343367182-TRABAJO-Electricidad-y-Magnetismo

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA ELECTRICA
CLASE “ELECRTRICIDAD Y MAGNETSIMO”
TRABAJO
TEMA: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
GRUPO:8510
NOMBRE DEL PROFESOR: RODOLFO ZARAGOZA BUCHAIN
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: NOVIEMBRE DEL 2022
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se hablará acerca de los primeros cuatro subtemas de la unidad 1 electrostática de la materia electricidad y magnetismo.
La electricidad y el magnetismo están estrechamente relacionados y son tema de gran importancia en la física. Usamos electricidad para suministrar energía a las computadoras y para hacer que los motores funcionen. El magnetismo hace que un compás o una brújula apunte hacia el norte. Sin radiación electromagnética viviríamos en la obscuridad pues la luz es una de sus muchas manifestaciones.
INDICE
PRESENTACION	1
INTRODUCCION	2
INDICE	3
DESARROLLO
-LEY DE COULOMB	4
-CAMPO ELECTRICO	9
-MOVIMIENTOS DE CARGAS EN CAMPOS ELECTRICOS	18
-LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO	24
BIBLIOGRAFIA	34
LEY DE COULOMB
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario.
La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas.
Se nombra en reconocimiento del físico francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), que la enunció en 1785 y forma la base de la electroestática. 
DESARROLLO DE LA LEY
Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas o positivas.
Variación de la fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales en función de la distancia.
En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.
Dichas mediciones permitieron determinar que:
· La fuerza de interacción entre dos cargas  y  duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas:
       y       
en consecuencia:
  
· Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
  
Asociando ambas relaciones:
  
Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:
ENUNCIADO DE LA LEY
La ley de Coulomb es válida solo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática.
En términos matemáticos, la magnitud  de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales  y  ejerce sobre la otra separada por una distancia  se expresa como:
Dadas dos cargas puntuales  y  separadas una distancia  en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:
La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:
donde  es un vector unitario, siendo su dirección desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.
Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, según sean estas positivas o negativas.
El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma , entonces .
Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.
Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre  y . La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.
CONSTANTE DE COULOMB
La constante  es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI es  Nm²/C².
A su vez la constante  donde  es la permitividad relativa, , y  F/m es la permitividad del medio en el vacío. Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material. La ecuación de la ley de Coulomb queda finalmente expresada de la siguiente manera:
	
La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente  y su resultado será en sistema MKS (). En cambio, si las unidades de las cargas están en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma  y su resultado estará en las unidades CGS ().
Potencial de Coulomb
La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce en todo el espacio la aparición de un campo de fuerzas que decae según la ley de la inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a varias cargas eléctricas puntuales estáticas puede usarse el principio de superposición dada la aditividad de las fuerzas sobre una partícula. Sin embargo, matemáticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar a ser complicado, por lo que frecuentemente resulta más sencillo definir un potencial eléctrico. Para ello a una carga puntual  se le asigna una función escalar o potencial de Coulomb  tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:
De la ley de Coulomb se deduce que la función escalar que satisface la anterior ecuación es:
Donde:
, es el vector posición genérico de un punto donde se pretende definir el potencial de Coulomb y
, es el vector de posición de la carga eléctrica  cuyo campo pretende caracterizarse por medio del potencial.
LIMITACIONES DE LA LEY DE COULOMB
· La expresión matemática solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y para casos estáticos más complicados de carga necesita ser generalizada mediante el potencial. El campo eléctrico creado por una distribución de carga dada por 
· Cuando las cargas eléctricas están en movimiento es necesario reemplazar incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector de Liénard-Wiechert, especialmente si las velocidades de las partículas son cercanas a la velocidad de la luz.
· Para cargas a distancias pequeñas (del orden del tamaño de los átomos), la fuerza electrostática efectiva debe ser corregida por factores cuánticos. Para campos muy intensos puede ocurrir el fenómeno de la creación espontánea de pares de partícula-antipartícula que requieren corregir el campo para distancias muy cortas.
CAMPO ELECTRICO
El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica.1 Se describe como un campo vectorial en el cual una eléctrica puntual de valor  sufre los efectos de una fuerza eléctrica  dada por la siguiente ecuación:
(1)
En los modelos relativistas actuales, el campo eléctricose incorpora, junto con el campo magnético, en campo tensorialcuadridimensional, denominado campo electromagnético Fμν.2
Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como en campos magnéticos variables. Las primeras descripciones de los fenómenos eléctricos, como la ley de Coulomb, solo tenían en cuenta las cargas eléctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell permitieron establecer las leyes completas en las que también se tiene en cuenta la variación del campo magnético.
Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino que lo que es observable es su efecto sobre alguna carga colocada en su seno. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción en el año 1832.
La unidad del campo eléctrico en el SI es Newton por Culombio (N/C), Voltio por metro (V/m) o, en unidades básicas, kg·m·s−3·A−1 y la ecuación dimensional es MLT-3I-1.
La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues, podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, esta experimentará una fuerza.
El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).
La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación, se describen ambas.
Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas" del campo electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido dependerá del sistema de referencia escogido.
DEFINICIÓN MEDIANTE LA LEY DE COULOMB
Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en dirección radial  por una distribución de carga  en forma de diferencial de línea (), lo que produce un campo eléctrico .
Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:
Donde:
 es la permitividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema internacional,
 son las cargas que interactúan,
 es la distancia entre ambas cargas,
, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.
y  es el unitario en la dirección . Nótese que en la fórmula se está usando , esta es la permitividad en el vacío. Para calcular la interacción en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. ()
La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante dado, hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de partículas parece depender solo de la posición de la partícula causante sin importar la distancia entre las partículas se denomina en física acción. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos más cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha noción como no-realista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no solo era un artificio matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y dotar de entidad física al campo eléctrico. Así, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando este solo depende de la distancia entre las cargas:
Donde claramente se tiene que , la que es una de las definiciones más conocidas acerca del campo eléctrico. Para una distribución continua de cargas el campo eléctrico viene dado por:
DEFINICIÓN FORMAL
La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético. Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial  definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:
(1)
donde  es el potencial escalar y  es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:
(2)
donde  es la carga de la partícula,  es su masa y  la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que , donde  es el diferencial de la posición definida  y  es la velocidad de la partícula, se obtiene:
(3)
El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:
(4)
De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:
(5)
La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como  donde  es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.
DESCRIPCION DEL CAMPO ELECTRICO
Matemáticamente un campo se describe mediante dos de sus propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de Gauss y la de su rotacional es la ley de Faraday.
Ley de Gauss
Para conocer una de las propiedades del campo eléctrico se estudia qué ocurre con el flujo de este al atravesar una superficie. El flujo de un campo  se obtiene de la siguiente manera:
(8)
donde  es el diferencial de área en dirección normal a la superficie. Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una superficie cerrada se encuentra que:
(9)
donde  es la carga encerrada en esa superficie. La ecuación (9) es conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es:
(10)
donde  es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que el campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.
Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría dirigido hacia la otra carga.
Ley de Faraday
En 1821, Michael Faraday realizó una serie de experimentos que lo llevaron a determinar que los cambios temporales en el campo magnético inducen un campo eléctrico. Esto se conoce como la ley de Faraday. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a través de un diferencial de línea está determinado por:
(11)
donde el signo menos indica la Ley de Lenz y  es el flujo magnético en una superficie, determinada por:
(12)
reemplazando (12) en (11) seobtiene la ecuación integral de la ley de Faraday:
(13)
Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial:
(14)
La ecuación (14) completa la descripción del campo eléctrico, indicando que la variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico.
Expresiones del campo eléctrico
Campo electrostático (cargas en reposo)
Un caso especial del campo eléctrico es el denominado electrostático. Un campo electrostático no depende del tiempo, es decir es estacionario. Para este tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a que esta no tiene ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuación (13) y (14) no tiene sentido, por lo que se anula:
(15)
Esta ecuación junto con (10) definen un campo electrostático. Además, por el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una función escalar , conocida como potencial eléctrico:
(16)
La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo eléctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposición a este tipo de campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la suma vectorial de sus campos individuales:
(17)
entonces
(18)
Líneas de campo
Líneas de campo eléctrico correspondientes a cargas iguales y opuestas, respectivamente.
Un campo eléctrico estático puede ser representado geométricamente con líneas tales que en cada punto el campo vectorial sea tangente a dichas líneas, a estas líneas se las conoce como "líneas de campo". Matemáticamente las líneas de campo son las curvas integrales del campo vectorial. Las líneas de campo se utilizan para crear una representación gráfica del campo, y pueden ser tantas como sea necesario visualizar.
Las líneas de campo son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo, de manera que su tangente geométrica en un punto coincide con la dirección del campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss, es decir encontramos que la mayor variación direccional en el campo se dirige perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los que el campo eléctrico es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce como superficies equipotenciales, son aquellas donde el potencial tiene el mismo valor numérico. En el caso estático al ser el campo eléctrico un campo irrotacional las líneas de campo nunca serán cerradas (cosa que sí puede suceder en el caso dinámico, donde el rotacional del campo eléctrico es igual a la variación temporal del campo magnético cambiada de signo, por tanto, una línea de campo eléctrico cerrado requiere un campo magnético variable, cosa imposible en el caso estático).
En el caso dinámico pueden definirse igualmente las líneas solo que el patrón de líneas variará de un instante a otro del tiempo, es decir, las líneas de campo al igual que las cargas serán móviles.
Campo electrodinámico (movimiento uniforme) 
El campo eléctrico creado por una carga puntual presenta isotropía espacial, en cambio, el campo creado por una carga en movimiento tiene un campo más intenso en el plano perpendicular a la velocidad de acuerdo a las predicciones de la teoría de la relatividad. Esto sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que se mueve con velocidad uniforme la distancia en la dirección del movimiento de la carga serán menores que las medidas por un observador en reposo respecto a la carga, por efecto de la contracción, suponiendo que la carga se mueve a lo largo del eje X de observador tendríamos la siguiente relación de coordenadas entre lo medido por el observador en movimiento respecto a la carga  y el observador en reposo respecto a la carga :
Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, así la distancia efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a la carga cumplirá que:
Y por tanto el campo eléctrico medido por un observador en movimiento respecto a la carga será:
(19)
Donde  es el ángulo formado por el vector de posición del punto donde se mide el campo (respecto a la carga) y la velocidad del movimiento. De esta última expresión se observa que si se considera una esfera de radio r alrededor de la carga el campo es más intenso en el "ecuador", tomando como polos norte y sur la intersección de la esfera con la trayectoria de la partícula, puede verse que el campo sobre la esfera varía entre un máximo  y un mínimo  dados por:
(20)
Esta pérdida de simetría esférica es poco notoria para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada a velocidades cercanas a la luz.
Campo electrodinámico (movimiento acelerado) 
El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si además de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a un observador inercial. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en movimiento viene dado por:
(21)
El primer miembro solo depende de la velocidad y coincide con el campo eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R2 y, por tanto, no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la aceleración  y tiene una variación 1/R que representa la intensidad decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que las cargas en movimiento acelerado emiten radiación.
Energía del campo eléctrico
Un campo en general almacena energía y en el caso de cargas aceleradas puede transmitir también energía (principio aprovechado en antenas de telecomunicaciones). La densidad volumétrica de energía de un campo eléctrico está dada por la expresión siguiente:1
(22)
Por lo que la energía total en un volumen V está dada por:
(23)
donde  es el diferencial de volumen.
MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELECTRICOS
Movimiento en un campo eléctrico
Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico Fe=q·E.
· Si la carga es positiva, experimenta una fuerza en el sentido del campo
· Si la carga es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al campo
Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración. Aplicando las ecuaciones del movimiento, obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia
a=qEm  v=v0+at  x=v0t+12at2a=qEm  v=v0+at  x=v0t+12at2
De forma alternativa, podemos aplicar el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo
La energía potencial q(V'-V) se transforma en energía cinética. Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x. En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex.
q(V'−V)=12mv2−12mv20q(V'−V)=12mv2−12mv02
El generador de Van de Graaff se emplea para acelerar partículas. En el terminal esférico del generador se producen iones positivos que son acelerados a lo largo de un tubo en el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial existente entre la esfera cargada y tierra.
Movimiento en un campo magnético
Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm=q·v×B. El resultado de un producto vectorial es un vector de
· módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido qvB sinθ
· dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad v y campo B.
· y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos. Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial v×B, como en la figura izquierda. Si la carga es negativa el sentido de la fuerza es contrario al del producto vectorial v×B, figura de la derecha
	
	
Una partícula cargada describe órbita circular en un campo magnético uniforme. El radio de dicha órbita, se obtiene a partir dela ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.
Fm=mv2r  qvB=mv2r  r=mvqBFm=mv2r  qvB=mv2r  r=mvqB
Estudiaremos en esta página y las que siguen, varias situaciones en las que una partícula cargada positiva o negativa se mueve en una región donde existe un campo eléctrico, un campo magnético, o un campo eléctrico y magnéticos cruzados (perpendiculares entre sí).
Movimiento en un campo eléctrico y magnéticos cruzados
En este apartado, vamos a practicar con las fuerzas que ejercen un campo magnético y un campo eléctrico sobre partículas cargadas en movimiento.
El campo eléctrico está creado por las dos placas de un condensador plano-paralelo que distan d y tienen una longitud L, su sentido es de la placa positiva (color rojo) a la negativa (color azul).
El campo magnético es perpendicular al plano de la página, es positivo cuando apunta hacia dentro (color azul claro) y es negativo cuando apunta hacia fuera (color rosa).
1. Desviación nula de la partícula
Una carga eléctrica se mueve con velocidad v0 desconocida a lo largo del eje horizontal X. Buscaremos las intensidades y los sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen que la partícula se mueva a lo largo del eje X sin desviarse.
· El campo eléctrico ejerce una fuerza  Fe=q·E
· El campo magnético ejerce una fuerza Fm=q·v×B.
Las partículas no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.
Fe=Fm  qE=qvB  v=EBFe=Fm  qE=qvB  v=EB
Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cuya velocidad sea igual cociente E/B.
En la figura, se muestran algunas configuraciones del campo eléctrico y magnético sobre cargas positivas o negativas que producen fuerzas en sentido contrario.
 
2. Movimiento bajo la acción del campo eléctrico
Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula está bajo la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador. Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y, y la partícula se mueve inicialmente a lo largo del eje X, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán semejantes a las del tiro parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad)
ax=0  vx=v0  x=v0tay=qEm  vy=ayt  y=12ayt2ax=0  vx=v0  x=v0tay=qEm  vy=ayt  y=12ayt2
Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será
y=12qEm(Lv0)2y=12qEm(Lv0)2
Puede ocurrir que la partícula choque con las placas del condensador. La posición x de impacto se calcula poniendo y=d/2, siendo d la distancia entre las placas del condensador.
x=v0mdqE−−−−√x=v0mdqE
3. Movimiento bajo la acción de un campo magnético
En esta región, la partícula experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por el producto vectorial Fm=q·v×B,  y cuyo módulo es Fm=q·vB.
Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos el radio de la circunferencia que describe.
 r=mv0qB r=mv0qB
La partícula cargada describe un arco de una circunferencia hasta que choca con alguna de las placas del condensador.
Si d es la separación entre las placas. El punto de impacto x, tal como se aprecia en la figura, se calcula del siguiente modo
r−d2=rcosθ  x=rsinθr−d2=rcos⁡θ  x=rsin⁡θ
Si el radio r es suficientemente grande, la partícula saldría entre las placas del condensador. Su desviación y se calcularía del siguiente modo
L=rsinθ  y=r−rcosθL=rsin⁡θ  y=r−rcos⁡θ
Ejemplo:
Datos de la partícula
· carga q=1.6·10-19 C
· masa m=1.67·10-27 kg
· campo eléctrico E=2000 N/C
· velocidad de la partícula 2·105 m/s
Observamos que para B=-100 gauss=-100·10-4 T, la partícula no se desvía. Su velocidad es
v0=2000100⋅10−4=2⋅105 m/sv0=2000100·10−4=2·105 m/s
2. Suprimimos el campo magnético, la desviación que experimenta la partícula debido a la acción del campo eléctrico al final del condensador es
x=v0mdqE−−−−√  x=2⋅1051.67⋅10−27⋅0.11.6⋅10−19⋅2000−−−−−−−−−−−−−−√=14.4 cmx=v0mdqE  x=2·1051.67·10−27·0.11.6·10−19·2000=14.4 cm
3. Suprimimos el campo eléctrico y restauramos el campo magnético B=-100 gauss
El radio de la órbita circular que describe la partícula es
 r=mv0qB  r=1.67⋅10−27⋅2⋅1051.6⋅10−19⋅100⋅10−4=20.87 cm r=mv0qB  r=1.67·10−27·2·1051.6·10−19·100·10−4=20.87 cm
La posición x de la partícula al chocar con la placa inferior es
20.87-5=20.87·cosθ,  θ=40.5º
x=20.87·sinθ=13.56 cm
LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO
En física la ley de Gauss, también conocida como teorema de Gauss, establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de la misma superficie. Estos campos son aquellos cuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.
Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga eléctrica y la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campo magnetostático.
La ley fue formulada por Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que forman la base de electrodinámica clásica (las otras tres son la ley de Gauss para el magnetismo, la ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère con la corrección de Maxwell. La ley de Gauss puede ser utilizada para obtener la ley de Coulomb, y viceversa.
FLUJO DEL CAMPO ELECTRICO
Flujo eléctrico a través de una superficie elipsoidal.
El flujo (denotado como ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo () se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la superficie y hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera,  puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
 y  caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo  entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
(1)
O sea:
(2)
Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme
Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.
Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme  tal como muestra la figura:
El flujo  puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:
(3)
Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de ,  tiene un valor constante y los vectores son todos paralelos.
Entonces:
(4)
siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:
(5)
Finalmente, para la superficie cilíndrica:
(6)
Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro.
(7)
Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior
Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico  es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:
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Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb
Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.
La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del conceptode ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.
El ángulo sólido  que es subtendido por  sobre una superficie esférica, se define como:
siendo  el radio de la esfera.
como el área total de la esfera es  el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:
la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)
Si el área  no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a , se busca la proyección normal, que es:
Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar  para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:
De esta manera  es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba  para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:
que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss.
Forma diferencial de la ley de Gauss
Tomando la ley de Gauss en forma integral.
Aplicando al primer término el teorema de Gauss de la divergencia queda
Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:
Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico , de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como
Finalmente es de esta forma en que la ley de Gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.
Forma integral de la ley de Gauss
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:
donde  es el flujo eléctrico,  es el campo eléctrico,  es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral,  es la carga total encerrada dentro del área A,  es la densidad de carga en un punto de  y  es la permitividad eléctrica del vacío.
INTERPRETACIÓN
La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones.
Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcional a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.
Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.
Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.
Distribución lineal de carga
Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el campo en coordenadas cilíndricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la ley de Gauss:
Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemos sustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de la superficie lateral también es radial).
Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:
Distribución esférica de carga
Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r:
Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:
Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando apropiadamente:
Como se demostró en una sección anterior  y teniendo en cuenta que según la ley de Gauss , se obtiene:
Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:
	
Y para puntos exteriores:
	
En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntos interiores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficie gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna.
LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETOSTÁTICO
Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como
Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.
En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como
donde  densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday
CASO GARVITACIONAL
Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe
	
	
siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.
Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espacio-tiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).
BIBLIOGRAFIA
https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulomb
https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/elecmagnet/movimiento/mov_campo/mov_campo.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss
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