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Inferencia
Econometría
Econometría Inferencia 1 / 21
Indice
1 Distribución muestral de los estimadores
De�niciones. Elementos básicos.
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Distribución muestral de los estimadores
Hasta ahora se ha formado un conjunto de supuestos bajo los cuales MCO
es insesgado (cuáles son?), a su vez se obtuvieron las varianzas de los
estimadores de MCO (bajo cuáles supuestos?), y también se mostró que
esta varianza es la menor entre los estimadores lineales insesgados.
Conocer el valor esperado y la varianza de los estimadores de MCO sirve
para describir la precisión de los estimadores de MCO. Sin embargo, para
realizar una inferencia estadística se requiere conocer toda la distribución
muestral de los β̂j .
Supuesto RLM.6: Normalidad
El error poblacional u es independiente de las variables explicativas
x1, x2, . . . , xk y está distribuido normalmente, con media cero y varianza
σ2: u ∼ Normal(0, σ2).
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Bajo RLM.6 u es independiente de las xj , E (u|x1, . . . , xk) = E (u) = 0 y
Var(u|x1, . . . , xk) = Var(u) = σ2. De manera que con RLM.6 se están
suponiendo necesariamente RLM.1 a RLM.5.
A los supuestos RLM.1 a RLM.6 se les conoce como supuestos del modelo
lineal clásico (MLC).
Bajo los supuestos de MLC los estimadores de MCO son los estimadores
insesgados de varianza mínima.
Con el supuesto RLM.6 tenemos que:
y |x ∼ N(β0 + β1x1 + . . .+ βkxk , σ2)
De manera que, condicional en x , y tiene una distribución normal cuya
media es lineal en x1, x2, . . . , xk y cuya varianza es constante.
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Distribución normal de y
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El argumento que justi�ca la distribución normal de los errores es más o
menos como esto: como u es la suma de muchos factores distintos no
observados que afectan a y , se puede apelar al teorema del límite central
para concluir que u tiene una distribución aproximadamente normal.
Debilidades:
Los factores en u pueden tener distribuciones muy diferentes en la
población y esto hace que la aproximación normal pueda ser mala.
El argumento del TLC supone que todos los factores no observados
afectan a y por separado en forma aditiva. Nada garantiza que esto
sea así.
Que en una aplicación pueda suponerse normalidad de u es en realidad una
cuestión empírica. Por ejemplo, no hay un teorema que diga que el salario,
condicional en la educación, la experiencia y la antigüedad, esté distribuido
normalmente. En la práctica, puede uno preguntarse si la distribución
condicional del salario se �aproxima� a la normalidad.
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Suponga que u es independiente de las variables explicativas y que toma los
valores -2, -1, 0, 1 y 2 todos con probabilidad de 1/5. ¾Viola esto los
supuestos de Gauss-Markov? ¾Viola esto los supuestos del MLC?.
Distribución de muestreo normal
Bajo los supuestos RLM.1 a RLM.6 del MLC, condicionalmente en los
valores muestrales de las variables independientes,
β̂j ∼ N
(
βj , Var(β̂j)
)
,
por lo tanto
β̂j − βj
de(β̂j)
∼ N(0, 1).
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Demostración
Cada β̂j puede escribirse como,
β̂j = βj +
n∑
i=1
wijui , (1)
donde wij = r̂ij/SRCj , donde r̂ij es el residual i-ésimo de la regresión de xj
sobre todas de las demás variables independientes y SRCj es la suma de los
residuales cuadrados de esta regresión.
wij depende enteramente de x , con lo cual, condicional en x , los
estimadores son una combinación lineal de u. Dado que (bajo el supuesto
RLM.6) los errores son variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas (Normales), los estimadores tienen distribución normal.
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Test de hipótesis para un solo parámetro poblacional
Distribución t para estimadores estandarizados
Bajo los supuestos RLM.1 a RLM.6 del MLC,
β̂j − βj
ee(β̂j)
∼ tn−k−1,
donde k + 1 es la cantidad de parámetros desconocidos en el modelo
poblacional, y = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk + u.
El hecho de que usemos ee(β̂j) (un estimador) en lugar de de(β̂j) (el
verdadero desvío) hace que pasemos de una distribución normal a una t.
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El resultado anterior permite probar hipótesis sobre valores individuales de
los parámetros, por ejemplo,
H0 : βj = 0 (2)
La anterior hipótesis signi�ca que, una vez que se han controlado todas las
demás variables independientes, x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xk , xj no tiene
ningún efecto sobre el valor esperado de y .
Ejemplo:
Sea el siguiente modelo,
log(wage) = β0 + β1educ + β2exper + β3tenuere + u,
sea la hipótesis nula H0 : β2 = 0.
Qué signi�ca? Qué implica si no se puede rechazar?
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El estadístico que se utiliza para probar (2) contra cualquier alternativa se
llama estadístico t, y viene dado por,
tβ̂j =
β̂j
ee(β̂j)
,
Intuición: Si el valor muestral de β̂j está muy lejos de cero, esto
proporciona evidencia contra H0 : βj = 0. (dado que β̂j estima a (βj).
Sin embargo β̂j debe ser ponderada contra su error de muestreo (por qué?).
tβ̂j mide a cuántas desviaciones estándar estimadas se encuentra β̂j de cero.
Si el valor de tβ̂j se encuentra su�cientemente lejos de cero se rechazará
H0. (Qué es su�cientemente lejos?).
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Alternativa de una cola
Para determinar una regla para rechazar H0, hay que decidir sobre la
hipótesis alternativa relevante.
Considere una alternativa de una cola de la forma,
H1 : βj > 0
Si H0 es cierta tβ̂j tiene distribución t, con lo cual su valor esperado es
cero, pero si es cierto H1 el valor esperado de tβ̂j es positivo. (Por qué?).
Dado lo anterior, si el valor observado de tβ̂j es positivo (y grande) es
evidencia en contra de H0. (Por qué?).
La idea que subyace a los test de hipótesis es la de evento raro, yo me
pregunto si el parámetro puede tener cierto valor (hipótesis nula), si esto es
así los datos deberían comportarse de cierta manera (el tβ̂j observado
debería estar cerca de cero, en este caso) si los datos se comportan muy
diferentes (el tβ̂j observado lejos de cero) concluyo que mi hipótesis no se
corrobora, la rechazo.
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Lo que queda por de�nir es qué consideramos como su�cientemente
grande. Sabemos que si H0 es cierta, entonces el tβ̂j observado tiene
distribución tn−k−1 y su esperanza es cero, con lo cual, si observamos un
tβ̂j que tiene poca probabilidad de ocurrir bajo esa distribución, concluimos
que H0 es rara
2la rechazamos.
Debemos establecer a partir de qué valor de t consideramos que tβ̂j es raro,
para ello de�nimos el nivel de signi�cancia, que es probabilidad de rechazar
H0 cuando en realidad es verdadera.
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Distribución t. Valor critico
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Ejemplo
Queremos probar que, en la población el rendimiento de exper , controlando
educ y tenure es cero contra la alternativa de que este rendimiento sea
positivo.
Cuáles es la hipótesis nula y cuál la alternativa?
Cuantos son los grados de libertad?
Cuál es el tβ̂exper ?
Cual es el t crítico para α = 0,05? (use la aproximación normal).
Concluya.
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Para la alternativa de una cola, donde el parámetro es menor a cero, es
decir, H1 : βj < 0, el procedimiento es el mismo, solo que ahora la
evidencia en favor de H1 van a ser valores negativos (y su�cientemente
grandes) de tβ̂j . El valor esperado de tβ̂j siendo cierta H1 es negativo.
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Alternativa de dos colas
En este caso la hipótesis nula sigue siendo la misma, H0 : βj = 0, pero la
alternativa viene dada por,
H1 : βj 6= 0
Dado que acá no nos importa si el parámetro es mas grande o mas chico,
cualquier valor de tβ̂j que este lo su�cientemente lejos de cero (positivo o
negativo) es evidencia en favor de H1.
Ahora los valores críticos de t van a estar tanto a la derecha como a la
izquierda de la distribución, aunque por simetría tienen el mismo valor
absoluto. La insigni�cancia se divide en dos.
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Ejemplo
donde skipped es el promedio de faltas por semana.
Son estadísticamente signi�cativas las variables? (Plantee la hipótesis
nula y la alternativa).
Son todas signi�cativas desde el punto de vista empírico?
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Otras pruebas de hipótesis
Aunque H0 : βj = 0 es la hipótesis más común, algunas veces se desea
probar si βj es igual a alguna otra constante dada.
En este caso tenemos,
H0 : β0 = aj ,
el estadístico t viene dado por,
t =
(β̂j − aj)
ee(β̂j)
.
El estadístico t general puede emplearse tanto para alternativas de una
como de dos colas.
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Ejemplo
Considere un modelo sencillo que relacione la cantidad anual de actos
delictivos en el campus de una universidad (crime) con su matrícula
(enroll),
Se puede a�rmar que al aumentar la matricula (campus mas grandes) los
actos delictivos aumentan mas que proporcionalmente?
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	Distribución muestral de los estimadores
	Definiciones. Elementos básicos.