Piaget, J (1977) La explicación en las ciencias Ediciones Martinez Roca - Fernando Gutierrez

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En el nion anual, la Academia 
1 t nacional de Filosofía de las 
,1 11c1as acordó consagrar sus se-
s1onts a examinar el problema de 
la explicaci ón bajo sus diferentes 
a pee 0 y en las distintas cien-
cias: exac as, naturales y humanas . 
Este vo lumen reúne el conjunto de 
las comunicac iones y ponencias 
presentadas . En la Introducci ón, 
Jean Piaget subraya la complejidad 
del problema , pero también su po-
sible si mplificación si nos atene-
mos al estrecho paralelismo que 
existe entre las operaciones y la 
causal idad , es decir , entre las es-
tructuras propias de las c iencias 
deductivas y aquel las que operan 
en el terreno de las ciencias de lo 
rea l . 
Cada sector está aquí examinado 
por especia listas en ciencias exac-
tas , naturales o humanas: J. Ladrie-
re , para la exp licación en lógica , 
J. T. Desanti , para la explicación 
en matemáticas , F. Halbwachs y 
R. García , para la física , 6 . Cellé-
rie r, para la biología , H. Sinc lair de 
Swaart, para la lingüística , G. G. 
Gra nger, para las ciencias sociales , 
etcétera. 
En sus observaciones finales , Jean 
Piaget constata que, más al lá de la 
diversidad de las disciplinas aquí 
estudiadas, son más los puntos de 
contacto que las disparidades en 
lo que atañe ai problema de la ex-
plicación, perfilándose como vía de 
confluencia lo que el mismo Piaget 
denom·na «estructura li smo cons-
truct:vi sta ". 
C · erta oees t/ Hoverstad 
Aposte!, Cellérier 
Desanti, García, G ranger, 
Halbwachs, Henriques, Ladriére, 
Piaget, Sachs, Sinclair de Zwaart 
La explicación 
en las ciencias 
Coloquio de la Academia Internacional 
de Filosofía de las Ciencias con la 
asistencia del Centro Internacional 
de Epistemología Genética 
(Ginebra 25-29 septiembre 1970) 
Ediciones Martínez Roca, S. A. 
Título original: L'explication dans les sciences, publicado por Flammarion 
l!:diteur, París, 1973. 
Traducci6n de Josep Dalmau Ferrán 
© 1973, Flammarion 
© 1977, Ediciones Martínez Roca, S.A. 
Avda. José Antonio, 774, 7.0, Barcelona-13 
ISBN: 84-270-0427-3 
Depósito legal: B. 39.250-1977 
Impreso en. Vicsan S.A., Maria Victoria, 11, Barcelona-14 
Impreso en España - Printed fn Spaln 
Indice 
Prólogo, por lean Piaget . 9 
' l introducción: El problema de la explicación, por 
] ean Piaget . 11 
1 2 La explicación en la lógica, por ]ean Ladriere . 22 
3 La explicación en matemáticas, por ]ean T. De-
santi 59 
4 Historia de la explicación en física, por F. Hal-
bawchs . . . . . . . . . 74 
5 La explicación en física, por Rolando García . 102 
6 La explicación en biología, por Cuy Cellérier . 118 
7 La explicación en lingüística, por Hermine Sinclair 
de Zwaart . . . . . . . . . . . 129 
8 La explicación en las ciencias sociales, por Gilles 
Gastan Granger 143 
9 Explicación y dialéctica, por Ignacy Sachs. 161 
10 Sobre la contradicción en la dialéctica de la natu-
raleza, por Rolando García 169 
11 Explicación y asimilación recíproca, por G. V. H en-
riques . 180 
... 12 Observaciones sobre la noción de explicación, por 
Leo Apostel . . . . . . . . • 199 
13 Notas finales, por ]ean Piaget • 206 
Prólogo 
En su sesión anual de 1969 la Academia Internacional de 
Filosofía de las Ciencias, bajo la presidencia de F. Gonseth, 
decidió dedicar la sesión de 1970 al examen del problema de la 
explicación bajo sus diferentes aspectos y en las distintas cien-
cias, exactas, naturales y humanas. Decidió también celebrar 
el coloquio en Ginebra y encargar al director del Centro Inter-
nacional de Epistemología Genética su organización, escogien-
do los ponentes entre los miembros y colaboradores de las dos 
instituciones. En la presente obra se ha reunido el conjunto 
de esas ponencias. No obstante, existen una o dos modificaciones 
que es necesario señalar. 
En primer lugar, el gran biólogo Ch. Waddington había 
aceptado, inicialmente, hablar de la explicación en biología; 
pero en el último momento le retuvieron ocupaciones que no 
había podido prever: su condición de profesor invitado en 
los EEUU. Pudo ser reemplazado precipitadamente, pero con 
pleno éxito, por G. Cellérier, director adjunto del Centro de 
Epistemología Genética. L. J. Prieto nos anunció, ya iniciadas 
las sesiones, su imposibilidad de asistir. H. Sinclair de Zwaart, 
que representa la psicolingüística en nuestro centro, aceptó 
encargarse de la ponencia acerca de la explicación en lingüís-
tica. Sin embargo, por falta de tiempo, su trabajo no pudo ser 
discutido en la sesión correspondiente. 
Por otra parte, lamentablemente, ha sido imposible obtener 
el manuscrito de P. Gréco acerca de la explicación en psicolo-
9 
gía, pero sus ideas sobre el tema ya han sido divulgadas en 
otra parte.1 
L. Aposte! nos presentó durante el coloquio una ponencia 
muy técnica sobre la explicación según el positivismo lógico, 
que era, de hecho, un estudio crítico de las ideas de Hempel. 
El manuscrito redactado posteriormente resultó excesivamente 
largo para un problema tan concreto. Solicitamos a Apostel un 
resumen notab1emente abreviado. Ahora bien, a pesar de que 
el resumen se hizo esperar mucho tiempo, el lector se sentirá 
recompensado ya que nuestro colega, cuya fecundidad es cono-
cida, modificó sensiblemente sus posiciones en el lapso que 
separa los dos textos y, .finalmente, nos dirigió una corta nota, 
pero extraordinariamente sugestiva por la evolución que mar-
ca hacia un historicismo bastante radical y, en parte, imprevi-
sible en alguien como él. 
Es necesario también indicar que l. Sachs se limitó, por su 
modestia, a tratar solamente de la dialéctica en la ciencia eco-
nómica, y que nosotros hemos creído útil publicar a continua-
ción de su capítulo "Explicación y dialéctica" una interesante 
discusión, de R. García, acerca de la "Contradicción en la dia-
léctica de la naturaleza". 
Señalemos .finalmente que durante las sesiones se dedicó un 
día a festejar el ochenta aniversario de F. Gonseth, en el curso 
del cual el presidente de la Academia expuso de forma emo-
tiva el papel que el diálogo ha tenido en su carrera y en la 
formación de sus ideas. 
JEAN Pl.AGET 
l. Véase Logique et Connaissance actentifique, iEncyclopédie de la 
Pléiade, pp. 927-991. 
10 
1 
Introducción: El problema de la 
explicación 
Por Jean Piaget 
Ya Cournot distinguía dos tipos de demostraciones en mate-
máticas: las que son simplemente lógicas, que facilitan la veri-
ficación de un teorema pero no dan su razón, y las que llama-
remos explicativas porque se refieren a la razón de la propo-
sición. Diremos, en efecto, que explicar es responder a la pre-
gunta "¿por qué?", es comprender y nusólo constatar. Dicho 
de otra forma, es separar la "razón" en el terreno de las cien-
cias deductivas, y la "causalidad" -a pesar de que la palabra 
pueda ser peligrosa- en el terreno de las ciencias físicas. 
Ahora bien, tanto la razón como la causa conllevan dos ca-
racteres antitéticos, cuya unión precisamente es problemática. 
~ El p1imero de estos aspectos es, naturalmente, la necesidad 
intr~nseca: s~arar la razÓ:Q_de~ullJ<i~~~ !_~~YE~d forrp<i!2~!~~al, 
•@f""fn.~ que es necesaria y, en consecuencia, es apoyarse 
/lsobi:e~un ·modelo ""deductivo"'.\\ No obstante, simultáneamente, 
~j)~ali-.~raz-91L~~ -capfui<lo. que_ hay ~e _,i:iue".:~~n ella, es 
justificar una construcción efectiva. Eri otro caso~ncf'"s'i:f' com-
prende el cambio en el terreno de las realidades físicas o en la 
producción de avances propios de los descubrimientos mate-
máticos. En otros términos, buscar la razón o la explicación es 
admitir implícitamente la insuficiencia de un simple reduccio-
nismo. Éste, por otra parte, puede presentarse bajo dos formas. 
Llamaremos, en primer lugar, reducciones externas a las que 
consisten simplemente en hacer entrar en el marco de una ley 
general una fey más o menos particular o especial. El reduc-
11 
cionismo externo será, pues, el encuadre de lo especial en lo 
general; lo que, naturalmente, no explica nada y se limita a 
desplazar el problema:si se indica de esta forma la razón de 
la ley particular, falta aún encontrar la de la ley general. 
Existe, además, un reduccionismo que se puede llamar in-
terno y que busca la razón de una nueva realidad en el su-
puesto de que ·estaba preformada o predeterminada en alguna 
realidad anterior. Se piensa, entonces, en la obra tan instruc-
tiva y notablemente paradójica de Émile ,Meyerson, que inten-
taba reducir la explicación a la identificación: explicar es mos-
trar lo que ha sido preformado en el estadio anterior. Por ejem-
plo (y Meyerson cita a menudo esta frase de Bossuet), "el ca-
pullo explica la rosa". Explicar significa aquí, en sentido propio, 
surgir de sus pliegues o separar en el efecto lo que ya estaba 
anteriormente contenido en la causa. Pero el mismo Meyerson 
ha hecho lo posible por mostrar que su identificación fracasa. 
Fracasa en el terreno físico porque no explica lo diverso, y así 
lo "real" es entónces "irracional". Su identificación no explica 
tampoco las matemáticas, ya que, si bien reconoce su creativi-
dad, concluye sin ninguna vacílación que dejan de ser rigurosas 
en la medida en que introducen lo nuevo y no son exactas ni 
necesarias más que en la medida en que permanecen en sus 
identidades. Pero este fracaso de la identificación, deseado -por 
así decirlo- por su protagonista, es sólo un ejemplo. En todos 
los campos se encuentra un fracaso análogo del reduccionismo. 
La reducción integral de las matemáticas a la lógica, en la cual 
soñaban Russell y Whitehead en los Principia, no es sostenible 
hoy, después de los teoremas de Goedel y de muchos otros. 
En el terreno físico, las reducciones, que se han buscado du-
rante décadas, del electromagnetismo a la mecánica, han fraca-
sado y han acabado en una asimilación recíproca en lugar de 
una reducción simple (incluso en el caso de la dinamogeome-
tría contemporánea de Mismer y Wheeler). Dicho de otra ma-
nera, no parece que la explicación en las ciencias sea compa-
tible con el reduccionismo bajo las dos formas que hemos re-
cordado. 
Pero entonces, la explicación o la búsqueda de la razón de 
las cosas comporta una paradoja: se trata, por una parte, de 
conciliar la necesidad con la producción de cambios y, por 
otra, con la construcción de novedades. 
Dicho de otro modo, nuestro problema central es compren-
der las innovaciones como necesarias. No deben ser compren-
12 
didas como preformadas ya que en ese caso no serían innova-
ciones. Pero tampoco pueden ser consideradas como contin-
gentes pues no serían necesarias·y no se las podría "compren-
der". Esa argumentación puede parecer contradictoria pero hay 
en ella, por lo menos, una doble exigencia del pensamiento. La 
razón quiere comprender la diversidad y rehúsa considerarse, 
con Meyerson, irracional. Por otra parte la razón quiere que 
toda construcción sea necesaria, en otro caso caeríamos efecti-
vamente en la irracionalidad. 
La solución a la explicación en el campo de las ciencias 
deductivas se busca actualmente en la dirección de las estruc-
turas. Puede pensarse en las estructuras matrices de Bourbaki 
-con sus combinaciones y diferenciaciones-, e incluso en las 
categorías de Me Lane y Eilenberg -las clases y sus funcio-
nes-, o en morfismos de cualquier tipo,, En conjunto vienen a 
decir que la razón de una proposición de un teorema se alcanza 
en la medida en que podemos apoyarnos sobre ~na estructura. 
Y, en efecto, la pri~::i._s:~acterística básica de una estructu-
ra es su necesidadtintrínseéa. Una estructura conlleva, como 
se sabe, no sólo las leyes de coII1posfoión, sino que, además, 
- incluye un mecanismo autorregulador que le permite conservar 
sus dos propiedac1es fundamEmtales: !1º salir jamás de sus fron-
teras Tdicho de otro modo: eombinando dos elementos de una 
estructura se halla aún un elemento de la estructura) y, por 
otra parte, no necesitar jamás elementos exteriores a ella, siendo, 
así pues, autosuficiente. ~- _ 
De esta forma la estructura ¡>osee una necesidad G:@ii.12§~ 
primera condición que hemos dicho que corresponde a foda 
explicación. Pero la segunda característica básica de la estruc-
tura es ser un instrumento de construcción. Fundamentalmente 
es un órgand de construcción puesló"--qüé. @nstituye un sistema 
<!~ transformaciones y no una forma estática cUa.Tquiera, sin lo 
cual todo sería éstructura. Es un sistema de transformaciones 
con sus propias leyes de composición que engendra realidades 
que son nuevas sin ser irracionales ya -que esfiíii determinadas 
por las leyes de composición. J..a const:ructhddad de las estruc-
, turas se manifiesta, además, por el hecho de que no se reducen 
unas a otras sino que se combinan entre sí: no hay identidad 
sino complementariedad entre las estructuras. En el caso, por 
ejemplo, de las es·tructuras matrices de Bourbaki, se pueden 
combinar las estructuras algebraicas y las estructuras de orden, 
pero no se reducen unas a otras. Igualmente ocurre en el caso 
13 
de las estructuras algebraicas y estructuras topológicas, etc. Ten-
gamos en cuenta, fuialmente, gue una estructura se puede dife-
renciar indefinidamente completando sus leyes de composición: 
introduciendo axiomas limitativos que permitan pasar del grupo 
a subgrupos determinados y así sucesivamente. 
Debemos tener en cuenta ahora, ya que será útil para nues-
tras conclusiones, que las estructuras fundamentales de las que 
han hablado Bourbaki y, desde entonces, todos los adeptos a la 
idea de categoría, par~cen constituir realidades seriamente en-
raizadas en el pensamiento natural y no meras abstracciones 
formales. Analizando las primeras estructuras lógico-matemáti-
cas en el niño, se encuentran los bosquejos de las estructuras 
matrices: se encuentran estructuras que comportan operaciones 
inversas, las cuales corresponden a estructuras algebraicas, es-
tructuras de relaciones cuya reversibilidad reposa sobre las reci-
procidades y corresponde a las estructuras de orden y, cierta-
mente, estructuras topológicas. Recuerdo un coloquio en París 
de hace dos años titulado: "Estructuras mentales y estructuras 
matemáticas". Las dos conferencias iniciales fueron dadas por 
Dieudonné en referencia a las estructuras matemáticas, y por_ 
mí. resp~cto, _ _a las estruc:tul'ª~' menfu!~'~'-Yocºiío- sabía nada en 
aquél momento· de los trabajos delfcñí'rbaki. Los ignoraba por 
falta de formación matemática mientras que Dieudonné no 
quería saber nada de psicología. No obstante percibimos que 
nuestras dos ponencias convergían sobre ciertos puntos respecto 
a las tres estructuras matrices de una manera tan sorprendente 
que Dieudonné pronunció esta frase decisiva: "Es la primera 
vez en mi vida que tomo la psicología en serio. Puede ser tam-
bién la última pero es, en cualquier caso, la primera vez". 
En referencia a la idea de categoría, que es incluso más 
fundamental que la idea de conjunto, se la encuentra igual-
mente bajo formas incipientes en el niño; y eso incluso antes 
que el nivel de las operaciones reversibles, de la formación de 
nociones preoperatorias e, incluso, de lo que podemos llamar 
"funciones constitutivas" (covariaciones sin reversibilidad).1 
Pasando a los problemas de las ciencias físicas, la razón, en 
el sentido de Couinof, se convierte en la razón suficiente de 
Leibniz -que es la causalidad, la causa seu ratio de Descar-
tes- en la búsqueda del modo de producción de los fenómenos, 
l. Pero con "inversiones" bajo forma de retornos empíricos a los 
puntos de partida para la construcción de nuevas funciones. 
14 
en la cual se basan un gran número de físicos. Toda una es-
cuela ha contestado la legitimidad de la necesidad de explicar: 
el positivismo de Comte se opone a la búsqueda de la explica-
ción. Comte pretende que la ciencia está al servicio de la acción 
y que ésta sólo exige la previsión de los fenómenos. De esta 
forma, para prever basta la legalidad, una buena descripción, 
lo cual remite a la metafísica todo lo que es causalidad. Pero 
incluso adoptando elpunto de partida de Comte extraña el 
querer reducir la ciencia a las necesidades de la acción -se la 
limita a problemas de previsión-, puesto que la acción consiste 
precisamente en producir algo, y no solamente en prever, ya 
que el conocimiento del modo de producción de los fenómenos 
es esencial a toda- acción técnica. Pero poco importan las res-
tricciones positivistas: hoy día ningún físico creativo se atiene 
a las leyes; en la investigación existe siempre, •explícita o implí-
citamente, la JJúsqueda del porqué de la ley, es decir, del modo 
de producción de los fenómenos. 
Ahora bien, el hecho más fundamental desde el punto de 
vista epistemológico es que toda explicación causal acaba por 
incorporar la noción de estructura al sentido lógico-matemático. 
De esta forma es posible encontrar la estructura de grupo en 
cualquier escala: desde la microfísica a la mecánica relativista, 
pasando por los grupos cristalinos y todo lo que se quiera. En 
todos los campos de la física actual se construyen modelos que 
son estructuras deductivas que tienden a alcanzar la necesidad 
sin limitarse a la simple constatación o descripción de fenó-
menos. El problema esencial planteado al epistemólogo es el 
de la naturaleza de tales modelos: ¿son meramente subjetivos 
o alcanzan la realidad? ¿Son subjetivos en el sentido de que 
serían simples instrumentos intelectuales destinados a simpli-
ficar los problemas, serían una especie de economía del pensa-
miento o, tal vez, un intento de representación destinado a 
satisfacer la necesidad de imágenes pr·ecisas? ¿O rea~ente el 
modelo alcanza lo real por aproximaciones sucesivas? Es evi-
dente que ningún modelo es enteramente conforme a lo real 
ya que necesita ser constantemente transformado y afinado. Pero, 
¿el papel del modelo es o no explicar lo real? Ciertamente se 
puede discernir, de entrada, una necesidad deductiva que re-
basa los mismos hechos, una necesidad que no conllevan los 
hechos observables solos, incluso si por observables se entiende 
no sólo las constataciones particulares sino incluso las relacio-
nes funcionales entre los hechos, dicho de otra manera, todas 
15 
las leyes. ¿Cuál es, pues, la naturaleza de esa necesidad? ¿Per-
manece puramente lógico-matemática o expresa uno de los 
caracteres de lo real en sí mismo? Éste es el problema de la 
causalidad. Empleo este término, a pesar de que conozco sus 
peligros, como sinónimo de explicación en física. La causalidad, 
en sentido vulgar, es ciertamente una pseudonoción, de la 
cual ya se ha h.echo la crítica y a la cual muchos pensadores 
sitúan en la misma categoría que la finalidad y otros conceptos 
similares, rehusando utilizarla. Pero sigue siendo una noción 
válida si se la define en términos de estructura. 
Yo deseo presentarla en una interpretación posible, que no 
tiene nada de original y permanece fiel a la tradición raciona-
lista,2 pero que se me ha impuesto por razones psicogenéticas, 
es decir, estudiando los inicios y el desarrollo de la causalidad 
en sus diferentes etapas desde las formas más elementales y 
psicomotrioes hasta el momento en que el adolescente alcanza 
el pensamie~to científic?· Así pues, la causalidad apare~e, en 
toóos los mveles y baJO todas las formas, como implicando 
simultáneamente la producción de una innovación, porque el 
efecto es nuevo en relación a la causa y por tanto hay transfor-
mación, y, por otra parte, la relación necesaria sin la cual no 
hay posibilidad de hablar de causalidad. Encontramos aquí, 
pues, la unión de la construcción y de la necesidad que exigi-
mos en la operación lógico-matemática. Dicho de otro modo, 
se reconocen en toda explicación causal esos dos aspectos indi-
sociables y solidarios que Meyerson ha intentado disociar pero 
al precio de un fracáso que él mismo ha entrevisto: una trans-
formación, por una parte, y una conservación, por otra. Desde 
los niveles más elementales, la transmisión de un movimiento, 
por ejemplo, se exige la novedad de un movimiento adquirido 
por el objeto pasivo a partir del objeto activo. Pero existe al 
mismo tiempo conservación de alguna cosa, conservación del 
impulsq, o bien de la "acción", etc. Pero, si encontramos sin 
cesar, como ·es el caso de las estructuras operatorias lógico-ma-
temáticas, la misma dualidad de una transformación, es decir, 
de una producción, y de una necesidad dirigida a una conser-
vación: ¿la causalidad se reduce simplemente al conjunto de 
las operaciones lógico-matemáticas del sujeto? Sí y no. En cual-
quier explicación causal se utiliza, sin duda, una cierta estruc-
2. "La causa en las cosas corresponde a la razón en las verdades'', 
decía ya Leibniz (Nouveaux essais, IV, cap. XVII, párrafo 3). 
16 
tura lógico-matemática de cualquier nivel que sea. Pero la 
diferencia respecto a la estructura formal es que, en el caso de 
la causalidad, las operaciones no son simpfemente aplicadas 
por el niño o por el físico al fenómeno que estudia sino que 
son, además, atribuidas a los objetos. ~s decir, el objeto mismo 
es considerado como agente de algo, como activo, como un ope-
rador. Las operaciones son las del sujeto sin lo cual éste no-
sabría captar lo que ocurre en el objeto: él descubre en el 
objeto operaciones más o menos parecidas a las suyas, pero 
son operaciones efectuadas por las mismas cosas; los objetos 
se convierten pues, en sentiáo estricto, en una especie de ope-
radores. Ciertamente esta causalidad supone un sistema de 
inferencias y de construcciones lógico-matemáticas que rebasan 
a las observables. Pero no creo en los modelos así alcanzados 
m~s que en la medida en que puedo atribuir una parte de su 
estructura a la realidad misma, como si los objetos se compor-
taran de una manera análoga a la del sujeto que opera. De aquí 
nace la impresión de "comprender", de poder asimilar y do-
minar lo real, que se intenta explicar. 
Esta interpretación puede parecer banal, pero se nos ha 
impuesto por razones psicogenéticas. Su interés fundamental 
es que, estudiando la causalidad en el niño, se ,encuentran desde 
el principio unas ciertas invariantes funcionales que se perpe-
tuarán hasta las formas superiores de explicación científica. 
Es evidente que en el principio la causalidad en el niño 
es enteramente antropomórfica o egocéntrica: atribuye a los 
objetos sus propias acciones; esto no presenta ningún interés 
epistemológico sino el de mostrar la relación entre la visión 
elemental de los fenómenos y la propia acción del sujeto. Por 
ejemplo, en el momento en que una pelota va a chocar contra 
una pared (fenómeno que ya habíamos estudiado con B. lnhe-
ler desde el punto de vista de las relaciones entre el ángulo 
de incidencia y el ángulo de reflexión) los niños declaran que 
la pelota llega hasta muy cerca de la pared pero que la evita 
y no la toca para no quedar adherida: se considera que enton-
ces parte hacia otro lado describiendo ella misma una bella 
curva. He aquí, ciertamente, una explicación psicomórfica que 
consiste simp1emente en atribuir una acción humana o una ac-
ción propia al objeto. Pero ,eso es importante como punto de 
partida. 
A continuación, y a medida que se forman las operacion~s 
lógico-matemáticas en el niño, o más precisamente las coord1-
17 
naciones operatorias (transitividad, reversibilidad, distributivi-
·dad, etc.), son atribuidas a los objetos en el orden de su cons-
titución y según una correspondencia verdaderamente estrecha 
'Y que se puede describir paso a paso en el curso de su desa-
rrollo. Examinemos, por ejemplo, la transmisión del movimiento 
bajo una forma especial estudiada con la señora Szeminska, la 
'Señora Ferreiro y otras, que ha sido reveladora. Se presentan al 
niño una serie de bolas contiguas en ordenación lineal y se 
·hace chocar otra bola situada sobre un plano inclinado contra 
la primera de la línea. Se pide al niño que prevea anticipada-
mente lo que va a ocurrir. Según él, y hasta muy tardíamente, 
todas las bolas van a rodar. Cuando constata que sólo sale des-pedida la última bola, las explicaciones son diferentes según 
la edad. Entre los más pequeños, en los cuales prevalece el 
nivel psicomónfico, hay evidentemente un misterio que ellos 
desvelan rápidamente suponiendo que la bola caída ha pasado 
por detrás de las otras, que ha golpeado a la última y lia ocu-
pado su lugar, etc. Pero a partir del nivel de los seis años, más 
o menos, el niño admite que la bola activa ha golpeado a la 
primera de las pasivas, que la primera se ha desplazado y ha 
golpeado a la segunda, la cual a su vez se ha desplazado y ha 
-golpeado la tercera, etc. La hipótesis es, pues, la de una serie 
de transmisiones inmediatas, un encadenamiento de traslaciones 
sucesivas, pero sin noción de transmisión mediata: propiamente 
hablando no hay intermediarios, cada elemento ha pasado a 
ser activo por movimientos propios. Contrariamente, a partir 
de la media de los siete-ocho años, desde que el niño llega 
sobre el plano lógico-matemático a la transitividad, esta transi-
tividad es incorporada al fenómeno a explicar que constituye 
una transmisión semiinterna. El niño dirá: el "go~e" o "im-
pulso" ha atravesado las bolas, ha pasado a su traves, etc. Pero 
eso no es aún una transmisión puramente interna, el niño sigue 
creyendo que es necesario que intervengan ligeras traslaciones 
moleculares. Sin embargo, existe aquí una correlación estrecha 
entre el descubrimiento de la transitividad en el terreno lógico-
matemático y la aceptación en el terreno físico de una trans-
misión inmediata, que no es simplemente una sucesión de 
transmisiones inmediatas. La transmisión puramente interna 
aparece, finalmente, a la edad de diez-once años, que es la 
edad en la cual el sujeto, en su pensamiento lógico, empieza 
a razonar sobre las posibilidades que rebasan lo perceptible. 
Examinemos ahora otro problema: los pesos y contrapesos. 
18 
Se presenta, por ejemplo, un dispositivo en el cual se trata de-
hacer un puente entre dos cajas que representan montañas. 
El niño pondrá las planchas, que rebasan a las cajas. Si rebasan 
excesivamente será necesario imaginar la manera de colocar· 
contrapesos, lo cual el niño descubre muy pronto. Pero él 
concibe que estos contrapesos "fijan" el objeto y, en conse-
cuencia, intentará prudentemente que éste esté perfectamente· 
retenido por todos lados: situará un contrapeso sobre la parte 
de plancha situada en el soporte, pero también situará otro en 
el lado opuesto (no sostenido) para que se :fije bien, no perci-
biendo que eso hace bascular la plancha (sin darse cuenta, por 
tanto, de que el peso apoya tan bien que retiene y :fija, pero· 
que no siempre que apoya retiene sino que puede provocar 
una caída, etc.). De manera diversa, el niño, desde el nivel 
de la operaci6n reversible en el desarrollo 16gico-matemático, 
llega a concebir las operaciones inversas que se componen con 
las directas: concibe entonces las relaciones entre los pesos de· 
una manera completamente diversa: los pesos no tienen acci6n 
sobre una balanza más que si están en relaci6n unos con otros. 
El equilibrio se percibe entonces como la neutralizaci6n entre 
dos acciones de sentido opuesto, lo cual supone la reversibili-
dad operatoria, pero ya atribuidas a los objetos desde el mo-
mento en que es pensada en el terreno 16gico-matemático. 
Pasemos al problema de la acci6n y la reacci6n, reacci6n 
nada fácil de comprender si se tiene en cuenta que se ha 
necesitado a Newton para enunciar la ley. Para los niños, y hasta 
muy tarde (alrededor de los diez años) la reacci6n no se rea-
liza ·en sentido opuesto a la acci6n. Por ejemplo, en un expe-
rimento que hemos realizado con B. Inhelder, se llena de agua 
un tubo en forma de U que tiene un pist6n ·en uno de los· 
lados sobre el cual se pueden situar unos pesos para desplazar 
el nivel de líquido del otro extremo del tubo. También se 
puede variar la densidad del líquido poniendo alguno que 
sea más denso que el agua. ¿Qué va a ocurrir con este líquido, 
más denso? Hasta los diez años, por el hecho de que pesa más 
ascenderá más alto, su peso se suma al del pist6n. Diversa-
mente, hacia los once-doce años el líquido realiza una reacci6n 
en sentido inverso: el pist6n presiona por un extremo, pero éI 
resiste por el otro; si se aumenta la densidad del líquido éste 
va a presentar más resistencia y el nivel del otro extremo no 
subirá tanto como si fuera agua pura. ¿Por qué esperar hasta 
tan tarde? Es que en este nivel de once-doce años se empiezan 
19 
a constituir los grupos de "cuaternalidad", grupos de transfor-
maciones, donde se combina la recíproca con la inversa y donde 
ambas son coordinadas y distingufüas. Hasta aquí sólo existen 
las inversiones o las reciprocidades, no coordinadas entre ellas. 
Para comprender la acción y la reacción es necesario una coor-
dinación entre estas dos transformaciones distinguidas y com-
puestas entre ellas. Aquí es, nuevamente, la estructura lógico-
matemática la que se atribuye de manera inmediata a los ob-
jetos. 
Se pueden dar otros ejemplos. Cellérier, presente en este 
coloquio, ha hecho una bella experiencia sobre la distributi-
vidad y la linealidad. Si la distributividad está figurada por la 
extensión de algo elástico, se observa, hasta muy tarde, una 
confusión entre el alargamiento y el simple desplazamiento, por-
que para comprender el estiramiento y su propagación homo-
génea es necesario, de nuevo, recurrir a una estructura ope-
ratoria. Y, al contrario, tan pronto como se alcanza la distri-
butividad y la proporcionalidad se comprende y domina el pro-
blema de la elasticidad. 
En resumen, en todos los niveles del desarrollo reencontra-
mos una correspondencia entre las etapas de la causalidad y la 
formación de operaciones lógico-matemáticas. Se puede res-
ponder que es algo completamente natural. Pero nosotros no 
empezamos pidiendo al niño sus ideas acerca del terreno lógi-
co-matemático para pasar seguidamente a poner la cuestión 
física: la cuestión física se pone de entrada y el niño no piensa 
con las diversas analogías que pueda conocer de las estructuras 
lógico-matemáticas. Indudablemente, es de manera completa-
mente inconsciente que las estructuras que construye en este 
terreno son atribuidas a los objetos en el otro campo. Estas 
atribuciones de operaciones significan que los objetos mismos 
se convierten, para el sujeto, en una especie de operadores, en 
origen de transitividad, de reversibilidad, de reciprocidad, de 
distributividad, etc. Estos hechos muestran, así pues, una corres-
pondencia estrecha entre las estructuras operatorias y las estruc-
turas causales. Pero, ¿cuál es el camino? ¿Las estructuras ope-
ratorias se desarrollan en completa autonomía para ser a con-
tinuación, y a medida que se van descubriendo, atribuidas a 
los objetos y proyectadas a lo real, según un desarrollo en sen-
tido único? O más bien sucede al contrario, ¿es la causalidad 
la que plantea problemas obligando al sujeto a construir instru-
mentos lógico-matemáticos? Nosotros nos orientamos hacia esta 
20 
segunda idea. O, mejor dicho, hacia la idea de una acción 
recíproca. Parece, en especial en los problemas de coordinación 
espacial, que son casi siempre los problemas físicos y dinámicos 
los que obligan a nuevas construcciones geométricas. Pero éstas 
no son, sin embargo, extraídas sólo de lo real: hace falta un 
sujeto para ·efectuarlas y hacen falta diversas operaciones para 
construir las estructuras. 
Existe, pues, una estrecha relación entre el sujeto y el ob-
jeto. Desde el punto de vista psicológico esto no es sorpren-
dente si se tiene en cuenta que el organismo es, a la vez, el 
origen del sujeto desde el punto de vista psicológico -ya que 
la vida mental deriva de la acción, que está condicionada por 
.el sistema nervioso, y por las propias regulaciones del organis-
mo-- y, por otra parte, el organismo es un objeto más del mun-
do físico. Es, pues, a través del interior del organismo como se 
hace la unión entre las matemáticas y lo real Podemosocu-
parnos repetidamente del porqué de ese acuerdo sorprendente 
entre las matemáticas y la realidad, pero si el sujeto es el pro-
ducto de un organismo que es él misn10 un objeto, el acuerdo 
se convierte en algo que puede ser, en cierta manera, endó-
geno. Sea cual sea la cuestión, el papel de esta introducción 
ha sido el de subrayar la complejidad ael problema de la expli-
cación y, por otra parte, su posible simplificación si nos refe-
rimos al estrecho paralelismo que existe entre las 9peraciones 
y la causalidad, entre las estructuras de las ciencias deductivas 
y aquellas que se encuentran en el terreno de las ciencias de 
lo real. 
21 
2 
La explicación en la lógica 
Por Jean Ladriere 
Introducción 
¿Se plantea en la lógica el problema de la explicación? 
En caso afirmativo ¿cómo? ¿En qué consisten los mecanismos 
explicativos de la lógica? Éstos son los problemas que serán 
examinados aquí. 
A primera vista se podría estar tentado de afirmar que la 
lógica constituye un campo en el cual no hay ningún proble-
ma a explicar. La lógica es una ciencia puramente formal. no 
se ocupa de los fenómenos, de las situaciones empíricas, no se 
ocupa de los datos más o menos opacos que se intentaría hacer 
inteligibles. Ciertamente se ocupa del razonamiento, pero no 
tiene la tarea de explicar los comportamientos en los contextos 
en los cuales intervienen los razonamientos. No se construye 
procediendo a inducciones a partir de situaciones vividas e> 
adaptande> las "leyes del espíritu" que consideraría como datos 
objetivos, accesibles a partir de comportamientos discursivos 
efectivamente observables. Dicho de otra manera, la lógica no 
se construye a partir de los modos de conocimiento a posteriori7 
sino que se sitúa enteramente en el terreno de la aprioridad. 
No obstante es necesario precisar estas últimas afirmaciones 
distinguiendo dos niveles de elaboración de la lógica. En un 
primer nivel la lógica se presenta como la ciencia de las infe-
rencias correctas. El objetivo que se propone es descubrir las 
formas precisas en las que se pueden presentar las inferencias 
22 
aceptables. Y, también, indicar eventualmente cuáles son las 
fuerzas respectivas de las diferentes formas de inferencias así 
.descubiertas. Hará aparecer, por ejemplo, que un razonamiento 
intuicionista tiene un carácter más constructivo que un ra-
zonamiento clásico, el cual admite el principio del tercero ex-
cluido y de la doble negación. También mostrará que un ope-
rador de implicación que no satisface la ley del redoblamiento 
p ~ (q ~ p), debe ser considerado más débil que el operador 
clásico de implicación, para el cual esta ley es válida. Ahora 
bien, la inferencia no puede ser alcanzada como tal más que 
en una perspectiva puramente formal. La lógica hace abstrac-
ción del contenido de los razonamientos para ocuparse precisa-
mente de la naturaleza de la relación que une las diferentes 
eb~.pas del razonamiento. De forma más precisa, se ocupa sola-
mente de la relación de deductibilidad o de inferibilidad, rela-
ción sobre la cual aún le queda el trabajo de fijar la signifi-
cación de manera precisa, como veremos. Las diversas técnicas 
que utiliza no tienen otro objetivo que hacer aparecer la for-
ma como tal. 
Hasta aquí sólo se h·ata de un primer momento en el desa-
rrollo de la lógica. Los trabajos que derivan de la lógica mate-
mática expresan una perspectiva más abstracta y más general: 
el estudio de los sistemas formales en cuanto tales o, más 
exactamente, el estudio de las propiedades de estos sistemas. 
Un problema típico que ilush·a perfectamente la naturaleza de 
estas investigaciones es el que concierne a las relaciones entre 
un sistema axiomatizado y sus modelos: se puede preguntar 
cuáles son los modelos admisibles por un sistema axiomático 
dado; o, en sentido inverso, se puede investigar cuáles son los 
sistemas axiomáticos compatibles con un modelo dado. Cuando 
se avanza en este camino es difícil, naturalmente, establecer 
una frontera precisa entre ·lógica y matemática. Incluso se po-
dría afirmar razonablemente que esta frontera no existe en abso-
luto, que la lógica sólo es una rama de las matemáticas, con 
la misma categoría que el análisis o la topología, especificada 
solamente por los problemas de los que se ocupa. Sin embargo, 
también se podría sostener que se distingue de las matemáticas 
propiamente dichas en el sentido de que se ocupa de problemas 
fundacionales, es decir: de todo lo que concierne a la forma de 
las teorías, y no de estructuras particulares y determinadas 
como las algebraicas o topológicas. Sea lo que sea, lo que pa-
rece, claro -es que cuando nos situamos en este nivel más 
23 
abstracto, la 16gica del primer nivel, es decir, el eshtdio de las 
formas válidas del razonamiento, aparece como una interpre-
taci6n particular de ciertas partes de la lógica del segundo 
nivel. Algunos sistemas formales pueden ser interpretados como 
describiendo formas admisibles de inferencia, lo cual no ex-
cluye las otras posibles interpretaciones, propiamente mate-
máticas por ejemplo. 
En cualquier caso -tanto si se considera el primer nivel 
como si se considera el segundo nivel- se puede aceptar que 
el objeto investigado por la 16gica no es explicar cualquier 
cosa, sino solamente construir sistemas que respondan a ciertas 
especificaciones. Se podría caracterizar su modo de funciona-
miento hablando de experimentación formal. Los métodos de 
la lógica -axiomatización, construcción de modelos, métodos 
combinatorios, algebraicos, topológicos, etc.- tienen por objeto 
explorar las propiedades de los sistemas formales. Por una parte, 
ante un sistema dado es necesario examinar lo que puede pro-
ducir. Y, por otra parte, cuando se ponen ciertas condiciones 
se puede investigar cuáles son los sistemas que satisfacen estas 
condiciones. Pero, si existe experimentaci6n, exploración, de 
problemas por métodos que deben ser elaborados de manera 
adecuada en cada caso, eso significa que nos encontramos ante 
sihtaciones que, cuanto menos, no son claras de entrada, signi-
fica que no basta, para avanzar, describir sistemas y analizar 
su funcionamiento utilizando métodos estandarizados. Hay algo 
de imprevisible ·en la investigación, surgen verdaderos proble-
mas, problemas que hacen aparecer dificultades inéditas para 
cuyo tratamiento los métodos no son dados anticipadamente; 
hay dificultades imprevistas que alteran profundamente las 
ideas aceptadas; se encuentran sihtaciones opacas que escapan 
provisionalmente a una plena comprensi6n. Estas sihtaciones· 
problemáticas no están, en general, contenidas en los datos-
previos que se conocen antes de iniciar la investigación. No 
tienen, en ninguna forma, carácter empírico. No son, propia-
mente hablando, del orden de los hechos. Aparecen sobre la 
marcha, en el nivel de las instauraciones formales, se suscitan 
por la misma investigación. Es la aplicación de los métodos 
lo que hace aparecer los problemas. 
En el conjunto de problemas existen algunos que se pre-
sentan como tareas. Por ejemplo, el problema de la decisión. 
Se trata de encontrar un procedimiento efectivo que permita 
determinar, para cualquier proposici6n formulable en cierto 
24 
lenguaje, si la propüsición es verdadera o no en relación a los 
.criterios de verdad asociados a este lenguaje. En un caso de 
este tipü no se puede hablar de explicación. Pero hay algunos 
problemas que se plantean por el hecho de encontrar situa-
ciones opacas o, por lo menos, parcialmente opacas, que piden 
ser esclarecidas. Se puede considerar legítimamente que la elu-
cidación de un estado de cosas concreto que escapa a una plena 
.comprensión constituye una explicación. Para hacer que una 
situación concreta se convierta en un problema comprensible 
es neces)lrio analizar sus componentes y mostrar cómo actúan 
para producir, precisamente, este estado de cosas. Evidente-
mente se trata ae explicar esto último. 
Pero las consideraciones de orden general correnel peligro 
.de no ser esclarecedoras en absoluto. El mejor método a seguir 
para evidenciar el papel y la naturaleza de la explicación en 
lógica es analizar detenidamente algunos ejemplos. Propondre-
mos ahora dos ejemplos: la interpretación de las operaciones 
lógicas suministrada por el método de deducción natural y el 
análisis de las paradojas facilitado por la lógica combinatoria. 
La lógica de la deducción natural 
Pre~entación general 
Veamos en primer lugar cómo el método introducido por 
Gentzen permite explicar las operaciones lógicas elementales. 
La idea de Gentzen, al introducir el método llamado de "deduc-
ción natural", fue construir un sistema de lógica tan próximo 
como fuera posible a los caminos espontáneos del pensamiento 
racional, tal como son usados en las demostraciones matemá-
ticas. No obstante, lo que es más característico en el razona-
miento matemático, y de manera más general en el razona-
miento científico de tipo deductivo, es que se esfuerza por des-
.cubrir lo que sucede cuando se acepta tal o cual conjunto de 
hipótesis. Llamamos "situación inferencia!" la relación de deri-
vabilidad que se establece entre un conjunto de proposiciones 
que tienen el papel de hipótesis y una proposición determinada 
-eventualmente una clase de proposiciones determinada-. Lo 
gue interesa al lógico no es la situación inf erencial tomada ais-
ladamente ya que, en general, no tiene jamás un carácter pura-
mente formal: hace intervenir hipótesis que tienen un contenido 
particular y depende de la naturaleza de este contenido. Lo 
que realmente interesa desde el punto de vista lógico es el 
paso de una situación inferencia! a otra. Supongamos, por ejem-
plo, que disponemos de una demostración que, a partir de las 
hipótesis Ai, A2, ••. , A.,, conduce a una cierta conclusión B. Se 
admitirá entonces, mediante una cierta interpretación de la 
operación de disyunción v que, a partir de las mismas hipó-
tesis, se puede obtener una demostración de la proposición 
compleja B V e, siendo e independiente tanto de las hipótesis 
como de la primera conclusión B. 
De una manera general se puede decir que el tipo de infe-
rencia por el cual se interesa la lógica de la deducción natural 
se presenta de la forma siguiente: si, a partir de tal y cual 
hipótesis, se llega a una demostración que conduce a tal y cual 
conclusión, entonces, a partir de tal y cual hipótesis (idénticas 
a las primeras u obtenidas a partir de ellas por modificaciones 
determinadas), se llega a una demostración que conduce a tal 
y cual conclusión (idénticas a las primeras u obtenidas a partir 
de ellas por transformaciones apropiadas). Un sistema de deduc-
ción natural consistirá en un conjunto de reglas de derivación 
-o, si se prefiere, de transformación- relativo a enunciados 
que describen situaciones inferenciales. Por ejemplo, sea la si-
tuación inferencia! siguiente: existe una demostración que lleva 
del conjunto de hipótesis X al conjunto de proporciones Y. Re-
presentaremos esta situación por este enunciado: X 1- Y. Si el 
conjunto de hipótesis X contiene las proposiciones Ai, A2, ••• , A,. 
y si el conjunto de proposiciones Y contiene las proposiciones 
Bi, B2, .. ., B,., podernos interpretar el enunciado afirmando: 
existe una demostración que permite pasar de la conjunción 
de las proposiciones Ai, A2 , ••• , y A.. a la disyunción de las 
proposiciones Bi, B2 , ••• ,y B,.. Dicho de otro modo: si se admite, 
a título de hipótesis, simultáneamente la proposición Ai, la 
proposición A2, •• ., y la proposición A,., entonces se puede ad-
mitir, a título de conclusión, tanto la proposición Bi, como la 
proposición B2, ••• , o la proposición B,.. Una regla de deriva-
ción, en un sistema de deducción natural, se presentará bajo 
la forma: 
X1-Y 
X'1-Y' 
en donde X' e Y' son conjuntos de proposiciones que se ob-
tienen respectivamente> a partir del conjunto X y a partir del 
26 
.conjunto Y mediante transformaciones bien determinadas, ca-
racterísticas de la regla en cuestión. 
De esta forma aparece que los sistemas de deducción natu-
ral son sistemas lógicos que pertenecen a un nivel de lenguaje 
superior al del nivel en el que están situadas las proposiciones 
que tienen el papel de hipótesis o de conclusiones y las opera-
dones que se pueden practicar con estas proposiciones. El esta-
tuto de estos sistemas ha sido admirablemente tratado por 
M. Curry.1 Él ha mostrado cómo el recurso a los métodos de 
deducción natural permite, en realidad, dar un sentido a las 
·operaciones lógicas elementales a partir de la idea general de 
deducción. 
Sea, por ejemplo, un sistema de deducción natural L. Este 
sistema es relativo a un sistema subyacente S. El sistema S con-
-tiene los operadores lógicos usuales. Se puede, pues, en este 
sistema formar enunciados complejos, partiendo de enunciados 
elementales, por medio de operadores lógicos. Los enunciados 
<lel sistema L están constituidos a partir de unidades que, según 
l.a terminología utilizada por M. Curry, tiene el estatuto de obs. 
De manera general un ob es un objeto formal que pertenece 
a una clase inductiva -es decir, a una clase originada a partir 
,de ciertos elementos iniciales mediante ciertas operaciones de 
-combinación- y que sirve de término en la construcción de 
enunciados de un sistema deductivo, del tipo de los que M. Cur-
ry llama los "sistemas ob" (por oposición a los "sistemas sin-
tácticos" en los cuales los objetos formales que sirven de tér-
minos en la construcción de los enunciados son las expresiones 
de un cierto lenguaje-objeto). En un sistema deductivo de este 
tipo los enunciados se forman por la aplicación de predicados 
a los objetos formales que tienen el papel de términos, es decir: 
a los obs del sistema. 
Cuando se trata de sistemas de deducción natural los obs 
-son, de hecho, proposiciones. Como se sabe, M. Curry distingue 
las proposiciones de los enunciados y de las frases de la ma-
nera siguiente: 2 Una frase (sentence) es una expresión lingüís-
l. Véase Haskell B. CURRY, Foundations of Mathematical Logic, 
Nueva York, McGraw Hill Book Company, 1963. Se encontrará una 
-exposición condensada de los puntos de vista de Curry en referencia a los 
sistemas de deducción natural en H. B. CURRY, The inferential approach 
to logical calculus, "Logique et analyse'', n. s., primera parte, vol. 3 
· (1960), pp. 119-136; segunda parte, vol. 4 (1961), pp. 5-22. 
2. Véase Foundations of Mathematical Logic, pp. 168-172. 
27 
tica con cierta categoría. De manera general, las expresiones 
lingüísticas se presentan concretamente bajo la forma de ins-
cripciones. Una inscripción es una realización concreta, sin-
gular, de una expresión lingüística. Una frase es una expresión 
que pertenece a cierto lenguaje y va revestida de cierta función 
de comunicación. Es una unidad lingüística compleja, capaz 
de expresar una situación, de llevar una significación definida. 
Se puede considerar una frase como la clase de las inscripciones 
de las cuales son realizaciones concretas. Un enunciado (state-
ment) es la significación de una frase. Es, en suma, el contenido 
transmitido par la frase, haciendo abstracción de los rasgos lin-
güísticos particulares que pertenecen a la frase y que no inter-
vienen, propiamente hablando, en su significación. Se puede 
considerar un enunciado como una clase de frases equisigni-
ficantes. Una cláusula (clause) es una expresión lingüística que 
nombra una frase o un enunciado. (Por ejemplo: "el hecho de 
que él haya venido".) Y una proposición (proposition) es la sig-
nificación de una cláusula, en el sentido en el que un enunciado 
es la significación de una frase. Una proposición puede ser con-
siderada, pues, como una clase de cláusulas equisignificantes. 
Es un objeto del cual se habla y que está vinculado a un enun-
ciado determinado. Se puede considerar una propasición com<> 
una frase de un lenguaje-objeto, así pues como una frase que 
no es utilizada efectivamente como frase sino que es conside-rada como un objeto respecto del cual se afirman ciertas cosas. 
Esta interpretación no es la única posible sino que es la que 
mejor conviene a nuestro contexto. Los obs de un sistema de 
deducción natural son proposiciones en este sentido: son frases 
del sistema subyacente, el cual juega un papel de lenguaje-
objeto ante el sistema en cuestión. Cuando, por ejemp1o, el 
sistema subyacente contiene la frase A y deseamos estudiar las 
propiedades inf erenciales de este sistema, se nos induce a con-
siderar la frase A como un objeto. Hablamos entonces del "he-
cho de g_ue A", es decir, de la significación asociada a la cláusula 
"el hecho de que A", o incluso de la proposición asociada A. 
Los enunciados del sistema L tienen la forma X 1-Y, donde 
X e Y son series de obs y donde el signo 1- representa la rela-
ción de derivabilidad. Un enunciado se forma pues aplicando 
un predicado a muchos argumentos, representado por el sig-
no t-, con un número apropiado de obs, que tienen el papel 
de términos-argumentos. El caso más simple es aquel en que 
fa serie Y se reduce a un solo ob, B por ejemplo. En ese caso, 
28 
un enunciado de L puede ser interpretado de la forma siguiente: 
el enunciado del sistema S que corresponde al ob B es dedu-
cible del conjunto de enunciados (tomados conjuntamente), que 
corresponden a los obs 9;ue forman la serie X. 
Veamos a continuacion de qué forma es posible dar, gra-
cias al sistema L, una interpretación de las operaciones lógicas 
elementales. La explicación se desarrollará en dos etapas. Se 
analizará, en una primera etapa, la significación de las opera-
ciones lógicas recurriendo a la idea del árbol de deducción y a 
las reglas elementales d~ deducción que _permiten construir un 
árbol de este tipo. En una segunda etapa, se pasará a una 
formalización de esta idea utilizando una lógica de esquemas, 
conforme al punto de vista introducido por Gentzen y recor-
dado brevemente a continuación. El paso a la segunda etapa 
permite hacer intervenir de manera sucesiva, diversas opera-
ciones superpuestas y de ahí dar cuenta de la formación de 
enunciados complejos (en el nivel del sistema subyacente). 
Antes de exponer el método en términos generales, se mos-
trará el funcionamiento en un caso particular especialmente 
sigmficativo y que ilustra perfectamente: el de la implicación 
material. El análisis de este ejemplo se completará mediante al-
gunas indicaciones relativas a la negación.8 
Análisis de "úJ implicación 
Sea, en el sistema subyacente S, un enunciado de forma 
simple que sólo contiene como signo de operación lógica, un 
signo de implicación: 
A :J B 
enunciado en el cual A y B, son enunciados elementales. Pode-
mos interpretar tal enunciado como sigue: si, en una teoría 
deductiva, añadimos el enunciado A a los axiomas, el enunciado 
B se convierte en un teorema de la teoría (es decir, se convierte 
en deductible en la teoría). 
3. En referencia a la implicación, véase Foundations of Mathema--
tical Logic, cap. 5, pp. 165-253. Véase también el artículo mencionado 
en la nota 1, The inferential approach to logical calculus. La exposici6n 
que sigue a continuación se basa un tanto en la presentación dada por 
Cuny en este artículo. 
Supongamos ahora que queremos describir las posibilidades 
. .de deducción relativas a los enunciados de nuestro sistema sub-
yacente. Una deducción, efectuada en este sistema, podrá siem-
pre ser presentada bajo la forma de una especie de árbol genea-
lógico que podemos llamar "árbol deductivo". Un árbol deduc-
tivo es una figura formada de nudos, vinculados por segmentos 
rectos eventualmente dotados de flechas (para indicar el sentido 
. .de la derivación). Cada nudo está constituido por un enunciado. 
Los nudos primeros son las premisas, son los enunciados que 
sirven de hipótesis en la deducción considerada. (Si la deduc-
·ciÓn se plantea completa, estos enunciados primeros deben ser 
obligatoriamente axiomas de la teoría.) El nudo final es la con-
clusión. Si se tiene un árbol deductivo que tiene como nudos 
·de partida (primeros) los enunciados Ai, A2, ••• ,A,., y como nudo 
final de llegada el enunciado B, eso significa que existe una 
derivación que conduce los enunciados Ai. A2 , ••• , A,., al enun-
ciado B. Esta situación inferencia! puede ser descrita por medio 
.de un enunciado del sistema L, que se presentará como sigue: 
Basándonos en la interpretación que ha sido propuesta por 
·el operador de implicación, podemos indicar en qué condicio-
nes es posible introducir un enunciado del tipo A :::J B, en un 
nudo de un árbol deductivo. Es necesario que debajo de este 
nudo, figure una derivación parcial en la cual A precede a B. 
Dicho de otro modo, es necesario que ya se disponga de una 
·derivación que conduzca de A a B. Se puede expresar esta 
·condición de la manera siguiente: si, en un árbol deductivo en 
formación ya existe un camino que conduce de A a B, se puede 
unir al árbol el nudo A :::J B, a condición de que este nudo 
esté situado después del nudo B. (Este nuevo nudo no debe figu-
rar necesariamente inmediato a la serie de B.) Una situación de 
·este tipo se puede representar gracias a un esquema formado 
por medio de enunciados del sistema L: 
At-B 
+-A :::J B 
·(Si existe una derivación que conduce de A a B, entonces el 
. enunciado A :::J B, puede ser considerado ya establecido, sin 
otra presuposición.) 
"30 
Si la derivación de B a partir de A se hace merced a la 
intervención de ciertas hipótesis que forman una serie X, el 
enunciado A :::> B no podrá ser considerado, evidentemente, 
como establecido sin la presuposición de estas mismas hipótesis. 
Según lo que se supone aquí, la serie X figura sobre A en el 
árbol deductivo que contiene la derivación de A a B. La se-
rie X debe figurar obligatoriamente sobre el enunciado A:::> B,. 
en el árbol deductivo al cual se ha añadido el nudo A :::> B. Nue-
vamente, una situación de este tipo puede ser representada 
gracias a un esquema formado por medio de enunciados del 
sistema L: 
X, Af-B 
Xr-A::>B 
Este esquema nos facilita, en forma general, una regla de intro-
ducción de la operación de implicación para el sistema L. 
Podemos construir una regla de eliminación "invirtiendo''" 
la regla anterior. Supongamos que disponemos de una deriva-
ción de A :::> B e igualmente de A. La última etapa de la deri-
vación A :::> B ha debido necesariamente consistir en una apli-
cación de la regla de introducción del operador de implicación. 
Según esta reg1a, para plantear A :::> B, debemos poseer una 
derivación que lleve de A a B. Como suponemos que se tiene· 
una derivación de A :::> B, está asegurado disponer de una deri-
vación de B a partir de A. Escribiendo la derivación de A y a 
continuación esta derivación de B que conduce a A, se obtiene 
una derivación de B. Así pues, bajo la doble presuposición de A,. 
y de A :::> B (es decir, en la hipótesis en que estos dos enun-
ciados han sido ya demostrados), está asegurada la posesión de 
una derivación de B. Encontramos ahí, el modus ponens: si A 
y A :::> B son teoremas, entonces B también es un teorema. Se 
puede expresar esto diciendo: si poseemos una derivación de· 
A :::> B, entonces, en la medida que A pueda ser demostrada,. 
B también lo podrá ser. O incluso: en el caso que A:::> B sea 
derivable, se puede derivar entonces B a partir de A. 
Demos a estas consideraciones una forma general. Suponga-
mos que el ·enunciado A :::> B sea derivable bajo la presuposi-
ción de ciertas hipótesis que forman una serie X. Entonces, 
bajo la presuposición de las mismas hipótesis, B es derivable-
ª partir de A. Esta situación puede representarse gracias a un 
esquema formado por medio de enunciados de sistema L: 
31. 
Xt-A::>B 
X, A1-B 
El operador de implicación es caracterizado así por dos re-
glas que especifican en qué condiciones puede ser introducido 
o suprimido en un árbol deductivo. Notemos que la regla de 
introducción corresponde al teorema de la deducción. Se puede 
mostrar, en efecto,que esta regla se convierte en el teorema 
de la deducción para el sistema subyacente S si este sistema 
contiene como única regla el. modus ponens y contiene, por 
otra parte, los axiomas siguientes: 
A::> (B ::>A) 
y 
[A ::> (B ::> C)] ::> [(A ::> B) ::> (A ::> C)] 4 
La implicación está caracterizada, pues, por dos propieda-
des: el modus ponens y una propiedad que corresponde al teo-
rema de la deducción. 
Sin embargo, se observa que estas dos propiedades no per-
miten encontrar todas las propiedades de la implicación clásica. 
Dan simplemente una implicación característica de un sistema 
que M. Curry llama "el álgebra proposicional absoluta". Para 
obtener la implicación clásica es necesario añadir la regla de 
Peirce: 
[(A ::> B) ::> A] ::> A 
Se puede expresar esta regla como sigue: si tenemos una deri-
vación que conduce de A :J B a A, se tiene el derecho de 
plantear A como un teorema. De modo general, supongamos que 
se pueda derivar A de A :J B bajo la presuposición de ciertas 
hipótesis que forman una serie X. Entonces, bajo la presupo-
sición de las mismas hipótesis, se puede derivar A. Esta situa-
ción puede estar representada gracias a un esquema formado 
mediante enunciados L: 
X, A :J Bt-A 
Xt-A 
4. Véase Foundations uf Mathematical Logic, cap. 5, sección B, 
Teorema 2, p. 180. 
32 
Estas consideraciones nos permiten pasar a la segunda etapa 
de la explicación, que constituye, en suma, una formalización 
de la primera. Se tratará aquí de elaborar sistemas en los cuales 
la implicación estará caracterizada enteramente por regla~, pre-
sentadas bajo la forma de esquemas de derivación. Los siste-
mas en cuestión son los sistemas L de Gentzen. La exposición 
presentada en la primera etapa ha introducido ya es-quemas 
para representar las situaciones inferenciales estudiadas, pero 
estos esquemas hacían intervenir Únicamente enunciados que 
sólo contenían un ob en el consecuente. Sin embargo, en ciertos 
sistemas L, los enunciados pueden implicar un número cual-
quiera de obs en el consecuente. Es necesario, pues, generalizar, 
de modo conveniente, los esquemas. Por otra parte, parece que 
se ,puede utilizar, antes que la regla de eliminación, una regla 
de introducción en el antecedente. He aquí cómo se presenta 
la formalización de la implicación en los sistemas L, en general. 
Los enunciados de un sistema L son las expresiones de la 
forma (1) X 1- B, o de la forma (2) X 1- Y. En estas expresiones 
X e Y representan series de obs (es decir, según la interpreta-
ción expuesta más arriba, proposiciones que corresponden a 
enunciados del sistema subyacente), y B es un ob particular. 
Se puede interpretar un enunciado del tipo (1) diciendo: B es 
una consecuencia de las hipótesis que forman la serie X. Ello 
significa que B es el nudo final de un árbol deductivo, cuya<; 
únicas premisas (nudos iniciales) pertinentes (es decir, aquellas 
que no han sido suprimidas a lo largo del camino), son las hipó-
tesis que forman la serie X. E, incluso, que B, considerado 
como enunciado del sistema subyacente S, es derivable -en 
un sistema formal- añadiendo la serie X de hipótesis a título 
de axiomas, a los axiomas del propio sistema S. Para que ello 
ocurra, es necesario que, o bien B pertenezca a la serie X, 
o bien B sea un axioma de S, o bien que B sea un enun-
ciado elemental, que X contenga las proposiciones elementales 
Ai, A2, ... , A,., y que B sea derivable de estas proposiciones 
mediante reglas de deducción de S. Consideremos ahora, el caso 
de un enunciado del tipo (2). Supongamos que Y sea una serie 
formada por los obs Bi, B2, •.. , B... Se puede interpretar un 
enunciado del tipo (2), en que esta situación se realice, dicien-
do: el enunciado complejo B1 v B2 v ... B,, es una consecuencia 
de las hipótesis que constituyen la serie X. Llamaremos a un 
sistema cuyos enunciados son del tipo (1) "sistema singular" y 
33 
2. LA EXPLICACIÓN 
a un sistema cuyos enunciados son del tipo (2) "sistema múl-
tiple". 
Estos sistemas llevan consigo, para la implicación, una re-
gla de introducción en el consecuente y una regla de intro-
ducción en el antecedente. 
En un sistema singular la regla de introducción, en el con-
secuente, es como sigue: 
X,A1-B 
X1-A:JB 
En un sistema múltiple, esta regla se presenta como sigue: 
X, A1-B, Z 
X1-A :J B, Z 
(Esta regla, como se ha visto, corresponde al teorema de la de-
ducción.) 
Por lo que se refiere a la regla de introducción en el ante-
cedente, podemos expresarla como sigue: si, bajo ciertas hipó-
tesis X, el enunciado A ha sido demostrado, y si, bajo las mismas 
hipótesis, tenemos una derivación que conduce de B a C, en-
tonces, bajo las hipótesis X, se puede derivar C de A :J B. 
Corresponde, en suma, a la regla introducida más arriba de 
eliminación de la implicación en un consecuente (modus po-
nens ). El modus ponens nos dice, en efecto, que bajo la hipó-
tesis A se puede derivar B, a condición de que A :J B haya 
sido ya demostrado. Dicho de otro modo, si A está demostrado, 
se puede demostrar B bajo la hipótesis A :J B. La regla de 
introducción en el antecedente nos da como premisas: bajo las 
hipótesis X, A ha sido demostrado, y tenemos una derivación 
que conduce de B a C. El modus ponens nos permite, pues, 
decir: bajo las hipótesis X, se puede demostrar B a partir de 
la hipótesis A ::J B. Colocando esta derivación de B sobre la 
gue conduce de B a C, obtenemos una derivación de C a partir 
de A ::J B, siempre, por supuesto, bajo las hipótesis X. Esto 
es exactamente lo que afirma, en conclusión, la regla de intro-
ducción en el antecedente. En sentido inverso, esta regla de 
introducción nos autoriza a decir, reemplazando C por B: si, 
bajo las hipótesis el enunciado A ha sido demostrado, y si bajo 
las mismas hipótesis, tenemos una derivación que conduce de 
34 
B a B, entonces, bajo las hipótesis X, se puede derivar B 
de A :::i B. Por otra parte, si tenemos una demostración de 
A :::i B, a partir de las hipótesis X, entonces, bajo estas hipó-
tesis, se puede derivar B de la sola proposición A, escribiendo 
la derivación de A :::i B sobre la que conduce de A :::i B a B. 
Y es precisamente esto lo que afirma el modus ponens. 
En un sistema singular, la regla de introducción en el ante-
cedente, se presentará como sigue: 
XI-A X, B1-C 
X,A::JBl-C 
En un sistema múltiple esta regla se presentará como sigue: 
X 1- A, Z X, B 1- C, Z 
X, A :::i B1-C, Z 
Podemos completar estas reglas con la regla de Peirce. Como 
hemos visto ya, en un sistema singular esta regla se presenta 
como sigue: 
X,A:::iB1-A 
X1-A 
En un sistema múltiple, se presenta como sigue: 
X, A:::iB1-A, Z 
X1-A, Z 
Tomando únicamente las dos reglas de introducción para un 
sistema singular, se obtienen las propiedades de la implica-
ción de la lógica proposicional absoluta. Añadiendo la regla 
de Peirce, se obtienen las propiedades de la implicación de la 
lógica proposicional clásica. Al contrario, en un sistema múlti-
ple, la reg1a de Peirce es redundante. Dicho de otro modo, en 
un sistema tal, las dos reglas de introducción bastan para dar 
las propiedades de la implicación. 
Análisis de "la negación 
Completemos este análisis de la teoría de la implicación, 
con algunas indicaciones sobre la negación.5 M. Curry, propone 
5. Acerca de la negación, véase Foundations of Mathematical Logic, 
cap. 6, pp. 254-310. 
35 
dos interpretaciones para la negación: la absurdidad y la refu-
tabilidad. 
La primera de estas interpretaciones, es la que corresponde 
a la negación intuicionista. Un enunciado es absurdo, si, aña-
diéndolo a un sistema S no contradictorio, se obtiene un sis-
tema S' contradictorio. Dicho de otra manera: si se añade un 
enunciado absurdo a un sistema no contradictorio, se obtiene 
un sistema del que no importa qué enunciado pueda derivarse. 
La segunda interpretación, se basa en la noción de refuta-
ción, que es un sentido, simétrica de la demostración. Si se 
dispone ya de la negación, podemos decir que un enunciadoes refutable cuando su negación es demostrable. Pero se trata 
aquí de explicar la noción de refutabiiidad sin recurrir a la 
noción de negación (que se trata precisamente de interpretar). 
Se introducen para ello, enunciados elementales que harán el 
papel de contraaxiomas, y que podemos interpretar como enun-
ciados no aceptables. Se puede entonces definir la refutabilidad 
mediante las especificaciones siguientes: todo contraaxioma es 
refutable, y todo enunciado del que se pueda derivar un enun-
ciado refutable, es asimismo refutable . 
.i'ara representar formalmente la negación-absurdidad, se 
introduce un enunciado F que actuará como enunciado absurdo 
de referencia, y cuya interpretación es la siguiente: si se añade 
el enunciado F a un sistema no contradictorio, este sistema se 
convierte en contradictorio. El sentido del enunciado F viene 
dado por medio del esquema siguiente (esquema de la absur-
didad): 
X1-F 
X1-A 
Este esquema que pertenece al sistema L, significa: si, bajo 
las hipótesis X, se puede derivar, en el sistema subyacente S, el 
enunciado F, entonces, bajo las mismas hipótesis, se puede 
derivar en este sistema, no importa cuál enunciado A. La ne-
gación-absurdidad se introduce entonces por vía de definición: 
(DN)---, A= por definición A ::J F. 
Utilizando esta definición y la regla de la introducción de la 
implicación en el consiguiente, se obtiene una regla de intro-
ducción de la negación en el consecuente: 
36 
X,A1-F 
X1-1A 
Y utilizando la misma definición y la regla de introducción de 
la implicación en el antecedente, se obtiene una regla de intro-
ducción de la negación en el antecedente: 
X1-A 
X, -,Ar-F 
(Se ha utilizado de modo sobreentendido la premisa: X, F 1- F.) 
La negación así interpretada es la negación intuicionista o 
absurdidad simple. Como se ha visto, su sentido está dado por 
el esquema de la absurdidad y la definición (DN) anterior-
mente citada. 
Para representar formalmente la negación-refutabilidad, se 
introducen ciertos enunciados a título de contraaxiomas. Sien-
do, para un sistema subyacente S dado, Fi, F2, ... , Fn. estos 
enunciados. En el sistema L, tendremos enunciados corres-
pondientes: 
(i = 1, 2, ... , n) 
Estos enunciados significan: los contraaxiomas son refutables 
en un sentido absoluto, es decir, sin ninguna presuposición. 
Y por otra parte tendremos, siempre en el sistema L, esquemas 
señalando que todo enunciado del cual pueda derivarse un 
contraaxioma es refutable (esquemas de refutabilidad): 
X, A1-Fi 
X 1--, A (i = 1, 2, .. ., n) 
La negación así obtenida, es la negación minimal de J ohansson, 
o refutabilidad simple. 
Si se introduce, en el sistema L, como más arriba, el oh F, 
que corresponde a un enunciado absurdo de referencia, se po-
drá fijar el sentido de los contraaxiomas por medio de los esque-
mas siguientes: 
X1-F. 
X1-F (i = 1, 2, .. ., n) 
Llamemos a estos esquemas: esquemas para contraaxiomas. 
Podemos entonces definir la negación minimal, bien mediante 
37 
estos esquemas y la definición {DN) indicada más arriba, bien 
mediante estos esquemas y dos esquemas más para la introduc-
ción de la negación, igualmente indicados más arriba. En total 
disponemos de tres procedimientos distintos para fijar el sentido 
de la negación minimal. 
Para obtener la negación clásica, se debe añadir a las pro-
piedades de la negación intuicionista (absurdidad simple), el 
principio del tercero excluido. Podemos formular este principio, 
en el ienguaje de los sistemas L, diciendo que un antecedente 
del tipo A v 1 A, puede ser eliminado en una derivación. El 
sentido de la disyunción desde el punto de vista inferencial es, 
en efecto, el siguiente: si, en un árbol deductivo, tenemos el 
enunciado A e igualmente el enunciado B, entonces se puede 
introducir el nudo A v B. Esta situación puede describirse me-
diante un esquema apropiado que permite introducir la dis-
yunción. Supongamos que un enunciado B sea derivable con 
la ayuda del enunciado A v 1 A. Ello significa que, bajo cier-
tas presuposiciones X, B puede ser deducido a partir de este 
enunciado. Pero este mismo enunciado no ha podido ser intro-
ducido en el árbol deductivo que conduce a B excepto cuando 
los enunciados A y 1 A habían sido ya introducidos de ante-
mano en este árbol. Ya que, en lugar de decir que B es deri-
vable del enunciado A v 1 A, bajo ciertas presuposiciones, se 
puede decir que B es derivable al mismo tiempo de A y de 
1 A, bajo las mismas presuposiciones. Y en lugar de decir 
que el tercero excluido puede ser siempre eliminado de un ante-
cedente, es decir, de las premisas de una derivación, se puede 
decir que si un enunciado B puede ser derivado a la vez de A 
y de 1 A, bajo ciertas presuposiciones, puede ser derivado de 
estas presuposiciones solas. Pero admitir que el tercero excluido 
es siempre eliminable, es evidentemente admitir que es absolu-
tamente válido, sin presuposición, o dicho de otro modo, que 
es un teorema. En la derivación de B figuran las presuposicio-
nes X y A v -, A. Si se coloca debajo de este último enunciado 
su derivación, que, en nuestra hipótesis, no depende más que 
de axiomas del sistema, se obtiene una derivación de B que 
no depende más que de presuposiciones X y de axiomas. Esto 
podrá expresarse por medio del esquema siguiente (esquema 
del tercero excluido): 
X, Ar-B X, 1Af-B 
Xr-B 
38 
Añadiendo el esquema del tercero excluido respectivamente 
a la refutabilidad simple y a la absurdidad simple, obtenemos 
respectivamente, la refutabilidad completa y la absurdidad com-
pleta, que es la negación clásica. Por otro lado, añadiendo la 
regla de Peirce a la refutabilidad simple, se obtiene una forma 
de negación que podemos llamar refutabilidad clásica. 
Desembocamos pues finalmente en cinco sistemas L, que 
corresponden a cinco formas de negación diferentes. Podemos, 
siguiendo a M. Curry, presentarlas como sigue.6 
La forma más débil de negación es la negación minimal o 
refutabilidad simple. Está formalizada en el sistema LM. Este 
sistema se obtiene añadiendo a la lógica proposicional absoluta 
los esquemas para contraaxiomas y la definición (DN), o bien 
añadiéndole los esquemas para contraaxiomas y los esquemas 
para la introducción de la negación. (Si se introduce la defini-
ción (DN), como ya se ha hecho notar más arriba a propósi-
to de la negación-absurdidad, los esquemas para la introducción 
de la negación se transforman simplemente en casos particu-
lares de esquemas para la introducción de la implicación, dota-
dos de la Iógica proposicional absoluta.) 
Añadiendo al sistema LM el esquema de la absurdidad, se 
obtiene el sistema LJ, que suministra una formalización de la 
negación intuicionista o absurdidad simple. 
Añadiendo al sistema LM el esquema del tercero excluido, 
se obtiene el sistema LD, que da una formalización de la refu-
tación completa o negación estricta. 
Añadiendo al sistema LM la regla de Peirce, se obtiene un 
sistema LE, que contiene una formalización de la refutabilidad 
clásica. Como se ha visto, la regla de Peirce enriquece la noción 
de implicación tal como viene dada por las dos reglas de intro-
ducción del operador de implicación. Mediante la intervención 
de la de:Snición (DN), ésta enriquece de modo correspondiente 
la noción de negación minimal. Se puede naturalmente obtener 
el sistema LE añadiendo directamente a la lógica clásica de 
implicación, los esquemas para contraaxiomas y la definición 
(DN). El sistema LE contiene al sistema LD, pues la regla de 
Peirce permite obtener, por medio de la definición (DN), el 
· esquema del tercero excluido. 
6. Fottndations of Mathematical Logic, p. 261. Nos limitamos a los 
sistemas singulares. Existen, naturalmente, sistemas múltiples correspon-
dientes. 
39 
Por fin, añadiendo al sistema L J el esquema del tercero ex-
cluido, se obtiene el sistema LK, que da una formalizaci6n de 
la absurdidad completa o negaci6n clásica. El sistema LK, es 
pues al sistema LJ, como el sistema LD esal sistema LM. Se 
puede obtener naturalmente también LK añadiendo el esquema 
de la absurdidad (característica de LJ) al sistema LD (que con-
tiene el tercero excluido). El sistema LK representa pues al 
sistema LD, lo que el sistema LJ al sistema LM. Se puede, así, 
obtener LK añadiendo directamente a la lógica clásica de la 
implicaci6n los esquemas para contraaxiomas, la definici6n (DN) 
y el esquema de la absurdidad. 
La explicación en el cuadro de la lógica de la deducción 
natural 
Vemos en estos dos ejemplos que, en ~l marco de los siste-
mas de deducción natural, el sentido de las ope:raciones lógicas 
elementales viene dado mediante reglas, formuladas bajo for-
ma de esquemas de deducci6n. Estas propias reglas describen 
situaciones inferenciales. :Éstas son las situaciones que son toma-
das como hilos conductores de la interpretación. Pero los dis-
tintos sistemas considerados permiten formalizar las interpre-
taciones así propuestas: las motivaciones, sacadas del examen 
de las situaciones inferenciales, se olvidan y el sentido de las 
operaciones estudiadas viene determinado completamente por 
el modo de funcionamiento de las reglas impuestas. 
¿En qué nos basamos para decir que existe explicación en 
todo esto? En que las regfas de los sistemas de deducción na-
tural indican de modo explícito el modo de actuación de las 
operaciones lógicas elementales en las derivaciones (relativas 
a los enunciados del sistema subyacente). Más precisamente, 
estas reglas prescriben el modo en que los signos de operación 
lógica pueden ser bien introducidos, bien suprimidos en una 
derivación. El modo de formulación de las reglas, está justi:6-
cado por las consideraciones previas relativas a las relaciom 
de derivabilidad que existen entre los enunciados del sistema 
subyacente estudiado. Desde un punto de vista estrictamente 
formal, se pueden utilizar los sistemas de deducción natural sin 
por ello deber de ocuparse de estas justificaciones. Pero esto, 
no es más que un modo de ficción provisional ya que en rea-
lidad las reglas remiten a relaciones de derivabilidad, y <le ahí 
su poder explicativo. Así, se explica el sentido de la implicación, 
40 
describiendo las condiciones en las cuales un operador de im-
plicación puede inh·oducirse en una deducción. Como se ha 
visto, una vez dadas estas condiciones, se puede, por método 
de inversión, determinar las condiciones en las cuales un ope-
rador tal puede ser eliminado. Lo que se caracteriza de este 
modo, en definitiva, es la función que puede desempeñar el 
operador de implicación en una derivación. 
Como se ve, la explicación consiste en situar al operador 
en un cierto contexto, en mostrar cuál es su papel en este con-
texto. Pero el contexto invocado no es el del enunciado en el 
que figura el operador, sino el de los encadenamientos posibles 
entre enunciados, más exactamente, encadenamientos conser-
vadores que intervienen en las deducciones. (Si recorremos una 
deducción correcta, yendo de las premisas hacia la conclusión, 
constatamos que la verdad se conserva: si las premisas son 
verdaderas, la conclusión es asimismo verdadera. Y si se recorre 
una deducción en sentido inverso, constatamos que la falsedad 
se conserva: si la conclusión es falsa, la conjunción de las pre-
misas debe ser falsa.) Ello presupone evidentemente una tema-
tización de la derivación en cuanto tal: debemos poder consi-
derar la derivación como un objeto sui generis, abstracción he-
cha de la significación particular de los enunciados que con-
tiene. Desde este punto de vista, la teoría de la implicación tal 
como la desarrolla la lógica de la deducción natural es bien 
diferente de la teoría de "implicación" ( entailment), que intenta 
obtener una representación adecuada de los enunciados de 
forma condicional del lenguaje ordinario. (Del tipo: Si A, en-
tonces B. O: A implica B.) Tales enunciados, en efecto, expre-
san un cierto vínculo entre los contenidos de Ios enunciados 
elementales que contienen. Precisamente es este vínculo el que 
se trata de explicitar. Ciertos enunciados complejos que serían 
admisibles en una teoría de la implicación propiamente dicha 
(implicación material) no parecen poder ser admitidos en una 
teoría de la implicación. (Así ocurre en los enunciados del tipo 
A :J (B :J B) y del tipo A :J (B :J A).) 
El punto de vista adoptado implica igualmente que se haga 
abstracción de los valores de verdad de los enunciados. No inte-
resa de ningún modo saber si, de hecho, las premisas o la 
conclusión de una demostración son verdaderas, sino única-
mente en las condiciones de transmisión de la verdad (eventual) 
o de la falsedad (eventual). La única condición impuesta a una 
derivación, lo es de modo hipotético: si las premisas son verda-
41 
deras, la conclusión debe ser verdadera. Resulta además, que 
si una conclusión es falsa, una de las premisas por lo menos 
(y por tanto el conjunto de las premisas) debe ser falso. Los 
sistemas de deducción natural mismos no sitúan en lugar privi-
legiado a los enunciados del sistema subyacente que, en este 
sistema, actúan como axiomas (y son pues, considerados, en 
el marco del sistema, como válidos). Se ocupan esencialmente 
del vínculo inferencial que puede existir entre ciertos enun-
ciados, admitidos a título de presupuestos, y otros enunciados, 
que pueden ser deducidos de los precedentes. Los presupuestos 
pueden ser enunciados cualesquiera. Un enunciado que pudiera 
ser deducido únicamente a partir de los axiomas, sería consi-
derado como establecido sin presupuesto. Pero ése no es más 
que un caso particular, representado en los sistemas L, por un 
enunciado con antecedente vacío. La teoría es formulada de 
modo que tenga en cuenta, con toda amplitud, la presencia de 
presupuestos eventuales, de los cuales no se sabría decir de! 
todo si son teoremas o no (si deben ser considerados .como 
válidos en el sistema o no). 
Lo esencial del camino explicativo consiste pues, en aislar 
la relación de deductibilidad y en definir así un contexto propia-
mente formal en relación al cual será fijado el sentido de las 
operaciones lógicas. Este procedimiento abstractivo hace posible 
la reducción de cualquier proceso de demostración a pasos ele-
mentales, y a especies de átomos de demostración. En sentido 
inverso, naturalmente, el método permite reconstruir cualquier 
demostración, por compleja que sea, a partir de pasos de tipo 
atómico. Hecho notable, pues parece que es posible dotar a 
cualquier demostración, de una forma puramente constructiva, 
en el sentido esh·icto del término, es decir, de reducir toda 
demostración a una serie de etapas, en que cada una consiste 
en la introducción de una operación lógica elemental. 7 :Ése es 
uno de los resultados más importantes de la teoría elaborada 
por Gentzen. Cada átomo de demostración, trae consigo, pues, 
una contribución positiva que debe considerarse al mismo tiem-
po como contribución a la demostración global, y como contri-
7. Es necesario precisar, sin embargo, que las lógicas de deducción 
natural comprenden igualmente las reglas llamadas de estructura, las 
cuales no introducen ninguna operación pero rehacen las series presentes 
en las premisas (por ejemplo, eliminando un oh repetido dos veces). Todo 
lo que sigue debe ser, pues, entendido con la reserva de que ciertas etapas 
de demostración pueden consistir en simples reajustes de las premisas. 
42 
bución a la constitución del enunciado que se trata de demos-
trar. Dicho de otro modo, la demosh·ación de un enunciado 
puede considerarse como la construcción progresiva de este 
enunciado. Un enunciado no elemental, se forma a partir de 
enunciados elementales, por medio de operaciones lógicas. Estas 
operaciones pueden superponerse. Para construir un enunciado 
(no elemental), hace falta pues, introducir sucesivamente, en el 
orden que interesa, las operaciones lógicas que intervienen en 
él. Las reglas de los sistemas de deducción natural son de tal 
modo, que toda aplicación