Electrostatica en el vacio

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ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
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Die Rose ist ohne warum; sie blühet weil sie blühet. 
Angelus Silesius 
 
 
 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
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LA ELECTROSTÁTICA estudia la interacción entre cargas eléctricas en reposo. Esta parte de la física tiene su 
origen en la ley de Coulomb. 
 
 
1. Carga eléctrica 
La carga eléctrica es una propiedad de la materia que se manifiesta con la existencia de una interacción, denominada 
fuerza eléctrica, entre cuerpos que la poseen. Este atributo se puede inferir mediante el experimento de frotamiento 
entre objetos. Cuando una varilla de ebonita frotada con lana se suspende de una cuerda de forma que pueda girar y se 
le acerca otra segunda barra de ebonita sometida al mismo proceso, se observará que la primera gira alejándose de la 
segunda; también se podrá observar que al aproximar una varilla de vidrio frotada con seda, la fuerza entre las barras 
será ahora de atracción. Esta interacción, sin embargo, no se presenta con varillas que no fueron sometidas al proceso 
de frotamiento. 
Debido a que la interacción eléctrica puede ser de atracción o de repulsión, se infiere que existen dos tipos de carga, 
denominadas positiva y negativa, y la materia ordinaria contiene aproximadamente la misma cantidad de cada una. 
Experimentalmente se ha demostrado que existe un principio de conservación de la carga, es decir, que la carga no se 
crea ni se destruye. Macroscópicamente, las cargas se pueden reagrupar y combinar en distintas formas, sin embargo, la 
carga neta se conserva en un sistema aislado. Particularmente, antes y después del proceso de frotamiento entre 2 
objetos, la suma de cargas de los dos cuerpos es aún la misma. Por ejemplo, en el caso de la ebonita y la lana, los 
electrones se transportan de la lana a la ebonita, quedando la ebonita cargada negativamente y la lana positivamente. 
En el vidrio y la seda, el primero se carga positivamente y el segundo negativamente. 
Otra propiedad de la carga eléctrica es que está cuantizada, es decir, toda carga Q presente en la naturaleza es múltiplo 
solamente de la carga e del electrón: ,enQ = siendo n un número entero. 
 
Nota. 
1. Las fuerzas eléctricas determinan en gran parte las propiedades físicas y químicas de la materia. 
2. La unidad de medida de la carga eléctrica en el sistema internacional es el Coulomb, este se denota por la 
letra C y equivale a la carga de 181024.6 × electrones. 
 
 
2. Fuerza eléctrica 
2.1 Ley de Coulomb 
Charles A. Coulomb mostró experimentalmente (en 1785) que la fuerza entre dos cargas puntuales* en reposo tiene las 
siguientes características: 
� Es directamente proporcional al producto de las cargas. 
� Es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia de separación. 
� Se dirige a lo largo de la línea de unión de las cargas. 
� Es atractiva si las cargas son opuestas y repulsiva en caso contrario. 
 
 
 
 
 2q 
 
→
2r 
→→
− 21 rr 
 1q 
 
→
1r 
 
 
 
Figura 1. 
 
Si 1q y 2q se encuentran en la posición 
→
1r y 
→
2r respectivamente (Fig. 1), 
la fuerza sobre la carga 1q debida a 2q es: 
 
3|| 21
21
2112 →→
→→
→
→
−
−
=
rr
rr
qqkF , [ ]N (1a) 
 
donde k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de 
unidades empleado. En el sistema internacional de unidades (SI) tiene un 
valor de 2
291099.8
C
mN⋅× y suele escribirse como: 
04
1
επ
=k , siendo 
2
212
0 1085.8 mN
C
⋅
−×≅ε la constante denominada permitividad del vacío. 
 
* Macroscópicamente son cargas cuyas dimensiones espaciales son pequeñas comparadas con la distancia entre ellas. 
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2.2 Principio de superposición 
Experimentalmente se ha verificado que la fuerza total ejercida sobre una carga debida a la presencia de otras cargas es 
el vector suma de las fuerzas de Coulomb que cada una de estas ejerce sobre la primera. 
 
Si se considera un sistema de N cargas, ,,...,1 Nqq la fuerza sobre la i-ésima carga está dada por 
 
∑
≠
→
→→
=
N
ij
iji FF (1b) 
 
 
3. Campo eléctrico 
La ley de Coulomb nos da la fuerza eléctrica ejercida entre dos cargas, pero no da el mecanismo con el cual se ejerce la 
fuerza a través del espacio que existe entre ellas. El campo eléctrico es una cantidad vectorial que se introduce como el 
mecanismo de interacción entre las cargas y se define como la fuerza por unidad de carga. Se postula pues que una 
carga crea un campo eléctrico en todo el espacio y que éste ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga. La fuerza es 
así ejercida por el campo y no por la propia carga que se encuentra a cierta distancia [3,4]. 
Si consideramos dos cargas eléctricas, 1q y 2q , en las posiciones 
→
1r y 
→
2r , respectivamente; el campo eléctrico 
producido por la primera carga en la posición de la segunda, se define por la expresión: 
 
1 2
1 2
2
( ) FE r
q
→
→ → →= , 



C
N
 
 
al sustituir en la ecuación anterior la expresión para la fuerza, se obtiene: 
 
 
2 1
1 2 1
2 1
3
( )
| |
r r
E r k q
r r
→ →
→ →
→ →
−=
−
. 
 
 
De manera análoga, el campo eléctrico de la segunda carga en la posición de la primera, se escribe como: 
 
 2 1 1 2
2 1 2
1
1 2
3
( )
| |
r rF
E r k q
q r r
→ →→
→ → →
→ →
−= =
−
. 
 
 
 
En general, el campo eléctrico en la posición 
→
r producido por la carga 1q es dado por: 
 
 
3|| 1
1
11 )( →→
→→
→→
−
−
=
rr
rr
qkrE , (2a) 
y este campo actuará sobre una carga cualquiera 0q , cuya posición es 
→
0r , con una fuerza: 
 
 )( 010
→→→
= rEqF (2b) 
 
Observaciones. 
� El campo eléctrico nos da la fuerza por unidad de carga, en módulo y dirección, que una carga de prueba oq 
experimentaría en cada punto; solo depende de la estructura del sistema de cargas fuente y de la posición del 
punto de observación, .
→
r 
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� Si experimentalmente se mide la razón de la fuerza que actúa sobre la carga de prueba entre la magnitud de la 
carga de prueba, tanto la razón como la dirección de la fuerza llegan a hacerse constantes cuando la carga de 
prueba es pequeña. De manera formal, este valor límite en magnitud y dirección define el campo eléctrico: 
 
 
oq
Flim
E
oq
→
→
→
=
0
 
 
� El campo eléctrico cumple con el principio de superposición, es decir, el campo producido por N cargas 
puntuales es igual a la suma vectorial de los campos de cada una de ellas 




 =∑
=
→→ N
i
iEE
1
. 
 
 
 
 
 
 
 
 +q 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2a. Gráfica del vector campo eléctrico de 
una carga puntual en algunos puntos del espacio. 
 
 
 
y 
 yE 
→
E 
 
 y∆ 
 x∆ xE 
 
x 
 
 
 
 
Figura 2b. 
 
 
 
3.1 Líneas de campo eléctrico 
El campo eléctrico se representa dibujando líneas que indican su dirección y sentido. En cualquier punto, el vector 
→
E 
es tangente a dichas líneas, también llamadas líneas de fuerza porque indican la dirección de la fuerza que se ejercería 
sobre una carga de prueba inmersa en el campo.Un método para trazar las líneas de campo consiste en trazar solo esquemas de campos bidimensionales. Por ejemplo, 
si las líneas de campo se restringen a planos para los que z es constante, como se indica en la figura 2b, resulta que [5]: 
 
x
y
E
E
dx
dy = (3) 
 
De manera que conociendo xE y yE y resolviendo la ecuación diferencial anterior se podrán obtener las líneas de 
campo en el plano z=constante. Se procede similarmente cuando las líneas de campo se localizan en los planos xz o zy. 
 
A continuación determinaremos las líneas de campo de una carga puntual con el método antes mencionado, las cuales, 
como ya sabemos, apuntan radialmente alejándose o convergiendo a ella dependiendo si es positiva o negativa (como 
se muestra en la figura 3). 
El campo eléctrico en la posición 1r x x y y z z
→ ∧ ∧ ∧
= + + producido por una carga 1q localizada en 1 1 1r x x y y z z
→ ∧ ∧ ∧
= + + es: 
 
1 1
1 2 2 3/2
1 1
( ) ( )
( , , )
4 {( ) ( ) }o
y y y z z zq
E x y z
y y z zπ ε
∧ ∧
→ − + −=
− + −
, 
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por lo tanto: 
 
1ln( )1
1 1 1 1
1 1 1
ln( ) ln( ) ( )
y y cz
y
E z zdz dz dy
z z y y c z z cte y y
dy E y y z z y y e
− +−= = ⇒ = ⇒ − = − + ∴ − = = −
− − −
 
 
ésta última ecuación es la de una familia de rectas sobre el plano 1x x= , que intersectan al punto 1 1 1( , , )x y z . 
 
 
 
 
 
 
+q 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
 
 
 
-q 
 
 
 
3.2 Método para graficar líneas de campo 
Sea la curva C una línea de campo atribuible al vector E
→
. Si r
→
 es el vector de posición de cualquier punto de la curva, 
entonces ( ) ( ) ( ) 0y z z x x yE d r E dz E dy x E dx E dz y E dy E dx z
→ → ∧ ∧ ∧ →
× = − + − + − = ⇔ 
 
� y zE dz E dy= (1) � z xE dx E dz= (2) � x yE dy E dx= (3) 
 
De (1) y (2): ( ) ( )22 2 2 2 2 22x zy z z EE E dz E dxE dzdy E dzds+ = + ⇒ =+ + 
 
De (1) y (3): ( ) ( )22 2 2 2 2 22x yz y y EE E dy E dxE dydz E dyds+ = + ⇒ =+ + 
 
De (2) y (3): ( ) ( )22 2 2 2 2 22y xz x x EE E dx E dyE dxdz E dxds+ = + ⇒ =+ + 
 
Un algoritmo que permite graficar una línea de campo usando los resultados anteriores sería el siguiente: 
1. Elegir un punto de la curva, digamos 0 0 0 0( , , )P x y z . 
 
2. Incrementar las coordenadas del punto anterior de forma que pasemos a otro punto sobre la línea de campo y 
que el desplazamiento generado sea de magnitud ( 1)s∆ << . Esto se cumplirá si: 
• x
E
x s
E
∆ = ∆ • ,y
E
y s
E
∆ = ∆ • ,z
E
z s
E
∆ = ∆ 
 
3. Repetir el paso 2 hasta que se obtenga un punto fuera de la región de graficación (o bien alguna otra condición 
que se deba cumplir para finalizar el ciclo). 
 
Los resultados anteriores también se pueden obtener del análisis de la siguiente figura y de los resultados de semejanza 
de triángulos. 
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Figura 2b. 
 
 
 
 
4. Potencial electrostático 
El potencial escalar eléctrico en el punto especificado por 
→
r , debido a una carga 1q con vector de posición 
→
1r , se 
define por la ecuación: 
 
|| 1
1
1 )( →→
→
−
=
rr
q
krV , (4) 
 
también recibe el nombre de potencial electrostático y su unidad de medida es el )/( CmNVolt ⋅= . 
 
La relación entre el potencial y el campo eléctrico de la carga 1q es dada por la expresión: 
 
1 1( ) ( )E r V r
→ → →
= −∇ (5) 
Para demostrar la relación anterior basta emplear en la ecuación (2a) la identidad 
3
1
1
1 ||||
1
→→
→→
→→
−
−
−=








−
∇
rr
rr
rr
. 
 
Observaciones. 
� El potencial electrostático satisface el principio de superposición, es decir, el potencial producido por N 
cargas puntuales es igual a la suma de cada uno de los potenciales 
1
( ) ( )
N
i
i
V r V r
→ →
=
 = 
 
∑ . 
 
� El potencial escalar esta indeterminado hasta un término constante, es decir, dos potenciales que difieren en 
una constante tienen asociado el mismo campo eléctrico (Si VE −∇=
→
 y cteVV +=' , entonces 'VE −∇=
→
). 
 
 
4.1 Superficies equipotenciales 
Una superficie en la cual el potencial electrostático es constante recibe el nombre de superficie equipotencial. 
E
→
 
xE 
yE 
zE 
x∆ 
y∆ 
z∆ 
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Al igual que en las líneas de campo eléctrico, existe un método para trazar contornos equipotenciales en un plano. 
Debido a que las superficies equipotenciales son perpendiculares al campo eléctrico*, la ecuación diferencial que 
satisface una línea equipotencial sobre el plano z=constante es dada por: 
 
 
y
x
E
E
dx
dy −= (6) 
 
A continuación determinaremos las líneas equipotenciales de una carga puntual en el plano 1=constantex x= . De la 
expresión para el campo electrostático producido por una carga 1q localizada por 1 1 1 1r x x y y z z
→ ∧ ∧ ∧
= + + , se tiene: 
 
2 2 21
1 1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) .y
z
E y ydz
z z dz y y dy z z y y c cte
dy E z z
−= − = ⇒ − = − − ⇒ − + − = =
−
 
 
que es la ecuación de una familia de circunferencias concéntricas. Para determinar las líneas equipotenciales en los 
planos 
1z z= y 1y y= se procede similarmente. 
 
*Observaciones. Como V∇ apunta en la dirección en que V se incrementa más rápidamente, V∇ es perpendicular a 
una superficie de V constante y VE −∇=
→
, entonces la dirección de 
→
E es perpendicular a la superficie equipotencial 
y en el sentido en que V disminuye. 
 
 
Ejemplos (Campo y potencial electrostáticos de cargas puntuales). 
 
1. Una carga de 8nC se encuentra en el origen y una segunda carga de 12nC− se ubica sobre el eje positivo x a una 
distancia de 4m del origen. Determine: 
(a) el campo eléctrico en el punto (0,3,1)P m, 
(b) la fuerza sobre una tercera carga de nC10− en la posición anterior. 
(c) El potencial electrostático en el punto (0,3,1)P m. 
Sol. 
(a) Los vectores de posición de las fuentes y el punto de observación así como los vectores de posición relativos son: 
 
1 2 1 20 3 1 , 0 0 0 , 4 0 0 , 0 3 1 , 4 3 1r x y z m r x y z r x y z m r r x y z m r r x y z m
→ ∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ → → ∧ ∧ ∧ → → ∧ ∧ ∧
= + + = + + = + + − = + + − = − + + 
 
Al sustituir los últimos dos, y las cargas, en la expresión del campo eléctrico de la carga puntual, se obtiene: 
 
9 91 1
1 2 2 3/2
0
1
3
3 1
(0,3,1) (8 10 )(8.99 10 ) 6.82 2.27
4 {3 1 }| |
N N
C C
q r r y z
E y z
r rπ ε
→ → ∧ ∧
→ ∧ ∧
−
→ →
− += = × × = +
+−
 
 
9 92 2
2 3/2
0
2
3
4 3 1
(0,3,1) ( 12 10 )(8.99 10 ) 3.25 2.44 0.81
4 {16 9 1}| |
N N
C C
q r r x y z
E x y z
r rπ ε
→ → ∧ ∧ ∧
→ ∧ ∧ ∧
−
→ →
− − + += = − × × = − −
+ +−
 
 
1 2(0,3,1) (0,3,1) (0,3,1) (6.82 2.27 ) (3.25 2.44 0.81 ) (3.25 4.38 1.46 )
N
T CE E E y z x y z x y z
→ → → ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∴ = + = + + − − = + + 
 
(b) La fuerza sobre la tercera carga es: 
 
9
3 3( ) 10 10 (3.25 4.38 1.46 ) ( 32.5 43.8 14.6 )TF q E r x y z N x y z nN
→ → → ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
−= = − × + + = − − − 
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(c) Para el potencial: 9 911 2 2 1/2
0
1
1 1
(0,3,1) (8 10 )(8.99 10 ) 22.74
4 {3 1 }| |
N m
C
q
V V
r rπ ε
− ⋅
→ →= = × × =+−
 
 
 9 922 1/2
0
2
1 1
(0,3,1) ( 12 10 )(8.99 10 ) 21.16
4 {16 91}| |
N m
C
q
V V
r rπ ε
− ⋅
→ →= = − × × = −+ +−
 
 
1 2(0,3,1) (0,3,1) (0,3,1) 1.58TV V V V∴ = + = 
 
 
2. Cuatro cargas puntuales q, 2 q, -3 q y 4 q están fijas en los vértices de un cuadrado de lado a como se indica en la 
figura I. Encuentre (a) el campo eléctrico y (b) el potencial sobre el eje que pasa por el centro del cuadrado y que es 
perpendicular al plano que lo contiene. 
Sol. 
 
y 
qq =1 qq 22 = 
 
 
 a 
 
 x 
qq 44 = qq 33 −= 
 
Figura I 
 Los vectores de posición y los vectores de posición relativos son: 
 
 1 2 3 42 2 , , , , 0,
a ar x y z z r a y r a x a y r a x r
→ ∧ ∧ ∧ → ∧ → ∧ ∧ → ∧ → →
= + + = = + = = 
 
 1 2 32 2 2 2 2 2, , ,
a a a a a ar r x y z z r r x y z z r r x y z z
→ → ∧ ∧ ∧ → → ∧ ∧ ∧ → → ∧ ∧ ∧
− = − + − = − − + − = − + + 
 
 4 2 2
a ar r x y z z
→ → ∧ ∧ ∧
− = + + . 
 
 Por lo tanto, 
 
(a) los campos individuales y el resultante están dados por: 
 
{ }1 2 2
1 1 2 2
2 2 3/22
0 0 4 41
3
( , , )
4 4| |
a a
a a
q
a a
x y z zq r r q
E z
zr rπ ε π ε
∧ ∧ ∧→ →
→
→ →
− +−= =
+ +−
, 
{ }2 2 2
2 2 2 2
2 2 3/22
0 0 4 42
3
2
( , , )
4 4| |
a a
a a
q
a a
x y z zq r r q
E z
zr rπ ε π ε
∧ ∧ ∧→ →
→
→ →
− − +−= =
+ +−
 
 
{ }3 2 2
3 3 2 2
2 2 3/22
0 0 4 43
3
3
( , , )
4 4| |
a a
a a
q
a a
x y z zq r r q
E z
zr rπ ε π ε
∧ ∧ ∧→ →
→
→ →
− + +− −= =
+ +−
, 
{ }4 2 2
4 4 2 2
2 2 3/22
0 0 4 44
3
4
( , , )
4 4| |
a a
a a
q
a a
x y z zq r r q
E z
zr rπ ε π ε
∧ ∧ ∧→ →
→
→ →
+ +−= =
+ +−
 
 
{ }
{ } { }
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 23/22
0 2
2 2
3/2 3/22 2
0 02 2
1
( , , ) ( ) 2( ) 3( ) 4( )
4
6 2 4 3 4
4 4
a a a a a a a a a a
T
a
a a
a a
q
E z x y z z x y z z x y z z x y z z
z
x y z zq q a x a y z z
z z
π ε
π ε π ε
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
 = − + + − − + − − + + + + + =  +
− + − += =
+ +
 
 
 
(b) y los potenciales son: 
 
{ }1 2
1
2 2 1/22
0 0 21
1 1
( , , )
4 4| |
a a
q
a
q q
V z
zr rπ ε π ε
→ →= =
+−
, 
{ }2 2
2
2 2 1/22
0 0 22
1 2 1
( , , )
4 4| |
a a
q
a
q q
V z
zr rπ ε π ε
→ →= =
+−
 
 
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9
{ }3 2
3
2 2 1/22
0 0 23
1 3 1
( , , )
4 4| |
a a
q
a
q q
V z
zr rπ ε π ε
→ →
−= =
+−
, 
{ }4 2
4
2 2 1/22
0 0 24
1 4 1
( , , )
4 4| |
a a
q
a
q q
V z
zr rπ ε π ε
→ →= =
+−
 
 
{ }
[ ]
222 2 1/2 22
0 0 22
1
( , , ) 1 2 3 4
4
a a
T
aa
q q
V z
zzπ ε π ε
∴ = + − + =
++
 
 
 
 
3. Dos cargas puntuales, q− y ½q , se sitúan en el origen y en el punto (a ,0,0), respectivamente. Determine el 
campo eléctrico en todo el espacio y los puntos en los que este se anula. 
Sol. 
 
 
→
2E 
→
1E 
 
 
 
 q1 q2 
 
De un análisis cualitativo se puede ver que si el campo se anula en algún punto, 
este debe estar sobre el eje x y específicamente en un punto fuera de las cargas. 
Por el momento éste resultado será omitido en la solución del problema. 
 
Como los vectores de posición del punto de observación y de las fuentes, así como 
los vectores de posición relativos, son 
 
 r x x y y z z
→ ∧ ∧ ∧
= + + , 1 20,r r a x
→ → → ∧
= = , 
 
1 2, ( )r r x x y y z z r r x a x y y z z
→ → ∧ ∧ ∧ → → ∧ ∧ ∧
− = + + − = − + + ; 
 
el campo eléctrico en un punto arbitrario del espacio es 
 
2
2 2 2 3/2 2 2 2 3/2
10 03
( )1 1 ( )
( , , )
4 4 { } 2 {( ) }( )| |
j j
j
j
q r r q x x y y z z x a x y y z z
E x y z
x y z x a y zr rπ ε π ε
→ → ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
→
→ →
=
 − + + − + + = = − + + + − + + −  
∑ 
 
Si ( , , ) 0E x y z
→ →
= entonces: 
 
0
}){(2
1
}{ 2/32222/3222
=
++−
−+
++
−
zyax
ax
zyx
x
 (a) 
 
0
}){(
1
2
1
}{
1
2/32222/3222
=





++−
+
++
−
zyaxzyx
y (b) 
 
0
}){(
1
2
1
}{
1
2/32222/3222
=





++−
+
++
−
zyaxzyx
z (c) 
 
Las ecuaciones (b) y (c) solamente se satisfacen para 0== zy , pues la cantidad entre corchetes no lo puede ser (para 
probarlo basta suponer lo contrario y proceder a resolver el sistema). Sustituyendo estos valores en la ecuación (a), se obtiene: 
 
 
33 ||||
2
ax
ax
x
x
−
−= (*) 
 
Se tienen 3 casos: 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
10
i. Si 0<x , 024422
)(
12 22222
22
=+−⇒=−+⇒
−
= aaxxxaxax
axx
 ax )22( ±=∴ ± 
 
ii. Si ax <<0 , 
6
84
6
24164
0243
)(
12 22222
22
aaaaa
xaaxx
axx
−±=−±=∴=+−⇒
−
−= ± 
 
iii. Si ax > , aaaaxaaxx
axx
)22(
2
8164
024
)(
12 2222
22
±=−±=∴=+−⇒
−
= ± 
 
 
El campo eléctrico no se anula en ax <<0 debido a que las soluciones encontradas en este intervalo son complejas. 
En 0<x no hay soluciones por el hecho que los valores encontrados son positivos ( )(2 2) 0x a± = ± > . Si 
x a> , (2 2)x a− = − no es solución y (2 2)x a+ = + si lo es (¿por qué?). Por lo tanto, el único punto donde el 
campo eléctrico se anula es )0,0,( +x , con ax )22( +=+ . 
 
 
4. Dos cargas puntuales, q− y ½q , se sitúan en el origen y en el punto (a ,0,0), respectivamente. (a) Halle el 
potencial en todo el espacio. (b) Demuestre que la superficie equipotencial V =0 tiene forma esférica. ¿Cuáles son 
las coordenadas del centro de la esfera? 
Sol. 
r x x y y z z
→ ∧ ∧ ∧
= + + , 1 20,r r a x
→ → → ∧
= = , 1 2, ( )r r x x y y z z r r x a x y y z z
→ → ∧ ∧ ∧ → → ∧ ∧ ∧
− = + + − = − + + 
 
(a) Por lo tanto, el potencial esta dado por 
 
2 2 2 1/2 2 2 2 1/2
0
1 2 1
( , , )
4 2 { } {( ) }T
q
V x y z
x y z x a y zπ ε
 −= + + + − + + 
 
 
(b) Si ( , , ) 0TV x y z = , entonces 
2 2 2 1/2 2 2 2 1/22{( ) } { }x a y z x y z− + + = + + ⇒ 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24{( ) } 4 4 8 4 4x a y z x y z x a ax y z x y z− + + = + + ⇒ + − + + = + + ⇒ 
 
2
3
2222
3
4
3
42
3
4222
3
4
222
3
42
3
42
3
4
3
8222
3
82
3
42
2
2
2
2
2
2
)(0)1()( azyaxazyax
zyaaaaxxzyaxax
=++−∴=−+++−=
=+++−+−=++−+
 
 
Ecuación que representa la superficie de una esfera de radio a3
2 y centro en )0,0,( 3
4 a 
 
 
Ejercicio. En siete de los vértices de un cubo de arista a se coloca una carga puntual q . Demuestre que la magnitud del campo 
eléctrico en el vértice vacío es ,
262.0
2
0a
q
E
ε
= y está dirigido a lo largo de la diagonal del cubo hacia afuera del mismo. 
 
 
5. Distribuciones continuas de carga 
5.1 Densidad de carga 
Cuando un gran número de cargas están muy próximas entre sí, la carga total puede considerarse distribuida 
continuamente en el espacio. Una distribución continua de carga que ocupa un volumen 'V se describe en términos de 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
11
una función de la posición, denominada densidad de carga, la cual es definida como el límite de la carga por unidad de 
volumen a medida que el volumen se vuelve infinitesimal. 
 
 
 
→
r 
 
 
 
 
→
'r 
 
Figura 4. 
Consideremos que el volumen 'V se divide en pequeños 
elementos de volumen 'v∆ con vectores de posición 
→
'r , y que 
cada uno contiene cierta cantidad de carga '.q∆ La densidad 
volumétrica de carga toma la siguiente expresión: 
 
v
' 0
lim ' '
( ')
' 'v
q dq
r
v dv
ρ
→
∆ →
∆= =
∆
, 



3m
C
 (7a) 
 
 
Para el caso en que la carga se distribuye en una superficie 'S o sobre una curva 'C , análoga y respectivamente se 
definen la densidad superficial de carga y la densidad lineal de carga: 
 
 
' 0
lim ' '
( ')
' 'a
q dq
r
a da
σ
→
∆ →
∆= =
∆
 



2m
C(7b) 
 
 
' 0
lim ' '
( ')
' 'l
q dq
r
l dl
λ
→
∆ →
∆= =
∆
 



m
C
 (7c) 
 
Observaciones. 
� El límite se considera en el sentido de tomar elementos de volumen muy pequeños a escala macroscópica, pero 
suficientemente grandes a escala microscópica para que contengan un gran número de cargas. 
� La carga, 'dq , en un pequeño volumen, 'dv , centrado en 
→
'r ; y la carga total en el volumen 'V son 
respectivamente: v' ( ') 'dq r dvρ
→
= ; v
'
' ( ') 'total
V
Q dq r dvρ
→
= =∫ ∫ 
� Para hallar los campos de una distribución continua basta expresar la carga en cada punto en términos de la 
densidad de carga en el mismo e integrar. 
 
 
5.2 Campo eléctrico y potencial electrostático de una distribución continua de carga 
Si se tiene una distribución continua de carga, el campo eléctrico y el potencial en el punto 
→
r , están dados por 
 
Distribución volumétrica. 
v
' 3
1 '
( ) ( ') '
4 '| |o V
r r
E r r dv
r r
ρ
π ε
→ →
→ → →
→ →
−=
−
∫ , 
 
 
v
'
( ')1
( ) '
4 '| |o V
r
V r dv
r r
ρ
π ε
→
→
→ →=
−
∫ , (8a,b) 
Distribución superficial. 
' 3
1 '
( ) ( ') '
4 '| |o S
r r
E r r da
r r
σ
π ε
→ →
→ → →
→ →
−=
−
∫ , 
 
 
'
1 ( ')
( ) '
4 '| |o S
r
V r da
r r
σ
π ε
→
→
→ →=
−
∫ , (8c,d) 
Distribución lineal. 
' 3
1 '
( ) ( ') '
4 '| |o C
r r
E r r dl
r r
λ
π ε
→ →
→ → →
→ →
−=
−
∫ , 
 
 
'
1 ( ')
( ) '
4 '| |o C
r
V r dl
r r
λ
π ε
→
→
→ →=
−
∫ , (8e,f) 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
12
Ejemplos: 
 
1. Encuentre la carga total dentro de cada uno de los volúmenes indicados: a) 
0.12
v 10 sen ,
x
z yeρ π
−= ,21 ≤≤− x 
,10 ≤≤ y 6.33 ≤≤ z ; b) 2v 4 ,xyzρ = ,2≤ρ ,2/0 πϕ ≤≤ 30 ≤≤ z ; c) v
nArρ = , -donde A es una 
constante y 0≥n - ,0 ar ≤≤ ,0 πθ ≤≤ πϕ 20 ≤≤ . 
Sol. 
(a) 
2 3.60.1 12 1 3.6 3
0.12
v
01 0 3 31
cos
10 sen( ) 10 119.48
( 0.1) 3
x
x
V
y z
Q dv z y dzdydx Cee
πρ π
π
−
−
− −
 = = = − = −  ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
(b) 
2 3/23 /2 2 4 3
2 2
v
00 0 0 0 0
cos 2
4 4 cos sen 4 72
4 4 3V V
z
Q dv xyz dv z d d dz C
ππ ρ ϕρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ  = = = = − =  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
(c) 
2 3
2
v
0 0 0
' ' sen ' ' ' ' 4
3
a n
n aQ dv Ar r d d dr A
n
π π
ρ θ ϕ θ π
+
= = =
+∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
2. Encuentre la carga total dentro de cada uno de los volúmenes indicados: 
(a) ),10( 2yxAv +=ρ mzmymx 5.00,2||,1|| ≤≤≤≤ ; 
(b) ),( 22 zxBv +=ρ ,20
22 myx ≤+≤ ,20 πϕ <≤ mz 10 ≤≤ . 
Sol. 
(a) AzyxzyxAdzdydxyxAdvQ
V
3
165.0
0
2
2
3
3
11
1
5.0
0
2
2
1
1
2
5.0
0
2
2
1
1
2 ****5)10( =



=+==
−−−−
− −
+∫ ∫ ∫∫ ρ 
 
(b) Como el volumen en este caso corresponde al de un cilindro de radio 2 y altura 1, es conveniente utilizar 
coordenadas cilíndricas. 
 
( ) BBzzsenB
dzddzBdvzxBQ
V
πππϕρϕϕρ
ϕρρϕρ
ππ
π
3
16
3
4
1
0
3
3
12
0
2
0
2
2
11
0
2
04
1
2
1
2
0
4
4
1
1
0
2
0
2
0
22222
4***))2((*
)cos()(
==



 +=
=+=+=
++
∫ ∫ ∫∫
 
 
 
 b) Solución en el sistema rectangular. 
 
∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
−−
−
−−−
−
−−
−+=+=+=
1
0
2
2
222
1
0
2
2
4
4
22
1
0
2
2
4
4
22 4)(2)()(
2
2
2
2
dzdxxzxBdzdxdyzxBdzdydxzxBQ
x
x
y
y
 
 
Como ,24
2
2
2 π=−∫
−
dxx π24
2
2
22 =−∫
−
dxxx ; (*,**) 
 
entonces 
 
( ) BBdzzBQ πππ 31631
1
0
2 14)1(4 =+=+= ∫ 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
13
Dem (*,**) 
Del cambio de variable: ;cos2,2 tdtdxsentx == 
 
• ( ) ππ
ππ
2)2(8cos8cos2442424
2/
04
1
2
1
2/
0
2
2/
0
2
2
0
2
2
2
2 =+==−=−=− ∫∫∫∫
−
tsenttdttdttsendxxdxx 
 
• ∫∫∫∫ =−=−=−
−
2/
0
22
2/
0
22
2
0
22
2
2
22 cos32cos24442424
ππ
tdttsentdttsentsendxxxdxxx 
 
Al integrar por partes la última integral )coscos,cos,( 33
12 ttsentdtvtdtdusentu −==== ∫ , se 
tiene: 
 
∫∫∫ −=





+−=
2/
0
222
3
1
2/
0
4
3
1
2/
0
3
3
1
2/
0
22 )cos(coscoscoscos
ππ
π
π
dtttsentttsenttdttsen , de aquí: 
 
π
ππ
4
1
2/
0
2
2/
0
22 coscos4 == ∫∫ tdttdttsen , y por lo tanto π
π
2cos324
2/
0
22
2
2
22 ==− ∫∫
−
tdttsendxxx 
• ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
−−−
−
−−
−+−=+=
1
0
2
2
22
1
0
2
2
2/32
3
2
1
0
2
2
4
4
22 42)4()(
2
2
dzdxxzBdydzxBdzdydxzxBQ
y
y
 
 
( ) ( ) ( )
πππ
π
ππ
628cos)1(32
coscos32cos2442424
2/
0
22
2/
0
4
2/
0
2/32
2
0
2/32
2
2
2/32
=−=−=
==−=−=−
∫
∫∫∫∫
−
tdttsen
tdtttdttsendxxdxx
 
 
 
 
3. Sobre un segmento de recta de longitud L se distribuye carga uniformemente (es decir, la densidad de carga λ es 
constante). Por integración directa, encuentre el campo eléctrico en una posición arbitraria del espacio. 
Sol. 
 
 
 
 
→
'r 
→→
− 'rr 
 
 
 
→
r 
 
 
 
 
 
 
Al considerar el segmento sobre el eje z, con su centro en el origen, el vector de 
posición de los puntos fuente es ' ' ,r z z
→ ∧
= con LzL ≤≤− ' . Por otro lado, el vector 
de posición del punto de observación, en coordenadas cilíndricas, es dado por 
r z zρ ρ
→ ∧ ∧
= + . 
Al sustituir 
∧∧→→
−+=− zzzrr )'(' ρρ , 22 )'(|'| zzrr −+=−
→→
ρ y ' | ' | 'dl d r dz
→
= ± = , 
en la fórmula del campo eléctrico de la distribución lineal, se tiene 
 
{ }
/2
3/22 2
0 0' /23
1 ' ( ')
( , , ) ( ') ' '
4 4 ( ')'| |
L
C L
r r z z z
E z r dl dz
z zr r
λ ρ ρρ ϕ λ
π ε π ε ρ
→ → ∧ ∧
→ →
→ →
−
− + −= =
+ −−
∫ ∫ 
 
 
Al utilizar las relaciones: 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
14
 { } { }
2/
2/
2/122
2/
2/
2/322
)'(
)'(
')'( L
L
L
L
zz
zz
dzzz
−
−
−
−+=
−+
−
∫ ρρ
, 
 
 { }
2/
2/
222
2/
2/
2/322 )'(
)'(1
)'(
'
L
L
L
L zz
zz
zz
dz
−−
−+
−−=
−+∫ ρρρ
; 
se obtiene 
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 2 2 2 2
( ) ( ) 1 1
( , , )
4 ( ) ( ) ( ) ( )
L L
L L L L
z z
E z z
z z z z
λ ρρ ϕ
π ε ρρ ρ ρ ρ
∧
→ ∧    + − 
   = − + − 
   + + + − + − + +     
 
 
 
 
4. Una carga Q está distribuida uniformemente sobre un círculo de radio R , perpendicular al eje z y con centro en el 
origen. Encuentre el campo eléctrico y el potencial sobre el eje z. 
Sol. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del enunciado del problema se tiene: 
i) 
2R
Q
π
σ = 
ii) ' ' 'r x x y y
→ ∧ ∧
= + , con 222 '' Ryx ≤+ ; al utilizar las ecuaciones de 
transformación a coordenadas cilíndricas, dicho vector se expresa como 
' ' ' 'cos ' 'sen 'r x x y y x yρ ϕ ρ ϕ
→ ∧ ∧ ∧ ∧
= + = + con 0 ' , 0 ' 2Rρ ϕ π≤ ≤ ≤ < 
 
iii) r z z
→ ∧
= 
 
iv) '''' ρϕρ ddda = 
 
 2 2' 'cos ' 'sen ' , | ' | 'r r x y z z r r zρ ϕ ρ ϕ ρ
→ → ∧ ∧ ∧ → → − = − − + − = +  
 
 
Al sustituir las cantidades antes dadas, en las expresiones del campo eléctrico y del potencial de la distribución 
superficial de carga, se obtiene 
 
2
2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
0 00
3 / 23
3 / 2 1 / 2
1 ' 1 ( 'cos ' 'sen ' )
(0,0, ) ( ') ' ' ' '
4 4 { ' }'
2 ' ' 1 1
4 2 | |{ ' } { }
| |
R
S
R
r r x y z z
E z r da d d
zr r
z d
z z z
zz R z
π ρ ϕ ρ ϕσ σ ρ ϕ ρ
π ε π ε ρ
σ π ρ ρ σ
π ε ερ
→ → ∧ ∧ ∧
→ →
→ →
∧ ∧
− − − += = =
+−
 
 = = −
 + + 
∫ ∫ ∫
∫
 
 
2
2 2
2 2 2 2
0 0 0 00 0 0
1 / 2
1 / 2 1 / 2
1 ( ') 1 2 ' '
(0,0, ) ' ' ' ' { } | |
4 4 4 2{ ' } { ' }( ')| |
R R
S
r d
V z da d d R z z
z zr r
πσ σ σ π ρ ρ σρ ϕ ρ
π ε π ε π ε ερ ρ
→
→ →
 = = = = +
  + +−
−∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
Se utilizaron los siguientes resultados: 
2
0
sen ' ' 0d
π
ϕ ϕ =∫ , 
2
0
cos ' ' 0d
π
ϕ ϕ =∫ , 
2
0
' 2d
π
ϕ π=∫ , 








+
−=
+
−=
+
∫ 2/12/12/12/3 }{
1
}{
1
}'{
1
}'{
''
222
0
22
0
22 zRzzz
d
R
R
ρρ
ρρ , 



 −+=+=
+
∫ ||}{}'{
}'{
'' 2/12/1
2/1
22
0
22
0
22
ZzRz
z
d RR ρ
ρ
ρρ 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
15
5. Una carga Qse distribuye uniformemente en el volumen de una esfera de radio .a Por integración directa 
determine (a) el campo eléctrico y (b) el potencial en un punto arbitrario dentro y fuera de la esfera. 
Sol. 
Del enunciado del problema se tiene: v 3
3
4
Q
a
ρ
π
= . 
 
El vector de posición de los puntos fuente es de la forma: 
∧∧∧→
++= zzyyxxr '''' , con .''' 2222 azyx ≤++ 
De las ecuaciones de transformación a coordenadas esféricas: 
∧∧∧→
++= zrysensenrxsenrr 'cos'''''cos''' θϕθϕθ con 
.20,0,'0 πϕπθ <≤<≤<≤ ar 
Por la simetría del problema hallaremos el campo y el potencial sobre el eje positivo z y posteriormente daremos su 
forma general. 
 
∧→
= zzr
∧∧∧→→
−+−−=−∴ zrzysensenrxsenrrr )'cos'(''''cos''' θϕθϕθ 
{ }
{ } { } 2/122222/12222222
2/12222222
'cos'2)'cos'(''cos'2'cos')''(cos''
)'cos'(''''cos''|'|
θθθθθϕϕθ
θϕθϕθ
zrsenrzzrrzsensenr
rzsensenrsenrrr
−++=−+++=
=−++=−∴
→→
 
 
 
 
(a) El campo eléctrico sobre el eje z está dador por: 
 
{ }
2
2
v v 3/22 2
' 0 0 03
' ' 'cos ' ' ' ' ( 'cos ')
( ') ' ' ' ' ' '
' 2 ' cos ''| |
a
V
r r r sen x r sen sen y z r z
E k r dv k r sen d d dr
z r r zr r
π π θ ϕ θ ϕ θρ ρ θ ϕ θ
θ
→ → ∧ ∧ ∧
→ →
→ →
− − − + −= =
+ −−
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
Haciendo uso de los siguientes resultados: 
 
0''
2
0
=∫
π
ϕϕ dsen , 0''cos
2
0
=∫
π
ϕϕ d , πϕ
π
2'
2
0
=∫d , { } 




+
++
−
−=
−+
−
∫ |'|
'
|'|
'1
''
'cos'2'
'cos'
2
0
2/322 rz
rz
rz
rz
z
dsen
zrrz
rzπ θθ
θ
θ
 
 
se tiene: 
 
2
v
2
0 0
2 ' ' '
(0,0, ) '
4 | ' | | ' |
a r z r z r
E z z dr
z z r z r
π ρ
π ε
→ ∧  − += + − + ∫
 
 
Para obtener el resultado final, debemos considerar dos casos: 
 
• Si az > , entonces 'rz > y 2
|'|
'
|'|
' =






+
++
−
−
rz
rz
rz
rz
; por lo tanto: 
 
3
2v v
2 2 2
0 0 00
' '
(0,0, ) ' '
2 | ' | | ' | 3 4
a az z r z r z Q z
E z r dr
z z r z r z z
ρ ρ
ε ε π ε
∧ ∧ ∧
→  − += + = = − + ∫
 
 
 
• Si az < , entonces 'ó' rzrz <> y 2
|'|
'
|'|
' =






+
++
−
−
rz
rz
rz
rz
 ó 0
|'|
'
|'|
' =






+
++
−
−
rz
rz
rz
rz
; luego, 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
16
 
2 2v v
2 3
0 0 00
' ' ' '
(0,0, ) ' ' ' '
2 | ' | | ' | | ' | | ' | 3 4
z a
z
zz z r z r z r z r Q z z
E z r dr r dr z
z z r z r z r z r a
ρ ρ
ε ε π ε
∧ ∧
→ ∧    − + − += + + + = =    − + − +    
∫ ∫
 
 
 
 (b) El potencial sobre el eje z es dador por: 
 
{ }
2
2v v
1/22 2
0 0 0 0 0
( ')1 1
(0,0, ) ' ' ' ' ' '
4 4 ' 2 ' cos ''| |
a
S
r
V z ds r sen d d dr
z r r zr r
π πρ ρ θ φ θ
π ε π ε θ
→
→ →= =
+ −−
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
Haciendo uso de los siguientes resultados: 
 
πϕ
π
2'
2
0
=∫d , { } { } { }|'||'|'
1
'2'
'
1
'cos'2'
'' 1
1
2/122
0
2/122
rzrz
zr
zurrz
zrzrrz
dsen −−+=−+−=
−+ −∫
π
θ
θθ
; 
 
se tiene 
 
{ }
2
v
0 0
2 '
(0,0, ) | ' | | ' | '
4 '
a r
V z z r z r dr
r z
π ρ
π ε
= + − −∫ . 
 
Para hallar la integral anterior deben contemplarse dos casos: 
 
• si az > , entonces 'rz > y '2|'||'| rrzrz =−−+ ; por lo tanto 
 
{ }
3
2v v v
0 0 0 00 0
(0,0, ) ' | ' | | ' | ' ' '
2 3 4
a a a Q
V z r z r z r dr r dr
z z z z
ρ ρ ρ
ε ε ε π ε
= + − − = = =∫ ∫ 
 
 
 
• si az < , entonces '' rzórz <> y '2|'||'| rrzrz =−−+ ó zrzrz 2|'||'| =−−+ 
 
{ } { }v
0 0
2 2 2 2 2
2 2 2v v
3
0 0 0 0 00
(0,0, ) ' | ' | | ' | ' ' | ' | | ' | '
2
3
' ' ' ' (3 )
3 2 6 8
z a
z
z a
z
V z r z r z r dr r z r z r dr
z
z a z a z Q
r dr z r dr a z
z a
ρ
ε
ρ ρρ ρ
ε ε ε ε π ε
 
= + − − + + − − = 
 
     − −= + = + = = −     
    
∫ ∫
∫ ∫
 
 
De acuerdo a las expresiones obtenidas y a la simetría de l sistema, las expresiones generales son: 
 
2
0
3
0
,
4( )
,
4
Q r
si r R
rE r
Q r
r si r R
R
π ε
π ε
∧
→ →
∧

 >
= 
 <

 
0
2
2
0
,
4
( )
(3 ),
8
Q
si r R
r
V r
Q r
si r R
R R
π ε
π ε
→
 >
= 
 − <

 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
17
Tabla 1. Campo eléctrico y potencial electrostático de distribuciones continuas de carga 
 
Línea infinita de carga de densidad λ constante 
Si la línea se encuentra sobre el eje z: 
 
ρ
ρ
επ
λ
∧
→→
=
02
)(rE 
 
 






=
→
ρ
ρ
επ
λ 0
0
ln
2
)(rV , 
 
0ρ es una constante cualquiera y es la distancia a la cual 
el potencial es nulo. 
Plano infinito de densidad de carga σ constante 
Si la carga esta distribuida sobre el plano az = : 
 
∧→→
−
−= z
az
az
rE
||2
)(
0ε
σ
 
 
||
2
)(
0
zrV
ε
σ−=
→
 
 
Cilindro infinito de radio R de densidad de carga σ constante 
Si el eje del cilindro coincide con el eje z: 
 





<
>=
∧
→
Rsi
Rsi
R
E
ρ
ρ
ρ
ρ
ε
σ
,0
,
0
 
 
0ρ es la coordenada radial de un punto arbitrario de referencia 
 







<





>





=
→
Rsi
R
R
Rsi
R
rV
ρρ
ε
σ
ρ
ρ
ρ
ε
σ
,ln
,ln
)(
0
0
0
0 , 
 
Cilindro infinito de radio R de densidad de carga vρ constante 
Si el eje del cilindro coincide con el eje z: 
 
2v
0
v
0
,
2
( )
,
2
R si R
E r
si R
ρ ρ ρ
ε ρ
ρ ρ ρ ρ
ε
∧
→ →
∧
 >
= 
 <

 
 
 
2v 0
0
2 2 2v 01
2
0
ln ,
2
( ) ,
( ) ln ,
2
R si R
V r
R R si R
R
ρ ρ ρ
ε ρ
ρ ρρ ρ
ε
→
   >  
  = 
   − + <     
 
 
Superficie esférica de radio R de densidad de carga σ constante 
Si el centro de la esfera coincide con el origen: 
 





<
>=





<
>=
∧∧
→→
Rrsi
Rrsi
r
rQ
Rrsi
Rrsi
r
rR
rE
,0
,
4
,0
,)( 2
0
2
0
2
επε
σ
, Q es la carga total contenida en la superficie 
 
 







<
>
=







<
>
=
→
Rrsi
R
Q
Rrsi
r
Q
Rrsi
R
Rrsi
r
R
rV
,
4
,
4
,
,
)(
0
0
0
0
2
επ
επ
ε
σ
ε
σ
, Q es la carga total contenida en la superficie 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
18
Distribución esférica de radio R de densidad de carga vρ constante 
Si el centro de la esfera coincide con el origen: 
 
3
v
2 2
0 0
v
3
00
, ,
3 4( )
,,
43
R r Q r
si r R si r R
r rE r
r Q r
r si r Rr si r R
R
ρ
ε π ε
ρ
π εε
∧ ∧
→ →
∧∧
 
 > >
 = = 
  << 

, Q es la carga total contenida en la esfera 
 
 
( )
3
v
00
2
2 2v 1
3 2
00
,,
43
( )
(3 ),,
82
QR si r Rsi r R
rr
V r
Q r
si r RR r si r R
R R
ρ
π εε
ρ
π εε
→
  >> 
 = = 
  − <− <
 
, Q es la carga total contenida en la esfera 
 
 
 
+Ejemplos. 
1. Dos planos infinitos con densidades de carga superficial 1σ y 2σ , son paralelos al plano xy y están situados como 
se muestra en la figura. Encontrar 
→
E para todos los valores de z. 
Sugerencia: utilice fórmula del campo eléctrico de un plano cargado. 
Sol. 
 
 z 
 
 1σ 
 a 
 a 
 2σ 
 
Los respectivos campos de cada uno de los planos son: 
 
1
0
1
1
0
1
0
,
2
2 | |
,
2
z si z a
z a
E z
z a
z si z a
σ
ε
σ
ε
σ
ε
∧
→ ∧
∧
 >
− = = − 
− <

 
2
0
2
2
0
2
0
,
2
2 | |
,
2
z si z a
z a
E z
z a
z si z a
σ
ε
σ
ε
σ
ε
∧
→ ∧
∧
 > −
+ = = + 
− < −

 
 
Por lo tanto: 
1 2
1 2
1 2 1 2
0 0 0
1 2
,
, | |
2 | | 2 | | 2
,
si z a
z a z a z
E E E z z si z a
z a z a
si z a
σ σ
σ σ σ σ
ε ε ε
σ σ
∧
→ → → ∧ ∧
+ >
− + = + = + = − + <− +  − − − >
 
 
2. Una línea infinita de carga, con densidad λ constante, se rodea con un cilindro infinitamente largo de radio R 
cuyo eje coincide con ella. La superficie del cilindro posee una densidad de carga constante σ . Encontrar 
→
E para 
cualquier punto. ¿Qué valor en particular de σ hará que 0=
→
E para todos los puntos fuera del cilindro cargado? 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
19
Sugerencia: utilice fórmula del campo eléctrico de una línea de carga y del campo de una distribución superficial cilíndrica 
Sol. 
 λ 
∧→→
= ρ
ρεπ
λ
λ
o
rE
2)( , 





>
<
= ∧
→→
Rsi
R
Rsi
rE
o
ρρ
ρε
σ
ρ
σ
,
,0
)( 
 σ 
 
( )







>+
<
=+=
∧
∧
→→→→
Rsi
R
Rsi
EErE
o
o
T
ρρ
ρεπ
σπλ
ρρ
ρεπ
λ
σλ
,
2
2
,
2
)( 
 
El campo en exterior del cilindro sería cero si: ( )
R
R
o π
λσρσπλ
ρεπ 2
02
2
1 −=∴=+
∧
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
20
6. Propiedades del campo electrostático 
Es bien conocido que cierto tipo de funciones que poseen singularidades en una región de integración son integrables. 
Bajo el acto de fe que el campo electrostático de una distribución volumétrica de carga es una función continua, se 
obtienen las siguientes ecuaciones que representan propiedades locales y promedio del mismo. 
 
 
Propiedades locales Propiedades globales 
 
 
6.1 Ley de Gauss en su forma diferencial 
 
v
o
E
ρ
ε
→
∇ • = (10a) 
 
La razón entre el flujo del campo eléctrico sobre 
una superficie cerrada muy pequeña y el volumen 
de la misma, es directamente proporcional a la 
densidad de carga promedio en el interior de dicha 
región, siendo la constante de proporcionalidad el 
inverso de la permitividad eléctrica del vacío. 
Recuérdese que el flujo de un campo vectorial 
sobre una superficie S es por definición la integral 
sobre S de la componente normal del campo 
eléctrico. 
 
 
 
 
⇔ 
 
6.2 Ley de Gauss en su forma integral 
 
int
int v
V
, donde S S
oS
Q
E n da Q dvρ
ε
→ ∧
• = =∫ ∫� (10b) 
 
Si S es la superficie frontera del volumen V, el 
flujo del campo eléctrico a través de S es 
directamente proporcional a la carga eléctrica en el 
interior de la misma, siendo la constante de 
proporcionalidad la permitividad eléctrica del 
vacío. 
Es de gran importancia mencionar que la 
interpretación cualitativa que comúnmente se 
menciona en libros introductorios de electricidad y 
magnetismo sobre el flujo de un campo vectorial, 
la cual expresa que el flujo representa el número 
neto de líneas de campo que pasan a través de la 
superficie cerrada, no es del todo correcta, ya que 
existen situaciones en las que se obtienen 
conclusiones erróneas al utilizarla. 
 
 
 
6.3 Irrotacionalidad del campo electrostático 
 
0E
→ →
∇× = (10c) 
 
 
 
 
 
 
 
⇔ 
 
6.4 Conservatividad del campo electrostático 
 
0
C
E d r
→ →
• =∫� (10d) 
 
La integral sobre una curva cerrada de la 
componente tangencial del campo electrostático es 
nula. Es equivalente decir que la integral de línea 
de la componente tangencial del campo 
electrostático no depende de la trayectoria. 
 
 ⇕ ⇕ 
 
E V
→
= −∇ (10e) 
 
El campo electrostático es perpendicular a las 
superficies en las que el potencial electrostático es 
constante y apunta en la dirección en la que dicho 
potencial decrece más rápido. 
 
⇔ 
 
B
B A
A
E d r V V
→ →
 − • = − ∫ (10f) 
 
La integral de línea, entre dos puntos, de la 
componente tangencial del campo electrostático es 
igual a la diferencia de potencial entre los puntos 
inicial y final. 
 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
21
Ejemplos. 
1. Una carga puntual q esta en el origen de un sistema de coordenadas. Encontrar el flujo eléctrico que cruza la 
porción de una concha esférica descrita por βθαπϕ ≤≤<≤= ,20,Rr 
Sol. 
El vector de posición de un punto P, en el sistema esférico, es dado por r r r
→ ∧
= ; por lo tanto el campo de la carga 
puntual que se ubica en el origen y el flujo de éste sobre la superficie son respectivamente 
 
2
0 0 0
334 4 4| |
q r q r r q r
E
rrrπ ε π ε π ε
→ ∧ ∧
→
→= = = 
 
)cos(cos
2
|)cos(
2
sen
00
2
0
2 βα
ε
θ
ε
θϕθ βα
β
α
π
−=−=•=•=• ∫ ∫∫∫
∧→∧→→→ qq
ddRrEdanEadE
SS
 
 
 
2. Un disco de radio R yace en el plano 0zz = con su centro en el eje z. Encontrar el flujo eléctrico a través del 
disco, si el campo eléctrico es producido por una carga puntual q en el origen. 
 
∧∧
= zn 
 
 
 
 
 
 
Sol. 
 
El vector de posición de un punto P, en el sistema cilíndrico, es dado por 
r z zρ ρ
→ ∧ ∧
= + ; por lo tanto el campo de la carga puntual que se ubica en el origen y 
el flujo de éste sobre la superficie son respectivamente 
 
2 2 3/2
0 034 4 ( )| |
q r q z z
E
zr
ρ ρ
π ε π ε ρ
→ ∧ ∧
→
→
+= =
+
 
 
0 0
2 2
0
2 2
00 0 0 0 0
3 / 24 { }
R R
z z z zS S
zq
E d a E n da E z d d d d
z
π π
ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ
π ε ρ
→ → → ∧ → ∧
= =
• = • = • = =
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
0 0 0
2 2 2 2 2 2
0 0 0 00 0 0 00
3 / 2 1 / 2 1 / 2
1 1 1
2 2 2 | |{ } { } { }
R
Rq z q z q zd
zz z R z
ρ ρ
ε ε ερ ρ
 −
 = = = −
 + + + 
∫ 
 
 
3. Una carga puntual q se ubica en el origen de un sistema coordenado cilíndrico. Encontrar el flujo que cruza la 
superficie lateral cilíndrica descrita por: 210 y0, zzzR ≤≤≤≤= ϕϕρ . 
Sol. 
 
2 2 3/2
0 034 4 ( )| |
q r q z z
E
zr
ρ ρ
π ε π ε ρ
→ ∧ ∧
→
→
+= =
+
 
 
∧∧
= ρn =
+
=•=•=• ∫ ∫∫ ∫∫∫
∧→∧→→→ 2
1
02
1
0
0
22
00
2/3}{4
z
z
z
zSS
dzRd
zR
Rq
dzdREdanEadE
ϕϕ
ϕ
επ
ϕρ 
0ϕ 
 
2
2
1
1
2 2
0 0 0 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 2 1
3 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 24 4 4{ } { } { } { }
z
z
S z
z
q R q R q z zdz z
E d a
R z R R z R z R z
ϕ ϕ ϕ
π ε π ε π ε
→ →  
 • = = = −
 + + + + 
∫ ∫ 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
22
4. Una esfera de radio R con centro en el origen posee una densidad de carga dada por 2v Arρ = , donde .cteA = 
Otra esfera de radio 2R es concéntrica con la primera. Encontrar el flujo ∫
→→
•
S
adE a través de la superficie de la 
esfera mayor. 
Sol. 
Como 
2
v
,
0,
Ar si r R
si r R
ρ
 ≤
=  >
, entonces 
2 2
2int
v v
0 0 0 0 0 0
1 1
( ) sen
s
R
S
S V
Q
E d a dv r r d d dr
π π
ρ ρ θ ϕ θ
ε ε ε
→ →
• = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
2 2 5
2 2 2 2 2
v v
0 0 00 0
4 4 4
( ) ( ) 0
5
R R R R
S R R
AR
E d a r r dr r r dr Ar r dr r dr
π π πρ ρ
ε ε ε
→ →    
∴ • = + = + =   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
5. ¿Cuál de los siguientes vectores puede ser un campo electrostático?. Si es así, ¿qué valor tiene la densidad 
volumétrica de carga? 
 
(a) 



 ≤≤+−
=
→
∧∧∧
→
casootroen
zyxSizyyzxxc
E
,0
3,,0),(
 
 
(b) 







<
>
=
∧
+
+
∧
→→
2,
2
2,
)(
3
1
2
rSir
r
A
rSi
r
r
A
rE
n
n
 
Sol. 
 
Para que un campo sea electrostático, su rotacional debe ser nulo. 
 
(a) Si 
→→→→
=×∇⇒= 00 EE . 
 
Pero, en la región 3,,0 ≤≤ zyx : cyEczEcxE zyx =−== ,, ; por lo tanto: 
 
→∧∧∧∧∧∧∧→
≠=−+−+−−=





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇ 02)00()00())(( xczyxccz
y
E
x
E
y
x
E
z
E
x
z
E
y
E
E xyzxyz 
 
(b) 0,0),( === ϕθ EErEEr 
 
→∧∧∧→
=





∂
∂
−
∂
∂+





∂
∂−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂=×∇ 0)(1)(
sen
11
)(sen
sen
1 ϕ
θ
θ
ϕθϕ
θ
θθ θϕ
θ
ϕ
rr ErE
rr
rE
r
E
r
r
E
E
r
E 
 
como el rotacional en este caso es cero, entonces es un posible campo electrostático. La densidad vendría siendo: 
 
2
2 2
2
v 0 0 0 12
2
2 3
1
( ), 2
1 1 1
( ) (sen )
1sen sen
( ), 2
2
r n
n
A
r Si r
E r r r
E r E E
rr r r r
r A Si r
r r
φ
θρ ε ε θ εθ θ θ φ
→
+
+
∂ >∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ • = + + =   ∂∂ ∂ ∂   <
 ∂
 
 
v 0
3
0, 2
( 3) , 2
2
n
n
Si r
r
n A Si r
ρ ε
+
>
= 
+ <

 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
23
6. Por medio de la ley de Gauss determine el campo eléctrico de una línea infinita de densidad de carga constante que 
coincide con el eje z. 
Sol. 
 
∧∧
= zn1 
 
 
 
∧∧
= ρ2n 
 
 
 
 
∧∧
−= zn3 
 
En los tres tipos de distribución de carga, se tiene simetría cilíndrica Por la simetríadel 
problema 
∧→→
= ρρ)()( ErE 
 
Al aplicar la ley de Gauss utilizando como superficie gaussiana un cilindro de radio ρ y 
longitud L, se tiene: 
∫∫∫
∫∫∫∫
∧∧∧∧∧∧
→→→→→→→→
•+•+•=
•+•+•=•
321
321
332211 )()()(
SSS
SSSS
danEdanEdanE
adEadEadEadE
ρρρρρρ
 
 
2
int
2
0 0 0 0
1
( ) ( ) 2 S
S S C C
Q L
E d a E da E L dl dl
λ λρ ρ πρ λ
ε ε ε ε
→ →
• = = = = = =∫ ∫ ∫ ∫ 
00
int2)(
ε
λ
ε
πρρ LqLE ==⇒ 
 
Como 
ρεπ
λρ
02
)( =E , entonces 
∧→→
= ρ
ρεπ
λ
02
)(rE 
 
 
7. Dos cilindros coaxiales infinitamente largos tienen radios a y b , ab > . La región entre ellos se rellena con carga 
de densidad volumétrica dada por v
nAρ ρ= , en coordenadas cilíndricas, siendo A y 0≥n constantes. 
Determine 
→
E en todos los puntos. 
 
Por la simetría del problema 
∧→→
= ρρ)()( ErE 
 
Al aplicar la ley de Gauss utilizando como superficie gaussiana un cilindro de radio ρ y longitud L, se tiene: 
0
int
222
332211
2)()()(
)()()(
22
321321
ε
πρρρρρρ
ρρρρρρ
q
LEdaEdaE
danEdanEdanEadEadEadEadE
SS
SSSSSSS
===•=
=•+•+•=•+•+•=•
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫
∧∧
∧∧∧∧∧∧→→→→→→→→
 
 
Tenemos 3 casos: 
1) Si a<ρ , la carga en el interior de la superficie gaussiana es cero, es decir: 
 
int v 0 0
V V
q dv dvρ< = = =∫ ∫ 
0)(02)(
0
int =∴==⇒ ρ
ε
πρρ EqLE 
 
2) Si ba << ρ , la carga en el interior de la superficie gaussiana es: 
 
2 /2 2 2
1
int v
0 /2
( )
' ' ' ' ' 2 ' ' 2
2
L n n
n n
V a L a
a
q dv A dz d d LA c LA
n
ρ ρπ ρρ ρ ρ φ ρ π ρ ρ π
+ +
+
<
−
−= = = =
+∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
24
ρε
ρρ
ε
ρπ
ε
πρρ
0
22
0
22
0
int
)2(
)(
)(
)2(
)(
22)(
+
−=∴
+
−==⇒
++++
n
a
AE
n
a
LA
q
LE
nnnn
 
 
3) Si b>ρ , la carga en el interior de la superficie 
2 /2 2 2
1
int v
0 /2
( )
' ' ' ' ' 2 ' ' 2
2
b L b n n
n n
V a L a
b a
q dv A dz d d LA c LA
n
π
ρ ρ ρ φ ρ π ρ ρ π
+ +
+
>
−
−= = = =
+∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
ρε
ρπ
ε
πρρ
0
2222
0
int
)2(
)(
)(
2
)(
22)(
+
−=∴
+
−==⇒
++++
n
ab
AE
n
ab
LA
q
LE
nnnn
 
 
De lo anterior, 










>
+
−
<<
+
−
<
=
∧++
∧++→→
bsi
n
ab
A
basi
n
a
A
asi
rE
nn
nn
ρρ
ρε
ρρ
ρε
ρ
ρ
,
)2(
)(
,
)2(
)(
,0
)(
0
22
0
22
 
 
 
 
8. Una esfera de radio R posee una densidad de carga que varía con la distancia r al centro, de acuerdo con 
v
nArρ = , donde A es una constante y 0≥n . Determine el campo eléctrico en función de la carga total Q de la 
esfera. 
Sol. 
Por la simetría del problema 
∧→→
= rrErE )()( 
 
Al aplicar la ley de Gauss utilizando como superficie gaussiana una esfera de radio r , se tiene: 
 
2 int
0
( ) ( ) ( ) ( )4 S
S S S S
Q
E d a E r r n da E r r r da E r da E r rπ
ε
→ → ∧ ∧ ∧ ∧
• = • = • = = =∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
• Si Rr < , la carga en el interior de la superficie gaussiana es: 
 
2 3
2
int v
0 0 0
' ' sen ' ' ' ' 4
3
r n
n
V
r
Q dv Ar r d d dr A
n
π π
ρ θ ϕ θ π
+
< = = = +∫ ∫ ∫ ∫
 
 
3 1
2 int
0
( )4 4
3 3
n nq r r
E r r A E A
n n
π π
ε
+ +
⇒ = = ∴ =
+ +
 
 
 
• Si Rr > , la carga en el interior de la superficie 
 
2 3
2
int v
0 0 0
' ' sen ' ' ' ' 4
3
R n
n
V
R
Q dv Ar r d d dr A Q
n
π π
ρ θ ϕ θ π
+
> = = = =+∫ ∫ ∫ ∫
 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
25
3 3
2 int
2
0
( )4 4
3 ( 3)
n nq R R
E r r A E A
n n r
π π
ε
+ +
⇒ = = ∴ =
+ +
 
 
 
Como 
3
int 4 3
nr
q A
n
π
+
< = +
 y 
3
int 4 3
nR
q A Q
n
π
+
> = =+
, entonces 
3
3
3
3
intint +
+
+
+
>< == n
n
n
n
R
r
Q
R
r
qq 
 
1
3
0
2
0
,
4
( )
1
,
4
n
n
Q r
r si r R
R
E r
Q
r si r R
r
πε
πε
+ ∧
+→ →
∧

<
∴ = 
 >

 
 
 
9. Dado el campo electrostático, obtenga el correspondiente potencial electrostático. 
 
(a) 2 3( ), 0 , , 3E c x x y y z z si x y z
→ ∧ ∧ ∧
= + + ≤ ≤ 
 
(b) 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2, 0 , | | .xy x y
x y x y
E x y z z si x y R z b
→ ∧ ∧ ∧
+
+ +
= + + ≤ + ≤ ≤ 
 
(c) 22 cos , 0 2, | | 3.E sen z z si zρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ
→ ∧ ∧ ∧
= + + ≤ ≤ ≤ 
 
 
Sol. 
(a) Puesto que [ ]AB
B
A
VVrdE −=•− ∫
→→
, el potencial se puede hallar al integrar la componente tangencial del campo 
eléctrico sobre cualquier trayectoria comprendida entre los puntos A y B, y suponer que ( ) 0V A = . 
 
 
 
 z 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
x 
 
 
Las trayectorias más simples que conectan a 
los puntos ),,( 000 zyx y ),,( zyx , de 
acuerdo a la figura, son: 
165816781458143812781238 ,,,,, CCCCCC ,… 
 
),,,(2),,,(1 00000 zyxzyx ֏֏
).,,(8),,,(3 0 zyxzyx ֏⋯֏ 
 
Como en el sistema rectangular 
∧∧∧→
++= zdzydyxdxrd , al utilizar la 
trayectoria 1238C , se tiene 
 
 
1 
4 
6 
3 
8 
2 
5 
7 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
26
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , )
2 3
( , , ) ( , , ) ( , , )
2 2 3 3 4 41 1 1
0 0 0 02 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y z x y z yB x z
A x y z x y z x y z x y z
E d r E d r E d r E d r cxdx cy dy cz dz
c x x y y z z V r V r
→ → → → → → → →
→ →
− • = − • − • − • = − − − =
  = − − + − + − = −    
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
2 2 3 3 4 41 1 1
0 0 02 3 4( ) ( ) ( ) ( )V r c x x y y z z
→
 ∴ = − − + − + −  . Si ⇒=
→→
00r [ ]441331221)( zyxcrV ++−=
→
. 
 
 
 
(b) Para determinar el potencial, utilicemos la trayectoria 1238C . 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
1238 0 0 0 0 0 0
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2
0 0
1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
x y z x y z x y z
C x y z x y z x y z
yx z
x y z
E d r E d r E d r E d r
xy x y dx x y y x y dy z dz
y x y x y y x y y x y
→ → → → → → → →
− −
− • = − • − • − • =
 = − + − + + + −  
 = − + − + − + − +  
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )1/22 3 310 03 z z  − −  
 
 
( ) ( ) ( )[ ]303312/1202002/122)( zzyxyyxyrV −++−+−=∴ → 
 
 
Se utilizaron los siguientes resultados: 
 
• ( ) ( ) 2/120202/12020 yxydxyxxy +=+∫ − 
 
• ( ) ( ) ( )∫∫ +−+=+ − dyyxyxydyyxy 2/1222/1222/1222 
• 33
12 zdzz =∫ 
 
( ) ( ) 2/1222/122,, yxdyyxyvdyduyu +=+=== ∫ − 
 
 
Si en lugar de integrar sobre la trayectoria 1238C , se utiliza la trayectoria 1438C , 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
1438 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
0 0
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2
0 0
1/2 1/22 2 2 2 31
0 3
x y z x y z x y z
C x y z x y z x y z
y x z
y x z
y x z
zy x
E d r E d r E d r E d r
x y y x y dy xy x y dx z dz
y x y y x y z y x
→ → → → → → → →
− −
− • = − • − • − • =
 = − + + + − + − =  
 = − + + + + = − 
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )1/2 1/22 2 2 2 3 310 0 0 03y y x y z z + − + + −  
 
 
 
 
 
 
(c) 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
27
 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
 
 
 
x 
 
 
 
 
 
 
 
Las trayectorias más simples que unen los puntos 
),,( 000 zϕρ y ),,( zϕρ , de acuerdo a la figura, son: 
165816781458143812781238 ,,,,, CCCCCC . 
 
),,,(2),,,(1 00000 zz ϕρϕρ ֏֏ 
).,,(8),,,(3 0 zz ϕρϕρ ֏⋯֏ 
 
Tomando en consideración que en el sistema cilíndrico 
∧∧∧→
++= zdzddrd ϕϕρρρ y al utilizar la trayectoria 
1238C , se tiene lo siguiente 
 
 
[ ] [ ] 


 −=−++−−=−+−+−−=
=−−−=•−•−•−=•−
→→
→→→→→→→→
∫∫∫∫∫∫∫
)()()()()()(
2cos
0
3
0
3
3
12
0
2
0
3
0
3
3
12
0
2
0
2
0
),,(
),,(
2
),,(
),,(
),,(
),,(
2
0
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,( 0
0
00
00
0000
0
00
00
000
rVrVzzsensenzzsensensen
dzzdsendrdErdErdErdE
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
B
A
ϕρϕρρρϕϕϕρ
ρϕρϕϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
 
[ ])()( 303310202 zzsensenrV −+−−=∴
→
ϕρϕρ . Si ,00
→→
=r [ ]3312)( zsenrV +−=
→
ϕρ 
 
 
 
Si en lugar de integrar sobre la trayectoria 1238C , se utiliza la trayectoria 1438C , 
 
[ ] [ ] 


 −=−++−−=−+−+−−=
=−−−=•−•−•−=•−
→→
→→→→→→→→
∫∫∫∫∫∫∫
)()()()()()(
cos2
0
3
0
3
3
12
0
2
0
3
0
3
3
1
0
22
0
2
0
),,(
),,(
2
),,(
),,(
2
),,(
),,(
0
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,( 0
0
00
00
0000
0
00
00000
rVrVzzsensenzzsensensen
dzzddsenrdErdErdErdE
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
B
A
ϕρϕρϕϕρρρϕ
ϕϕρρϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
ϕρ 
[ ])()( 303310202 zzsensenrV −+−−=∴
→
ϕρϕρ 
 
 
 
 
 
 
7. Energía potencial y densidad de energía electrostáticas 
 
7.1 El potencial escalar y la energía (Trabajo electrostático) 
Consideremos ahora el trabajo efectuado sobre una carga de prueba q al llevarla de un punto 
→
Ar a un punto 
→
Br , en 
presencia de un campo electrostático .
→
E Como la fuerza que actúa sobre q es 
→→
= EqF , entonces la fuerza mecánica 
8 
6 
7 
1 
2 
3 
4 
5 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
28
que debe ejercer un agente externo para mover la carga en contra del campo, de manera que esta no se acelere*, es 
,m EF F q E
→ → →
= − = − y por tanto ∫∫∫∫∫ =•∇=•−=•−=•=
→→→→→→→ B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
m dVqldVqldEqldFldFW 
 
 [ ]AB
B
A
VVqldEqW −=•−=∴ ∫
→→
 (11a) 
 
ésta ecuación nos permite interpretar a qV , como la energía potencial de la carga de prueba en el campo electrostático. 
 
 
Observaciones. 
1) El trabajo electrostático es independiente de la trayectoria, solo depende de los puntos inicial y final. 
2) De la expresión (11a) se tiene la ecuación: [ ]AB
B
A
VVldE −=•− ∫
→→
 (11b) 
3) La diferencia de potencial representa el trabajo realizado para mover una carga unitaria desde A hasta B. 
4) [ ] 0=•⇒−=•− ∫∫
→→→→
C
AB
B
A
ldEVVldE y como ∫∫
→→→→
•×∇=•
SC
adEldE )( entonces 0=×∇
→
E 
 
 
Ejemplo. Determine el trabajo necesario para llevar una carga 0q del punto ),,( 111 ϕθarA = al punto 
),,( 222 ϕθbrB = en presencia del campo electrostático 24
)(
r
rQ
rE
o
∧
→→
=
επ
. 
Sol. 
Método 1. Como el trabajo solamente depende de los puntos inicial y final, utilicemos como trayectoria el arco más 
corto sobre la esfera que une los puntos ),,( 11 ϕθaA y ),,( 22 ϕθaC , y el segmento que une los puntos ),,( 22 ϕθaC 
y ),,( 222 ϕθbrB = . Es decir: 
 






•+•−=






•+•−=•−= ∫∫∫∫∫
→∧→∧→→→→→→ B
C
CB
o
C
A
AC
o
B
C
CB
C
A
AC
B
A
ldr
r
Q
ldr
a
Q
qldEldEqldEqW
22000 44 επεπ
 
 
Como 
∧∧→
+= ϕϕθθθ dadald AC sen y 
∧→
= rdrld CB , entonces 
 
10 0
0 2
1 1
0
4 4 4
B
b
a
o o oC
q Q q QQ
W q dr r
r b aπ ε π ε π ε
−   = − + = = −   
  
∫ 
 
Método 2. El potencial asociado al campo eléctrico en cuestión es 
1
4 o
Q
V
rπ ε
= , por lo tanto: 
0
0
1 1
4B A o
q Q
W q V V
b aπ ε
  = − = −    
 
 
 
 
 
 
* Si la carga se mueve infinitamente despacio, en estas condiciones la velocidad será nula y constante. 
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
29
7.2 Energía electrostática 
La energía potencial electrostática de un sistema de cargas es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una 
separación infinita hasta sus posiciones finales. 
 
A continuación derivaremos una expresión para la energía electrostática de tres cargas puntuales 21, qq y .3q 
Si queremos traer inicialmente la carga 1q desde el infinito a la posición 
→
1r cuando no hay campo alguno, el trabajo 
realizado 1W es nulo. El trabajo necesario para mover la carga 2q desde el infinito a la posición 
→
2r , en contra del 
campo producido por 1q , es )( 2122
→
= rVqW ; y para traer la carga 3q , desde el infinito a el punto 
→
3r , también debe 
realizarse trabajo en contra del campo eléctrico producido por las cargas 1q y 2q : )()( 3233133
→→
+= rVqrVqW . Por lo 
tanto, el trabajo total para reunir las tres cargas puntuales es dado por: 
 
||4
1
||4
1
||4
1
)()()(
23
32
13
31
12
21
323313212 →→→→→→
→→→
−
+
−
+
−
=++=
rr
qq
rr
qq
rr
qq
rVqrVqrVqW
ooo επεπεπ
 
 
De forma análoga se puede obtener la energía potencial electrostática de: 
 
� N cargas puntuales 
 
 
 , 1 1 1 1
1 1 1
( ) ( )
2 2 4 | |
N N N N
i j
i j i i j i
todos los pares i j i j i j o
i ji j i j i j
q q
U qV r qV r
r rπ ε
→ →
→ →
= = = =
< ≠ ≠
= = =
−
∑ ∑∑ ∑∑ (12a) 
 
� una distribución volumétrica de carga 
 
 v
1
( ) ( )
2 V
U r V r dvρ
→ →
= ∫ , (12b) 
 
 
7.3 Energía del campo electrostático 
Para el caso de una distribución localizada de carga, la energía se puede escribir como: 
 
 dvEEU
espacio
o ∫
→→
•=
2
ε
 (12d) 
 
Esta ecuación representa la energía del campo electrostático, de ella se desprende que la energía electrostática esta 
distribuida en forma continua a través del espacio con una densidad de energía 2/|| 2
→
= Eu oε . 
 
Dem ec. (12d) 
Al utilizar la ecuación (12b), la ley de Gauss en su forma diferencial, la identidad ))()()(
→→→
•∇+•∇=•∇ EVEVEV 
y el teorema de la divergencia, se tiene: 
 
v
' ' ' '
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
o o
o
V V V V
U r V r dv E V r dv V E dv V E dv
ε ερ ε
→ → → → → →
= = ∇ • = ∇ • − ∇ • =∫ ∫ ∫ ∫ 
dvEEadEV
V
o
S
o ∫∫
→→→→
•+•=
'2
)(
2
εε
, 
 
considerando una distribución localizada de carga y V suficientemente grande, se obtiene finalmente la ecuación (12d). 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
30
Ejemplo 1 
(a) Calcular el trabajo necesario para situar una carga q en cada vértice de un cuadrado de lado .a 
(b) ¿Cuanto trabajo se requiere para transportar una quinta carga positiva q del infinito al centro del cuadrado? 
(c) ¿Cuál es el trabajo total requerido para reunir el sistema de 5 cargas? 
 
qq =1 qq =4 
qq =2 qq =3 
 
(a) Recordando el significado de la energía electrostática de un sistema de cargas: 
 
1 3 2 3 3 41 2 1 4 2 4
, ,
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
( )
4 4| | | | | | | | | | | | | |
1
4 42 2
i j
i j i
pares i j pares i j o o
i ji j i j
o
q q q q q q q qq q q q q q
W q V r
r r r r r r r r r r r r r r
q q q q q q q
a a a aa a
π ε π ε
π ε π
→
→ → → → → → → → → → → → → →
< <
 
 = = = + + + + + = 
 − − − − − − − 
  = + + + + + = 
  
∑ ∑
{ }4 2
oaε
+
 
 
(b) =








−
+
−
+
−
+
−
=





 +++== →→→→→→→→
→→→→→
||||||||4
)()()()()(
45
4
35
3
25
2
15
15
54535251554,3,2,155
rr
q
rr
q
rr
q
rr
qq
rrrrqrqW
oεπ
ϕϕϕϕϕ
 
a
q
aaaa
q
oo επεπ 4
24
2/
1
2/
1
2/
1
2/
1
4
22
=





 +++= 
 
(c) { }254
4
2
5 ++= a
q
WWW
o
T επ
 
 
 
 
Ejemplo 2 
Determine la energía asociada al campo eléctrico producido por una esfera conductora aislada. 
Sol. 
 
Método 1. Si existe una carga neta Q en la esfera conductora de radio R, esta se distribuirá sobre la superficie con una 
densidad constante 24/ RQ πσ = y el campo eléctrico estará dado por: 
 
 







<
>
=
∧
→
Rrsi
Rrsi
r
rQ
E o
,0
,
4 2επ 
 
2/||||||||
,||,2||,||,||,2||,||
45352515
434232413121
arrrrrrrr
arrarrarrarrarrarr
=−=−=−=−
=−=−=−=−=−=−
→→→→→→→→
→→→→→→→→→→→→
 
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO 
rteutle 
31
R
Q
r
drQ
drd
r
Q
drdd
r
Q
drddrEEdrddrEEdrddrEE
drddrEEdvEEU
oRoRoR o
o
R
o
R
R
o
o
espacio
o
επεπ
θθ
επ
θϕθ
επ
ε
θϕθεθϕθθϕθε
θϕθεε
ππ π
π ππ ππ π
π π
88
sen
1
16
sen
1
42
sen
2
sensen
2
sen
22
2
2
2
0
2
2
0
2
0
2222
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0 0
2
0
2
0 0
2
0
2
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫
∞∞∞
∞ →→∞ →→→→
∞ →→→→
====
=•=






•+•=
=•=•=
 
 
 
Método 2. El potencial para esta distribución de carga es dado por: 
 







<
>
=
→
Rrsi
R
Q
Rrsi
r
Q
r
,
1
4
,
1
4
)(
0
0
επ
επ
ϕ 
 
2 2
2
2
0 0 00 0
1 1 1
sen
2 2 4 2 2 4 8 oS
Q QRQR Q Q
U V da R d d
R R R
π π
σ σ θ ϕ θ σ
π ε ε ε π π ε
= = = = =∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias. 
1. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy |Addison Wesley. 
2. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa. 
3. Física con Aplicaciones a la Ciencia y Tecnología| Tipler | Reverté. 
4. Física Vol. II | Halliday, Resnick, Krane | CECSA. 
5. Teoría Electromagnética | W Hayt | Mc Graw Hill.