Temas 3 y 4_MRU y MRUV

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Tema 3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) 
 
 
Decimos que un móvil está animado con movimiento uniforme cuando recorre "distancias iguales" en "tiempos 
iguales". 
 
En estas condiciones podemos asegurar que la "distancia recorrida" es directamente proporcional al "tiempo 
empleado en recorrerla". En símbolos: 
 
 
d = x  t 
 
 
Dado que son directamente proporcionales, la razón entre ellas da siempre una constante: tecons
t
tan
x
=


 
 
Esta constante es la velocidad del movimiento: 
t
v


=
x
 
 
Entonces concluimos : en un movimiento uniforme la velocidad (como vector!) es constante 
 
 
 
Se trata sencillamente de un movimiento uniforme, experimentado por un móvil, que describe una "trayectoria recta" 
Y por tratarse de un movimiento uniforme su velocidad es constante : v = cte. 
La gráfica de la velocidad respecto del tiempo en una recta paralela al eje de los tiempos 
 
 
La gráfica indica, que cualquiera sea el instante de tiempo 
que consideremos, la velocidad tendrá siempre el mismo 
valor v. 
 
 
 
 
El área encerrada entre el gráfico de velocidad y el eje de los tiempos, entre los instantes t1 y t2 , representa el 
desplazamiento experimentado por el móvil en el intervalo de tiempo t = t2 - t1 . 
 
El área rayada es la de un rectángulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : distancia recorrida 
 
 : directamente proporcional 
 
t : intervalo de tiempo 
 v [ m/s ] 
t [ s ] 
 v 
 v [ m/s ] 
t [ s ] 
 v 
x 
 
 t1 t2 
área = x 
área = base . altura 
base = t2 - t1 
 
altura = v 
área = ( t2 - t1 ) . v 
Entonces : ( ecuación de desplazamiento ) x = v . ( t2 - t1 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pero si queremos averiguar la posición x2 que ocupa en el instante t2 , necesitamos saber una posición de referencia 
de algún instante anterior, por ejemplo x1 en el instante t1. 
 
A partir de la ecuación de desplazamiento : x = v . ( t2 - t1 ) 
 
 que en función de las posiciones podemos expresarlo x = x2 - x1 
 
 entonces x2 - x1 = v . ( t2 - t1 ) 
 
Despejamos x2 : 
 
 
 
 
Con esta ecuación podemos averiguar la posición del móvil en cualquier instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La pendiente de la recta de posición es la tangente del ángulo que dicha recta forma con el eje de los tiempos. Y esta 
pendiente es la velocidad del móvil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Origen de referencia 
Dirección del 
desplazamiento 
 x1 ; t1 x2 ; t2 
x = x2 - x1 = v . ( t2 - t1 ) 
 v v 
x2 = x1 + v . ( t2 - t1 ) 
 
( ecuación de posición ) 
 t [ s ] 
X [ m ] 
x1 
x2 
 t2 t1 
La gráfica de la ecuación de posición, 
respecto del tiempo, es una recta. 
 
tg  = v 
  
 t [ s ] 
X [ m ] 
x1 
x2 
 t2 t1 
x = x2 - x1 
t = t2 - t1 
21
12
tt
xx
tg
−
−
= 
t
xtg

= 
 
 
Composición de movimientos 
 
Supongamos que un cuerpo se encuentra sometido simultáneamente a la acción de dos agentes que le imprimen las 
velocidades 1v
→
 y 2v
→
. La velocidad del movimiento resultante que en definitiva adquiere el cuerpo es la suma vectorial 
de las velocidades de los movimientos componentes, o sea: 
 
→
v = 1v
→
 + 2v
→
 
 
Por ejemplo, supongamos un hombre que cruza un río en bote como se muestra en la figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lo destacable es que el botero llegará a la otra orilla en un tiempo t , el mismo tiempo t que tardaría si las aguas del 
río estuvieran en reposo. Un movimiento no interfiere sobre el otro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
En conclusión "la composición de dos movimientos uniformes da lugar a otro movimiento uniforme". 
 
Cualquiera sea la dirección de las velocidades que compongan al movimiento, la velocidad resultante será siempre la 
suma vectorial de las velocidades componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rv
→ 
bv
→
 
→
v El bote es arrastrado por la corriente con una 
velocidad rv
→
 (cte.), al tiempo que el botero 
le imprime una velocidad bv
→
(cte.). La velo-
cidad resultante será : 
rb vvv
→→→
+= 
rv
→ 
bv
→
 
→
v Siendo las velocidades rv
→
 y bv
→
 constantes, entonces la velocidad resul-
tante 
→
v es también constante. Con lo cual el movimiento resultante es un 
movimiento rectilíneo uniforme de velocidad 
→
v . 
 
Tema 4. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) 
 
Consiste en un movimiento, de trayectoria rectilínea, en donde su aceleración es constante. 
 
a = cte 
 
La gráfica de la aceleración, respeto del tiempo, es una línea recta paralela al eje de los tiempos. 
 
 
 
La gráfica indica, que cualquiera sea el instante de tiempo que 
consideremos, la aceleración tendrá siempre el mismo valor a. 
 
 
 
 
 
El área encerrada entre el gráfico de aceleración y el eje de los tiempos, entre los instantes t1 y t2 , representa la 
variación de velocidad experimentada por el móvil en el intervalo de tiempo t = t2 - t1 . 
 
El área rayada es la de un rectángulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta ecuación indica en cuanto se ha incrementado (o disminuido) la velocidad del móvil. 
 
Teniendo en cuenta que v es el resultado de la resta entre la velocidad final y la inicial : v = vf - vi , hacemos 
 
v = a . ( t2 - t1 ) 
 
vf - vi = a . ( t2 - t1 ) 
 
Despejamos vf : 
 
 
 
 
 
Esta última ecuación permite calcular la velocidad del móvil en cualquier instante tf siempre que sepamos el valor de 
velocidad en cualquier otro instante. 
área = v 
área = base . altura 
base = t2 - t1 
 
altura = a 
área = ( t2 - t1 ) . a 
Entonces : ( ecuación de variación de velocidad ) v = a . ( t2 - t1 ) 
vf = vi + a . ( t2 - t1 ) 
 
(ecuación de velocidad instantánea) 
 a [ m/s2 
] 
t [ s ] 
 a 
v 
 
 t1 t2 
 a [ m/s2 
] 
t [ s ] 
 a 
 
 
 
 
 
La gráfica de la velocidad instantánea, en función del tiempo, 
es una recta 
 
 
 
 
 
La pendiente de la recta de velocidad es la tangente del ángulo que dicha recta forma con el eje de los tiempos. Y esta 
pendiente es la aceleración del móvil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El gráfico de la ecuación vf = vi + a . ( t2 - t1 ) puede tener pendiente positiva o negativa, según los casos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que hablemos de una aceleración "positiva" no implica precisamente que el movimiento sea acelerado, es decir que el 
móvil incremente su velocidad. 
Análogamente que un móvil posea aceleración "negativa" no implica que el movimiento sea retardado, o sea que su 
velocidad vaya disminuyendo. 
Estas situaciones que resultan difíciles de interpretar intuitivamente, resultan fáciles de entender por medio de un 
análisis vectorial 
 t [ s ] 
 v [ m/s ] 
 vi 
 vf 
 t2 t1 
  
 t [ s ] 
v [ m/s ] 
vi 
vf 
 t2 t1 
v = vf - vi 
t = t2 - t1 
tg  = a 
21
if
tt
vv
tg
−
−
= 
t
vtg

= 
 v [ m/s ] 
 t [ s ] 
 
  
  
tg  = cte. 
 v [ m/s ] 
 t [ s ] 
 
  
  
tg  = cte. 
Pendiente positiva  aceleración positiva Pendiente negativa  aceleración negativa 
 
Este análisis consiste en representar en una recta al objeto en movimiento (ya que es un movimiento rectilíneo); y sobre 
él representar a los vectores velocidad y aceleración. 
 
Luego debe efectuarse análisis vectorial correspondiente, teniendo en cuenta que: 
 
a) 
→→
ayv i de igual sentido → movimiento acelerado 
b) 
→→
ayv i de distinto sentido → movimiento retardadoVolviendo al gráfico de velocidad, agreguemos que, en un intervalo de tiempo, el área encerrada entre el gráfico de 
velocidad y el eje de los tiempos (en el intervalo de tiempo considerado) es igual al desplazamiento efectuado por el 
móvil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→
a 
→
a 
 o 
 o 
 o 
 o 
→
a 
iv
→
 
iv
→
 
iv
→
 
→
a iv
→
 
( + ) 
 a > 0 
 vi > 0 
Mov. acelerado 
 a < 0 
 vi > 0 
Mov. retardado 
 a > 0 
 vi < 0 
Mov. retardado 
 a < 0 
 vi < 0 
Mov. acelerado 
 t [ s ] 
 v [ m/s ] 
 vi 
 vf 
 tf ti 
 
x 
 t [ s ] 
 v [ m/s ] 
 vi 
 vf 
 tf 
 
 ti 
 
El área obtenida es un trapezoide 
 
 
 
 
Para calcular su área se divide en 
figuras regulares a las que se les 
calcula el área y luego se suman 
 
 
 
 
área = área + área 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta que 
t
va

=  t.av = 
 
Sustituyendo la expresión de v en la ecuación del área del triángulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumamos las áreas 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto 
 
 
 
 
 
Si queremos obtener la ecuación de posición del móvil, hacemos : x = xf - xi 
 
 
2
i ta2
1tvx += 
 
2
iif ta2
1tvxx +=− 
Despejamos xf 
 
 
 
( ) ( )
2
t.v
2
tt.vv
2
base.altura
área ifif

=
−−
== 
( ) ( )
2
t.v
2
tt.vv
2
base.altura
área ifif

=
−−
== 
área = altura . base = vi . ( tf - ti ) = v . t 
área = vi . t 
2
2
ta
2
1
2
t.a
2
t.t.a
2
t.v
área =

=

=

= 
( ) ( )
2
t.v
2
tt.vv
2
base.altura
área ifif

=
−−
== 
ta
2
1área = 
área = área + área 
área = 
2
i ta2
1tv + 
2
i ta2
1tvx +=
 
Ecuación de desplazamiento 
2
iif ta2
1tvxx ++= Ecuación de posición 
 
 
 
 
 
La gráfica de la ecuación de posición es una parábola. 
 
 
 
 
 
 
La "pendiente" de "la recta tangente" a un punto ( t ; x ) de la gráfica da la velocidad instantánea que el móvil tiene en 
el instante t (cuando ocupa la posición x ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para saber, a partir de una gráfica, si el movimiento es acelerado o retardado se debe : 
1°) analizar si la gráfica es inyectiva en todo el intervalo de tiempo definido. 
2°) si no lo es se analiza por separado los intervalos en donde resulta inyectiva 
 
Por ejemplo : si la gráfica del movimiento es la siguiente 
 
 
 
Se ve que la misma no es inyectiva en el intervalo 
comprendido entre t1 y t2 . 
 
 
 
 
 
 
Pero existe en esta situación un instante de tiempo t' 
entre t1 y t2 , de modo que la gráfica entre t1 y t' es 
inyectiva, al igual que entre t' y t2 . 
 
 
 
 
 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 xi 
 xf 
 tf ti 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 x1 
  
 t1 
tg  = v1 
 
v1 : velocidad instantánea en el instante t1 ( cuando el 
móvil ocupa la posición x1 ) 
 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 x1 
  
 t1 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 t1 t2 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 t1 t2 t' 
 
Podremos analizar así la gráfica por separado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparamos en cada caso la variación de las pendientes de las rectas tangentes en dos puntos, en cada intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces, dado que se trata del análisis de un movimiento, y no de dos, unificamos los dos gráficos (que es el mismo 
pero analizado por partes) y de esta manera integramos el análisis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 t1 t2 t' 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 t1 t2 t' 
  
  
 p 
 k 
Se ve que: 
 
tg  > tg  
 
 vp > vk 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 t1 t2 t' 
  
  
  
  
 p 
 k 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 t1 t2 t' 
En este caso se ve que la inclinación de la recta 
en m (tg ) es mayor que en z (tg );pero 
negativamente, o sea que en valor absoluto: 
 
tg  > tg  
 
 
 vm  > vz  
 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 t1 t2 t' 
  
  
m 
z 
 
Velocidad en función de la posición 
 
De las ecuaciones de aceleración y de desplazamiento 
 
 
t
va

= 
 
2
i ta2
1tvx += 
 
Si de la ecuación de aceleración despejamos t y la sustituimos en la ecuación de desplazamiento, se obtiene : 
 
xa2vv
2
i
2
f += 
 
o lo que es lo mismo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)xx(a2vv if
2
i
2
f −+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
 t1 t2 
 a [ m/s2 
] 
t [ s ] 
 a 
 t [ s ] 
 v [ m/s ] 
 vi 
 vf 
 tf ti 
 
x 
 t [ s ] 
 x [ m ] 
 x1 
  
 t1 
tg  = v1 
 
 
  
 t [ s ] 
v [ m/s ] 
vi 
vf 
 t2 t1 
v = vf - vi 
t = t2 - t1 
tg  = a 
 v [ m/s ] 
t [ s ] 
 v 
x 
 
 t1 t2 
  
 t [ s ] 
X [ m ] 
x1 
x2 
 t2 t1 
x = x2 - x1 
t = t2 - t1 
M R U M R U V 
tg  = v