Guibourg Lógica Proposición y norma - Caps I a IV

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18 ÍNDICE GENERAL
3. E l principio de subcontrariedad 1 2 8
4. Contrariedad 1 3 0
5. Subalternación 1 3 1
6. Contradicción 1 3 2
7. E l operador "E ' 1 3 4
8. Calificación normativa de las conductas complejas 136
9. Principio de distribución de la permisión 1 3 8
10. Teorema de distribución de la obligación 1 3 9
11. Teorema de la obligación alternativa 1 4 0
12. Teorema de la permisión conjunta 1 4 2
13. Teorema de la permisión mínima 1 4 3
IX
CONDICIONES EXTRASISTEMÁTICAS DE LA
LÓGICA DEÓNTICA
1. Concepto 1 4 5
2. L a s leyes de Hume 1 4 8
3. E l principio de prohibición 1 5 3
BIBLIOGRAFÍA 1 5 9
INDICE ALFABÉTICO 1 6 1
INTRODUCCIÓN
1. ¿Lógica? Sí, lógica
Quejamos porque la cuenta del restaurante es
alta no nos dará ningún resultado: no lograremos
convencer al mozo y pasaremos por mezquinos.
Pero si encontramos algún error en la suma provoca-
remos una consulta y obtendremos, junto con la en-
mienda, las correspondientes excusas: tal es el poder
de la aritmética, que ni los comerciantes se atreven
contra ella. Y la aritmética no es una invención
diabólica, ni el arma secreta de la administración
impositiva: es, simplemente, un sistema teórico que
reconstruye, en abstracto, las relaciones que todos
aceptamos entre las cantidades concretas. Dos
más dos es igual a cuatro en cualquier tiempo y lu-
gar, se trate de dólares, camellos o vueltas en cale-
sita; y el conjunto de las relaciones de este tipo,
reunidas en una teoría matemática universalmente
2 0 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N y N O R M A
admitida, nos permite verificar formalmente l a
exactitud de cualquier cálculo.
Lo mismo ocurre con la lógica. S i alguien nos
endilga un largo discurso sobre un tema que igno-
rarnos, nos será difícil formarnos una idea sobre la
verdad o la falsedad de cada una de sus afirmacio-
nes; pero si entre ellas hay dos que resulten contra-
dictorias entre sí, no necesitaremos averiguar más
para saber que en esa cháchara hay algo que no
funciona bien. A l razonar de este modo habremos
utilizado un sistema teórico —la lógica— que reco-
pila, generaliza, abstrae y reconstruye en fórmulas
las relaciones aceptables entre las proposiciones,
aun con total prescindencia de su contenido: es
decir, de modo completamente formal.
En 6tras palabras, la lógica es un sistema que
—entre otras cosas— permite verificar la corrección
de los razonamientos. ,Qué es esto de la come-.
ción de los razonamientos? L o entenderemos mejor
a través de algunos ejemplos,
Ejemplo 1: Toda música se compone de sonidos.
El tango es música, Por lo tanto, el tango se com-
pone de sonidos.
Ejemplo 2: Como el cielo es azul y las nubes son
blancas, me siento alegre y optimista.
Ejemplo. 3: Como todas las cucarachas tienen
alas y yo soy una cucaracha, yo tengo alas.
A primera vista los dos primeros ejemplos pa-
recen muy "razonables", en tanto el tercero parece
INTRODUCCIÓN 21
ridículo. Pero si nos quedamos con esta impresión
no iremos muy lejos en nuestra capacidad de racio-
cinio y seremos fácilmente engañados por una retó-
rica falaz. Examinemos los ejemplos uno por uno,
con más cuidado.
El ejemplo 1 propone dos premisas y una con-
clusión. Y cualquiera que lo lea advertirá que la
conclusión es una consecuencia necesaria de las pre-
misas. E n efecto, podemos no saber gran cosa de
música, y podemos ignorar por completo la existen-
cia del tango; pero si nos informan que la música
se compone de sonidos y que el tango es una forma
de música, en esos datos se encuentra contenido,
implícitamente, el resultado que aquel razonamien
to hace explícito: que el tango se compone de so-
nidos.
El ejemplo 2 también contiene dos premisas y
una conclusión, pero ésta no se desprende necesa-
riamente de aquéllas. Puede ocurrir, por cierto,
que una persona de talante contemplativo se sienta
impulsada a un irresistible optimismo por la mera
comprobación del color del cielo y de las nubes;
pero también sucede que a veces uno tiene un dolor
de muelas, y entonces el cielo y las nubes carecen
de toda eficacia como talismanes de buen humor.
Y aquí aparece —entonces— un importante dato
sobre la lógica: una deducción válida no es la que
eventualmente lleva a un resultado verdadero, sino
la que necesariamente lleva a un resultado verda-
dero siempre que las premisas también lo sean.
2 2 u s c ; l e A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
Esto podrá comprenderse mejor a partir del
ejemplo 3 que, contra lo que podría suponerse a
primera vista, es absolutamente válido, No, por
cierto, porque quienes esto escriben hayan sufrido
alguna metamorfosis kafkiana y se dediquen a revo-
lotear por las cocinas, sino porque la conclusión
se desprende necesariamente de las premisas. E n
efecto, si fuera verdad que todas las cucarachas tie-
nen alas, y sí fuera exacto que yo pertenezco a tan
poco apreciada especie, entonces también sería cier-
to que tengo alas. Nótese que no existe otra posi-
bilidad lógica: si yo no tengo alas no puedo ser una
cucaracha (porque hemos supuesto que todas las
cucarachas las tienen); y si no tengo .alas y a pesar
de eso sigo siendo una cucaracha, entonces no pue-
de ser verdad la hipótesis general sobre el vuelo cu-
carachil. D e modo que el ejemplo 3 es una deduc-
ción correcta, a pesar de que tanto sus premisas
como su conclusión son obviamente falsas.
Claro está que aquí puede surgir una reflexión
escéptica: si la lógica aprueba un razonamiento se-
gún el cual todas las cucarachas tienen alas y yo
soy una cucaracha alada, también podría aprobar
que los chanchos escriben poemas, y que la infla-
ción no existe, y que la lima es una bola de queso
Gruyère. Entonces ¿para qué sirve la lógica, si no
permite distinguir lo verdadero de lo falso? Esto
vale tanto como preguntar para qué sirve la televi-
sión, si los programas son tan malos. S i el espec-
táculo no nos gusta, haremos bien en apagar el re-
INTRODUCCIÓN 23
ceptor, pues no obtendremos de él mayor utilidad.
Pero ei día que haya un programa bueno ¿cómo ha-
remos para verlo sin un aparato que funcione ade-
cuadamente?
Del mismo modo, exigir a la lógica que nos en-
serie lo verdadero y lo falso es injusto: lo que no
han logrado hacer todavía la ciencia y la filosofía
no puede conseguirse del mero razonamiento, que
es sólo una herramienta intelectual, y no la fuente
de la verdad. S i partimos de premisas falsas, nin-
guna seguridad tendremos de llegar a conclusiones
verdaderas (si lo hacemos, será por casualidad).
Pero, si tenemos la fortuna de hallar premisas ver-
daderas para alimentar el razonamiento, éste nos
proporcionará nuevas y relucientes afirmaciones,
tan verdaderas como aquéllas de las que partimos.
Es que la lógica, pese a su utilidad, no es omni-
potente. Recordemos el ejemplo del principio: el
de la cuenta del restaurante. L a aritmética no
puede evitar que nos cobren por algún plato más
de lo que vale (de otro modo existiría gran deman-
da de textos sobre matemáticas); pero ya es algo
que nos permita controlar la suma para ver si tam-
bién ahí alguien pretende quedarse con nuestro di-
nero.
2. Lógica y bloqueo mental, o el valor de la sonrisa
"Claro, lógico", solemos decir ( no siempre con
propiedad) cuando oímos una afirmación que nos
24 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y N O R M A INTRODUCCIÓN 2 5
parece sencilla y plausible. Pero cuando el adjeti-
yo se vuelve sustantivo y nos hablan de la Lógica,
Ea imaginamos con una L mayúscula, alta como un
muro en el que nuestra capacidad de comprender
se estrellará irremediablemente.
Por supuesto, esta predicción casi siempre se
confirma. Con ella ocurre lo mismo que con los
rumores de la Bolsa: si hacemos correr la voz de
que determinada acción va a subir, la gente lo cree,
Ia demanda aumenta y el precio efectivamente
sube. D e idéntico modo, nuestra concepción de la
lógica como un instrumento de tortura (imagen se-
mejante a la que solemos tener de las matemáticas)
tiende a crear un bloqueo mental que a menudo no
nos permite siquiera averiguar si hay algo de cierto
detrás de aquellaidea.
Lo primero que debe advertirse es que la lógica
no es un pasatiempo para chiflados ociosos. Tiene
aplicación práctica, y está mucho más cerca de
nuestra experiencia cotidiana de lo que suele supo-
nerse. Todos sabemos algo de lógica y la usamos
constantemente; pero, como el burgués gentilhom-
bre de Molière, que hablaba en prosa sin saberlo,
estamos tan habituados a ella que no sabemos verla.
Si juegan Boca Juniors y River Plate y nos informan
que uno de ellos ganó, automáticamente tenemos la
certeza de que el otro perdió. S i extraviamos algo
junto al Obelisco, no se nos ocurre ir a buscarlo a
la sombra de la Torre de los Ingleses. Y, puestos
a comprar una ficha para hablar por teléfono, es-
peramos que el cajero nos la dé o nos la niegue,
pero nos sentimos burlados si nos contesta: "toda-
vía me quedan algunas, pero se me terminaron".
Todas estas actitudes son aplicaciones de leyes ló-
gicas antiguas y muy conocidas, pero que tienen
sonoros nombres en latín y se disfrazan con cierto
empaque académico cada vez que un texto de lógi-
ca nos las propina.
La receta para encarar satisfactoriamente el es-
tudio de la lógica incluye, pues, dos remedios, que
deben administrarse en forma conjunta. E l prime-
ro consiste en advertir la importancia de la lógica
como exposición de un sistema explícito que nos
permite ordenar, controlar y —en caso necesario—
reformular la enorme cantidad de razonamientos
que de todos modos desarrollamos cada día. Y el
segundo, no dejarnos intimidar y tomar la lógica
con calma, con buena voluntad y —si es posible—
con una pizca de sentido del humor. S i consegui-
mos pertrechamos de este modo estaremos en con-
diciones de adquirir, sin grave desgarramiento afec-
tivo, un instrumento de valor inestimable. Pero
para lograr este resultado es indispensable aceptar
el desafío intelectual que la lógica nos propone y
lamia, por ningún motivo, murmurar para nosotros
"esto no lo voy a entender nunca».
28 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A
3. D e qué se trata, o a qué vamos a jugar
Formuladas las advertencias preliminares, co-
rrespondería mostrar ahora las características con-
cretas del estudio que nos proponemos emprender.
Pero no es fácil hacer esto con la lógica, que es un
sistema de relaciones abstractas; y enumerar los
problemas que están o han estado incluidos bajo
este título llevaría a una exposición histórica bastan-
te larga: en veinticinco siglos de desarrollo, la ló-
gica occidental ha recorrido un camino largo y muy
variado. Para nuestros fines bastará decir que la
lógica busca formular y sistematizar las relaciones
admisibles entre las proposiciones, y se preocupa
por establecer métodos para decidir si una proposi-
ción se desprende o no de otras a través de un razo-
namiento válido.
Aristóteles trató de cumplir esta tarea a través
del mismo lenguaje que usamos todos los días (lla-
mado lenguaje natural), al que incorporó vocablos
especialmente definidos y aun ciertos símbolos abs-
tractos (letras como A o B, por ejemplo, para repre-
sentar la estructura de una proposición con sujeto
y predicado). Aristóteles emprendió así, proba-
blemente, el primer estudio sistemático de la ló-
gica formal; y puso en ello tanto genio que aun hoy
sus obras sobre el tema se leen con admiración. E l
mismo camino siguieron los que vinieron después,
y se prolongó a través de la Edad Media y del Rena-
IN'ORODUCCIÓN 27
cimiento. Pero en ocasiones el intento chocaba
con ciertas dificultades, a pesar del gran desarrollo
alcanzado por la lógica aristotélica y medieval; el
lenguaje natural contiene una grande y en buena
medida inevitable dosis de imprecisión (vaguedad,
ambigüedad y otras intoxicaciones semánticas), de
modo que, por muy riguroso que fuera el propósito
de establecer relaciones unívocas, siempre existía
el riesgo de interpretaciones diversas y de aparición
de seudoproblemas bajo la forma de disputas verba-
les. Aparte de esto el lenguaje natural está com-
puesto por palabras que se supone tienen significa-
dos concretos; y esta presencia constante de los con-
tenidos semánticos tiende a oscurecer la diferencia
entre distintos tipos de demostración: "todas las
madres tienen sexo femenino'', por ejemplo, es ver-
dadera por razones semánticas, ya que la feminei-
dad es característica definitoria de "madre"; pero
"si llueve y hace frío, llueve" puede demostrarse sin
recurso alguno al significado de las palabras "llue-
ve" ni "hace frío", ya que su verdad resulta directa-
mente de la estructura lógica de la proposición.
Esta demostración, así como otros desarrollos mo-
dernos de la lógica, corresponde a una etapa en que
quedó superado en gran medida el uso del lengua-
je natural.
Esta etapa comenzó con Leibniz (1646-1716),
pero se desarrolló a lo largo del siglo lux en los
trabajos de De Morgan (1806-1876), Boole (1815-
1864), Frege (1848-1925) y Peano (1858-1932),
2 8 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A
entre otros, hasta. quedar firmemente establecida a
principios del siglo xx, cuando Russell y Whitehead
publicaron su obra Principia Mathetnatica (1910-
1913). Estos autores aplicaron a la lógica un for-
midable instrumento proveniente de las matemáti-
cas, campo donde ya había demostrado su utilidad.
Este instrumento es el lenguaje formal, en el que
símbolos convencionales, distintos de las palabras
que conocemos y definidos con rigurosa precisión,
según la función que cumplan, pueden combinarse
entre sí a través de reglas deliberadamente cons-
truidas.
Este nuevo desarrollo recibió distintos nombres,
que pretendían diferenciarlo de la lógica tradicio-
nal: "lógica matemática", "lógica simbólica". A l -
gunos lo llaman "lógica formar, a pesar del carácter
relevantemente form al del análisis aristotélico.
Pero, a medida que pasa el tiempo y la gente se
habitúa al manejo de los símbolos (a lo que contri-
buye mucho el aprendizaje de la teoría de conjuntos
en las escuelas), la importancia de estas denomina-
ciones disminuye y todo empieza a llamarse, pura
y simplemente, lógica. Esta evolución es concep-
tualmente importante, porque ayuda a señalar que
Ia nueva lógica no se opone a la antigua, sino que
Ia complementa, la enmarca, en parte la corrige y
en buena medida la supera, sin que por ello Aris-
tóteles deba bajar de su pedestal.
Existen hoy muchos temas —tradicionalmente
englobados en la lógica— que resultan alcanzados
INTRODUCCIÓN 29
poco o nada por el uso actual del lenguaje simbó-
lico: el análisis de las funciones del lenguaje, por
ejemplo, o la teoría del significado y de la defini-
ción, o el estudio de las falacias no formales, o los
conceptos relacionados con el razonamiento induc-
tivo. Pero nosotros aceptaremos directa e inmedia-
tamente el desafío de que hablábamos antes y —sin
menospreciar la utilidad de aquellos temas, sobre
los que existen excelentes textos— nos lanzaremos
al asalto de las fórmulas.
Para esto estudiaremos primero las relaciones
entre proposiciones (lógica proposicional), para lle-
gar luego a las lógicas modales: alética y deóntica.
4. Bueno, pero ¿por qué a mí?
El programa que acabamos de enunciar entu-
siasmaría, seguramente, a una persona con inclina-
ciones matemáticas; pero el caso es que este libro
no está dirigido a ingenieros ni a estudiosos de las
ciencias exactas. Y entonces el lector —profesional
o estudiante de derecho, de sociología, de ciencias
políticas o, en fin, de disciplinas tradicionalmente
humanísticas— puede sentirse como aquel niño a
quien regalaban una moneda por cada cucharada
que le daban de un desagradable remedio... y cu-.
yos padres rompían la alcancía, cada vez que estaba
llena, para comprar otro frasco del mismo remedio.
Las ciencias humanísticas se consideran tradicional-
30 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
mente como un refugio contra las matemáticas, a
cubierto de la insidiosa infiltración de las fórmulas;
y quien las ha elegido para sí con esa esperanza
puede sentirse defraudado. Por supuesto, podría
observarse que más vale advertir el fraude que ig-norarlo; pero, como quiera que esta reflexión no
suena muy estimulante, convendrá hacer algunas
aclaraciones sobre el punto.
La lógica es una de las disciplinas humanísticas
más tradicionales; pero le ha sucedido lo mismo que
a la mayoría de las ciencias que, cuanto más se per-
feccionan, más se acercan a las matemáticas. Gran
parte del progreso científico ha consistido en adver-
tir que dos o más conceptos diferentes no eran sino
distintos estadios de una misma realidad continua,
y en medir la diferencia entre ellos sobre cierta es-
cala común. Así es como, por ejemplo, las relacio-
nes entre el espacio y el tiempo y entre la mate-
ria y la energía han provocado una verdadera revo-
lución en la física, con ramificaciones sobre otras
disciplinas (incluida la filosofía). Pues bien, las
ciencias sociales adolecen desde su origen de la in-
suficiencia de sus métodos para aislar los fenóme-
nos, compararlos y medirlos. E n la medida en que
esto se consigue poco a poco, el lenguaje formal se
introduce para abstraer cierta relación o cierto as-
pecto de un fenómeno complejo con independencia
de su contexto contingente; y una vez hecho esto
aparecen las fórmulas para establecer los vínculos
hallados entre aquellas abstracciones. D e modo
I N T I O D U C C I Ó N 31
que esta suerte de matematización de las ciencias
sociales parece una tendencia inevitable, en la que
la lógica se presenta como un simple caso particular.
j'Y por qué precisamente la lógica? Ante todo
porque cualquier sector de la ciencia que emplee
el lenguaje y el razonamiento debe someterse a Ia
prueba de la validez de su propio método; pero una
ciencia que no sólo emplee el lenguaje como herra-
mienta sino que además tenga por objeto de estu-
dio argumentos que se suponen lógicamente enca-
denados —como las ciencias políticas y jurídicas—
no puede privarse de analizar la estructura de su
propio objeto.
Esta circunstancia es particularmente sensible en
el caso de los sistemas normativos. E n efecto, en-
tre los significados que pueden simbolizarse con el
lenguaje hay algunos que nos afectan profundamen-
te en nuestros intereses: son las normas, que nos
obligan a cumplir ciertas conductas y nos prohíben
otras; que limitan el universo de nuestra libertad
y —en el caso del derecho— hasta nos amenazan
con el embargo, el desalojo, la prisión o la muerte.
Y existen personas cuya profesión es razonar sobre
Ias normas, inventar y refutar argumentos sobre
ellas, describirlas, esgrimirlas y manejarlas. Los
abogados —de ellos se trata— no están todos de
acuerdo sobre la justicia y la injusticia de cada nor-
ma (como no lo están los comerciantes sobre la ren-
tabilidad de determinado precio ni los científicos
sobre la verdad de ciertas afirmaciones de hecho);
32 LÓGICA, PROPOSICIÓN y N O R M A
pero la mayoría de ellos está dispuesta a admitir que
existen entre las normas ciertas relaciones formales,
y que si una conducta x está prohibida, por ejemplo,
sería difícil aceptar simultáneamente que la misnza
conducta x es obligatoria; y esto ocurre aun cuando
no sepamos en qué consiste dicha conducta, ni si
prohibirla es un acto de buen gobierno o una mues-
tra de insufrible tiranía.
Existe, pues, desde hace aproximadamente me-
dio siglo, una lógica formal de las normas, también
llamada lógica deóntica o normativa.
Este esquema o sistema teórico, a lo largo de
sucesivas versiones, permite ejercer un control for-
mal sobre el discurso normativo, equivalente al que
tenemos sobre los cálculos mediante la aritmética o
sobre el discurso en general a través de la lógica
proposicional. Como en los otros casos, este instru-
mento conceptual no nos otorga un dominio abso-
luto sobre los fenómenos a que se refiere (para ello
habría que tener poder sobre las premisas como el
legislador lo tiene sobre las leyes que dicta); pero
al menos nos enseña a extraer conclusiones válidas
a partir de las premisas que se nos imponen; y no
es poca cosa encontrar así una base común de razo-
namiento en una materia como la normativa, tan
polémica que la gente mata y muere por ella.
Si una lógica deóntica merece, pues, un lugar
preeminente en la metodología de la ciencia jurí-
dica, conviene también señalar que esa importancia
está perdiendo rápidamente su ropaje especulativo
INTRODUCCIÓN 33
para hacerse cada vez más práctica y cotidiana. E n
materia tecnológica el derecho es el pariente pobre
de las demás ciencias, y el jurista maneja aún sis-
temas y procedimientos conceptuales que no han
variado casi en milenios. Pero, como ya se ha vis-
to, asistimos aquí también a un avance incontenible
de las matemáticas, de lo que puede ser medido,
pesado, contado, calculado y. . . computado. Las
normas son información ( en el sentido que a esta
palabra atribuye la informática); y las computado-
ras han aprendido ya a manejarlas, clasificarlas, re-
copilarlas y reproducirlas para facilitar el trabajo de
abogados, jueces y legisladores. Incluso se estudia
en nuestros días la posibilidad de instituir proce-
sos de decisión automática, en los que la solución
de un caso surja directamente de la norma, a tra-
vés de un mero cálculo lógico. E l aprovechamien-
to de estas realidades y perspectivas exige al jurista
moderno una precisión de conceptos y una exacti-
tud de razonamientos a las que el abogado tradi-
cional no está habituado, cuya fuente es la lógica
formal y cuyo instrumento es la abstracción conte-
nida en las fórmulas.
3. 'Ár t ica.
II
DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA
1. Concepto de proposición
En el uso corriente del lenguaje es común que
tomemos como sinónimas expresiones tales como
"enunciado" y "proposición". Decimos, por ejem-
plo, "este párrafo contiene siete proposiciones" o
"no creo en los enunciados de la astrología" y, aun-
que de una manera vaga, sabemos qué queremos
decir con ello. L a propia gramática española suele
usar con el mismo significado los vocablos "propo-
sición", "enunciado", "oración" y "aserción". Pero
para la lógica algunas de estas denominaciones ad-
quieren un sentido más preciso, y se refieren a con-
ceptos distintos.
Al hablar nos expresamos mediante enunciados;
esto es, oraciones como "este es un libro de lógica",
"tengo sueño" o "lo que estoy leyendo es tremenda-
mente aburrido". Estos conjuntos de palabras son
38 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A DE L A P R O P O S I C I Ó N A L A F Ó R M U L A 37
oraciones porque cumplen con el requisito de ser
significativas, de expresar cabalmente una idea. N o
ocurre lo mismo, en cambio, con expresiones como
"verde el es campo", o "cigarrillo cenicero el el en
está". A pesar de estar compuestas por palabras
conocidas, su desorden interno (respecto de las re-
glas de la construcción castellana) las priva de sig-
nificado y con ello les impide constituirse en enun-
ciados u oraciones.
Supongamos ahora tres enunciados: "hace frío",
"il fait froid", "it is cold". Salta a la vista que ellos
son diferentes: están compuestos por palabras dis-
tintas, y hasta corresponden a diversos idiomas.
Pero también advertimos que los tres tienen algo
en común: quieren decir lo mismo. Y para esto no
hace falta siquiera recurrir a otros lenguajes: "el
presidente de Bolivia fue derrocado por el ejército"
y "el ejército derrocó al presidente de Bolivia" son
también enunciados distintos que quieren decir lo
mismo: es decir, tienen idéntico significado. Cuan-
do varios enunciados tienen el mismo significado,
decimos de ellos que expresan la misma proposición'.
Una proposición es, pues, el significado de un
1 También puede ocurrir a la inversa: enunciados idénticos ex-
presan proposiciones diferentes. E n efecto, según e l sujeto que Las
pronuncie y las circunstancias do tiempo y lugar en que lo haga, las
palabras "ahora salgo para allá" pueden significar que José Fernández
se dispone a viajar de Mendoza a Córdoba el 15 de febrero de 1979 o
que Margarita Farinelli proyecta trasladarse desde la esquina de Co-
rrientes y Uruguay hasta Montevideo 528, piso 59, oficina 506, el 23
de octubredc 1981 entre las 18.10 y las 16.25.
enunciado declarativo o descriptivo. N o es e l
enunciado mismo, que está compuesto por palabras
de algún idioma determinado, ordenadas según
ciertas reglas gramaticales: es e l contenido del
enunciado, que es común a las diversas maneras de
decir lo mismo. Y exigimos que el enunciado sea
descriptivo para desechar expresamente los otros
usos del lenguaje: frases como "icáspital" o "páseme
Ia mostaza, por favor'' no expresan proposiciones,
en el sentido que aquí damos a este concepto 2.
Esto ocurre porque la lógica (al menos, la parte
de la lógica que estamos estudiando) se maneja a
través de los llamados valores de verdad, que —en
un sistema bivalente como el que analizamos— son
dos: verdadero y falso (algunos prefieren decirlo
de modo más abstracto y utilizan los símbolos 1 y
O). Cuando un enunciado hace referencia a ciertos
estados de cosas, de tal suerte que sea posible deter-
minar si es verdadero o falso, decimos que es un
enunciado descriptivo o declarativo, cuya verdad
depende de la existencia real del estado de cosas
descripto. E l enunciado "está lloviendo", por ejem-
plo, es verdadero si en efecto sucede el hecho ex-
presado y falso si, por el contrario, el sol brilla en un
cielo sin nubes. N o importa en este momento ave-
El lenguaje puede usarse en sentido descriptivo ( " l a tierra es
redonda"), expresivo ( 'a t i za l " ) , prescriptivo o directivo ("váyase y no
vuelva nunca más") y operativo o performativo ("buenos dias, señor
jefe"). Sobre este tema pueden consultarse Corrió, Genaro B., Notas
sobre derecho y lenguaje, Bs. As., 1965, p. 15 y ss.; y Copi, Irving, In-
troducción a la lógica, Bs. As., 1967, p. 34 y siguientes.
38 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A DE L A P R O P O S I C I Ó N A L A F Ó R M U L A 3 9
riguar si es verdadero o falso ( en todo caso, siempre
podemos mirar por la ventana o extender el brazo
fuera de ella). L o relevante es que, si el enun-
ciado puede ser verdadero o falso, entonces es des-
criptivo y constituye materia prima para la gran
maquinaria lógica. Ta l cosa no ocurre, en princi-
pio, con el enunciado "tírese al río": éste expresa
una orden que puede ser válida o no, justa o injusta,
disparatada o aceptable, pero nunca verdadera ni
falsa. Para este tipo de enunciados se ha creado
una lógica algo diferente, que más adelante exami-
naremos.
2. Variables, conectivas y signos auxiliares.
Simbología y notación
Como ya sabemos, la lógica (lógica simbólica o
matemática) utiliza un lenguaje formal compuesto
por símbolos convencionales. Estos símbolos per-
miten manejar las proposiciones según las relaciones
que tengan entre sí, y sin prestar atención a su con-
tenido. E n esto la lógica se parece al álgebra, que
hace lo mismo con el cálculo numérico. Suponga-
mos, por ejemplo, la siguiente fórmula algebraica:
a + b = b + a
No nos interesa saber qué número puede asignarse
a cada una de las letras minúsculas utilizadas, siem-
pre que cada una de ellas tenga en todos los casos
—dentro del mismo cálculo— un valor idéntico.
Así, si suponemos que a es 4 y que b es 5, la
fórmula debería interpretarse de este modo:
4 + 5 = 5 + 4
donde cada letra ha sido reemplazada por el mismo
número en todas sus apariciones.
Pero, como podemos asignar a "a" y a "b" cual-
quier valor que queramos, la fórmula algebraica
mencionada en primer término resulta especialmen-
te útil para mostrar una relación general, a saber:
que si sumamos dos números cualesquiera, el resul-
tado será idéntico sin que importe el orden de los
sumandos.
En la lógica proposicional las letras minúsculas
no representan números, sino proposiciones. Se
llaman por esto variables proposicionales, ya que
podemos asignarles como contenido cualquier pro-
posición concreta que deseemos (suponiendo que
queramos asignarles alguno, lo que en general no
sucede). Este es el nombre más extendido, pero
algunos autores las llaman también "letras esquemá-
ticas" •o "letras sentenciales". Por costumbre se
usan preferentemente las letras p, q, r, s, t, w, z;
y cualquiera de ellas puede representar una propo-
sición. A su vez, cada variable puede representar
cualquier proposición, y aun distintas proposiciones
en diferentes contextos: en una demostración, por
ejemplo, podernos suponer que "p" simboliza "hace
3 Orayen, Raúl, Verdad, lógica y significado, en revista "Critica".
México, 1976, vol. VI I I , p. 14.
40 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A DE L A PROPOSICIÓN A L A FÓRMULA 41
un lindo día", y en otro desarrollo podernos asignar-
le el contenido "mi gato tiene bigotes largos". Pero
igual que en el álgebra, es indispensable tomar una
elemental precaución: dentro de un mismo contex-
to, el significado que se asigne a cada variable debe
ser siempre idéntico.
Ahora bien; en el lenguaje natural solemos vin-
cular entre si dos o más enunciados para formar un
enunciado más complejo, de tal modo que el valor
de verdad del enunciado resultante depende de
cierta combinación de los valores de verdad de sin
componentes. Así, "no llueve" será verdadero si
"llueve" es falso, y viceversa. "Llueve y hace frío"
sólo será verdad si es verdad que llueve y también
es verdad que hace frío, y será falso aunque llueva,
si hace calor, y aunque hiele, si no llueve. Esta
función vinculatoria es cumplida en castellano
por palabras tales como "y", "o", "si", "aunque",
pero", "sin embargo'', "si y sólo sr , "siempre que"
y otras; pero no siempre es fácil, dentro de la clá-
sica ambigüedad del lenguaje natural, establecer
unívocamente el tipo de relación que se busca ex-
presar. S i alguien nos dice, por ejemplo, '<esta no-
che iré al cine o a comer" no sabemos con seguridad
si pretende elegir una de dichas actividades o si
también deja abierta la posibilidad de hacer ambas
cosas.
Para evitar problemas de este tipo y facilitar el
cálculo, e l lenguaje formal representa aquellos
vínculos mediante signos especiales, que reciben el
nombre de conectivas extensional es (conectivas a
secas, para los íntimos), signos lógicos, constantes
lógicas u operadores. Pero no existe un acuerdo ge-
neralizado acerca de cómo representar estos signos.
Esto da lugar a la existencia de distintas notaciones,
o sistemas gráficos de escritura de la lógica simbóli-
ca. L a notación más extendida es la llamada in-
glesa o de Russell, en una de cuyas versiones —que
usaremos de aquí en adelante— las conectivas prin-
cipales se representan mediante los símbolos si-
" " " "guientes: "—", ".", v", 0 " , = y 4 Por el modo en que las conectivas afectan a las
variables a que se refieren, se las divide en nzonádi-
4 Aunque sea a modo de ilustración, convendrá tener presente que
la mencionada no es la única notación "inglesa" existente. Algunos
autores reemplazan "---" por "—" o por ",—"; " . " por " A " ; " D " por
o "--.5" por "<-->".
Hay además una notación completamente distinta, cuyas ventajas
consisten en que no recurre a símbolos diferentes de los alfabéticos y
que no requiere uso alguno de paréntesis, aparte de ciertas facilidades
de cálculo que no vale la pena enumerar aquí. Se trata de la notación
polaca, introducida por Lukasiewicz, cuyas equivalencias con la nota-
ción inglesa son las siguientes:
"Np" equivale a
"Kpq" equivale a "p .q "
"Apq" equivale a " p V q "
"Jpq" equivale a "p q "
"Cpq" equivale a "p J q "
"Epq" equivale a "p q "
No usaremos la notación polaca porque al lado de sus virtudes pre-
senta algunas dificultades, sobre todo para el principiante: su lectura
es menos intuitiva, y cuando las fórmulas se hacen complicadas es más
fácil comprender de un vistazo su estructura general con la notación de
Russell, donde las conectivas diadicas se tibican precisamente entrc las
variables conectadas.
4 2 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A DE L A P R O P O S I C I Ó N A L A F Ó R M U L A 4 3
cas y diddicas o binarias. E l signo "—" es moná-
dico, porque sólo afecta a una proposición: la repre-
sentada por la fórmulade la derecha. Así, la ver-
dad de la fórmula "—p" dependerá del valor de
verdad de "p" modificado por el operador "—".
Las demás conectivas mencionadas se llaman diá-
dicas porque afectan a dos proposiciones conjunta-
mente: las situadas a derecha e izquierda del signo
de que se trate. Por ejemplo, el valor de "p . q"
depende del valor de verdad de "p" y del valor de
verdad de "q", combinados en la forma indica-
da por ".".
Por el momento, conviene que resistamos a la
tentación de buscar a cada uno de estos signos un
equivalente en lenguaje natural. Tales equivalen-
cias —aunque existen— no son perfectas ni unívo-
cas, debido a la imprecisión del lenguaje natural.
Por esto, como luego veremos, trataremos de defi-
nir cada signo por su función de verdad y sólo
a partir de allí buscaremos las traducciones al cas-
tellano. S i hiciéramos al revés, correríamos el ries-
go de introducir en el lenguaje formal, por la vía
de las definiciones, los mismos inconvenientes se-
mánticos que buscamos eliminar.
Aparte de las variables y de las conectivas, la
lógica cuenta también con símbolos auxiliares, que
hacen las veces de signos de puntuación y sirven
para separar, en caso necesario, unas fórmulas de
otras. Se trata de los paréntesis "( )", los corche-
tes "[ ]", las llaves "-{ r y las barras ,tf I r f
3. Concepto de fórmula proposicional
Hasta ahora hemos hablado bastante sobre las
fórmulas, de modo que resulta oportuno fijar un
contenido preciso para esta palabreja. Una fór-
mula proposicional es una expresión simbólica que
está compuesta exclusivamente por variables pro-
posicionales, conectivas o signos lógicos y símbolos
auxiliares 5. Esta definición puede tomarnos algo
desprevenidos, por lo que convendrá hacer algunas
aclaraciones sobre ella.
Una fórmula está siempre compuesta, en forma
exclusiva, por los signos apuntados, que constitu-
yen —por así decirlo— su elenco estable. Ningún
actor ajeno a la compañía puede introducirse en la
función ("llueve . hace frío"; "llueve y p"; "p . hace
frío") pues el resultado no sería una fórmula (sería
algo así como mezclar, en una sola frase, palabras
de varios idiomas diferentes: "Ich am going au ciné-
ma domani por la noche").
Que variables, conectivas y signos auxiliares for-
men el elenco estable del teatro lógico no implica
que todos ellos deban estar siempre en escena: bas-
tará con que haya, por lo menos, una variable. Así,
es una fórmula; "—p" y "p , q" también lo son,
igual que otras más complicadas como:
"(p q ) [ r V (q s ) ]
5 Cfr. Orayen, ob. citada.
44 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y NORMA
Por último, no basta que los actores estén en
escena para constituir una función teatral: además
es necesario que desempeñen su papel según cier-
to libreto y de acuerdo con ciertas reglas que defi-
nen esa actividad. De l mismo modo, los compo-
nentes de una fórmula no pueden estar mezclados
al azar: han de respetar las llamadas reglas de for-
mación, o normas sintácticas convencionales que ri-
gen la estructura simbólica de las fórmulas. Estas
reglas pueden enunciarse así:
1) Una variable proposicional es una fórmula.Ej.: «p», acr, «t.".
2) Una fórmula precedida por un operador mo-
nádico es una fórmula.Ej.,
3) Dos fórmulas encerradas dentro de un par
de signos auxiliares y entre las cuales hay un opera-
dor diádico (y sólo un operador diádico), consti-
tuyen una fórmula.
Ej.: , , ( _ p „ — u p q ) ( r v s)]».
Las reglas de formación, que en su conjunto
pueden considerarse también como una definición
de "fórmula", permiten excluir de nuestro lenguaje
simbólico todas las expresiones que no se ajusten a
ellas. Así, " q — " , "pq", "rs", " (q y q ) " ,
"(r . ) s" no son fórmulas bien formadas; y puede
constituir un interesante ejercicio averiguar cuál es
el defecto que aqueja a cada una de tales expresiones.
DE L A PROPOSICIÓN A L A FÓRMULA 45
Conviene aquí hacer una aclaración sobre los
signos auxiliares. Su función consiste en eliminar
ambigüedades: sin ellos, la expresión "—p . q", por
ejemplo, podría interpretarse de dos maneras:
a) (—p . q), donde el operador monádico afecta
sólo a la fórmula "p", o bien
b) —(p . q), donde el operador monádico afec-
ta a la fórmula "(p . q)".
No toda fórmula, sin embargo, plantea semejan-
tes ambigüedades; y de allí resulta que puede esta-
blecerse una convención práctica: cuando una ex-
presión simbólica no es susceptible de interpreta-
ciones esquemáticas diversas, es posible eliminar los
signos auxiliares innecesarios: por ejemplo, en lu-
gar de "(p • q)" puede escribirse "p . cf; pero si
la misma fórmula ha de relacionarse a su vez con
otra —por ejemplo, en "(p . q) y r"— el uso de
paréntesis no puede omitirse.
4. Fórmulas atómicas y fórmulas moleculares
Así como el lenguaje natural vincula dos o más
enunciados para formar un enunciado complejo, el
lenguaje simbólico combina las variables —por me-
dio de las conectivas— para constituir fórmulas com-
puestas. Por asociación de ideas con el modo en
que los átomos de elementos simples constituyen las
moléculas de los compuestos químicos, la lógica ha
adoptado aquí una nomenclatura con reminiscencias
4 6 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
de la física nuclear. Una fórmula atómica es aque-
lla constituida exclusivamente por una variable pro-
posicional, no modificada por operador alguno: "p",
por ejemplo. Las fórmulas en las que aparece un
operador monádico ("—q") o que resultan de una
combinación de fórmulas unidas por conectivas diá-
dicas ("r y s'', "z w " ) se llaman nwleculares.
Toda fórmula molecular es una función de ver-
dad de las fórmulas atómicas que la componen: es
decir, su verdad o su falsedad dependen de Ia verdad
o de la falsedad de las proposiciones representadas
por las variables simples. Pero, como hemos visto
antes, el modo en que deben combinarse la verdad
o la falsedad de los componentes para determinar el
valor de verdad de la fórmula molecular depende
de las conectivas que aparezcan en la misma fórmu-
la. Por esto los operadores resultan ser la clave
para desentrañar la estructura interna de una fór-
mula. A su estudio, pues, dedicaremos el próximo
capítulo.
III
LAS CONECTIVAS
1. Casos posibles
Una proposición describe un estado de cosas,
y su verdad depende de que dicho estado de cosas
exista en realidad. Frente a cada descripción sim-
ple (por ejemplo, "el río está crecido") caben, pues,
dos posibilidades: que ella sea verdadera (es decir,
que el río haya en verdad aumentado su caudal) o
sea falsa (que dicho caudal sea igual o menor que
el habitual, lo que implica que no ha crecido). E n
símbolos suele usarse la siguiente tabla:
V
La fórmula atómica que se encuentra encima de la
línea horizontal representa la proposición a que nos
referimos, y las iniciales "V" y "F" simbolizan los
4 8 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
dos casos posibles que existen para "p": que p sea
verdadero y que p sea falso. Algunos autores más
inclinados a usar palabras grandilocuentes les lla-
man mundos posibles, y dicen que para "p" hay dos
mundos (desde el punto de vista especulativo, pu-
ramente lógico)): el mundo en que p es verdadero
y el mundo en que p es falso.
El panorama de los casos posibles se complica
cuando la proposición se compone de dos o más
descripciones de estados de cosas ("el río está cre-
cido, pero contaminado") o, en lenguaje simbólico,
cuando se trata de una fórmula molecular compues-
ta por dos o más fórmulas atómicas ("p . q").
Cuando la proposición que nos interesa es una com-
binación de dos proposiciones que la componen, los
casos posibles son cuatro: que ambas proposiciones
componentes sean verdaderas, que la primera sea fal-
sa y la segunda verdadera, que la primera sea
verdadera y la segunda falsa y, por último, que las
dos sean falsas:
P q
V
V
V
V
Por qué esta diferencia en el número de casos
posibles? Porque a cada variable proposicional co-
rresponden dos casos (V y F); y, como una combi-
LAS C O N E C T I VA S 4 9
nación de variables debeprever cada uno de los
casos de la segunda ( y aun todo esto para cada uno
de los casos de la tercera, si la hubiese), existe entre
el número de variables y el de casos una relación
matemática: a una variable corresponden dos ca-
sos; a dos variables, cuatro; a tres variables, ocho;
a cuatro variables, dieciséis, etcétera. E l número
de casos posibles, pues, es 2n, donde "n" es el número
de variables proposicionales presentes en una fórmu-
la y la base 2 representa la dualidad de los valores
de verdad en la lógica binaria: V y F '•
El orden en que aparezcan los casos en la tabla
que los contiene no es en sí mismo importante, con
tal que la tabla contenga todos los casos y ninguno
de ellos resulte repetido. Pero para asegurar el cum-
plimiento de estas condiciones se acostumbra a se-
guir un orden —conveniente aunque no estricta-
mente necesario— en la construcción de la tabla de
que se trate. Supongamos que se nos presenta una
fórmula que contiene tres variables proposicionales
—"(p . q) r " , por ejemplo— y deseamos hacer una
lista de los casos posibles para las distintas combi-
naciones de verdad y falsedad de sus componentes.
Primero estableceremos cuántos casos contendrá
nuestra tabla: como en el ejemplo n = 3, el número
6 La lógica más conocida y usada es la binaria o bivalente, que
maneja los valores de verdad y falsedad (V y F). Hay, sin embargo,
otras lógicas diferentes —con utilidad para fines específicos— que tienen
mayor número de valores y permiten, por ejemplo, computar grados de
seguridad o de preferencia.
4. L ó g i c a .
50 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y NORMA LAS CONECTIVAS
de casos será 2 = = 8. Luego escribiremos, de-
bajo de la primera variable que aparezca, una suce-
sión de ocho valores de verdad en que "V" y "F" se
alternen de a uno por vez. Bajo la segunda varia-
ble anotaremos ocho valores de verdad, pero alter-
nando "V" y "F" de dos en dos, y por último, a la
tercera variable asignaremos valores de verdad al-
ternados de cuatro en cuatro. Así obtendremos la
siguiente tabla de casos:
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
Naturalmente, si en la fórmula hubiera una
cuarta variable, a ésta correspondería una alterna-
ción de ocho en ocho (pues los casos serían dieci-
séis); y a una quinta (con treinta y dos casos posi-
bles) atribuiríamos valores de verdad alternados de
dieciséis en dieciséis, y así en adelante.
Al construir una tabla de casos es necesario tener
en cuenta que "n" es el número de variables propo-
sicionales que aparecen, y no el número de sus apa-
riciones u ocurrencias. Las variables repetidas sólo
se cuentan una vez: así, a la fórmula "p —p" sólo
corresponden dos casos posibles, ya que n = 1.
2. N e g a c i ó n
El único operador monádico de la lógica propo-
sicional ("—") tiene por función invertir el valor
de verdad de la fórmula a que se aplique. Dada,
pues, una fórmula "p", podemos comparar su tabla
de casos con el resultado que provee esta conecti-
va' para cada caso. Construiremos así lo que se
llama la tabla de verdad del operador que examina-
mos, llamado negación:
P I —P
V
V
Como puede observarse, una fórmula verdadera ne-
gada es falsa, y una fórmula falsa negada es verda-
7 Algunos autores llaman conectivas a los operadores diádicos,
que conectan fórmulas entre sí, pero vacilan en dar ese nombre a la
negación que, como operador monadico, sólo afecta a una fórmula.
Sin embargo, puede considerarse que tanto la negación cuanto los
operadores diádicos vinculan la fórmula en que aparecen con cierta
combinación de los valores de verdad de su o sus componentes, por lo
que cumplen —en otro sentirlo— el papel de conexiones, E n virtud
de esta consideración seguimos aquí In nomenclatura de Benson Ma-
tes, Lógica matemática eletnental, Madrid, 1971, p . 60; Elliott Men.
delson, Introduction to Mathematical Logic, Princeton, 1968, p. 14;
y Rudolf Carnap, Introduction to Symbolic Logic and Its Applications,
Nueva York, 1958, /3, 7.
5 2 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N y N O R M A LAS C O N E C T I VA S 53
den.. L a expresión "—p" se lee "no 1f o "no es el
caso que p"; y corresponde normalmente —en el
lenguaje natural—. al enunciado de una proposición
que incluye la palabra "no". Pero, como ya hemos
advertido, esta correspondencia no es perfecta. E n
el idioma corriente existen expresiones negativas
que no contienen esa palabra: "difícilmente podría
estar yo de acuerdo con lo expuesto"; "es inexacto
, 4que... ; es mentira que...
3. Conjunción
Una fórmula molecular que vincula a sus com-
ponentes mediante la conjunción ("p . q") sólo es
verdadera si sus dos términos son verdaderos, y es
falsa en cualquier otro caso. Así:
V
V
V
V
P q
V
La fórmula resultante se lee "p y q", y su tabla de
verdad corresponde, aproximadamente, al uso de la
mayoría de Ias palabras o expresiones idiomáticas
que en el lenguaje natural se clasifican como con-
junciones. D e este modo, "p . q" podría interpre-
tarse como "llueve y hace frío", o "quise llamarte,
pero mi teléfono estaba descompuesto", o "su pro-
yecto me parece aceptable, aunque convendría in-
troducirle algunos retoques". O aun: "ya sé que
Cardei murió; sin embargo, cada día canta mejor".
En cada uno de estos ejemplos se afirman dos esta-
dos de cosas conjuntamente, por lo que la combina-
ción de ambas aserciones resultará verdadera si y
sólo si los dos estados de cosas afirmados son reales;
es decir, en el primero de los cuatro casos posibles
de la tabla de verdad correspondiente.
4. Disyunción
¿Qué afirmo al decir "llueve o hace frío"? Doy
por sentado que si llueve no hace frío y que si hace
frío no llueve? a c e p t o que pueden ocurrir am-
bas cosas? Aquí -el lenguaje, natural nos tiende la
habitual trampa de su ambigüedad, y a la lógica
corresponde desentrañar su sentido.
Supongamos que en el menú fijo de un restau-
rante leemos, al final de la lista de platos: "postre o
fruta". Entenderemos que la elección de uno ex-
cluye la de la otra: podernos elegir postre o podemos
elegir fruta, pero no ambas cosas.
Imaginemos ahora que una librería hace una
oferta "sólo para escribanos o abogados". Com-
prenderemos fácilmente que quienes tengan uno de
esos títulos gozarán de la oferta; pero también con-
sideraremos incluidos entre sus beneficiarios a los
profesionales que reúnan las dos condiciones, y nos
parecería absurdo que se negara el derecho de ad-
5 4 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A LAS C O N E C T I VA S 55
quirir los libros en oferta a quien haya obtenido am-
bos títulos.
La ambigüedad consiste, pues, en que la con-
junción disyuntiva "o" del lenguaje natural puede
entenderse como "una cosa o la otra, pero no am-
bas", o bien como "una cosa, la otra o ambas simul-
táneamente". Para disolver esta ambigüedad usa-
mos a veces la forma "y/o" (expresión que los puns-
tas del idioma no recomiendan) para la alternati-
va no excluyente. S i una cuenta bancaria está abier-
ta a nombre de Juan y/o Pedro, entendemos que
Juan y Pedro pueden hacer uso de la cuenta en for-
ma conjunta o separada, independiente o simultá-
nea, según cada uno prefiera.
Existen, pues, dos tipos de disyunción. Una es
Ia excluyente, cuya tabla de verdad es:
V
V
V
V
p # q
V
V
La otra es la disyuncion simple o incluyente, con
esta tabla de verdad:
V
V
q p v q
V V
V V
F V
F F
Ambas disyunciones tienen algo en común, como
surge de las tablas de verdad enunciadas: para ser
verdaderas exigen que por lo menos uno de sus com-
ponentes lo sea. E n otras palabras, son falsas cuan-
do sus dos componentes son falsos. L a ómica dife-
rencia reside en la solución que cada conectiva prevé
para el primero de los casos posibles: aquel en que
los dos componentes son verdaderos. Una de las
disyunciones lo admite (lo incluye) como caso de
verdad de la fórmula compuesta, en tanto la otra
lo rechaza (lo excluye) al tomarlo como falso. S i
volvemos, pues, a los ejemplos del principio, descu-
briremos que la disyunción del menú fijo era exclu-
yente, en tanto la de la oferta de la libreríaera in-
cluyente.
En el lenguaje natural se usa una u otra disyun-
ción ( cosa que puede advertirse por el contexto en
que ella aparece) según convenga a lo que haya do
expresarse; pero en la lógica simbólica es habitual
el uso de la disyunción incluyente, en tanto la otra
sólo aparece por excepción. Esta preferencia se
debe a ciertas particularidades del cálculo lógico,
que permite la fácil traducción de la disyunción
simple en términos de otras conectivas, mientras la
excluyente requiere circunloquios más complejos 8.
Nos guiaremos, pues, por este criterio y diremos
—en general— que una disyunción es verdadera
cuando por lo menos uno de los términos disyuntos
S Ver, en el capitulo V. las leyes de De Morgan.
56 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A LAS CONECTIVAS 57
es verdadero (es decir, llamaremos disyunción a
secas a la disyunción incluyente). Cuando se trate
de la excluyente, la calificaremos como tal y usare-
mos el símbolo correspondiente (" " ) .
5. Condicional
Tanto la conjunción como las disyunciones son
relaciones conmutativas, porque "p q " tiene el
mismo valor de verdad que "q . p", "p y q" que
q y p" y p q u e "q p " p. Pero en una fór-
mula condicional ( "p q " ) esto no ocurre: importa
distinguir el orden en que aparecen los componentes.
Para esto (y sólo respecto dé esta conectiva), la
fórmula que aparece a la izquierda del condicional
se llama antecedente y la que aparece a la derecha
recibe el nombre de consecuente, Sentado esto,
puede definirse el condicional " como la relación
que resulta falsa cuando el antecedente es verda-
dero y el consecuente falso, y es verdadera en todos
los demás casos. D e acuerdo con esta definición,
0 Estas afirmaciones deben entenderse e n e l contexto estricta-
mente formal. E n e l lenguaje natural e l orden de los términos no
es siempre indiferente: "Vino a visitarme y murió" no es l o mismo
que "murió y vino a visitarme", por ejemplo.
10 Muchos autores lo llaman también implicación o implicación
material, para distinguirlo de l a implicación formal, o lógica, que
examinaremos más adelante ( v e r capítulo I V ) . P a r a evitar confu-
siones hemos preferido n o utilizar aquí dicho nombre y reservarlo
para la implicación lógica, como lo hace Quine (ver Quine, Willard
Van Orman, Los métodos de la lógica, Barcelona, 1969, p. 48 y 72).
pues, la tabla de verdad del condicional es la si-
guiente:
V
V
V
V
F
iP
V
V
V
El uso lógico de esta conectiva se parece mucho
al empleo de la palabra "si" en el lenguaje natural:
"p q " puede interpretarse, por ejemplo, como "si
los metales se calientan, se dilatan", o "si gano a la
ruleta podré pagar la cuenta del carnicero". Pero,
como en casos anteriores, este signo lógico no puede
asociarse lisa y llanamente con una palabra deter-
minada. Una fórmula condicional puede interpre-
tarse también como "firmaré el contrato siempre
que mi socio esté de acuerdo", o "el que mata va
preso", o aun "ya no podremos subsistir, Eduviges,
a menos que baje el precio del caviar''.
Pero cuando empezamos a jugar con los ejem-
plos aplicándoles la tabla de verdad del condicional,
una dificultad llama de inmediato nuestra atención.
Supongamos que hemos interpretado "p q " como
"si es de noche, hace frío". Comprendemos fácil-
mente los casos primero y tercero de la tabla: si es
de noche y hace frío, lo afirmado es cierto; si, en
cambio, estamos en una de esas noches de verano
en que el termómetro no baja de treinta grados,
58 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y N O R M A LAS CONECTIVAS 59
nuestro condicional meteorológico resulta claramen-
te injustificado. Pero en los casos segundo y cuarto
algo parece marchar mal: si el antecedente es falso
( es decir, si no es de noche), ¿cómo puede afirmar-
se que sea verdad que si es de noche hace frío? ¿y
cómo puede dar lo mismo, para el caso, que haga
frío o calor ( es decir, la verdad o falsedad del con-
secuente), y que en cualquiera de esos supuestos
el condicional resulte verdadero?
Esta perplejidad es completamente normal.
Casi todos los estudiantes de lógica sienten algo
parecido a la rebeldía cuando se topan con ella,
hasta tal punto que se le ha dado un nombre que
Ia identifica: es llamada la paradoja del condicional.
Cuando hemos dado nombre a lo que nos preocupa
—y sobre todo un nombre tan sonoro— solemos
sentirnos algo más aliviados: nunca es lo mismo
sentirse difusamente mal que saber positivamente
que uno padece, por ejemplo, una gripe causada
por virus del tipo B.
Para seguir, pues, con el símil médico, la para-
doja del condicional admite dos tratamientos: el
quirúrgico y el clínico.
El tratamiento quirúrgico es rápido y doloroso:
consiste en no explicar nada y recordar que las co-
nectivas se definen estipulativamente por sus tablas
de verdad, de modo que no hay lugar para debate
alguno: la tabla del condicional es ésa y basta.
El otro medio de vencer la paradoja —que no es
mejor que el primero pero sí más fácilmente acep-
table— lleva a mostrar que toda la perplejidad pro-
viene de una comprensión incompleta de lo que el
condicional significa.
En efecto, es preciso distinguir cuidadosamente
la fórmula molecular condicional ("p q " , interpre-
tada como "si es de noche, hace frío") de sus fórmu-
las atómicas componentes ("p" y "q", interpretadas
como "es de noche" y "hace frío", respectivamente).
El condicional no afirma que es de noche, y tampoco
afirma que hace frío: sólo enuncia cierta relación en-
tre las dos proposiciones simples, de tal modo que
si es de noche, entonces hace frío. L a única manera
de demostrar que tal afirmación es falsa consistirá,
pues, en verificar que es de noche, pero no hace frío.
La oración condicional no dice nada sobre la tem-
peratura diurna; y así, si no es de noche, poco importa
que haga frío o calor, ya que no habremos afirmado
una cosa ni la otra, y nadie podría decir que hemos
mentido.
En términos más rigurosos puede decirse que la
fórmula condicional no afirma su antecedente ni su
consecuente: sólo afirma que no es el caso de que
el antecedente sea verdadero y el consecuente falso;
que si el antecedente es verdadero también lo es el
consecuente; y que, por lo tanto, si es falso el conse-
cuente también lo es el antecedente.
Este galimatías es tan conocido —hasta para los
que creen no entenderlo— que a menudo se hacen
bromas basadas en él. Decimos, por ejemplo: "si
6 0 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
la lógica es sencilla, yo soy japonés", y con esto con-
sideramos haber afirmado que la lógica es complica-
da. Esto es, en efecto, lo que hicimos; pero exami-
nemos el razonamiento paso por paso.
Supongamos que "la lógica es sencilla" se simbo-
liza con y y "yo soy japonés" con "q''. A l afirmar
"si la lógica es sencilla, yo soy japonés", he postulado
como verdadera la fórmula
p D
Pero al mismo tiempo es obvio que yo no soy ja-
ponés (si esto no fuera claro para todos, la broma no
funcionaría: es de suponer que los japoneses usan la
expresión "yo soy santiaguefio"). Es decir que el
consecuente es falso.
Ahora bien, como nuestra hipótesis consistía en
que la fórmula p q es verdad, debemos buscar en
la tabla del condicional un caso en que dicho supues-
to resulte compatible con la falsedad del consecuen-
te. S i lo hacemos, hallaremos que el único caso en
que tal cosa ocurre es el cuarto: en él el consecuente
es falsa y la fórmula condicional verdadera, pero el
antecedente es falso. Resulta de allí que, si es ver-
dad que si la lógica es sencilla, yo soy japonés y es
falso que yo sea japonés, entonces tiene que ser falso
que la lógica sea sencilla.
Después de este análisis es probable que la broma
resulte menos graciosa; pero, o bien habremos com-
prendido la paradoja del condicional, o bien estare-
LAS C O N E C T I VA S 61
mos dispuestos a pedir la ciudadanía japonesa con la
esperanza de facilitarnos la tarea.
Aclarada, pues, su tabla de verdad, podemos ad-
vertir que el condicional expresa cierta situación que
en los hechos puede darse respecto de dos estadosde cosas: uno cuya descripción simbolizaremos como„p y otro cuya descripción simbolizaremos como
"q". Normalmente decimos que el antecedente es
condición del consecuente; pero lógicos y filósofos
—que hilan más fino— distinguen dos tipos de condi-
ción: la necesaria y la suficiente.
El hecho p es condición suficiente de q cuando
conocer la verdad de "p permite afirmar la verdad
de "q". Dado un enunciado condicional que supon-
gamos verdadero (por ejemplo, "si el perro mueve la
cola, está contento"), la verdad del antecedente es
condición suficiente de la verdad del consecuente:
si vemos que la cola se agita, podremos afirmar que
su canino propietario está 'contento (y lo afirmaremos
con la misma confianza con que hayamos aceptado
la premisa condicional sobre el significado de dicho
movimiento).
En cambio, el hecho q es condición necesaria de
p si conocer la falsedad de "q" nos permite asegurar
la•falsedad de "p". E n el mismo ejemplo, el conse-
cuente resulta condición necesaria del antecedente:
si sabemos que el perro no está contento podremos
afirmar que no mueve la cola aunque el bicho esté a
nuestras espaldas. E n efecto, si la moviera estaría
contento, y estamos persuadidos de que no lo está.
62 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
Con sujeción, pues, a la verdad del condicional
(verdad que depende de su coincidencia con cierta
situación empírica), el antecedente es condición su-
ficiente del consecuente (basta que el perro mueva
la cola para que sepamos que está contento), y el
consecuente es condición necesaria del antecedente
(es indispensable que el perro esté contento para que
mueva la cola).
6. B i cond i c i ona l
Hemos dicho antes que en el condicional importa
distinguir el orden en que aparecen los componentes
de la fórmula, ya que esa constante lógica no es con-
mutativa, y por eso distinguimos el antecedente del
consecuente. Supongamos ahora un condicional
conmutativo, en el que cada término sea a la vez
antecedente y consecuente del otro:
"[(P q ) • (q p ) ] "
Esta combinación de dos condicionales cruzados
corresponde a una nueva conectiva, llamada bicon-
dicional ", que resulta verdadera si y sólo si sus dos
11. E l bicondicional recibe a menudo el nombre de equivalencia
material, o simplemente equivalencia. P o r las mismas razones ex-
puestas en e l caso del condicional, hemos preferido reservar este
nombre para la equivalencia formal o lógica, que más adelante in-
troduciremos (ver capitulo IV ) .
L A S C O N E C T I VA S 63
términos tienen el mismo valor de verdad (es de-
cir, si son ambos verdaderos o ambos falsos):
p
Al leer una fórmula bicondicional suele utilizar-
se la expresión "si y sólo si-, que algunos lógicos abre-
vian como "su". D e este modo, "p q " puede in-
terpretarse como "me gusta el asado si y sólo si está
bien cocido", de donde resulta que si está bien cocido
me agrada y de otro modo no; e, inversamente, que
si me gusta está cocido y si no me gusta no lo está.
Como puede observarse, esta conectiva es extrema-
damente rigurosa: en el caso del ejemplo no admite
el supuesto de que el asado me desagrade pese a ha-
llarse bien cocido (por ser duro, o estar quemado, o
por alguna otra razón). Es decir que cada término
es a la vez condición suficiente y necesaria del otro.
El lenguaje diario, en cambio, suele dejar cabos suel-
tos ( como el condicional simple): cuando afirmo que
sólo me gusta el asado bien cocido, no pretendo en
general sostener que en cualquier circunstancia un
asado que cumpla ese requisito me pone tan ansioso
como el perro de Pavlov.
El bicondicional, pues, no suele usarse para for-
malizar la mayoría de las expresiones del lenguaje
natural ( aunque tal cosa puede ocurrir). E n cam-
6 4 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A LAS C O N E C T I VA 3 65
bio, su empleo es bastante común en la formulación
de definiciones y de leyes lógicas.
El símbolo utilizado para representar esta conec-
tiva merece un comentario adicional. Recordare-
mos que el símbolo de la disyunción excluyente
("#") es el mismo del bicondicional, pero cruzado
—como tachado— por una línea diagonal. Esta
semejanza no parece caprichosa, a poco que se com-
paren las tablas de verdad de las dos conectivas:
ci p q P q
V
V
V
V
V
V
Como puede observarse, el bicondicional equi-
vale a la negación de la disyunción excluyente (y
viceversa), ya que en cada caso en que una conecti-
va es verdadera la otra resulta falsa. D e aquí se
deduce que podríamos representar la disyunción
excluyente de esta manera:
- (p - q)
E, inversamente, sería posible simbolizar el bicon-
dicional así:
—(1) q )
Por esto se ha elegido para el bicondicional el
símbolo que los matemáticos utilizan para la seme-
janza (dos variables unidas por un bicondicional
son semejantes en sus valores de verdad), y se usa
el mismo símbolo tachado (es decir, negado) para
Ja conectiva inversa.
Lógica ,
IV
TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA:
LA IMPLICACIÓN FORMAL
1. Tautologia
Al analizar las tablas de verdad de las conecti-
vas hemos observado que la verdad de una fórmu-
la molecular depende del valor de verdad que se
asigne a cada una de las fórmulas atómicas que la
integran: así, por ejemplo, la conjunción es verda-
dera cuando sus dos términos son verdaderos y falsa
en los demás casos; el condicional es falso cuando
el antecedente es verdadero y el consecuente falso,
y es verdadero en los otros tres supuestos; y el bicon-
dicional es verdadero si sus dos términos tienen
el mismo valor de verdad ( V o F), y falso cuando
ellos tienen valor distinto.
Examinemos ahora la tabla de verdad de la si-
guiente fórmula: "p y —p".
6 8 L Ó G I C A , F R : I P O S I C I Ó N Y N O R M A
P P V P
V V V F
F F V V
Como la fórmula propuesta sólo contiene una
variable ("p"), los casos son 21 = 2. E n el prime-
ro p es verdadero y, consiguientemente, —p es falso;
en el segundo ocurre a la inversa. Pero, como la
disyunción resulta verdadera cuando cualquiera de
los términos disyuntos lo es, nuestra fórmula se reve-
la como verdadera para todos los casos posibles.
Esta comprobación tiene un curioso efecto: el
de independizar la verdad de la fórmula de cual-
quier averiguación sobre la verdad de p. E n efecto,
asignaremos a "p" una interpretación cualquiera:
"fumar hace daño", por ejemplo. Así, "--p" deberá
traducirse por "fumar no hace darlo" (o, lo que es lo
mismo, "no es el caso de que fumar haga daño", o
no es verdad que fumar haga daño", o cualquier
otra expresión semejante). L a fórmula molecular
quedará interpretada como "fumar hace daño o (fu-
mar) no hace daño", y resultará verdadera en toda
circunstancia.
Pero ¿fumar hace realmente daño? Esta pre-
gunta tiene importancia médica, social y económica,
pero no perturba la placidez de la lógica. Porque,
cualquiera sea la opinión que sustenten sobre
Ia respuesta correcta, fumadores empedernidos y
médicos solícitos, directores de empresas tabacale-
ras y activistas de la Liga de la Templanza han de
TA U TO L O G Í A , C O N T R A D I C C I Ó N Y C O N T I N G E N C I A 69
estar de acuerdo en que fumar hace daño o no lo
hace. Es más, ni siquiera es necesario interpretar
la fórmula para conocer su verdad. Como la verdad
de p y —p no depende de la de p sino de la estructura
lógica de la expresión molecular, tanto da que atri-
buyamos a "p" la representación de una u otra pro-
posición, o aun que consideremos la variable en su
más puro y original estado simbólico: si no nos es
preciso conocer la verdad de p tampoco nos hace
falta asignarle un significado.
Estas fórmulas cuya tabla de verdad arroja valor
positivo para todos los casos posibles se llaman tau-
tologías. Tienen la ventaja de ser siempre verdade-
ras con independencia de su contenido, pero —por
esto mismo— tienen también una desventaja: no
proporcionan ninguna información sobre el inundo
que nos rodea. L a verdad absoluta suele ser trivial;
y, salvo cuando se trata de fórmulas muy complica-
das, resulta tan sabida que no despierta graninterés.
Imaginemos un hombre que pasara la vida enun-
ciando únicamente las más solemnes tautologías:
"mañana habrá tormenta, o no la habrá", "si un ani-
mal tiene cinco patas, tiene seguramente cinco pa-
tas"; "la existencia es un río que nos lleva hacia el
infinito... o bien es alguna otra cosa". Ta l perso-
na no correría jamás el riesgo de afirmar algo falso,
pero su charla resultaría tan insulsa que nadie que-
rría oírla: ninguna de sus afirmaciones contendría
datos empíricos.
Y sin embargo, no por ser vacías de contenido
70 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
las tautologías son inútiles: en muchos casos su ver-
dad formal no es evidente, y se requiere un detenido
examen para advertirla. Además, si descubrimos
que un enunciado encierra una tautología dejare-
mos de inmediato de discutir sobre ella, perderemos
interés en Ia averiguación de sus presupuestos empí-
ricos ( ya que no los tiene) y —lo que es más impor-
tante— podremos utilizarla corno puente para razo-
namientos más complejos. Por esto la lógica trata
muy especialmente sobre las tautologías, y por esto
empleamos hoy máquinas —las computadoras— que
son formidables constructoras de relaciones tautoló-
gicas: dados un programa y los datos con que se la
alimenta, la máquina produce una respuesta que re-
sulte formalmente verdadera bajo condición de la
verdad de aquellas premisas.
2. Contradicción
Las tautologías tienen su contrapartida negati-
va. Supongamos la siguiente fórmula: "p . —p".
P P • —P
V V F F
F F V
Al construir la tabla de verdad de esta conjun-
ción advertimos que para todos sus casos posibles
(que son dos) su valor de verdad es F. Esto indica
que cualquier proposición con semejante estructura
TA U T O L O G Í A , C O N T R A D I C C I Ó N Y C O N T I N G E N C I A 71
lógica ("la luna es redonda, pero no es redonda"; o
no es que yo sea racista, pero siempre he sostenido
que hay razas insoportables") es falsa en cualquier
circunstancia, independientemente de la verdad o la
falsedad de p y aun del significado que momentá-
neamente atribuyamos a la variable.
Una fórmula molecular cuyo valor de verdad es
F para todos y cada uno de sus casos posibles se
llama contradicción, y, por cierto, tiene tan poco con-
tenido empírico como las tautologías: es una false-
dad formal.
Ha de notarse que —por aplicación de la tabla
de verdad de la negación— toda tautología negada
se convierte en contradicción, y toda contradicción
negada se transmuta en tautología. Así como en el
cuento de Stevenson el perverso Mr. Hyde era el
otro yo del bondadoso Dr. Jekyll, la tautología y la
contradicción pueden transformarse una en otra me-
diante una simple operación, pero, como luego vere-
mos, una representa el modelo de razonamiento a
seguir y la otra una impureza cuya presencia echa
por tierra el valor de cualquier demostración.
3. Contingencia
Si sustituimos la comparación anterior por un
símil ferroviario, podemos afirmar que la tautología
y la contradicción son las dos estaciones terminales
de una línea con muchos puntos intermedios: entre
7 2 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A
el extremo positivo (verdad formal) y el negativo
(falsedad formal) hay infinidad de_ fórmulas que re-
sultan verdaderas para algunas combinaciones de
verdad de sus componentes, y falsas para otras: son
Ias fórmulas contingentes.
Para decirlo con mayor rigor, una fórmula es con-
tingente si y sólo si resulta verdadera por lo menos
en uno de sus casos posibles y falsa por lo menos en
otro. Cumplidas estas condiciones, poco importa
que sean más los casos de verdad que los de falsedad,
o viceversa: toda fórmula que no sea tautológica ni
contradictoria es contingente.
La proposición que se obtiene por interpretación
de las variables de una fórmula contingente (por
ejemplo, "si se prohibe el uso de la barba y se im-
planta la censura cinematográfica, se contribuirá a
constituir una sociedad pacífica y virtuosa") no es
formalmente falsa ni formalmente verdadera; y, por
esto mismo, lejos de ser vacía de contenido, encierra
una información sobre la realidad (esto es, describe
un estado de cosas). Si la descripción se ajusta a
lo que en realidad acontece, la información conte-
nida en la proposición será verdadera; si difiere de
Ia realidad, será una información falsa. De aquí se
desprende que para averiguar la verdad o la false-
dad de una proposición contingente (es decir, de
una proposición cuya estructura lógica puede sim-
bolizarse mediante una fórmula contingente) no
basta con analizar su tabla de verdad: es preciso
examinar el mundo empírico y buscar en él prue-
TAUTOLOGLA, C O N T R A D I C C I Ó N Y C O N T I N G E N C I A 73
bas que verifiquen la proposición o que muestren
su falsedad. Desde luego, no existen garantías de
que hallemos tales pruebas: las ciencias empíricas,
cuya tarea consiste precisamente en investigaciones
de este tipo, contienen infinidad de preguntas para
Ias que aún no se ha encontrado respuesta conclu-
yente.
Incidentalmente, lo expuesto nos proporciona
un nuevo dato para ubicar a la lógica dentro del
panorama del conocimiento humano: ella busca, en-
tre otras cosas, descubrir y probar formalmente las
tautologías, en tanto las ciencias naturales, por ejem-
plo, procuran determinar la verdad de ciertas pro-
posiciones contingentes.
4. Implicación formal
Recordemos ahora, por un momento, la tabla de
verdad del condicional:
p
V
V
v v v v
V F V V
F 1 V F F
FUE' V F
Como puede observarse, la fórmula "p = q" es con-
tingente: corresponde a proposiciones que dicen
algo sobre el mundo y cuya verdad depende de que
el valor de verdad del antecedente y del cense-
74 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A
cuente se combinen en la realidad según una u
otras de las maneras enumeradas en la tabla. A
menudo usamos el condicional para expresar una
relación causal ("si tomo vitamina C estaré a salvo
de resfrios"); o las condiciones para tomar una de-
cisión ("si apruebo el examen iré a Luján a pie"),
o para señalar que un hecho es indicio de otro ("si
las luces están apagadas, no hay nadie en casa");
pero ninguno de estos vínculos empíricos es indis-
pensable para la verdad del condicional. Esta co-
nectiva es poco exigente, y se contenta con una
correspondencia de hecho, aunque sea circunstan-
cial o casual. "Si tomo café, lloverá mañana" será
verdadera si ambas cosas ocurren, aunque entre
ellas no exista relación alguna. Es más: también
será verdadera si llueve mañana, aunque yo no tome
café hoy; y otro tanto si no tomo café, cualesquiera
sean las condiciones meteorológicas del día si-
guiente. De todos modos, lo que importa destacar
es que cualquiera de estos condicionales (u otro
semejante que pueda imaginarse) será falso o ver-
dadero según exista o no un estado de cosas capaz
de verificar el antecedente y hacer falso, al mismo
tiempo, el consecuente.
Supongamos, en cambio, esta otra fórmula:
p ( p y q)
Una interpretación adecuada sería, por ejemplo, "si
soy abogado, soy abogado o violinista". Nótese que
para ser abogado o violinista basta con ser abogado
TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 75
y basta también con ser violinista (sin excluir, por
cierto, la eventualidad de un letrado aficionado al
violín): todo abogado es abogado o violinista (o
zapatero, o astronauta); de modo que el condicio-
nal de nuestro ejemplo es tal que la afirmación del
antecedente nos obliga a afirmar el consecuente ".
Para probarlo, construyamos una tabla de verdad
en la que "p" corresponda a "soy abogado" y "q" a
C( 1 . violinista'':
P (p y q)
V V
F V
V V
F V
VVV
FVV
V V F
F F F
Nos encontramos, pues, ante un condicional tau-
tológico. En uno de los ejemplos anteriores podía
darse el caso de que las luces estuvieran apagadas
y hubiese alguien en casa (lo que determinaría la
falsedad del condicional material); pero si soy abo-
gado no puedo dejar de ser abogado o violinista, de
modo que la verdad de este condicional depende
de su estructura formal, y no de su correspondencia
con la realidadempírica.
¿Por qué hay condicionales tautológicos? L o
que ocurre, en verdad, es que el enunciado que apa-
12 Una disyunción es verdadera cuando al menos uno de sus
componentes lo es. Po r lo tanto, bajo el supuesto de verdad de p
estamos obligados a atribuir verdad a la disyunción que tiene a
como uno de sus disyuntos.
76 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y N O R M A
rece en ellos como consecuente ya está contenido en
el antecedente: de allí que, en el supuesto de ver-
dad del enunciado más restringido, no podamos ne-
gar la proposición cuya verdad exige menos requisi-
tos. Ta l es, después de todo, el principio rector de
cualquier razonamiento deductivo: si la verdad de
Ias premisas nos garantiza la verdad de la conclusión,
es porque ésta ya estaba contenida —de un modo u
otro— en aquéllas.
Tan importante resulta esta relación para la lógi-
ca que ha merecido un nombre propio: cuando un
enunciado está incluido en otro, de tal manera que
Ia verdad de este último garantiza la verdad del an-
terior, decimos que media entre ambos una relación
de implicación (también llamada implicación for-
mal, estricta o lógica). Así, todo enunciado cuya
verdad asegura formalmente la verdad de otros
enunciados implica a cada uno de éstos, Todo con-
dicional formado de manera que el antecedente im-
plique al consecuente será tautológico; y, a la inver-
sa, todo condicional tautológico indica una relación
de implicación entre su antecedente y su conse-
cuente.
Ha de quedar en claro que no todo condicional
encierra una implicación: para ello se requiere que
el condicional sea tautológico. Los condicionales
contingentes, como ya se ha visto, describen una
situación de hecho, por lo que su verdad está sujeta
a la realidad de esta misma situación. Pero no es
lógicamente posible un estado de cosas en que el
TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 77
condicional tautológico o implicación resulte falso:
la implicación —vacía de contenido empírico como
todas las tautologías— no se refiere a los hechos ni
afirma cierta relación entre éstos: simplemente da
cuenta de una relación abstracta, puramente lógica,
entre proposiciones. U n hecho puede ser causa de
otro, pero no puede implicarlo: la implicación formal
es un vínculo entre proposiciones, y predicarla de
los hechos tendría tan poco sentido como afirmar
que el número 17 es yerno del 9, o que el edificio
Cavanagh es un submúltiplo de la Casa Rosada.
Como la implicación es un caso especial dentro
del género de los condicionales, entre sus elemen-
tos puede observarse también la relación de condi-
ción necesaria y de condición suficiente. E n la fór-
mula "p ( p y q)", p es condición suficiente de
p v q, ya que garantiza su verdad. Y p y q es con-
dición necesaria de p: si p y q no fuera verdadera
resultarían falsas tanto p como q (por la tabla de
verdad de la disyunción); y entonces el anteceden-
te p no podría ser verdadero. Pero, por tratarse de
un condicional tautológico, la necesidad o la sufi-
ciencia con que antecedente y consecuente son con-
diciones uno del otro no son materiales ( es decir,
relaciones de hecho, dependientes de la verdad o
falsedad de cada uno), sino formales, de naturale-
za estrictamente lógica. Así, en la implicación es
lógicamente necesario que el consecuente sea ver-
dadero si el antecedente lo es, y es lógicamente im-
78 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A
posible que el antecedente sea verdadero si el con-
secuente no lo es.
5. Equivalencia
Cuando por razones lógicas dos proposiciones
tienen siempre el mismo valor de verdad, podemos
formar con ellas u n bicondicional tautológico.
Esto ocurre, por ejemplo, con el enunciado "soy
abogado si y sólo si soy abogado", cuya estructura
corresponde a la fórmula "p --=-- p" y cuya tabla de
verdad es la siguiente:
P ' P
V V V V
F V F
Así como todo condicional tautológico expresa
una implicación, todo bicondicional tautológico ex-
presa una equivalencia. Dos enunciados son equi-
valentes cuando media entre ellos una relación tal
que la verdad de uno garantiza formalmente la del
otro y viceversa, y que la falsedad de uno asegura
formalmente la falsedad del otro y viceversa.
Del mismo modo que la implicación, la equiva-
lencia es una relación entre proposiciones y no un
vínculo entre hechos. U n bicondicional contin-
gente ("hace frío si y sólo si me visto de azul") pue-
de resultar verdadero porque eventualmente sus
dos términos tengan en un momento dado el mis-
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 7 9
mo valor de verdad; pero es lógicamente imposible
Ia existencia de un estado de cosas en que la equi-
valencia resulte falsa, por lo que ésta —como cual-
quier tautología— se encuentra desvinculada del
mundo empírico.
Conviene hacer notar que, tal como acontece
entre el condicional y el bicondicional, la equiva-
lencia es una relación más restringida que la de
implicación: cuando dos enunciados son equivalen-
tes podemos afirmar que cada uno de ellos implica
al otro (ya que la verdad de uno garantiza la ver-
dad del restante); pero, si sólo sabemos que un
enunciado implica a otro, no podemos sin más ase-
gurar que ambos son equivalentes. Como una
avenida de doble mano, la equivalencia contiene
dos implicaciones de sentido inverso.