06- Solucinario Tema III - Microeconomia II

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Universidad Nacional de Rosario 
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística 
Microeconomía II 
 
Prof. Titular: Cristian Iunnisi 
JTP: Agustina Leonardi 
Prof. Auxiliar: Germán Tessmer 
Adscripta: Lucia Caillet Bois 
Año 2014 
 
 SOLUCIONARIO TEMA III 
 
Primera Parte 
 
1), 2), 3) y 4) Ver Hirshleifer Capítulo 6 y Coase “La naturaleza de la empresa”. 
 
 
Segunda Parte 
 
5. Dadas las siguientes funciones de producción: 
 
a) Q= Ax12x22-B x13x23 suponga Ax22 = k1 B x23= k2 
 
2 2 3 3
1 2 1 2
2 2 3
2 1 1 1 2 1
3
2 2
Sea: 
Q Ax x Bx x
Ax k Q k x k x
Bx k
• = −

• = = −
• =  
 
Se sabe que el producto marginal se iguala al producto medio, cuando la derivada primera 
de éste último es igual a cero. Por tanto se puede llegar al mismo resultado por dos 
métodos: 
 
2 3
21 1 2 1
1 1 1 2 1
1 1 2 2 1
1 1 2 1 1 1 2 1 12 3
221 1 2 1
1 1 1 2 1
1 1
1 1 1
1 2 1 1
1 1 2
( ) 2 3
2 3
2
0 2 0
2
k x k xQPmg k x k x
x x kk x k x k x k x x
kk x k xQPme k x k x
x x
Pme Pme kk k x x
x x k
∂ −∂
• = = = − ∂ ∂  − = − ⇒ =
− • = = = − 
∂ ∂
• = ⇒ = − = ⇒ =
∂ ∂
 
 
1 
Microeconomía II: Solucionario Tema III 
 
 
 
 
 
 
Sea la fórmula genérica de la elasticidad de producción, definida como: 
1 1
1
x
Q
xQ
x Q
ε ∂=
∂
 
Entonces se tiene que: 
1
2 3 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1
2 3 2 3
1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1
( ) 2 3 2 3
( )
x
Q
x k x k x x k x k x k k xQ
x Q x k x k x k x k x k k x
ε ∂ − − −∂= = = =
∂ ∂ − − −
 
 
 
b) Q= x1α x2(1-α) (0<α<1) 
 
( )
(1 )
1 2
1
1 1 1
(1 )
1 11 2
1
1 1 1
( 1) (1 )
1 2 ( 2) (1 )1 1
1 2
1 1 1
( )
El resultado es indefinido
0 0 ( 1) 0 El resultado es indefinido
x xQ QPmg
x x x Q Q
x xx xQ QPme
x x x
x xPme Pme x x
x x x
α α
α α
α α
α α
α
α
α
−
−
− −
− −
∂∂
• = = = ∂ ∂  =
• = = = 
∂∂ ∂
• = ⇒ = = ⇒ − =
∂ ∂ ∂
 
En conclusión, para una función del Cobb-Douglas, sus correspondientes productos medios 
y marginal, no son iguales para ningún valor positivo de x1. 
 
 
Para cada una de ellas determinar: a) Cuál es el valor de x1 en el cual el producto medio y 
el producto marginal son iguales; y b) La elasticidad de producción con respecto a x1. 
 
6. Verificar si la función de producción Q= Ax1αx2β (α, β > 0) tiene isocuantas convexas 
para x1, x2 >0. 
 
Se deben verificar las condiciones de segundo orden: 
2
11 22 12* 0f f f− > . Es decir, para qué 
valores se cumple esta condición. 
 
7. ¿Qué relación precisa existe entre una función de producción de dos factores y el 
producto marginal de un factor? 
 
La elasticidad parcial de producción de Q con respecto al factor productivo (εi), permite 
estudiar los cambios relativos en el volumen de producción que resultan de cambios 
relativos en las cantidades empleadas de un factor, permaneciendo constantes todos los 
demás factores productivos. Analíticamente, la elasticidad parcial de producción se 
expresa: 
 
i
i
i
ZQ
Z Q
ε ∂=
∂ 
 
 
2 
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 8. Partiendo de una función de dos variables explique cómo se encuentra el producto total, 
medio y marginal de un solo factor. 
 
Manteniendo constante el otro factor. (Ver Fernández Pol, página 42). 
 
9. Cuál es el par (x1, x2) que minimiza el costo de producir Q= 100= x1x2 cuando los precios 
de los factores son w1= 8 y w2= 2? 
 
El problema que se plantea es: 
1 2
1 2
min 8 2
s.a. 100
CT x x
x x
= +
=
 
 
Por tanto, el lagrangiano correspondiente queda constituido como: 
 
1 2 1 28 2 (100 )L x x x xλ= + + − 
 
( )
( )
1 2 2
1 2
2 1 1 2 1
2 * * *
1 2 2 2 1 min
8 0 8 8 2 1 4
2 0 2
100 0 100 1 4 20 5 80
L x x
x x
L x x x x
L x x x x x CTλ
λ λ
λ λ
= − = ⇒ = 
= ⇒ == − = ⇒ = 
= − = ⇒ = ⇒ = ∧ = ⇒ =
 
 
 
10. Cuál es el par (x1, x2) que maximiza el producto Q= x1x2 cuando la restricción es C= 
80, w1 =8 y w2 =2? 
 
El problema que se plantea es: 
1 2
1 2
max
s.a. 80 8 2
Q x x
x x
=
= +
 
 
Por tanto, el lagrangiano correspondiente queda constituido como: 
 
1 2 1 2(80 8 2 )L x x x xλ= + − − 
 
( )1 2 2 2 1 1 2
2 1 1
* * *
1 2 2 2 1 max
8 0 8
1 4
2 0 2 8 2
80 8 2 0 80 4 20 5 100
L x x x x x x
L x x
L x x x x x Qλ
λ λ
λ λ
= − = ⇒ = 
= ⇒ == − = ⇒ = 
= − − = ⇒ = ⇒ = ∧ = ⇒ =
 
 
11. Una empresa tiene una función de producción Q= x1x2. Si el costo mínimo de 
producción cuando w1= w2 =1 es igual a 4. ¿Cuál es el valor de Q? 
 
El problema que se plantea es: 
1 2
1 2
max
s.a. 4
Q x x
x x
=
= +
 
 
3 
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Por tanto, el lagrangiano correspondiente queda constituido como: 
 
1 2 1 2(4 )L x x x xλ= + − − 
 
1 2 2
1 2
2 1 1
* * *
1 2 2 2 1 max
0
0
4 0 4 2 2 2 4
L x x
x x
L x x
L x x x x x Qλ
λ λ
λ λ
= − = ⇒ = 
== − = ⇒ = 
= − − = ⇒ = ⇒ = ∧ = ⇒ =
 
 
12. El cuadro siguiente muestra dos observaciones sobre la demanda de factores, x1, x2, 
sobre los precios de los factores w1 y w2 y el nivel de producción Q de una empresa. ¿Es la 
conducta descripta en este cuadro coherente con la conducta minimizadora de los costos? 
(suponer la función de producción Q= x1x2) 
 
Obs. Q W1 W2 X1 X2 
A 100 2 1 10 20 
B 110 1 2 14 10 
 
El problema que se plantea es: 
1 1 2 2
1 2
min
s.a.
CT w x w x
Q x x
= +
=
 
 
Por tanto, la expresión genérica del lagrangiano correspondiente queda constituida como: 
 
1 1 2 2 1 2( )L w x w x Q x xλ= + + − 
 
( ) ( )
1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 2 2 1
0
Condición de optimalidad
0
0
L w x w x w w x w
L w x w x x x x w
L Q x x Q Q x x Q Q x xλ
λ λ
λ λ
= − = ⇒ = 
= ⇒ == − = ⇒ = 
= − = = ∂ ∂ = ∧ = ∂ ∂ =
 
Reemplazando, los valores correspondientes a la función de producción, se tiene: 
 
1 2
2 11 2
2 1 1 2
2 1
10 1 La empresa minimiza costos en la situación A
20 2
14 2 La empresa no minimiza costos en la situación B
10 1
A A
A A
B B
B B
x w
x wx w
x w x w
x w

= ⇒ =
= 
 = ⇒ ≠
 
 
13. Cuál es el nivel de producción y la cantidad de x1 y x2 que se deben utilizar para 
maximizar el beneficio cuando P= 1, Q= x1x2 y CT= 8x1 +2 x2+20? 
 
Con 
* *
1 22 8x x= ∧ = . La condición de segundo orden no se cumple. 
 
4 
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14. Conteste Verdadero o Falso y explique el por qué de su respuesta. 
 
a) Si dos factores productivos tienen el mismo precio, la combinación de costo menor 
para un nivel dado de producción se encontrará en el punto en que la isocuanta 
tenga pendiente (–1). 
 
Verdadero. Según las CPO, se debe cumplir que: 
2 2 1 2
1 1 2 1
Q Q x x w
Q Q x x w
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
 
Si w1 = w2, entonces la CPO queda expresada como: 
1
2
1x
x
∂
=
∂
 
 
Como en el punto óptimo, la pendiente de la isocuanta es igual a la pendiente de la 
curva isocoste, se comprueba que ésta es igual a (-1). 
 
b) Suponga que se emplean solo dos factores en la producción de Q. Una disminución 
en el precio del factor x1 hace que se emplee menos de x2. 
 
Verdadero. Si se emplean 2 factores x1 y x2, cuando disminuye w1, bajo supuestos 
de racionalidad, se utilizará menos de x2. 
 
Según las CPO, se debe cumplir que: 
2 2 1 2
1 1 2 1
Q Q x x w
Q Q x x w
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
 
 
Entonces, si disminuye w1, aumenta x1. Por tanto, para mantenerse a lo largo de la 
misma curva isocuanta debe disminuir la utilización de x2. 
 
c) Si el producto marginal de x1 es de 5 y el precio es de $2, el costo adicional de una 
unidad más de producción obtenida mediante el empleo de una mayor cantidad de 
x1 es $2. 
 
Falso. Sean los siguientes datos: 
 
1
1
1
5
2
2
Pmg
w
Cmg
• =
• =
• = 
Se sabe que, en términos óptimos,se debe cumplir que: 
1
1
1
wCmg
Pmg
=
 
Si se sustituyen los valores dados en los datos, queda claro que la afirmación es 
falsa. 
 
 
5 
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d) A los niveles actuales de empleo de los factores x1 y x2, el producto marginal de x1 
es 3 y el de x2 es 2. El precio de x1 es $5 por unidad y el de x2 es de $4 por unidad. 
En vista de que x2 es más barato que x1, la empresa puede llegar a la misma 
producción con un costo menor disminuyendo el empleo de x1, y aumentando el de 
x2. 
Falso. Según los datos que poseemos, se tiene que: 
 
1 1
2 2
3 5
2 4
Pmg w
Pmg w
• = ∧ =
• = ∧ =
 
 
Por las CPO se sabe que: 
2 2 2 2
1 1 1 1
Q Q x Pmg w
Q Q x Pmg w
∂ ∂
= = =
∂ ∂
 
 
Reemplazando por los datos disponibles, se tiene: 
 
2 2
1 1
2 4 0,66 0,8
3 5
Pmg w
Pmg w
= ∧ = ⇒ <
 
 
Por tanto, conviene aumentar el uso de x1. 
 
 
15. Dado: PMgx1= 100 x2- x1; PMgx2= 100 x1- x2 
 
a) ¿Cuál es la máxima producción posible cuando la suma total que puede gastarse en 
x1 y x1 es de $ 1000 y el precio de x1= 5 y el de x2= 2? 
 
Para hallar el máximo producto, primero será necesario conocer la función de producción 
de la empresa, lo cual se logra integrando simultáneamente los productos marginales 
mostrados. Sea: 
 
( )
( )
2
1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2
1 2 1 22
2 1 2 1 2 2 1 2 2 2
100 100 100 (1 2)
100 (1 2) (1 2)
100 100 100 (1 2)
Pmg x x x x x x x x c
q x x x x
Pmg x x x x x x x x c
= − ⇒ − ∂ = − +  = − −
= − ⇒ − ∂ = − + 
∫
∫
 
Así, el problema puede quedar planteado como de la siguiente manera1: 
 
2 2
1 2 1 2
1 2
max 100 (1 2) (1 2)
s.a. 1000 5 2
q x x x x
x x
= − −
= +
 
 
Por tanto, el lagrangiano correspondiente queda constituido como: 
 
1 Una forma más directa, pero menos explícita de solucionar el problema, es la de utilizar la ya conocida 
igualdad que surgen de las CPO. 
 
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2 2
1 2 1 2 1 2100 (1 2) (1 2) (1000 5 2 )L x x x x x xλ= − − + − − 
 
2 1
1 2 1
2 1 1 2
2 1
1 2
2 1 2
* *
1 2 1 1 1 2
100100 5 0 100 100 5025
100 5 2 205100 2 0
2
5021000 5 2 0 1000 5 2 101,035 247,413
205
x xL x x x x x x x x
x xL x x
L x x x x x xλ
λ λ
λ λ
− = − − = ⇒ =  − − = ⇒ =− = − − = ⇒ =

 = − − = ⇒ = + ⇒ = ∧ = 
 
 
 
Finalmente, reemplazando los valores óptimos de x1 y x2 en q, se tiene que: 
 
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
2 2*
max
100 (1 2) (1 2)
100 (101,035) 247,413 (1 2) 101,035 247,413 2.464.026,614
q x x x x
q
= − −
 = − + = 
 
 
b) Conteste la pregunta anterior cuando los precios sean ambos $5. 
 
Reemplazando por el nuevo vector de precios, el lagrangiano correspondiente queda 
constituido como2: 
 
2 2
1 2 1 2 1 2100 (1 2) (1 2) (200 )L x x x x x xλ= − − + − − 
 
1 2 1 2 1
2 1 1 2 2 1
2 1 2 1 2
* *
1 2 1 1 2
100 0 100
100 100
100 0 100
200 0 200 2 100 100
L x x x x
x x x x x x
L x x x x
L x x x x xλ
λ λ
λ λ
= − − = ⇒ = − 
− = − ⇒ == − − = ⇒ = − 
= − − = ⇒ = ⇒ = ∧ =
 
 
Finalmente, reemplazando los valores óptimos de x1 y x2 en q, se tiene que: 
 
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1
2 2*
max
100 (1 2) (1 2) 100
100 100 100 990.000
q x x x x x x
q
= − − = −
= − =
 
 
16. Si la función de producción viene dada por q = x1x2 
 
a) Calcular su correspondiente función de costo total, medio y marginal. 
 
2 Nótese que los valores de la restricción presupuestaria han sido ingresados ya simplificados. 
 
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 ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2 2 1
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1
CT w x w x
w x w x w wCTCme
q x x x x
w x w x w x w x x w x w x x w wCTCmg
q x x x x x x x x x x
• = +
+
• = = = +
∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂∂
• = = = + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
b) ¿Qué relación existe entre el costo medio y el producto medio, y el costo marginal y 
el producto marginal? Haga los cálculos correspondientes para establecer esas 
relaciones con los datos de a). 
 
A partir de los datos de a), la relación entre Pme y Cme es: 
 
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2
w x w x w w w wCTCme Cme
q x x x x Pme Pme
+
= = = + ⇒ = + 
 
En tanto que la relación entre Pmg y Cmg queda definida como: 
 
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 2 1 1 2
w x w x x w x w x x w w w wCTCmg Cmg
q x x x x x x x x Pmg Pmg
∂ + ∂ ∂ + ∂∂
= = + = + ⇒ = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
c) Si, w1= 8 y w2= 2 y el nivel de producción se fija en Q= 100, calcular el costo total 
para producir ese nivel. 
 
El problema que se plantea es: 
1 2
1 2
min 8 2
s.a. 100
CT x x
x x
= +
=
 
 
Por tanto, la expresión genérica del lagrangiano correspondiente queda constituida como: 
 
1 2 1 28 2 (100 )L x x x xλ= + + − 
 
( )
1 2 1 2
1 2 2
1 2
2 1 1 2 1
2 * * *
1 2 1 1 1 1 2 min
8 2 (100 )
8 0 8 8 2 4
2 0 2
100 0 100 4 4 5 20 80
L x x x x
L x x
x x
L x x x x
L x x x x x x x CTλ
λ
λ λ
λ λ
= + + −
= − = ⇒ = 
= ⇒ == − = ⇒ = 
= − = ⇒ = = ⇒ = ∧ = ⇒ =
 
 
17. Si la función de producción es Q= x1x2+x2; y la Función Auxiliar correspondiente Φ = 
k2 x1 x2 + k x2 
 
 
8 
Microeconomía II: Solucionario Tema III 
 
 
 
 
 
 
a) Calcular la elasticidad de producción correspondiente ¿qué teorema se usa para 
esto? 
b) Averiguar qué tipo de rendimiento a escala posee para k-1. 
c) Deducir la función de costo total correspondiente y calcular la elasticidad del costo 
total, relacionándola con la elasticidad de producción (ver Fernández Pol). 
 
Fernández Pol, páginas 56 y 57, para los ejercicios a) y b). Página 75 para el ítem c). 
 
18. Demuestre que la elasticidad de producción de la función Q= f(x1,x2) es igual a la 
sumatoria de las elasticidades parciales de producción de cada uno de los factores. 
 
Teorema de W-J. Demostración en Fernández Pol, página 63. 
 
19. a) ¿Tiene que ser la curva de costo total de la empresa necesariamente creciente o 
puede tener un tramo descendiente?; b) ¿Tiene que ser la curva de costo medio de la 
empresa necesariamente en forma de U o puede ser siempre creciente? ¿Y la curva de costo 
variable medio? Para cada forma permisible de las curvas de costo medio y costo variable 
medio muestre la forma implicada de la curva de costo marginal. 
 
Rendimientos Constantes 
 
 CT 
 
 Cme = Cmg 
 
 
 
 
 
 
Rendimientos decrecientes 
 
 
 Cmg 
 CT 
 Cme 
 
 
 
 
 
Rendimientos Crecientes 
 
 CT 
 
 
 
 Cmg 
 
9 
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 Cme 
 
 
 
 
 
 
 
20. ¿Son las mismas las razones por las cuales las curvas de costo medio de corto y largo 
plazo tienen forma de U? 
 
No, no son las mismas razones. En el corto plazo, para que la curva de costo medio tenga 
forma de U, lo que opera son los rendimientos de los factores productivos variables, 
manteniendo fijos otros factores productivos. En el largo plazo, cuando todos los factores 
productivos son variables, lo que operan son los rendimientos de escala. 
 
NOTA: Para ampliar las respuestas 19 y 20 leer Hirshleifer capítulo 6. 
 
21. ¿Qué relaciones existen entre los rendimientos a escala crecientes y el costo medio a 
largo plazo decreciente? En términos más generales, ¿qué relaciones existen entre los 
rendimientos a escala y la forma de la curva de costo medio a largo plazo? 
 
Relaciones entre los rendimientos a escala y la forma de la curva de Cme a largo plazo. 
Fernández Pol páginas 77 a 83. 
 
22. Considere la funciónde producción Q= x1x22. Esta función exhibe retornos crecientes a 
escala, por lo cual no puede alcanzarse un beneficio máximo con precios constantes. Sin 
embargo, existe una combinación de factores para cualquier nivel dado de Q. Encuentre las 
funciones de demanda de los factores para un output constante (sugerencia: plantear como 
una minimización de costos). 
 
El problema que se plantea es: 
1 1 2 2
2
1 2
min
s.a.
CT w x w x
Q x x
= +
=
 
 
Por tanto, la expresión genérica del lagrangiano correspondiente queda constituida como: 
 
2
1 1 2 2 1 2( )L w x w x Q x xλ= + + − 
 
 
10 
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2
1 1 2 2 1 2
2 2
1 1 2 1 2 1 2 1
2 12
2 1 2 22 2 1 2 2 1 2
2 2
2 3 * *1 2 13 31 2 1 1 2
2 1 2
( )
0
2
22 0 2
0 4 2
4 4
L w x w x Q x x
L w x w x w w wx x
x x x wL w x x w x x
w w wQ QL Q x x Q x x x
w w wλ
λ
λ λ
λ λ
= + + −
= − = ⇒ =
= ⇒ =
= − = ⇒ = 
   
= − = ⇒ = ⇒ = ∧ =   
   
 
 
 
Tercera Parte 
 
23. La función de producción Q= Bx1α x2 β, donde B, α, β son >0. 
a) ¿Es esta una función homogénea? ¿Cuál es su elasticidad de producción? ¿Y sus 
elasticidades parciales de producción? 
b) Conteste a las mismas preguntas para las funciones de producción: 
• Q= x1x2 
• Q= x11/2x21/2 
 
Fernández Pol, página 69, están resueltos los ítem a y b. 
 
24. Pruebe que para la siguiente función Cobb Douglas Q= f(x1, x2)= K0.6L0.4 se 
cumple: 
a) Que es linealmente homogénea. 
 
La homogeneidad está dada por la suma de los exponentes de los factores. En este caso es 
igual a uno y por lo tanto es linealmente homogénea. 
 
b) El Teorema de Euler. 
 
En términos genéricos, el Teorema de Euler afirma que si una función f(x,y,z) es 
homogénea de grado n, entonces se debe cumplir que: 
 
x f f fy z nf
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
 
O bien: 
( , , ) ( , , )nf x y z f x y zλ λ λ λ= 
En el caso de nuestro ejemplo, se tiene que: 
1 2
1 2
x 1K L
f fx nf K Pmg L Pmg nQ n
x x
∂ ∂
+ = ⇒ + = ∧ =
∂ ∂
 
 
Calculando las productividades marginales de cada factor, se obtiene: 
 
 
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Microeconomía II: Solucionario Tema III 
 
 
 
 
 
 
0,6
0,4
K
L
QPmg
K
QPmg
L
=
=
 
 
Reemplazando estos valores, en la estructura para el teorema de Euler de nuestro ejemplo, 
se tiene: 
 
0,6 0,4 0,6 0,4 1K L
Q QK Pmg L Pmg nQ K L Q Q Q n
K L
+ = ⇒ + = + = ∧ = 
 
Por tanto, se cumple el Teorema de Euler. 
 
c) Que su elasticidad de producción es igual al grado de homogeneidad, y sus 
elasticidades parciales con los coeficientes. 
La elasticidad de producción es igual a la suma de las elasticidades parciales de producción. 
 
d) Que sus productos marginales, medios y su tasa marginal de sustitución son 
independientes de la escala. 
e) Su elasticidad de sustitución es constante. 
 
25. Pruebe que se cumplen las proposiciones de la a) a e) del ejercicio 23 en la siguiente 
función de producción: 
 
3 3 1 3
1 2 1 2( , ) (0,6 0,4 )Q f x x x x
− − −= = + 
 
Es una función CES, función con elasticidad de sustitución constante y linealmente 
homogénea. (ver Henderson). 
 
 
 
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Microeconomía II: Solucionario Tema III 
	SOLUCIONARIO TEMA III
	Sea la fórmula genérica de la elasticidad de producción, definida como: