261-Calculo-Vectorial

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
Calculo Vectorial
Ingeneiro Lagos
Ejercicios 14.3 Definiciones 
1. La cicloide
Conviene comenzar con el caso más sencillo que es el de la cicloide, cuyo nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo’, junto con el sufijo , que quiere decir 'semejante a’. Imagine el lector que un círculo, de radio b, se hace rodar, sin que se resbale, sobre una línea recta y que en el borde del círculo hay un punto que se destaca. Pues bien, la cicloide es la curva que traza tal punto en el plano del movimiento del círculo. Esta definición puede parecer muy complicada, pero resulta fácil de entender mediante el siguiente programa de animación en el que el lector puede graduar a su gusto el valor de la constante b arrastrando con el ratón el pequeño cuadro naranja.
Ecuaciones paramétricas de la cicloide.
No es muy difícil obtener unas ecuaciones paramétricas que representen la cicloide. Para que las cosas resulten sencillas conviene considerar que el círculo rueda hacia la derecha sobre el eje x y que el punto que sirve para trazar la cicloide está situado inicialmente en el origen de las coordenadas, tal como sucede en el programa de animación anterior (Programa 1). En la figura de la derecha (Figura 2) se ha representado la situación que se produce un poco después de que el círculo ha empezado a rodar. Lo más natural es escoger como parámetro la medida t en radianes del ángulo , pues ésta corresponde al ángulo de rotación del círculo. Así que nuestro problema se reduce a expresar las coordenadas  del punto P en función de to, dicho de otro modo, hallar una función de trayectoria  tal que .
La observación crucial que hay que hacer al respecto es que la medida del segmento de recta OR, en azul en la Figura 2, es igual a la medida del arco PR, también en azul, puesto que el círculo rueda sin resbalarse. Ahora bien, la medida del arco PR es bt, de manera que tenemos:
Ahora bien,   y  , con lo llegamos a las ecuaciones buscadas:
Hay algo que explicar en esta parametrización. Si se mira bien, estas ecuaciones pueden verse como el resultado de sumar dos pametrizaciones distintas, pues el punto  puede ponerse en la forma:
Figura 2: Parametrización de la cicloide.
Es decir que  donde  y . 
El primer término de esta suma es . Aparece representado en verde en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria de un punto que se mueve hacia la derecha a lo largo de la recta horizontal , comenzando en el punto  para cuando . Por cada unidad de t el punto se mueve  hacia la derecha. Por otro lado, el segundo término de la suma es . Aparece en azul en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia con centro en  y radio b en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto , para cuando . Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj mientras el centro de la circunferencia se mueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la cicloide. En la gráfica siguiente (Figura 4) se han anotado algunos de los puntos por los que pasa la cicloide y junto a ellos, en rojo, el valor del parámetro t que les corresponde.
Figura 3: La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias.
Propiedades de la cicloide.
Examinemos en primer lugar las tangentes de la cicloide. Para esto calculemos
que es una función de t. En la Figura 5 aparece en color rojo la gráfica de esta función junto con la cicloide que se ha sobrepuesto en azul. Es claro que las tangente son horizontales cuando , esto es, cuando  y , lo que ocurre en todos los valores de t de la forma  para . Esto se muestra en la Figura 6 mediante unos segmentos de tangente dibujados en azul. 
Por otro lado, el denominador  para todo  (  ) y en estos valores de t el numerador . Por lo tanto la cicloide no es diferenciable en los puntos de la forma  con . Sin embargo, en la Gráfica 5 se ve que
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Figura 5: En rojo, la derivada
 . En azul, la cicloide
Esto significa que las tangentes a la cicloide en los puntos  (  ) son verticales como lo muestran los segmentos dibujados en azul en la Figura 6. Estos límites se pueden calcular con la regla de L’Hôpital así:
Figura 6: Tangentes de la cicloide.
Pasemos ahora a calcular el área bajo un arco de la cicloide. Es claro que el primer arco de la cicloide se produce cuando los valores de t están entre 0 y , puesto que la rueda necesita dar una vuelta completa para trazarlo (Figura 7). Así pues, el área bajo un arco de la cicloide está dada por:
Es interesante este resultado pues nos dice que el área bajo el arco de la cicloide es tres veces la del círculo que rueda para generar la cicloide. Fue Galileo el primero que conjeturó que esto debía ser así, aunque no lo pudo demostrar, y fueron Roberval en Francia y Torricelli en Italia los que lo probaron por primera vez.
Figura 7: Área bajo un arco de la cicloide.
Finalmente (Figura 8), en cuanto a la longitud de un arco de cicloide tenemos:
Figura 8: Longitud de un arco de la cicloide.
Las anteriores son algunas de las propiedades elementales de la cicloide. En cuanto a las propiedades avanzadas digamos que esta curva es la solución de dos antiguos problemas de física: el de la braquistócrona y el de la tautócrona. El primero de ellos consiste en hallar la curva a lo largo de la cual una partícula rodará en el menor tiempo posible bajo la influencia de la gravedad desde un punto A hasta un punto B situado en una posición más baja. Fue el matemático suizo Jean Bernoulli quien en 1696 formuló por primera vez este problema y quien años más tarde lo resolvió: una partícula tomará el menor tiempo posible al deslizarse desde un punto A hasta un punto más bajo B, bajo la influencia de la gravedad, si sigue en su trayectoria la forma de un arco invertido de cicloide. Además la partícula gastará el mismo tiempo en llegar al punto más bajo del arco invertido de la cicloide sin importar desde qué altura se suelte. Este es el segundo problema, el de la tautócrona, y fue resuelto por el físico alemán Huygens. Ambos problemas se estudian en un área de las matemáticas que se conoce con el nombre de cálculo de variaciones.
 2. Las trocoides
 Las trocoides, cuyo nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, se producen de una manera muy similar a la cicloide: un círculo, de radio b, se hace rodar, sin que se resbale, sobre una línea recta. Pero, a diferencia de la cicloide, el punto que se emplea para trazar la trocoide no está situado en el borde del círculo sino a una distancia c de su centro. Esto resulta fácil de entender mediante el siguiente programa de animación en donde el lector puede graduar a su gusto tanto el valor de la constante b  como el de la constante c arrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja. Observe que si  la trocoide tiene lazos y se interseca consigo misma, pero que esto no pasa si . Además advierta que la cicloide es un caso particular de trocoide, el que se produce cuando . Por último, observe que la trocoide se convierte en una línea horizontal cuando .
Ecuaciones paramétricas de la trocoide.
 Para obtener las ecuaciones paramétricas de la trocoide se puede utilizar el mismo argumento  que se utilizó cuando se establecieron las ecuaciones paramétricas de la cicloide. La trayectoria que sigue punto cualquiera  de la trocoide es el resultado de sumar dos trayectorias:
.
El primer término de esta suma será como antes  y corresponde al movimiento del centro del círculo con radio b que se mueve hacia la derecha a lo largo de la recta horizontal, comenzando en el punto  paracuando . Por cada unidad de t, el punto se mueve , pues el círculo rueda sobre el eje x sin resbalarse. En la Figura 1 este movimiento aparece representado en verde.
 
Por otro lado, el segundo término de la suma será . Aparece en azul en la Figura 1 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia con centro en  y radio c en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto , para cuando . Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj, mientras el centro de la circunferencia se mueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la trocoide. De esta manera, las ecuaciones paramétricas de la trocoide son:
Figura 1: Parametrización de la trocoide.
Por otro lado, el segundo término de la suma será . Aparece en azul en la Figura 1 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia con centro en  y radio c en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto , para cuando . Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj, mientras el centro de la circunferencia se mueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la trocoide. De esta manera, las ecuaciones paramétricas de la trocoide son:
En la gráfica siguiente (Figura 2) se han anotado algunos de los puntos por los que pasa la trocoide y junto a ellos, en rojo, el valor del parámetro t que les corresponde. En (a) aparece el caso  en el que la trocoide tiene lazos y en (b) el caso  en el que no.
 
 
	
 
(a) 
 
	
(b)  
 
Figura 2:  Sobre la gráfica de la trocoide se muestran en rojo algunos valores 
del parámetro t y en negro los puntos que les corresponden.
 
La hipotrocoide
La hipotrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse dentro de un círculo más grande y fijo de radio a.  Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición  que significa ‘debajo de. Se entiende entonces que . El lector puede entender fácilmente cómo se produce esta curva mediante el programa de animación situado a la derecha en donde se pueden graduar a voluntad los valores de las constantes a, b y c arrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja.
La forma particular de una hipotrocoide depende de los valores de estas constantes y basta con hacer algunas pruebas para darse cuenta de que la combinación de estos valores da lugar a una variedad casi inagotable de configuraciones. Por ejemplo, la hipotrocoide puede ser semejante a una flor, como con ,  y , pero puede tener más bien la forma de un anillo o un aro como con ,  y . También puede parecerse a una estrella como con ,  y . Por otro lado, la hipotrocoide puede cerrarse después de dar muchas vueltas como con ,  y  o puede cerrarse después de pocas vueltas como con ,  y .
En el caso  el punto que traza la hipotrocoide está situado en el borde del círculo móvil que rueda dentro del círculo fijo y por lo tanto la curva presenta los picos característicos de una cicloide. Por eso se prefiere en esta situación llamarla  . Un caso especial de hipocicloide se produce cuando . Se trata de una conocida curva parecida a una estrella de cuatro puntas que se llama astroide en la literatura matemática. El lector puede construirla graduando por ejemplo los valores de las constantes así: ,  y . Pero ahora, si se toma,  ¡el resultado es un segmento de recta!
Ecuaciones paramétricas de la trocoide.
 Para obtener las ecuaciones paramétricas de la hipotrocoide comencemos por poner el origen de los ejes coordenados en el centro del círculo grande y fijo, tal como se ve en la Figura 1. La posición del punto  que se emplea para trazar la trocoide es el resultado de sumar la posición del centro P del círculo pequeño y móvil respecto del origen de las coordenadas O, posición que está dada por el vector  y la posición del punto Q respecto del centro P del círculo pequeño, que está dada por el vector . De esta manera, tenemos:
.
Ahora bien, como el radio del círculo grande es a y el radio del círculo pequeño es b, entonces:
.
Consideremos en segundo lugar la posición del punto  en relación al centro del círculo pequeño que rueda. Como este punto está a una distancia c de P y como el sentido del movimiento es negativo, entonces:
.
 
Figura 1: Parametrización de la hipotrocoide.
Busquemos ahora la relación entre los ángulos t y s. Como el círculo pequeño rueda dentro del grande sin resbalarse, tenemos que la medida del arco  es igual a la medida del arco . Pero:
Por lo tanto,  y si despejamos s, tenemos: .
Combinando todo lo anterior, llegamos a las ecuaciones buscadas que son:
La epitrocoide
La epitrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse por fuera de un círculo fijo de radio a.  Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición   que significa ‘encima de’. El lector puede entender fácilmente cómo se produce esta curva mediante el programa de animación situado a la derecha en donde se pueden graduar a voluntad los valores de las constantes a, b y carrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja.
Las epitrocoides, como la hipotrocoides, también forman un universo de una gran variedad. Basta con hacer algunas pruebas con los valores de las constantes a, b y c para caer en cuenta de ello. A veces tienen formas floreadas como con ,  y . Otras veces tienen forma de anillo o de aro como con ,  y . A veces se cierran después dar muchas vueltas como con ,  y  mientras que otras se cierran después de pocas vueltas como con ,  y . Además pueden comenzar con un largo espiral como con  ,  y .
En los casos en que , ,  y otros semejantes, se obtienen formas muy simpáticas y, por supuesto, cuando  aparecen las características puntas de la cicloide por lo que se prefiere hablar en esta situación de epicicloide.
Ecuaciones paramétricas de la epitrocoide.
Para obtener las ecuaciones paramétricas de la epitrocoide podemos proceder de manera muy semejante a como hicimos para obtener las de la hipotrocoide. Comencemos por poner el origen de los ejes coordenados en el centro del círculo fijo, tal como se ve en la Figura 1, en la que se representa la situación que se produce poco después de que el círculo móvil comienza a girar. La posición del punto  que se emplea para trazar la epitrocoide es el resultado de sumar la posición del centro P del círculo móvil respecto del origen de las coordenadas O, posición que está dada por el vector  y la posición del punto Q respecto del centro P del círculo pequeño, que está dada por el vector . De esta manera, tenemos:
.
Ahora bien, como en este caso el círculo móvil de radio b rueda por fuera del círculo fijo de radio a, entonces:
.
Consideremos en segundo lugar la posición del punto  en relación al centro P del círculo pequeño que rueda, es decir el vector . Como el punto Q está a una distancia c de Py como el ángulo está retrazado en  radianes, tenemos:
.
Figura 1: Parametrización de la epitrocoide.
Busquemos ahora la relación entre los ángulos t y s. Como el círculo móvil rueda por fuera del círculo fijo sin resbalarse, tenemos que la medida del arco  es igual a la medida del arco . Pero:
Por lo tanto,  y despejando s llegamos a: .
Combinando todo lo anterior, llegamos a las ecuaciones buscadas que son: