APUNTES DE CLASE ELASTICIDAD 01

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Mg. Luis Alberto Bolarte Canals 
 Física II 2020 - I 
 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
 
FÍSICA II 
 
1. APUNTES DE CLASE - 1: ELASTICIDAD 
 
1.1. ELASTICIDAD 
 
 podemos establecer que la elasticidad estudia la relación que debe existir 
entre las fuerzas y las deformaciones; en particular en los llamados cuerpos 
elásticos. 
 
Los cuerpos en general pueden experimentar cambios de forma o de volumen; 
es decir la deformación de estructuras por estiramiento, compresión, flexiones, 
retorceduras, etc., debido a la acción de fuerzas implica la aparición de los 
llamados esfuerzos (diferentes tipos) que pueden llevar a la estructura hasta la 
ruptura. 
 
Estableciéndose diferentes tipos de elasticidad en los cuerpos donde se 
aplican las fuerzas para: 
 
1.1.1. Cuerpo elástico. 
 
Se produce cuando al desaparecer las fuerzas o momentos (torques) 
exteriores, estos recuperan su forma o tamaño original antes de 
aplicarlas. 
 
1.1.2. Cuerpo inelástico. 
 
Es aquel en donde al desaparecer las fuerzas o momentos aplicados no 
recuperan su forma o tamaño original. 
 
1.1.3. Cuerpo plástico. 
 
Ocurre cuando las fuerzas aplicadas son grandes y al cesar estas 
fuerzas el cuerpo no retorna a su estado inicial y experimenta una 
deformación permanente. 
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1.2. ESFUERZO O TENSIÓN 
 
El esfuerzo o tensión en un punto lo definiremos como el valor límite de la 
fuerza por unidad de área, cuando ésta tiende a cero; es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: Para definir el vector esfuerzo, se tiene que especificar 
su magnitud, dirección y el plano sobre el que actúa. Pero para evitar eso, 
hablamos simplemente del estado tensional de un punto, o esfuerzo en 
un punto. 
 
 
1.3. ESFUERZO NORMAL 
 
Sabemos que el esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área a la 
cual se le aplica y es causante de la deformación. Si la fuerza está haciendo 
un ángulo con respecto a la normal a la superficie, entonces esta fuerza se 
descompone en una perpendicular a la superficie y la otra tangente a la 
superficie. De tal forma que los esfuerzos con dirección normal se denominan 
como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección 
(área o superficie), tratando de estirar la sección, y como esfuerzo de 
compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar a dicha 
sección. 
El esfuerzo con dirección paralela o tangente a la superficie, representa un 
esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar la sección, tal como si 
fuera una tijera. Las unidades de los esfuerzos son las de las fuerzas por 
unidad de área (en ambos casos). La unidad en el s.I es el Pascal: 
 
 
 
 
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1.4. DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL 
 
Si tenemos una barra de longitud L y le aplicamos una fuerza de tracción F, la 
barra sufre un alargamiento ∆L. Definimos el alargamiento o deformación 
longitudinal como: 
 
 
 
 
 
 
Siendo la deformación longitudinal la variación relativa de la longitud. 
Definimos el coeficiente de rigidez como: 
 
 
 
 
 
 
Donde el coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su 
temperatura y presión y, en algunos casos, de la dirección en la que se 
deforma(anisotropía) 
 
 
1.5. LEY DE HOOKE 
 
En el curso de Física I, se vio que cuando estiramos o comprimimos un muelle 
o resorte, la fuerza recuperadora es directamente proporcional a la 
deformación o elongación X, la cual representa el cambio de longitud X 
respecto a la posición de equilibrio. Es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
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Siendo K una constante de proporcionalidad, denominada constante de 
elasticidad del muelle, el signo menos se debe a que esta fuerza recuperadora 
está en dirección contraria a la deformación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego si realizamos una gráfica F vs X, tenemos: 
 
 
 
 
ENERGÍA POTENCIAL 
 
 EP = ÁREA DEL TRIANGULO 
 
 
 
 
 
 
TRABAJO 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.6. DEFORMACIÓN POR TRACCIÓN O COMPRESIÓN. MÓDULO 
DE YOUNG O MÓDULO DE ELASTICIDA (E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Este módulo de elasticidad se define como: 
 
 
 
 
 
 
 La unidad del módulo de Young en nel SI es el Pa. El valor del módulo de Young 
 Sólo depende de la naturaleza del material y no de sus dimensiones, como 
sucede con la Ley de Hooke. Por lo que este módulo es muy importante para 
conocer el comportamiento mecánico de los materiales. 
 
1.7. MÓDULO VOLUMÉTRICO DE ELASTICIDAD ( B ) 
 
Este módulo describe la elasticidad volumétrica que experimenta un material. 
Si suponemos una fuerza de comprensión, la cual se encuentra uniformemente 
distribuida, y que actúa sobre la superficie de un objeto, la cual está aplicada 
de tal forma que es perpendicular a la superficie en todos los puntos. Entonces 
si F es una fuerza que actúa sobre y perpendicularmente a una superficie A, 
se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A hora si tenemos que la presión sobre un cuerpo de volumen inicial V0 se 
incrementa en una cantidad ∆𝐏. Este incremento en la presión origina por lo 
tanto un cambio de volumen ∆𝐕 donde este cambio de volumen es negativo. 
Por lo que definimos: 
 
Por lo tanto: 
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𝑫𝒆𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 =
𝑬𝒔𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐
𝑫𝒆𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 1.8 COMPRESIVILIDAD ( k ) 
 
 La compresibilidad es el recíproco del módulo de Young y está dado por: 
 
 
 
 
 
 
1.9. MÓDULO DE CORTE ( O CORTANTE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este módulo describe la elasticidad de la forma de un material. En la figura, si las 
fuerzas son lo suficientemente pequeñas como para que obedezca la ley de Hooke, 
la deformación por corte es proporcional al esfuerzo de corte. Luego el módulo de 
elasticidad correspondiente es el módulo de corte S, denotándose de la forma: 
 
 
 
 
 
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Observación: S generalmente suele ser de un tercio del valor del módulo de Young 
E para el esfuerzo de tensión. Debemos tener en cuenta que los conceptos de 
esfuerzo de corte, deformación por corte y módulo de corte únicamente son aplicables 
a materiales sólidos. La razón de esto, es que las fuerzas de corte que aparecen en 
la figura anterior deben deformar el bloque sólido y cuando las fuerzas dejan de actuar 
el bloque sólido tiende a regresar a su forma original. En cambio en los líquidos y 
gases no tienen forma definida. 
 En la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 Ya que 𝚫𝐋 generalmente es muy pequeño, la razón 𝚫𝐋 𝐋𝟎⁄ es aproximadamente igual 
 al ángulo de corte 𝛄 en radianes, se tiene: 
 
 
 
 
2. ASPECTOS COMPLEMENTARIOS 
 
2.1. RELACIÓN ESFUERZO – DEFORMACIÓN 
 
LEY DE HOOKE 
 
Para materiales sometidos a esfuerzos tensionales, a relativamente a bajos 
niveles, esfuerzo y deformación son proporcionales 
 
 
 
 
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COEFICIENTE DE POISSON 
 
 
 Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo de tensión, se crea una 
 deformación acompañante en la mismadirección. Como resultado de esta 
 elongación, habrá constricciones en las otras dos direcciones, y el coeficiente 
 de Poisson 𝛎, es la relación de las deformaciones lateral o transversal con la 
 axial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NNETH 
 
 
 
 
 FUENTE: John D. Cutnell /Kenneth W. Johnson. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUENTE: John D. Cutnell /Kenneth W. Johnson. 
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3. PROBLEMAS RESUELTOS DE CLASE 
 
 
1. Determinar la deformación producida en una barra como la que se muestra en la figura, 
debido a su peso propio de la barra de longitud L, sección transversal A, modulo de 
Young E (módulo de elasticidad) y densidad ρ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solución 
 
 ∎ W∗ = m∗g = ρV∗g = ρAyg = ρgAy 
 ∎ WB = m g = ρVg =∙ ρALg = ρgAL 
 ∎ Si la longitud de la barra es L, entonces 
 su deformación será ∆L. 
 ∎ Luego la deformación del elemento 
 diferencial dy debido al peso 𝑊∗, es 
 
d(∆L) =
W∗dy
E A
=
ρAg
E A
ydy = ( 
ρ g
E 
 ) ydy 
 
L = ∫ d(∆L) =
ρ g
E 
 ∫ y dy
L
0
¿L =
1
2
( 
ρ g
E
 ) L2 =
1
2
 
(ρ g A L)
A E
L 
 
∆𝐿 =
1
2
( 
𝑊𝐵
𝐴 𝐸
 ) 𝐿 
 
 
 
 
 
2. Con los mismos datos del problema 1. Encuentre la deformación producida, si el peso 
de toda la barra estuviera concentrado en la parte superior de toda la barra. ( Ejercicio 
para ser resuelto por los estudiantes) 
 
3. Una barra uniforme de longitud L, como la mostrada en la figura, de área de sección 
recta A, densidad ρ, módulo de Young E. Se encuentra en un plano horizontal liso y 
se tira de ella con una fuerza de magnitud constante F. ¿Cuál es el alargamiento total 
de la barra a consecuencia de la aceleración con la cual es imprimida? 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 ∎ Si m es la masa de toda la barra: m = ρAL 
 dx y dm = ρ A dx 
 
∎Hcemos un diagrama de cuerpo libre: 
¿ 
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∎Como dm se mueve con una aceleración a debido a Fdx = F1 − F2, entonces: 
 
d(∆L ) =
F2 dx
E A
 y ∆L = ∫ d(∆L)
L
0
 
 
∎Luego como F2 = m
∗a, m∗ = ρ A x y a =
F
m
=
F
ρ A L
, tenemos 
 
F2 = ρ A x ( 
F
ρ A L
 ) = F ( 
x
L
 ) 
 
d(∆L) = (
F
E A L
) x dx 
 
∆𝐿 = ∫ 𝑑(∆𝐿) = ∫ ( 
𝐹
𝐸 𝐴 𝐿
 ) 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
∆L =
1
2
( 
F L
E A
 ) 
 
4. Se tiene una columna cilíndrica de largo L, sección transversal A, densidad ρ, módulo 
de Young E. La cual se jala sobre un piso horizontal liso. Determine cuanto se estira 
el cilindro (ejercicio para ser resuelto por los estudiantes). 
 
 
 
 
 
 
5. Un alambre de metal de 75 cm de longitud y 0,13 cm de diámetro se alarga 0,035 cm 
cuando se le cuelga una carga de 8 kg en uno de sus extremos. Determine el esfuerzo, 
la deformación y el módulo de Young para el material del alambre. 
(g = 9,81 m/s2) 
 
Solución: 
 
σ =
F
A
=
8 kg × 9,81 m s2⁄
π × (6,5 × 10−4m)2
= 5,91 × 107Pa 
 
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ε =
∆L
L0
=
0,035 cm
75 cm
= 4,67 × 10−4 
 
E =
σ
ε
=
5,91 × 107
4,67 × 10−4
= 1,27 × 1011Pa = 127 GPa 
 
 
6. Una columna cilíndrica de acero tiene 4 m de largo y 9 cm de diámetro. ¿Cuál será 
su decremento en longitud cuando soporta una carga de 80 000 kg? 
(E = 1,9 × 1011Pa) 
 
Solución: 
 
∆L =
F L0
A E
= 2,6 × 10−3m = 2,6 mm 
 
7. En un acto de circo, se realiza la pirámide humana, en donde un acróbata lleva seis 
personas sobre sus hombros. Estas personas en total hacen un peso de 4 200 N. La 
longitud de cada fémur del acróbata mide 0,55 m y su sección transversal efectiva es 
7,7 x 10 -4 m2. Determine la cantidad que se comprime cada fémur bajo el peso que está 
soportando de más. 
 
Solución: 
 
 ∎ Del dato del peso total, cada fémur de sus extremidades soportará un peso igual al 
 a la mitad del peso que lleva sobre sus hombros, o sea 2 100 N. Por otra parte 
como como sus fémures se están comprimiendo, entonces de la tabla 1 el módulo 
de Young, será 9,4 x 109 N/m2. 
 
 ∎ Luego se tiene que la cantidad que se comprime cada fémur será: 
 
 
∆L =
F L0
E A
= 1,6 × 10−4𝑚 
 
 
 
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8. Una viga de acero que mide 9,8 m de longitud y tiene una sección transversal de 0,10 
m2 se utiliza en el afirmado de un puente. La viga se ensambla sobre dos soportes de 
concreto, como se muestra en la figura y se ajusta perfectamente, sin dejar ningún 
espacio para su dilatación. En respuesta a un aumento de 19 0C de temperatura, la viga 
se dilata 2,2 mm en caso de poder hacerlo. ¿Qué fuerza de comprensión deben 
proporcionar los soportes de concreto para evitar que se presente esta pequeña 
dilatación? 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F = E ( 
∆L
L0
 ) A = 2 × 1011 N m2 ×⁄ (
2,2 × 10−3m
9,8 m
) × 0,10m2 
 
F = 4,5 × 106 N 
 
9. El módulo de comprensibilidad del mercurio es 0,3 x 106 kp/cm2. Calcular la 
contracción que experimenta un volumen de 1 500 cm3 de mercurio al someterlo a 
una presión de 15 kp/cm2. 
 
Solución: 
 
∆V =
V ∆P
B
=
1 500 cm3 × 15 kp cm2⁄
0,3 × 106 kp cm2⁄
= 0,075 cm3 
 
 
 
 
 
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10. Si un paralelepípedo como el mostrado en la figura, se encuentra hecho de un material 
cuyo módulo de Young es E y constante de Poisson σ. Determine el valor de ∆𝑉 𝑉.⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
∎ Como la fuerza de magnitud F comprime al paralelepípedo entonces: 
 
∆L
L
= −
F
E A
 y como 
∆a
a
=
∆b
b
= −σ( 
∆L
L
 )= σ( 
F
E A
 ) 
 
∎ Por otra parte sabemos que: 
∆𝑉
𝑉
=
∆𝐿
𝐿
+
∆𝑎
𝑎
+
∆𝑏
𝑏
, entonces reemplazando 
 
∆𝑉
𝑉
= −
𝐹
𝐸 𝐴
+ σ ( 
F
E A
 ) + σ( 
F
E A
 ) 
 
∆V
V
= −
F
E A
(1 − 2σ)