CAPITULO 4

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TEMA: 
TALLER DEL CAPÍTULO 4, LIBRO ELEMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO, TERCERA EDICIÓN, MATTEW N.O. SADIKU
INTEGRANTES: 
URIEL MUÑOZ
ANDRÉS RUIZ
SEBASTIÁN SEGOVIA
CARRERA: INGENIERÍA EN ELECTRICIDAD
NIVEL: TERCER CICLO “B”
MATERIA: TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
FECHA: 29/01/2020
RESUMEN DEL CAPITULO 4
CAMPOS ELECTROSTATICOS
1. Introducción 
Para el estudio de este capítulo se comenzó por conceptos fundamentales en el que se aplique a campos eléctricos estáticos (o invariables en el tiempo) en el vacío. De manera que un campo electrostático es producido por una distribución de carga estática.
La electrostática se presenta en varias áreas como: la transmisión de energía eléctrica, los aparatos de rayos X y los pararrayos se asocian con potentes campos eléctricos, también los dispositivos que se emplean en la electrónica de estado solido se basan en la electrostática; entre ellos están las resistencias, los capacitores (o condensadores) y dispositivos activos como transistores bipolares y de efecto de campo, los cuales se basan en el control del movimiento de electrones mediante campos electrostáticos.
2. Ley de coulomb e intensidad de campo
La ley de coulomb puede expresarse como:
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1 y q2 ejerce sobre la otra separada por una distancia d se expresa como:
Dadas dos cargas puntuales q1 y q2 una distancia d en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:
Intensidad de campo eléctrico
El campo eléctrico es el modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Matemáticamente se lo describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor "q" sufrirá los efectos de una fuerza mecánica "F" que vendrá dada por la siguiente ecuación:
3. Campos eléctricos debidos a distribuciones continuas de carga
Cuando tenemos una distribución continua de cargas debemos considerar las variaciones infinitesimales del campo eléctrico que se producen en el espacio debidas a las variaciones infinitesimales de la distribución continua de carga:
Esta es la expresión general que nos permite determinar el campo eléctrico en cualquier situación. Para estudiar cómo se distribuye la carga en el espacio definimos la densidad volumétrica de carga:
Si en lugar de una distribución espacial tenemos una distribución en un plano, podemos definir la densidad superficial de carga:
Y en el caso de distribuciones de carga lineales se define la densidad lineal de carga:
Teniendo en cuenta estas expresiones resulta relativamente sencillo calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de carga que presentan una simetría simple.
4. Densidad de flujo eléctrico
La dirección de la densidad de flujo D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie. Podemos definir a D en el espacio libre como:
La dirección de D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.
La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:
Podemos considerar a la ecuación como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.
5. Ley de gauss – ecuación de maxwell
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada
La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana. 
Matemáticamente, 
6. Aplicaciones de la ley de Gauss
La excepción la dan las situaciones con simetrías. Se dice que una distribución es simétrica cuando efectuando un cambio en la posición no se percibe ningún cambio en la distribución. Así tenemos:
Simetría traslacional
Es aquella en que el sistema es invariante ante un desplazamiento rectilíneo. Por ejemplo, imaginemos una línea cargada rectilínea y de longitud infinita (que modelaría un cable, por ejemplo).
Simetría rotacional
Es aquella en que el sistema es invariante ante una rotación. Siguiendo con el ejemplo del cable, no apreciamos ningún cambio si rotamos en torno a él, manteniéndonos a la misma distancia. 
Simetría esférica
Corresponde a que haya simetría rotacional respecto a cualquier dirección. Una esfera cargada uniformemente se ve igual se mire desde donde se mire. 
7. Potencial eléctrico
El potencial eléctrico en un punto del espacio es una magnitud escalar que nos permite obtener una medida del campo eléctrico en dicho punto a través de la energía potencial electrostática que adquiriría una carga si la situásemos en ese punto.
El potencial eléctrico en un punto del espacio de un campo eléctrico es la energía potencial eléctrica que adquiere una unidad de carga positiva situada en dicho punto.
donde:
· V es el potencial eléctrico en un punto del campo eléctrico. Su unidad en el S.I. es el julio por culombio (J/C) que en honor a Alessandro Volta recibe el nombre de Voltio.
· Ep es la energía potencial eléctrica que adquiere una carga testigo positiva q' al situarla en ese punto
8. Relación entre E y V – ecuación de maxwell
La relación entre campo eléctrico y el potencial es.
En la figura, vemos la interpretación geométrica. La diferencia de potencial es el área bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es constante
que es el área del rectángulo sombreado.
El campo eléctrico E es conservativo lo que quiere decir que en un camino cerrado se cumple
Dado el potencial V podemos calcular el vector campo eléctrico E, mediante el operador gradiente.
9. Dipolo eléctrico y líneas de flujo 
Dipolo eléctrico
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como veremos en la página dedicada a los dieléctricos.
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo valor, separadas una distancia d.
Líneas de flujo
El flujo eléctrico a través de un área, se define como el campo eléctrico multiplicado por el área de la superficie proyectada sobre un plano perpendicular al campo. La ley de Gauss es una ley general, que se aplica a cualquier superficie cerrada. Es una herramienta importante puesto que nos permita la evaluación de la cantidad de carga encerrada, por medio de una cartografía del campo sobre una superficie exterior a la distribución de las cargas. Para geometrías con suficiente simetría, se simplifica el cálculo del campo eléctrico.
10. Densidad de energía en campos electrostáticos
Densidad de energía electrostática Si es E el campo electrostático en cada punto del espacio, la derivada 
es única para cada punto, y se llama densidad de energía electrostática de ese punto. Es una función escalar que solo depende del valor del campo en cada punto. Se prefiere, por eso, el nombre de densidad de energía del campo eléctrico o, mejor, densidad de energía del campo electrostático en ese punto.
La densidad de energía nada dice sobre la localización de la energía, un concepto nunca utilizado aquí. De hecho, la derivada de 
también es una densidad de energía.
PREGUNTAS DE REPASO
1. 
Las cargas puntuales están separadas. ¿Cuáles de los enunciados son incorrectos?
1. La fuerza sobre es repulsiva.
La fuerza sobre es de igual magnitud que la fuerza 
Conforme la distancia entre ellas decrece, la fuerza sobre aumenta linealmente.
La fuerza sobre es de igual dirección que la de la línea que une a las cargas.
Una carga puntual localizada en el punto intermedio entre y no experimenta ninguna fuerza neta. 
El plano porta una carga de . La intensidad de campo eléctricoen el origen es:
1. 
Cargas puntuales de 30 nC, -20 nC y 10 nC se localiza en (-1, 0, 2), (0, 0, 0) y (1, 5, -1), respectivamente. El flujo total que sale de un cubo de 6m por lado centrado en el origen es de: 
1. -20 nC
10 nC
20 nC
30 nC
60 Nc
La densidad de flujo eléctrico en una superficie esférica es la misma para una carga puntual de Q localizada en el origen y para una carga Q uniformemente distribuida sobre la superficie 
1. Si
1. No 
1. No necesariamente
El trabajo realizado por la fuerza para dar una carga de 1 nC un desplazamiento de es de:
1. 
La afirmación de que el campo electrostático es conservativo no significa que:
1. Tal campo sea el gradiente de un potencial escalar. 
1. Su circulación sea idéntica a cero. 
1. Su rotación se idéntico a cero.
1. El trabajo realizado en una trayectoria cerrada dentro del campo sea cero. 
1. La diferencia de potencial entre dos puntos cualquiera sea cero. 
Supongamos que en la habitación en la que usted está trabajando existe un campo eléctrico uniforme de manera que las líneas de fuerza son horizontales y forman ángulos rectos con una pared. Al caminar hacia la pared de la que emergen las líneas de fuerza en dirección a la habitación, ¿usted se dirige a
1. ¿Puntos de mayor potencial?
1. ¿Puntos de menor potencial?
1. Puntos de igual potencia (línea equipotencial)
Una carga Q esta uniformemente distribuida en una esfera de radio a. Considerando que el potencial en el infinito es de cero, el potencial en es:
1. 
1. 
1. 
1. 
Un campo potencial esta dado por . ¿Cuál de los enunciados siguientes no es cierto?
1. En el punto (1, 0, -1), V y E tienden a cero.
1. es una línea equipotencial en el plano xy.
1. La superficie equipotencial pasa por el punto P (2, -1, 4).
1. El campo eléctrico en P es V/m
1. Un vector unitario normal a la superficie equipotencial en P es .
Un campo potencial eléctrico es producido por las cargas puntuales 1μC y 4 μC localizadas en (-2, 1, 5) y (1, 3, -1), respectivamente. La energía almacenada en el campo es de 
1. 2.57 mJ
1. 5.14 mJ
1. 10.28 mJ
1. Ninguno de los valores anteriores
PROBLEMAS
1. 
Las cargas puntuales y se sitúan en (3, 2, 1) y (-4, 0, 6), respectivamente. Determine la fuerza sobre .
Cinco cargas puntuales idénticas de 15 μC se localizan en el centro y vértices de un cuadrado definido por -1 < x, y < 1, z = 0.
1. Halle la fuerza sobre la carga puntual de 10 μC en (0, 0, 2).
Calcule la intensidad de campo eléctrico en (0, 0, 2) 
 
Las cargas puntuales y se localizan en (4, 0, -3) y (2, 0, 1), respectivamente. Si , halle de manera que
1. La E en (5, 0, 6) carezca de componente z.
 
Si , entonces:
1. La fuerza sobre una carga de prueba en (5, 0, 6) carezca de componente x
 
Si entonces
Un disco circular de radio esta uniformente cargada con . Si el disco se sitúa en el plano con su eje a lo largo del eje z.
1. Demuestre que en el punto (0, 0, h)
Deduzca de ellos el campo E debido a una lámina infinitiva de carga en el plano 
a. 	 
=
=
b. como a ,
=
Una placa cuadrada descrita por -2 por tanto una carga de 12 mC/. Halle la carga total sobre la placa y la intensidad de campo eléctrico en (0, 0, 10). La lamina finita 0 en el plano z = 0 tiene una densidad de carga = nC/. Halle 
=12(4)
Donde 
En el eje ejemplo 4.6, si la línea rota 90° alrededor del punto (0, 2, 2) de manera que se convierte en , halle en (1, 1, -1)
En z= -1, 
=
Una carga puntual de 30nC se localiza en el origen, mientras que el plano y = 3 porta una carga de 10 nC/. Halle D en (0, 4, 3).
Si , determinar.
1. La densidad de carga volumétrica en (-1,0,3).
El flujo través del cubo definido por .
La carga total encerrada por el cubo.
a)
b)
c)
Una distribución de carga en el vacío posee en el caso de y cero en las demás condiciones. Determine E en r=2m y r =12m.
Para de .
Para 
Si, además de las dos cargas referidas en el ejemplo 4.10, la carga puntual se localiza en el origen, halle el potencial en (-1,5,2) suponiendo .
Una carga puntual de se localiza en el origen. Si halle.
1. El potencial en A (-3,2,6)
El potencial en B (1,5,7)
La diferencia de potencial 
Si V (0,6,-8) = V(r=10) =2;
a)
b)
c)
Puesto que , halle el trabajo realizado en el desplazamiento de una carga de de (0,5,0) a (2,-1,0) siguiendo la trayectoria.
1. (0,5,0) a (2,5,0) a (2,-1,0)
1. y=5-3x
a)
b)
Un dipolo eléctrico de se localiza en el origen halle V y E en los puntos.
1. (0,0,10)
1. (1, π/3, π/2)
a)
b) A 
Las cargas puntuales Q1=1nC, Q2=-2nC, Q3=3nC y Q4=-4nC se ubica una a la vez y en ese orden en (0,0,0), (1,0,0), (0,0,-1) y (0,0,1), respectivamente. Calcule la energía en el sistema tras la ubicación de carga.
Antes Q1 W1=0
After Q2 W2=Q2V21==
 
Antes Q3 ,
W3=
 =
 =
 =
Si V=x-y+xy+2z V, halle E en (1,2,3) y la energía electrostática almacenada en un cubo de 2m por lao en el origen.
Enuncie la ley de Gauss. Deduzca la ley de Coulomb de la de Gauss, lo que equivale a afinar que esta es una formulación alterna de la coulomb, la que a su vez está implícita en la ecuación de maxwell 
Determine la densidad de carga debida a cada una de las siguientes densidades de flujo eléctrico:
a) 
b) 
c) 
Sea E=xya, x^2ay, halle.
a) La densidad de flujo eléctrico D.
b) la densidad de carga volumétrica pv.
El plano x+2y=5 porta una carga ps=6nC/m^2. Determine E en (-1,0,1).
En el punto (-1,0,1)
En el vacío, . Determine la carga total almacenada en la región .
En cierta región, el campo eléctrico está dado por:
 
1. Halle la densidad de carga.
1. Calcule la carga total encerrada por el volumen 
1. Confirme la ley de Gauss hallando el flujo neto a través de la superficie del volumen descrito en el inciso b).
El modelo del átomo de hidrogeno de Thomson es una esfera de carga positiva con un electrón (una carga puntual) como su centro. La carga total positiva equivale a la carga electrónica . Compruebe que cuando el electrón se encuentra a una distancia r del centro de la esfera de carga positiva es atraído con una fuerza
Donde R es el radio de la esfera.
Tres cascarones esféricos concéntricos r=1, r=2 y r =3 m, respectivamente, poseen distribuciones de cargas puntuales de 2, -4 y 
1. Calcule el flujo a través de r=1.5m y r=2.5m.
1. Halle D en r=0.5, r=2.5 y r=3.5m (Nota: D es una función de cambio y posición)
Con r=1.5m
Con r=2.5m
Con r=0.5 
Con r=2.5
Con r=3.5
Sea 
1. Determine D en cualquier punto.
1. Cuando 
1. Cuando 
Por lo tanto
Con p>2, 
Por lo tanto, tenemos que
Sea 
1. Halle el flujo neto que cruza la superficie r =2m y r=6m.
Con r = 6;
Determine D en r = 1 m y r = 5 m.
Thus,
Halle el trabajo realizado en la transferencia de una carga de 5 C de P(1,2,-4) a R(3,-5,6) en un campo eléctrico.
Puesto que el campo eléctrico en cierta región es 
Determine el trabajo realizado en desplazamiento de una carga de de
1. A (1,0,0) a B (4,0,0)
B (4,0,0) a C (4,30°,0)
 
C (4,30°,0) a D (4,30°,-2)
A a D
En un campo eléctrico calcule la energía consumida para transferir una carga de 
1. De A (5,30°,0°) a B (5,90°,0°)
De A a C (10,30°,0°)
De A a D (5,30°,60°)
De A a E (10,90°,60°)
Donde F es (10,30,60)
Sea , calcule la energía consumida para transferir una carga puntual de de (1,-1,2) a (2,1,-3).
Las cargas puntuales Q y –Q se localizan en (0, d/2,0) y (0,-d/2,0). Demuestre que, en el punto, donde >> d.
Halle el correspondiente campo E
Determine el trabajo necesario para transferir las cargas Q1=1Mc Y Q2=-2MC del infinito a los puntos (-2,6,1) y (3,-4,0), respectivamente.
Una carga puntual Q se localiza en el origen. Calcule la energía almacenada en la regiónr>a.
Determine la energía acumulada en la región hemisférica r<2m, 0<<, donde existe.
Si , calcule la energía dentro de la región definida por 1<p<4,-2<z<2, 0<<
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