LOGICA 1 - Jair Garcia

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Unidad I: Introducción a la lógica Cálculo proposicional 
Una introducción a las matemáticas de la computación 1 
1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES 
 
1.1.1 Cálculo proposicional 
 
La lógica estudia las formas del pensamiento desde el punto de vista de su estructura; esto 
es, analiza las relaciones entre las proposiciones (o enunciados) y no el contenido de éstas; en 
particular se analiza la veracidad o falsedad de un razonamiento. 
 
Los razonamientos lógicos se utilizan en áreas como: matemática (para realizar pruebas 
matemáticas, demostrar teoremas etc), derecho (para dar argumentos legales que demuestren la 
culpabilidad o inocencia de una persona, etc.), vida cotidiana ( para explicar las razones por las 
que salimos mal en un examen, por las que llegamos tarde a casa, etc.) en computación (par 
demostrar que los programas hacen precisamente lo que deberían hacer o bien lo que queremos 
que hagan); en general se usan en cualquier hecho que involucre un conjunto de hipótesis. 
 
En el desarrollo de cualquier teoría, se hacen afirmaciones en forma de oraciones. Tales 
afirmaciones pueden ser proposiciones o no. 
 
Definición 1.1.1 (Proposición) 
Una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa pero no 
ambas. En general, una proposición se expresa como una afirmación declarativa y no como una 
pregunta o una instrucción (orden). Una proposición también se llama enunciado. 
 
Notación: las proposiciones generalmente se representan con las letras minúsculas p, q, r, etc. 
Sin embargo algunos autores simbolizan las proposiciones con letras mayúsculas como son P, Q, 
R y hasta por A, B, C, ... En este libro usaremos letras minúsculas para denotar las proposiciones. 
Además, usaremos p: 2<5, para indicar que p es la proposición “2 es menor que 5, 2 < 5”. 
 
Definición 1.1.2 (Valor de verdad) 
Se denomina valor de verdad de una proposición a la veracidad o falsedad de la proposición 
o enunciado. El valor de verdad de algunas proposiciones depende del lugar y del tiempo. 
 
Ejemplo 1.1.1 
a) Oraciones que son proposiciones. 
p: Una decena tiene 10 unidades. 
q: México está en Europa. 
r: 2 + 2 = 3. 
s: El hombre llegó a la luna en el año 2000. 
t: la tierra es redonda. 
u: El número 9 es primo. 
v: 2 + 3 es un número par. 
w: 15 es divisible por 7. 
x: 2 > 5. 
y: Dante escribió la “Divina Comedia”. 
z: Hoy es lunes 
 
Observe que cada una de estas oraciones puede ser calificada como falsa o verdadera. 
 
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b) Oraciones que no son proposiciones. 
p: 1 + 1. 
q: ¿Qué día es hoy?. 
r: Borra el pizarrón. 
s: La tierra es el único planeta del universo que tiene vida. 
t: Este enunciado es falso. 
u: El hombre llegará a Marte en el año 2005. 
v: ¿Cómo estás?. 
w: Levántate y desayuna. 
x: Compra dos helados. 
y: x + 2 = 5. 
z: ¿Quieres ser mi novia?. 
 
Proposición Razón 
P No tiene sentido. 
q, v, z Está expresada en forma de pregunta y una pregunta no puede ser 
calificada como falsa o verdadera. 
r, w, x Está expresada en forma de orden y una orden no puede ser calificada 
como falsa o verdadera. 
s Es ambigua, la respuesta depende de quien la conteste. 
t No se conoce el enunciado al cual se hace referencia. 
u Es necesario estar en un año posterior al 2005 para asignar un valor de 
verdad. 
y Es necesario conocer el valor de x para asignar un valor de verdad a la 
proposición. 
 
Ejemplo 1.1.2 
Determine si las siguientes oraciones son proposiciones; si son proposiciones establezca su 
valor de verdad. 
Oración Proposición (Si/No) Valor de verdad 
a) p: 2 es un número irracional. Si (Verdadera) 
b) q: 2 + 3 es un número par. Si (Falsa) 
c) r: 5-3. No 
d) s: 4 es un múltiplo de 12. Si (Falsa) 
e) t: ¡Hola! No 
f) u: ¿Terminaste tu tarea? No 
g) v: 2 es un número primo. Si (Verdadera) 
h) w: x -1 > 5. No 
i) x: 4+1 = 5 Si (Verdadera) 
j) y: 15 es un número primo Si (Falsa) 
 
El valor de verdad de las proposiciones del ejemplo 1.2, no dependen del lugar ni del 
tiempo, sin embargo si se considera la proposición “ hoy es lunes ” el valor de verdad de esta 
proposición dependerá del tiempo, esto es, si hoy es lunes, entonces la proposición es verdadera, 
pero, si hoy es martes la proposición es falsa. Lo mismo ocurre con las proposiciones: “está 
lloviendo”, “hace frío”, etc. 
 
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1.1.2 Conectores lógicos 
 
Las proposiciones pueden ser: 
• Simples. 
• Compuestas. 
 
Definición 1.1.3 (Proposición simple) 
Es una proposición que no puede descomponerse en algo más sencillo, es decir, son 
proposiciones formadas por una sola oración. 
 
Definición 1.1.4 (Proposición compuesta) 
Es una proposición que se forma a partir de dos o más proposiciones simples, las cuales se 
unen por conectivos de enlace. Estos conectivos de enlace se conocen como conectivos lógicos. 
 
La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no 
del contenido de la proposición o proposiciones simples. 
 
Definición 1.1.5 (Conectivos lógicos) 
Los conectivos lógicos son signos, con significado, que tienen como función enlazar una 
proposición simple con otra, con el fin de construir proposiciones compuestas. 
 
Conectivos lógicos 
• Negación. 
• Conjunción. 
• Disyunción. 
• Implicación o condicional. 
• Doble implicación o bicondicional. 
 
Los valores de verdad de las proposiciones compuestas, pueden describirse mediante tablas 
de verdad. 
 
Definición 1.1.6 (Tabla de verdad) 
La tabla de verdad de una proposición compuesta p formada por las proposiciones simples 
p1, p2, ..., pn enlista todas las combinaciones posibles de los valores de verdad para p1, p2, ..., pn, 
donde 1 (uno) indica verdadero y 0 (cero) indica falso, de modo que para cada una de estas 
combinaciones se indica el valor de verdad de p. 
 
Definición 1.1.7 (Negación) 
Si p es una proposición, se puede formar la negación de p, usando algunas de las siguientes 
palabras de enlace: 
• No... 
• No es cierto que... 
• Es falso que... 
• No ocurre que... 
• No sucede que... 
• No es el caso que... 
 
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precediendo esta frase a la proposición p, o si es posible insertando en p la palabra no. La 
negación se denota por p ( o bien por ∼p, ¬p o por p’ ) y se lee como “no p”. En este libro en 
particular usaremos la notación p para indicar la negación de una proposición. 
 
Si el valor de verdad de una proposición p es verdadero (1), entonces el valor de verdad de 
la negación de p ( p ) es falso (0) y si el valor de verdad de p es falso (0), entonces el valor de 
verdad de p es verdadero (1). El valor de verdad de la negación de una proposición se resume en 
la siguiente tabla de verdad. 
Tabla de verdad ( p ) 
p p 
0 1 
1 0 
 
Ejemplo 1.1.3 
Sea p: El agua es incolora. 
La negación de p es una proposición que puede escribirse como: 
p : El agua no es incolora. 
p : No es el caso que el agua es incolora. 
p : No sucede que el agua es incolora. 
p : No ocurre que el agua es incolora. 
 
Como el valor de verdad de la proposición p es verdadero, p es falsa. En el lenguaje 
común normalmente usamos la expresión “el agua no es incolora”. Dado que p es una 
proposición, podemos expresar la negación de ésta como: )( p : No es cierto que el agua no es 
incolora. Sabemos que el valor de verdad de p es falso por tanto el valor de verdad de )( p es 
verdadero. 
 
Ejemplo 1.1.4 
 q: Hoy es martes. 
q : Hoy no es martes. 
q : No es cierto que hoy es martes. 
q : Es falso que hoy es martes. 
q : No ocurre que hoy es martes. 
El valor de verdad de esta proposición depende del tiempo. 
Si q es falso, q es verdadero. 
Si q es verdadero, q es falso. 
)(q : Es falso que hoy no es martes:hoy es martes. 
 
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Ejemplo 1.1.5 
Proposición Valor de verdad Negación Valor de verdad 
a) s: 2 < 5. 1 s : 2≥ 5 0 
b) t: 3 es múltiplo de 6. 0 t : 3 no es múltiplo de 6 1 
 
Definición 1.1.8 (Conjunción) 
La conjunción de las proposiciones p y q se puede formar usando algunas de las siguientes 
palabras de enlace: 
• Y... • Pero... 
• Aunque... • Sin embargo... 
• Como... • Aún... 
• A la vez... • No obstante... 
• A pesar de... • Tanto ... como... 
Y se denota por p ∧ q que se lee “p y q”. 
 
Si se conjuntan dos proposiciones que efectivamente sean verdaderas – ambas- se obtiene 
una proposición compuesta verdadera. Pero si se conjuntan dos proposiciones y una es falsa o las 
dos, se obtendrá entonces una proposición falsa. 
 
Resumimos el valor de verdad de la conjunción de dos proposiciones en la siguiente tabla 
de verdad. 
 
Tabla de verdad (p∧q ) 
p q p∧q 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
Ejemplo 1.1.6 
a) Considere las proposiciones p y q definidas como: p: 5<7, q: 9>3 
Entonces la conjunción de p y q puede escribirse como: 
p∧q :5 <7 y 9>3. 
p∧q : 5<7 pero 9>3. 
p∧q : 5<7 aunque 9>3. 
p∧q : 5<7 sin embargo 9>3. 
Como las proposiciones p y q son verdaderas p∧q también es verdadera. 
 
b) r: El basic es un lenguaje de programación 
s: El pascal es un lenguaje de programación 
r∧s : El basic es un lenguaje de programación y el pascal es un lenguaje de programación. 
r∧s : El basic y el pascal son lenguajes de programación. 
r∧s : Tanto el basic como el pascal son lenguajes de programación. 
Como las proposiciones r y s son verdaderas r∧s también es verdadera. 
 
 
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c) m: Esta lloviendo. 
n: Hace sol. 
 
m∧n :Está lloviendo y hace sol. 
m∧n :Está lloviendo pero hace sol. 
m∧n : Está lloviendo a pesar de que hace sol. 
m∧n : Está lloviendo no obstante hace sol. 
El valor de verdad de m∧n depende del tiempo. 
 
d) p: 9 es un número primo 
q: 9 es un número impar. 
p∧q : 9 es un número primo y 9 es un número impar. 
p∧q : 9 es un número primo pero 9 es un número impar. 
p∧q :9 es a la vez par e impar. 
Como p es falsa y q es verdadera p∧q es falsa. 
 
e) p: 2 + 2 = 4. 
q: 2 x 3 = 6. 
p∧q: 2 + 2 = 4 y 2 x 3 = 6. 
Como p es verdadera y q es verdadera p∧q es verdadera. 
 
f) p: Hoy es lunes 
q: Está nublado 
qp ∧ : No es cierto que hoy es lunes y está nublado. 
qp ∧ : No es cierto que, hoy es lunes y está nublado. 
El valor de verdad de estas proposiciones depende del tiempo. 
 
La disyunción puede ser inclusiva o exclusiva. 
 
Definición 1.1.9 (Disyunción inclusiva) 
La disyunción inclusiva de las proposiciones p y q se puede formar usando la palabra de 
enlace o y es la relación que se establece entre dos proposiciones indicando que al menos una de 
ellas es verdadera, aunque puede ocurrir que lo sean ambas y se denota por p∨q, que se lee “p o 
q”. 
 
En la siguiente tabla se resume el valor de verdad de la disyunción inclusiva de dos 
proposiciones. 
 
Tabla de verdad ( p∨q ) 
p q p∨q 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
 
 
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Ejemplo 1.1.7 
a) p: El tigre es carnívoro. Verdadera 
q: El tigre es un animal felino. Verdadera 
p∨q : El tigre es carnívoro o el tigre es un animal felino. Verdadera 
 
b) r: 7>2. Verdadera 
s: 5<0. Falsa 
r ∨s : 7>2 o 5<0. Verdadera 
 
c) j: 4 es par. Verdadera 
k: 4 es impar. Falsa 
l: 4 es primo. Falsa 
j∧l: 4 es par y 4 es primo. Falsa 
k∧l: 4 es impar y 4 es primo. Falsa 
(j∧l)∨(k∧l): 4 es par y 4 es primo, o 4 es impar y 4 es primo. Falsa 
 
lj ∧ : Es falso que, 4 es par y 4 es primo. Verdadera 
jl ∧ : No es cierto que 4 es primo y 4 es par. Verdadera 
 
Definición 1.1.10 (Disyunción exclusiva) 
La disyunción exclusiva de las proposiciones p y q se puede formar usando las palabras de 
enlace: 
p...ó...q 
p...o...q pero no ambas. 
 
La disyunción exclusiva de dos proposiciones es la relación que se establece entre dos 
proposiciones señalando que necesariamente una es verdadera y la otra es falsa, es decir, que no 
pueden ser ambas verdaderas o ambas falsas. 
 
Tabla de verdad (p∨q) 
p q p∨q 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
Nota 1.1.1: Usaremos la o acentuada (ó) para diferenciar la disyunción exclusiva de la inclusiva. 
Nota 1.1.2: Observe que siempre que la disyunción exclusiva es verdadera la disyunción 
inclusiva también es verdadera. 
 
Ejemplo1.1.8 
a) p: Abril tiene 30 días. Verdadera 
q: Abril tiene 31 días. Falsa 
p∨q: Abril tiene 30 días ó abril tiene 31 días Verdadera 
p∨q: Abril tiene 30 o 31 días. Verdadera 
 
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Puede ocurrir una cosa o la otra, pero no pueden ocurrir ambas. La expresión o tiene 
sentido exclusivo. 
 
b) s: Trabajo. 
t: Estudio. 
s∨t: Trabajo o estudio pero no ambas. 
El valor de verdad de estás proposiciones depende de la persona a la que se cuestione. 
 
c) m: 2 es par. Verdadera 
n: 2 es primo. Verdadera 
m∨n: 2 es par o dos es primo. Verdadera 
m∨n: 2 es par ó 2 es primo. Falsa 
nm∨ : no es cierto que, 2 es par o primo pero no ambos. Verdadera 
nm∨ : 2 no es par o 2 es primo pero no ambas. Verdadera 
 
 
Definición 1.1.11 (Implicación o condicional) 
La implicación o condicional de las proposiciones p y q se denota por p → q que se lee “Si 
p, entonces q”. Y se puede formar usando las palabras de enlace: 
 
• Si p, entonces q. • p implica q. 
• p sólo si q. • q si p. 
• Cuando p, q. • q es una condición necesaria para p. 
• p es una condición suficiente para q. • p luego q. 
• No q a menos que p. • p por consiguiente q. 
• p por lo tanto q. • p en consecuencia q. 
 
La proposición p también se llama hipótesis, antecedente o condición suficiente, y la 
proposición q, conclusión, consecuente o condición necesaria. 
 
Nota 1.1.3: Al referirnos a los elementos constitutivos de una proposición condicional hay que 
hacerlo considerando las siguientes parejas: 
 Hipótesis → conclusión. 
 Antecedente → consecuente. 
 Condición suficiente → condición necesaria. 
 
Consideremos un ejemplo de proposición condicional, y examinemos su valor de verdad. 
 
Ejemplo 1.1.9 
Sean p: estudio q: aprobaré 
p→q: Si estudio, entonces aprobaré. 
 
Asignemos valor de verdad a las proposiciones. 
 
 
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1) Consideremos que p es falsa y q es falsa, y consideremos la proposición condicional con 
los valores de verdad indicados: 
Si no estudio, entonces no aprobaré. 
El valor de verdad que asignamos a esta proposición condicional es verdadero ya que es 
razonable pensar que si no estudio no apruebo. 
 
2) Consideremos que p es falsa y q es verdadera, y consideremos la proposición condicional 
con los valores de verdad indicados: 
Si no estudio, entonces aprobaré. 
En este caso no se ve claro el determinar un único valor de verdad a la proposición ya que 
hay quien diga que si me copio puedo aprobar sin necesidad de estudiar en cuyo caso la 
proposición es verdadera, pero por otro lado, si no estudio no puedo aprobar por lo que 
obtendría una proposición falsa. En la definición de verdad de esta proposición veremos 
que se considera a la proposición como verdadera. 
 
3) Consideremos que p es verdadera y q es falsa, y consideremos la proposición condicional 
con los valores de verdad indicados: 
 
Si estudio, entonces no aprobaré. 
El valor de verdad que asignamos a esta proposición condicional es falsoya que nos 
resulta razonable pensar que si estudio no apruebe. 
 
4) Consideremos que p es verdadera y q es verdadera, y consideremos la proposición 
condicional con los valores de verdad indicados: 
Si estudio, entonces aprobaré. 
El valor de verdad que asignamos a esta proposición condicional es verdadero ya que es 
lógico pensar que si estudio apruebe. 
 
Con este ejemplo observamos que no siempre concuerda con el lenguaje coloquial la 
asignación del valor de verdad de una proposición en el contexto de la lógica. 
 
En la siguiente tabla se resume el valor de verdad de la implicación entre dos 
proposiciones. 
Tabla de verdad (p→) 
p q P→q 
0 0 1 
0 1 1 
1 0 0 
1 1 1 
 
Para comprender el valor de verdad de la proposición condicional examinemos el siguiente 
ejemplo. 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 1.1.10 
Consideremos las siguientes proposiciones: 
p: Tengo dinero. 
 
q: Voy al cine. 
p→q: Si tengo dinero, entonces voy al cine. 
 
Asignemos valor de verdad a las proposiciones. 
1) p es verdadera y q es verdadera. 
La proposición p → q es verdadera ya que se cumplió con ir al cine si se tenía dinero. 
 
2) p es verdadera y q es falsa. 
La proposición p → q es falsa ya que no se cumplió con la promesa de ir al cine si se tenía 
dinero. 
 
3) p es falsa y q es verdadera. 
La proposición p → q es verdadera ya que cumplió la promesa aunque no se tenía dinero, y 
por tanto no se dijo mentira. 
 
4) p es falsa y q es falsa. 
 
La proposición p→q es verdadera ya que no se dijo ninguna mentira, no se tenía dinero por 
tanto no se fue al cine. 
 
En el lenguaje común, lo usual es que la hipótesis y la conclusión de una proposición 
condicional tengan cierta relación; pero en lógica, no es necesario que la hipótesis y la conclusión 
se refieran al mismo tema. 
 
Ejemplos 1.1.11 
a) p: 2<5. 
q: Tengo clases de matemáticas. 
p→q: Si 2 < 5, entonces tengo clases de matemáticas. 
 
b) p: 8 es par. verdadera 
 q: 2 es factor de 8. verdadera 
p→q: Si 8 es par, entonces 2 es factor de 8. verdadera 
p→q: 2 es factor de 8 si 8 es par. 
p→q: Una condición necesaria para que 8 sea par es que 2 sea factor de 8. 
p→q: Una condición suficiente para que 2 sea factor de 8 es que 8 sea par. 
p→q: 8 es par sólo si 2 es factor de 8. 
p→q: 8 es par en consecuencia 2 es factor de 8. 
p→q: 8 es par por lo tanto 2 es factor de 8. 
p→q: 8 es par luego 2 es factor de 8. 
p→q: 2 no es factor de 8 a menos que 8 sea par. 
 
 
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En este ejemplo se puede observar que la proposición condicional se puede escribir de 
diferentes formas pero en esencia significan lo mismo. 
 
c) s: Estudio. T: Tengo tiempo. 
 p→q: Estudio sólo si tengo tiempo. 
 
d) p =Juan es alto. q = Iremos a Roma. 
p→q Si Juan es alto entonces iremos a Roma. 
 
Ejemplo 1.1.12 
Escribe las siguientes proposiciones de la forma “Si p entonces q”. 
a) María será una buena estudiante si estudia mucho. 
 Si maría estudia mucho, entonces será una buena estudiante. 
 
b) Juan puede tomar cálculo sólo si ha aprobado el segundo o tercer grado de bachillerato. 
Si Juan cursa cálculo, entonces tiene el nivel de segundo o tercer grado de bachillerato. 
 
c) Cuando cantas, me duelen los oídos. 
Si cantas, entonces me duelen los oídos. 
 
 
 
d) Una condición necesaria para que el triángulo t sea equilátero es que t tenga iguales sus 
tres ángulos. 
 
Si el triángulo t es equilátero, entonces t tiene iguales sus tres ángulos. 
 
e) Una condición suficiente para que la función f sea continua es que f sea diferenciable. 
Si una función f es diferenciable, entonces f es continua. 
 
f) No estoy en el bosque de Chapultepec a menos que esté en el museo del Papalote. 
Si estoy en el museo del papalote, entonces estoy en el bosque de chapultepec. 
 
Ejemplo 1.1.13 
Supóngase que p es falsa (0), q es verdadera (1) y r es verdadera (1). Encontrar el valor de 
verdad de cada una de las siguientes proposiciones. 
 
a) rqp ∧→ )( Verdadera 
P→q )( qp → rqp ∧→ )( 
1 0 0 
 
b) ( )rqp →∨ Verdadera 
p r rq → ( )rqp →∨ 
1 0 0 1 
 
 
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Una introducción a las matemáticas de la computación 12 
c) p→(q→r) Verdadera 
q→r p→(q→r) 
1 1 
 
Tipos de implicaciones 
 
Es posible formar otras proposiciones condicionales a partir de la proposición condicional 
p→q, las cuales se definen a continuación. 
 
Definición 1.1.12 
Sean p y q dos proposiciones. 
a) La implicación si no p, entonces no q, que se denota porp→q es la proposición inversa 
de la proposición condicional p→q. 
 
b) La implicación si q, entonces p, que se denota por q→p, es la proposición recíproca de la 
proposición condicional p→q. 
 
c) La implicación si no q, entonces no p, que se denota porq→p es la proposición 
contrarecíproca o contrapositiva de la proposición condicional p→q. 
 
 
Resumiendo 
1) Implicación directa p→q. 
2) Implicación recíproca q→p. 
3) Implicación inversa qp → . 
4) Implicación contrarecíproca. pq → . 
 
A continuación mostramos el valor de verdad de estas proposiciones. 
 
 
p 
 
q 
 
p 
 
q 
Implicación 
directa 
p→q 
Implicación 
Inversa 
qp → 
Implicaciópn 
Recíproca 
q→p 
Implicación 
Contrarecíproca 
pq → 
0 0 1 1 1 1 1 1 
0 1 1 0 1 0 0 1 
1 0 0 1 0 1 1 0 
1 1 0 0 1 1 1 1 
 
Observe que la implicación y la contrapositiva tienen el mismo valor de verdad y la inversa 
y recíproca también cumplen con esta propiedad. 
 
 
 
Unidad I: Introducción a la lógica Cálculo proposicional 
Una introducción a las matemáticas de la computación 13 
Ejemplo 1.1.14 
a) Escribir la proposición “Si 3>2, entonces 5<4” en forma simbólica. 
b) Escribir la inversa, la recíproca y la contrarecírpoca de manera simbólica y con palabras. 
c) Determine el valor de verdad de cada proposición. 
 
Solución 
a) Si definimos a p: 3>2, q: 5<4, podemos escribir la proposición de manera simbólica como: 
p→q. 
 
b) Implicación inversa: qp → : Si 3≤2, entonces 5≥4 o bien, si 3 no es mayor que 2, entonces 
5 no es menor que 4. 
Implicación recíproca: q→p: si 5<4, entonces 3>2. 
Implicación contrarecírpoca: pq → , Si 5≥4, entonces 3≤2. 
 
c) 
 
p 
 
q 
 
p 
 
q 
Implicación 
p→q 
Inversa 
p→q 
Recíproca 
q→p 
Contrapositiva 
q→p 
1 0 0 1 0 1 1 0 
 
 
Definición 1.1.13 (Bicondicional) 
Si p y q son proposiciones, la proposición compuesta p si y sólo si q, se llama proposición 
bicondicional o doble implicación y se denota por p↔q. 
 
Las palabras de enlace son: 
p si y sólo si q. 
p es una condición suficiente y necesaria para q. 
 
La proposición bicondicional se puede interpretar como dos proposiciones condicionales, 
siendo estas p→q y q→p. 
 
En la siguiente tabla se resume el valor de verdad de la bicondicional. 
 
Tabla de verdad (p↔q) 
p q P↔q 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
 
 
 
 
Unidad I: Introducción a la lógica Cálculo proposicional 
Una introducción a las matemáticas de la computación 14 
Ejemplo 1.1.15 
Sean p: T es un triángulo equilátero y 
q: T es un triángulo con 3 lados iguales 
 
La proposición bicondicional p↔q es: 
T es un triángulo equilátero si y sólo si T es un triángulo con 3 lados iguales. 
 
La proposición bicondicional q↔p es: 
T es un triángulo con 3 lados iguales si y sólo si T es un triángulo equilátero. 
 
Observe que las proposiciones bicondicionales tienen oraciones diferentes, sin embargo 
lógicamente son iguales ya que de ambas se obtienen las mismas proposiciones condicionales 
p→q y q→p. Así lógicamente no hay diferencia en considerar p↔q o q↔p. 
 
Ejemplo 1.1.16 
a) Sean a, b y c las longitudes de un triángulo rectángulo T siendo c la longitud del lado 
mayor. 
p: T es un triángulo rectángulo 
q: a2 + b2 = c2 
p↔q : T es untriángulo rectángulo si y sólo si a2+b2=c2. 
 
O bien puede expresarse como: 
p↔q : Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo T sea rectángulo es que 
sus lados satisfagan la relación a2+ b2=c2. 
 
 
b) Sean =p México es un país subdesarrollado y =q México es un país de tercer mundo. 
 p↔q: México es un país subdesarrollado si y sólo si es un país del tercer mundo. 
 
c) Sean =p Se llenarán los pantanos y =q Llueve de forma continua. 
 p ↔q: Se llenarán los pantanos si y sólo si llueve de forma continua. 
 
Ejemplo 1.1.17 
Determine las proposiciones simples y simbolice los siguientes enunciados: 
a) La división es un algoritmo y while es una instrucción de Pascal. 
p=La división es un algoritmo. q=While es una instrucción de Pascal. 
qp ∧ 
 
b) El Basic es un lenguaje relacional o no es un lenguaje orientado a objetos. 
p=El Basic es un lenguaje relacional. 
q=Es un lenguaje orientado a objetos. 
qp ∨ 
 
 
 
Unidad I: Introducción a la lógica Cálculo proposicional 
Una introducción a las matemáticas de la computación 15 
c) Si Pedro no sabe lenguaje C entonces Laura compra un libro de C o escribe el programa en 
Pascal. 
p=Pedro sabe lenguaje C y q=Laura compra un libro de C. 
r = Laura escribe el programa en Pascal 
( )rqp ∨→ 
 
d) Si terminaste la tarea y te encuentras cansado, entonces no empieces a trabajar y practica 
algún deporte. 
 
p=Terminaste la tarea. q=Te encuentras cansado. 
r=Empezar a trabajar. s=Practica algún deporte. 
( ) ( )srqp ∧→∧ 
 
e) Si hace frío o está húmedo el ambiente, y no te abrigas bien entonces no saldremos a 
pasear. 
p=Hace frío. q=Está húmedo el ambiente . 
r=Te abrigas bien. s=Saldremos a pasear 
( )( ) srqp →∧∨ 
Para determinar el valor de verdad de cualquier proposición compuesta haremos uso de las 
tablas de verdad. La tabla de verdad esta constituida por filas y columnas, las primeras 
columnas de la tabla de verdad representan las proposiciones simples usadas en la proposición 
compuesta y las filas representan los diferentes valores de verdad que pueden tomar las 
proposiciones simples. Empezamos considerando el valor cero para cada proposición. El número 
de filas queda determinado por el número n de proposiciones simples, siendo este 2n. 
 
Ejemplos 1.1.18 
a) Construir la tabla de verdad de la proposición compuesta ( ) ( )prqp ∧→∧ 
 
Solución 
Observe que la proposición está formada por tres proposiciones simples, p, q y r, por lo que 
se debe considerar 23=8 filas. 
 
p q r qp ∧ ( )qp ∧ p ( )pr ∧ ( ) ( )prqp ∧→∧ 
0 0 0 0 1 1 0 0 
0 0 1 0 1 1 1 1 
0 1 0 0 1 1 0 0 
0 1 1 0 1 1 1 1 
1 0 0 0 1 0 0 0 
1 0 1 0 1 0 0 0 
1 1 0 1 0 0 0 1 
1 1 1 1 0 0 0 1 
 
 
 
Unidad I: Introducción a la lógica Cálculo proposicional 
Una introducción a las matemáticas de la computación 16 
b) Construir la tabla de verdad de ( ) ( )rtsr ∨↔∨ 
r s t ( )sr ∨ ( )rt∨ ( )tr∨ ( ) ( )rtsr ∨↔∨ 
0 0 0 0 0 1 0 
0 0 1 0 1 0 1 
0 1 0 1 0 1 1 
0 1 1 1 1 0 0 
1 0 0 1 1 0 0 
1 0 1 1 0 1 1 
1 1 0 1 1 0 0 
1 1 1 1 0 1 1 
 
c) Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición ( ) rqp ↔→ 
p q r qp → ( ) rqp ↔→ 
0 0 0 1 0 
0 0 1 1 1 
0 1 0 1 0 
0 1 1 1 1 
1 0 0 0 1 
1 0 1 0 0 
1 1 0 1 0 
1 1 1 1 1 
 
	Si Juan cursa cálculo, entonces tiene el nivel de segundo o tercer grado de bachillerato.
	Si cantas, entonces me duelen los oídos.
	Si el triángulo t es equilátero, entonces t tiene iguales sus tres ángulos.
	b) Construir la tabla de verdad de