largo de una curva espacial?
RESPUESTA: Sea C una curva en el espacio descrita por r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k, en donde f, g, h tienen segundas derivadas. Si | r ' (t) | no es cero en un punto P de C, definimos el vector tangente unitario en P mediante T (t) = r ' (t) / | r ' (t) |
Ahora bien, la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de C se definió anteriormente como V (t) = r ' (t), y la rapidez v = | r ' (t) | y por lo tanto,
V (t) = v T (t)
En donde V es un vector y v es un escalar (la magnitud de V), la rapidez.
La aceleración se definió como 
Derivando la expresión anterior para la velocidad obtenemos:
En donde son vectores y, 
(b) escriba la aceleración en términos de sus componentes tangencial y normal 
RESPUESTA:: El vector aceleración es 
Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente
Como la velocidad es un vector. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad (aceleración tangencial), la dirección de la velocidad (aceleración normal) o ambas cosas a la vez.
79.Exprese las leyes de Kepler 
RESPUESTA: Entre 1609 y 1619 Kepler (1571-1630) formuló tres leyes sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol, que son generalizables al movimiento elíptico de cualquier cuerpo sometido al campo gravitatorio de otro. Kepler había pasado una gran parte de su vida tratando de comprender
cómo se mueven los planetas, intuyendo que debían seguir algún tipo de ley. Por otra parte, el astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) había acumulado un conjunto amplio de observaciones sistemáticas de dichos movimientos. Después de la muerte de Tycho, su familia le facilitó estos datos a Kepler, que realizó un importante trabajo de síntesis para formular sus tres leyes:
	Primera Ley (1609): Los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.
	
	Segunda Ley (1609): El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (tal como ilustra la animación Modellus adjunta). Esto concuerda con el hecho de que el movimiento es más rápido en la zona en la que el planeta pasa más cerca del Sol, alrededor del perihelio, y más lento en la zona opuesta, alrededor del afelio).
	
	Tercera Ley (1619): Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.
Comprobación de conceptos 
80.(a) ¿Qué es una función de dos variables?
RESPUESTA:Una función real f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y), un único número real f(x, y).
(b) Describa tres métodos para visualizar una función de dos variables.
RESPUESTA:Una forma de visualizar el comportamiento general de una función de dos variables es mediante la representación de su gráfica.
Otra forma de visualizar una función de dos variables f(x, y) es mediante su representación gráfica en el espacio como las curvas de nivel
81.¿Qué es una función de tres variables? ¿Cómo se puede visualizar una de estas funciones?
RESPUESTA:Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de funció76Yn; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
 g (x1, x2, x3) un campo vectorial de tres variables y dimensión cuatro. 
Existen situaciones del mundo real que se estudian mediante funciones de este tipo. Así, la función que a cada punto (x, y,z) de una habitación con calefacción le hace corresponder su temperatura es un campo escalar de tres variables. Y la función que a cada punto (x, y,z) de una sala ventilada le hace corresponder un vector que representa la velocidad del aire (en magnitud y dirección) en dicho punto es un campo vectorial de dimensión tres y tres variables.
82.¿Qué significa? 
RESPUESTA: significa El límite para una función de dos variables
 ¿Cómo se puede demostrar que no existe este ?
RESPUESTA: para que exista el límite de una función, debe aproximarse al mismo valor desde cualquier dirección en la que x se aproxime a a. Ya sea que x se acerque por la derecha de a o por la izquierda de a, la función debe acercarse al mismo valor. Esta idea es la misma con funciones de dos variables. Las cosas se vuelven un poco más complejas. En funciones de dos variables, podemos acercarnos desde cualquier camino en el plano xy .