Análisis dinámico modal espectral

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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL 
 
(Arts. 28°, 29° de la N.T - E.030) 
 
ESTRUCTURAS DE 1GDL Y SUS PARÁMETROS DINÁMICOS. - 
 
Tabla: Coeficientes de Amortiguamiento recomendados por Newmark-Hall, para diferentes 
materiales estructurales y estados de esfuerzos 
 
MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES 
MATRIZ DE MASA Y RIGIDEZ: 
 a) Sistema simplificado b) Movimiento de la Base debido a 
 No forzado de 2GDL una excitación sísmica 
 dinámicos 
 
De la figura b) aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, en ese orden, 
resulta: 
 
 
 
 
También observando la figura b), vemos que los desplazamientos absolutos y los relativos 
a la base están relacionados mediante: 
donde, para nuestro caso “i” va de 1 a 2, puesto que estamos analizando un sistema de 2 
GDL dinámicos y, derivando dos veces la ecuación anterior, tenemos: 
Al reemplazar las dos últimas ecuaciones en las dos primeras, se tiene: 
 
Luego al reordenar estas últimas ecuaciones se tiene: 
 
 
 
 
 
Matricialmente, tendremos lo siguiente: 
donde: 
Las matrices de masa y rigidez se pueden generalizar obteniéndose las siguientes 
expresiones: 
 
 
 
 
 
 
 
FRECUENCIAS Y PERÍODOS NATURALES: 
 
Basados en un sistema de 2 GDL, y con las matrices de masa y rigidez, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMAS DE MODO: 
 
Conociendo la ecuación factorizada, tenemos para (i= 1, 2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y de esta ecuación despejando para: 
 
Observando, además que x11 / x21 = constante para cualquier valor de la frecuencia. 
 
Finalmente, los modos de vibración del sistema, vendrían a ser: 
 
 
 
COMBINACIÓN MODAL 
 
En forma sintética, un esquema que contiene los pasos para realizar el Análisis modal espectral, 
estaría dado por: 
 
 
 
NORMA TÉCNICA-E.030 DISEÑO SISMORRESISTENTE 
 
Artículo 29.- Análisis Dinámico Modal Espectral 
Cualquier estructura puede ser diseñada usando los resultados de los análisis 
dinámicos por combinación modal espectral según lo especificado en este 
numeral. 
 
29.1. Modos de Vibración 
29.1.1 Los modos de vibración pueden determinarse por un 
procedimiento de análisis que considere apropiadamente las 
características de rigidez y la distribución de las masas. 
 
29.1.2 En cada dirección se consideran aquellos modos de vibración cuya 
suma de masas efectivas sea por lo menos el 90% de la masa total, pero 
se toma en cuenta por lo menos los tres primeros modos predominantes 
en la dirección de análisis. 
 
29.2. Aceleración Espectral 
29.2.1 Para cada una de las direcciones horizontales analizadas se utiliza 
un espectro inelástico de pseudo-aceleraciones definido por: 
29.2.2 Para el análisis en la dirección vertical puede usarse un espectro 
con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones 
horizontales, considerando los valore de C , definidos en el artículo 14, 
excepto para la zona de períodos muy cortos (T< 0.2 Tp) en la que se 
considera: 
 
29.3. Criterios de Combinación 
29.3.1 Mediante los criterios de combinación que se indican, se puede 
obtener la respuesta máxima elástica esperada (r) tanto para las 
fuerzas internas en los elementos componentes de la estructura, 
como para los parámetros globales del edificio como fuerza 
cortante en la base, cortantes de entrepiso, momentos de volteo, 
desplazamientos totales y relativos de entrepiso. 
 
29.3.2 La respuesta máxima elástica esperada (r) correspondiente al 
efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados 
(ri) puede determinarse usando la combinación cuadrática 
completa de los valores calculados para cada modo. 
 
 
29.3.3Donde r representa las respuestas modales, desplazamientos o 
fuerzas, los coeficientes de correlación están dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29.3.4 Alternativamente, la respuesta máxima puede estimarse mediante 
la siguiente expresión: 
 
29.4. Fuerza Cortante Mínima 
29.4.1 Para cada una de las direcciones consideradas en el análisis, la 
fuerza cortante en el primer entrepiso del edificio no puede ser menor que 
el 80% del valor calculado según el artículo 25 para estructuras regulares 
ni menor que el 90% para estructuras para estructuras irregulares. 
 
29.4.2 Si fuera necesario incrementar el cortante para cumplir los mínimos 
señalados, se escalan proporcionalmente todos los otros resultados 
obtenidos excepto los desplazamientos. 
 
29.5. Excentricidad Accidental (Efectos de Torsión) 
La incertidumbre en la localización de los centros de masa en cada nivel 
se considera mediante una excentricidad accidental perpendicular a la 
dirección del sismo igual a 0.05 veces la dimensión del edificio en la 
dirección perpendicular a la dirección de análisis. En cada caso se 
considera el signo más desfavorable. 
 
 
 
EJEMPLO. - CALCULAR LOS MODOS DE VIBRACIÓN Y SUS RESPECTIVAS 
FRECUENCIAS ANGULARES PARA EL EDIFICIO DE 3 PISOS QUE SE 
MUESTRA. 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO. – 
 
 
Se pide: 
1.- Calcular la excentricidad accidental, masas a nivel de entrepisos y factor de escala. 
2.- Al menos ocho (8) Periodos de Vibración, (SAP2000). 
3.- Efectuar el control de desplazamientos laterales para ambas direcciones. 
4.- Determinar las fuerzas laterales internas máximas, indicando los elementos en los cuales 
surgen dichas fuerzas internas. 
 
SOLUCIÓN 
 
1.- Excentricidad accidental, masas a nivel de entrepisos y factor de escala: 
 
 Tendremos: 
 
 
 
 
 ii) MASAS A NIVEL DE ENTREPISO Y FACTOR DE ESCALA 
 
2.- PERIODOS DE VIBRACIÓN 
 
3.- CONTROL DE DESPLAZAMIENTOS LATERALES 
 
 
4.- FUERZAS INTERNAS MÁXIMAS