3 ejercicios

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0
2
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
LISTA DE EJERCICIOS №03
Curso: Cálculo II Semestre: 2021 - B
Teorema (Binomio de Newton): Sean a; b 2 R; n 2 N = f0; 1; 2; � � � g, entonces:
(a+ b)n =
nX
j=0
 
n
j
!
an�j � bj
Donde 
n
j
!
=
n!
(n� j)! � j!
1 Integración de potencias de funciones trigonométricas.
1. Sea n 2 N. Demuestre que
Z
cos2n+1(x) dx =
nX
k=0
 
n
k
!
(�1)k
2k + 1
sen2k+1(x) + C
2. Sea n 2 N. Demuestre que
Z
sen2n+1(x) dx = �
nX
k=0
 
n
k
!
(�1)k
2k + 1
cos2k+1(x) + C
3. Sea n 2 N. Demuestre que
Z
cos2n(x) dx =
1
2n+ 1
nX
k=0
 
n
k
!Z
cosk(u) du+ C
4. Sea n 2 N. Demuestre que
Z
sen2n(x) dx =
nX
k=0
 
n
k
!
(�1)k
Z
cos2k(x) dx+ C
1
G
A
A
M
2
0
2
1
5. Recuerde que :
•
Z
tan(x) dx = � ln(j cosxj) + C
•
Z
tan2(x) dx = �tan(x)� x+ C
Sea n 2 N; n > 2, as�� n = k + 2 para alg�un k 2 N. Demuestre que
Z
tann(x) dx =
tank+1(x)
k + 1
�
Z
tank(x) dx+ C
6. Recuerde que :
•
Z
cot(x) dx = ln(jsenxj) + C
•
Z
cot2(x) dx = �cot(x)� x+ C
Sea n 2 N; n > 2, as�� n = k + 2 para alg�un k 2 N. Demuestre que
Z
cotn(x) dx =
�cotk+1(x)
k + 1
�
Z
cotk(x) dx+ C
7. Sea n 2 N. Demuestre que
Z
sec2n(x) dx =
nX
k=0
 
n
k
!Z
tan2k(x) dx
8. Sea n 2 N. Demuestre que
Z
csc2n(x) dx =
nX
k=0
 
n
k
!Z
cot2k(x) dx
9. Recuerde que :
•
Z
sec(x) dx = ln(jsecx+ tanxj) + C
Sea n 2 N; n � 1. Demuestre que
Z
sec2n+1(x) dx =
sec2n�1(x) � tan(x)
2n
+
(2n� 1)
2n
Z
sec2n�1(x) dx
10. Recuerde que :
•
Z
csc(x) dx = � ln(jcscx+ cotxj) + C
Sea n 2 N; n � 1. Demuestre que
Z
csc2n+1(x) dx =
�csc2n�1(x) � cot(x)
2n
+
(2n� 1)
2n
Z
csc2n�1(x) dx
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A
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0
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Gabriel Andre Asmat Medina
Lima, Setiembre del 2021
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	Integración de potencias de funciones trigonométricas.