D N-simas_Asqui

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMER SEMESTRE 
PARALELO ¨A¨ 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
 
BORIS JOSUE ASQUI VACA 
2020-2021
 
 
𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 
 
𝑦 = ln 𝑥 ∗ sin 𝛼𝑥 ∗ cos 𝛽𝑥 
𝑦′ =
sin 𝛼𝑥 ∗ cos 𝛽𝑥
𝑥
+ cos(𝛼𝑥) 𝛼 ∗ cos 𝛽𝑥 ∗ ln 𝑥 − sin 𝛽𝑥 ∗ 𝛽 ∗ ln 𝑥 ∗ sin 𝛼𝑥 
𝑦𝑛 = (ln 𝑥)𝑛 sin 𝛼𝑥 ∗ cos 𝛽𝑥 +
𝑛(ln 𝑥)𝑛−1(𝛼 cos 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 − 𝛽 sin 𝛽𝑥 sin 𝛼𝑥)
2!
+
𝑛(𝑛 − 1)(ln 𝑥)𝑛−2(−𝛼2 sin 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 − 𝛽𝛼 sin 𝛽𝑥 sin 𝛼𝑥 − 𝛽2 cos 𝛽𝑥 sin 𝛼𝑥 − 𝛽𝛼 cos 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑥)
3!
+ ⋯ + ln 𝑥 (sin 𝛼𝑥 ∗ cos 𝛽𝑥)𝑛 
 
 
 
 
𝑦 = 2𝑥 cos2 𝑥 
𝑦′ = 2𝑥(ln 2) cos2 𝑥 − 2 cos 𝑥 sin 𝑥 ∗ 2𝑥 
𝑦′ = 2𝑥(ln 2) cos2 𝑥 − sin 2𝑥 ∗ 2𝑥 
𝑦′′ = 2𝑥(ln 2)2 cos2 𝑥 − sin 2𝑥 2𝑥(ln 2) − 2 cos 2𝑥 2𝑥 + 2𝑥 ln 2 sin 2𝑥 
𝑦′′′ = 2𝑥(ln 2)3 cos2 𝑥 − sin 2𝑥 2𝑥(ln 2)2 − 2 cos 2𝑥 2𝑥(ln 2) − 2𝑥(ln 2)2 sin 2𝑥 + 4 sin 2𝑥 2𝑥 + 2𝑥 ln 𝑥 2 cos 2𝑥 + 2𝑥(ln 2)2 cos2 𝑥 − sin 2𝑥 2𝑥(ln 2) 
𝑦𝑛 = (2𝑥)𝑛 ∗ cos2 𝑥 + 𝑛(2𝑥)𝑛−1 sin 2𝑥 +
𝑛(𝑛 − 1)(2𝑥)𝑛−22 cos 2𝑥
2!
+
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(2𝑥)𝑛−3(−4 sin 2𝑥)
3!
+
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(2𝑥)𝑛−4(−8 cos 2𝑥)
4!
… … … … … + (2𝑥)(cos2 𝑥)𝑛 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 =
𝑥 + 1
𝑥2 − 4
 
𝑦′ =
−4 − 𝑥2 − 2𝑥
(𝑥2 − 4)2
 
𝑦′′ =
(−2𝑥 − 2)(𝑥2 − 4)2 − 2(𝑥2 − 4)(2𝑥)(−4 − 𝑥2 − 2𝑥)
((𝑥2 − 4)2)2
 
𝑦′′ =
(−2𝑥 − 2)(𝑥2 − 4) − 2(2𝑥)(−4 − 𝑥2 − 2𝑥)
(𝑥2 − 4)3
 
𝑦′′ =
2𝑥3 + 6𝑥2 + 24𝑥 + 8
(𝑥2 − 4)3
 
𝑦′′′ =
(6𝑥2 + 12𝑥 + 24)(𝑥2 − 4)3 − 3(𝑥2 − 4)2(2𝑥)(2𝑥3 + 6𝑥2 + 24𝑥 + 8)
((𝑥2 − 4)3)2
 
𝑦′′′ =
(6𝑥2 + 12𝑥 + 24)(𝑥2 − 4) − 3(2𝑥)(2𝑥3 + 6𝑥2 + 24𝑥 + 8)
(𝑥2 − 4)4
 
𝑦′′′ =
−6𝑥4 − 24𝑥3 − 144𝑥2 − 96𝑥 − 96
(𝑥2 − 4)4
 
𝑓𝑛(𝑥) = (−1)𝑛(
(𝑛 − 1)(𝑥 + 2)𝑛
(𝑥2 − 4)𝑛+1
) 
 
 
 
 
 
𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑦′′ 
𝑦 = tan(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦 
𝑦′ = sec2(𝑥 + 𝑦)(1 + 𝑦′) − 𝑒𝑥−𝑦(1 − 𝑦′) 
𝑦′ = sec2(𝑥 + 𝑦) + 𝑦′ sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦 + 𝑦′𝑒𝑥−𝑦 
𝑦′ − 𝑦′ sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑦′𝑒𝑥−𝑦 = sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦 
𝑦′(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) = sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦 
𝑦′ =
sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
 
𝑦′′ − 𝑦′′ sec2(𝑥 + 𝑦) − 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) ∗ 𝑦′ − 𝑦′′𝑒𝑥−𝑦 − 𝑒𝑥−𝑦(1 − 𝑦′) ∗ 𝑦′ = 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) (1 + 𝑦′) − 𝑒𝑥−𝑦(1 − 𝑦′) 
𝑦′′(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) = 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) ∗ 𝑦′ + 𝑒𝑥−𝑦(1 − 𝑦′) ∗ 𝑦′ + 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) (1 + 𝑦′) − 𝑒𝑥−𝑦(1 − 𝑦′) 
𝑦′′(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) = 4 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) ∗ 𝑦′ + 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦(𝑦′)2 + 𝑒𝑥−𝑦𝑦′ 
𝑦′′(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) = 4 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) ∗ (
sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
) + 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦 (
sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
)
2
+ 𝑒𝑥−𝑦 (
sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦
) 
𝑦′′(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) =
(4 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦))(sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) + 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) (1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦(sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)2(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) + 𝑒𝑥−𝑦(sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)
(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)
 
𝑦′′ =
(4 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦))(sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) + 2 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) (1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦(sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)2(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦) + 𝑒𝑥−𝑦(sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)
(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)2
 
𝑦′′ =
6 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) − 6 sec2(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) (𝑒𝑥−𝑦) − 2 sec4(𝑥 + 𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦(sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)2(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)
(1 − sec2(𝑥 + 𝑦) − 𝑒𝑥−𝑦)2
 
 
 
 
{
𝑥 = arctan(𝑡)
𝑦 = ln(1 + 𝑡3)
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1
1 + 𝑡2
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
3𝑡2
1 + 𝑡3
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
3𝑡2
1 + 𝑡3
1
1 + 𝑡2
=
3𝑡2(1 + 𝑡2)
1 + 𝑡3
 
𝑦′
𝑥
=
3𝑡2(1 + 𝑡2)
1 + 𝑡3
 
𝑦𝑥𝑥
′′ =
(𝑦𝑥
′)′𝑡
(𝑥′𝑡)
 
(𝑦𝑥
′)′𝑡 =
(6𝑡 + 12𝑡3)(1 + 𝑡3) − 3𝑡2(3𝑡2 + 3𝑡4)
(1 + 𝑡3)2
 
(𝑦𝑥
′)′𝑡 =
3𝑡6 − 3𝑡4 + 12𝑡3 + 6𝑡
(1 + 𝑡3)2
 
𝑦𝑥𝑥
′′ =
3𝑡6 − 3𝑡4 + 12𝑡3 + 6𝑡
(1 + 𝑡3)2
1
1 + 𝑡2
→ 𝑦𝑥𝑥
′′ =
(3𝑡6 − 3𝑡4 + 12𝑡3 + 6𝑡)(1 + 𝑡2)
(1 + 𝑡3)2
 
→ 𝑦𝑥𝑥
′′ =
3𝑡8 + 12𝑡5 − 3𝑡4 + 18𝑡3 + 6𝑡
(1 + 𝑡3)2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
𝑥 = acos3(𝑡)
𝑦 = asin3(𝑡)
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −3 acos2(𝑡) sin(𝑡) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3 asin2(𝑡) cos(𝑡) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
3 asin2(𝑡) cos(𝑡)
−3 acos2(𝑡) sin(𝑡)
→ 𝑦𝑥
′ = − tan(𝑡) 
𝑦𝑥𝑥
′′ =
(𝑦𝑥
′)′𝑡
(𝑥′𝑡)
 
(𝑦𝑥
′)′𝑡 = − sec2(𝑡) 
𝑦𝑥𝑥
′′ =
− sec2(𝑡)
−3 acos2(𝑡) sin(𝑡)
→ 𝑦𝑥𝑥
′′ =
sec2(𝑡)
3 acos2(𝑡) sin(𝑡)