Tablas de Verdad Conceptos

Vista previa del material en texto

Una fórmula bien formada del cálculo proposicional se define mediante las 
siguientes reglas: 
1. Una fórmula atómica es una fbf 
2. Si A es una fbf, ¬A también lo es Si A y B son dos fbfs, entonces (A → B), (A 
∧ B), (A ∨ B) y (A ↔ B) también son fbfs 
3. Si P(k) es una fbf en la que aparece la constante k y en la que no aparece la 
variable v, y si P(v) es el resultado de reemplazar al menos una de las 
apariciones de k por v en P(k), entonces ∀v P(v) y ∃v P(v) son fbfs 
• Las tres primeras cláusulas hacen que estas fbfs sean una extensión de las de 
la lógica proposicional   
• Por supuesto, una fórmula (a secas) es cualquier secuencia finita de símbolos 
del alfabeto (sea o no una fbf). Por ejemplo: “F) a → ∧ x”. 
 
Ej: Dado el conjunto P de letras proposicionales: 
 P{p, q, r, s} 
 
Son formulas del lenguaje: 
- p - (formula atómica) por la regla 1. 
¬s, (p→q) ∧ r , ((p→q) →r) →t ( por la regla 2.) 
 
El uso adecuado de paréntesis es muy importante para definir las subestructuras de 
una formula. 
Por lo tanto: p ∧ q → r es diferente a (p ∧ q) → r 
 
• Una FBF es una tautología si toma el valor de verdad bajo cada una de las 
posibles asignaciones de valores de verdad a las variables de enunciado que 
aparecen en ella. 
• Una FBF es una contradicción si toma el valor de verdad 0 bajo cada una de 
las posibles asignaciones de valores de verdad a las variables de enunciado 
que aparecen en ella. 
Tablas De 
Verdad 
Parte 2 
 
• Una forma enunciativa que no cae en una u otra de estas categorías, se 
denomina contingencia. 
 
Implicación Tautológica 
Son aquellas afirmaciones que conllevan a otra, sin que la segunda sea explicada 
explícitamente 
Modus Ponens o Razonamiento Directo 
[(p q) p] q. 
En palabras: Si p implica q, y si p es verdadera, entonces q debe ser 
verdadera. 
Ejemplo 
Si p: "Amo matemáticas" y q: "Pasare este curso," entonces. 
Si mi amor por las matemáticas implica que pasaré este curso, y si 
de hecho amo matemáticas, entonces pasaré este curso. 
Forma argumental: 
Si amo matemáticas, entonces pasaré este curso. 
Amo matemáticas. 
 
Por lo tanto, pasaré este curso. 
En símbolos: 
p q 
p 
 
 q 
 
 
 
 
 
Modus Tollens o Razonamiento Indirecto 
[(p q) ~q] ~p 
En palabras, si p implica q, y q es falsa, entonces p es falsa también. 
Ejemplo 
Si tenemos una vez más p: " Amo matemáticas " y q: " Pasaré este curso," 
obtenemos. 
Si amo matemáticas entonces pasaré este curso; pero sé que no lo pasaré. 
Por lo tanto, no amo matemáticas. 
En forma argumental: 
Si amo matemáticas, entonces pasaré este curso. 
No voy pasar el curso. 
 
Por lo tanto, no amo matemáticas. 
En símbolos: 
p q 
~q 
 
 ~p 
Simplificación 
 (p q) p 
y 
(p q) q 
En otras palabras, la primera dice: Si p y q son verdaderas, entonces, en particular, 
p es verdadera. 
Ejemplo 
Si el cielo es azul y la luna es redonda entonces (en particular) el cielo es azul. 
Forma argumental 
El cielo es azul y la luna es redonda. 
 
Por lo tanto, el cielo es azul. 
 
En símbolos: 
p q 
 
 p 
La otra simplificación, (p q) q es similar. 
 
Adición 
p (p q) 
En otras palabras, la primera dice: Si p es verdadera, entonces sabemos que p o q 
es verdadera. 
Ejemplo 
Si el cielo es azul, entonces el cielo es azul o algunos patos son canguros. 
Forma argumental 
El cielo es azul. 
 
Por lo tanto, el cielo es azul o algunos patos son canguros. 
 
En símbolos: 
p 
 
 p q 
Observe que no importa lo que utilizamos como q, tampoco importa si q es 
verdadera o falsa. La razón es que la disyunción p q es verdadera si una de los dos 
p o q es verdadera. Ya que empezamos sabiendo que p es verdadera, no importa 
el valor de verdad de q. 
 
 
 
 
 
Silogismo Disyuntivo o Uno-O-El-Otro 
[(p q) (~p)] q 
[(p q) (~q)] p 
Ejemplo 
Si el cocinero o el mayordomo lo hicieron, pero sabemos que el cocinero no lo hizo, 
entonces el mayordomo debió haberlo hecho. 
Forma de argumento 
El cocinero o el mayordomo lo hicieron. 
El cocinero no lo hizo. 
 
Por lo tanto, el mayordomo lo hizo. 
En símbolos: 
p q 
~p 
 
 q 
 
Transitiva 
 
[(p q) (q r)] (p r) 
Ejemplo 
Cuando llueve en la tierra se hace lodo y cuando la tierra es lodosa mis zapatos se 
ensucian. Así, cuando llueve mis zapatos se ensucian. 
Forma de argumento 
Cuando llueve en la tierra se hace lodo. 
Cuando la tierra es lodosa mis zapatos se ensucian. 
 
Por lo tanto, cuando llueve mis zapatos se ensucian. 
En símbolos: 
p q 
q r 
 
 p r 
 
A veces pensamos esto como que nos permite a las flechas de la cadena juntos: 
Las dos primeras consecuencias pueden escribirse juntas como p q r, y si nos 
dice "siga las flechas" de principio a fin, obtenemos p r. 
 
Equivalencia Tautológica 
 
Son FBF que tienen la forma A<->B donde A y B son proposiciones (atómicas o 
moleculares) que son lógicamente equivalentes. En otras palabras, si A<->B es 
tautológica, entonces A==B. 
 
 
Implicaciones Tautológicas 
 
Forma Simbólica Forma de Argumento Nombre 
 1. [(p q) p] q 
p q 
p 
 
q 
Modus Ponens 
(Razonamiento directo) 
 2.[(p q) ~q] ~p 
p q 
~q 
 
~p 
Modus Tollens 
(Razonamiento indirecto) 
 3. (p q) p 
 (p q) q 
p q 
 
p 
p q 
 
q 
 
Simplificación 
 4. p (p q) 
p 
 
p q 
Adición 
 5. [(p q) (~p)] q 
 [(p q) (~q)] p 
p q 
~p 
 
q 
p q 
~q 
 
p 
 
Silogismo Disyuntivo 
(Uno-o-el-Otro) 
 6. [(p q) (q r)] (p r) 
p q 
q r 
 
 p r 
Transitividad de 
 
 
 
Equivalencias Tautológicas 
Forma Simbólica Forma Argumento Nombre 
 1. p ~(~p) 
p 
 
~(~p) 
~(~p) 
 
p 
 
Doble Negación 
 2. p q q p 
 p q q p 
p q 
 
q p 
p q 
 
q p 
 
Ley Conmutativa 
 3. (p q) r p (q r) 
 (p q) r p (q r) 
(p q) r 
 
 p (q r) 
p (q r) 
 
(p q) r 
 
Ley Asociativa 
 4. ~(p q) (~p) (~q) 
 ~(p q) (~p) (~q) 
~(p q) 
 
(~p) (~q) 
(~p) (~q) 
 
 ~(p q) 
~(p q) 
 
(~p) (~q) 
(~p) (~q) 
 
 ~(p q) 
 
Ley De Morgan 
 5. p (q r) 
(p q) (p r) 
 p (q r) 
(p q) (p r) 
p (q r) 
 
(p q) (p r) 
 
(p q) (p r) 
 
 p (q r) 
p (q r) 
 
(p q) (p r) 
 
Ley Distributiva 
(p q) (p r) 
 
p (q r) 
 
 6. p p p 
 p p p 
p p 
 
p 
p 
 
p p 
p p 
 
p 
p 
 
p p 
 
Ley Idempotente 
 7. (p q) ((~p) q) 
p q 
 
(~p) q 
(~p) q 
 
p q 
 
Switcheroo 
 8. (p q) (~q ~p) 
p q 
 
(~q)
(~p) 
(~q)
(~p) 
 
p q 
 
Contra positiva 
 9. (p q) 
((p q) (q p)) 
p q 
 
(p q) (q p) 
 
(p q) (q p) 
 
p q 
 
Significado de la 
Bicondicional 
 
 
 
 
Referencias 
Arrnaz, J. A. (2010). Iniciación A La Lógica Simbólica (Tercera ed.). México: Trillas. 
León, J. C. (s.f.). Lógica de predicados. Obtenido de Universidad de Murcia : chrome-
extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/viewer.html?pdfurl=https%3A%2F%
2Fwww.um.es%2Fdocencia%2Fjcleon%2Flogica2%2Flogica2_3_sintaxis_color.pd
f&clen=142962&chunk=true