PPT - CLASE TEÓRICA 03 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
FÍSICA II
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA
Mg. Luis Alberto Bolarte Canals
2020 – I 
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
Habíamos visto que en el M.A.S:
A hora en el M.A.A:
 Introducimos una fuerza adicional de 
 viscosidad
Donde, una solución de esta ecuación diferencial, es de la forma:
Además:
 
Por otra parte:
Factor de amortiguamiento:
Frecuencia propia del oscilador:
 
Podemos entonces reescribir nuestra ecuación diferencial como:
Tenemos una ecuación diferencial de segundo orden homogénea. Para obtener la solución general de la ecuación, se prueba soluciones de la forma: 
Obteniéndose la ecuación característica:
 
Que tiene como soluciones:
OSCILACIONES AMORTIGUADAS:
 
 (Movimiento seudoperiódico)
 
2. AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO:
En este caso se tiene que y se tiene un movimiento aperiódico.
3. MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO:
( Tiene un movimiento Aperiódico)
1. OSCILACIONES AMORTIGUADAS: 
Definido:
Tenemos que
 
Con lo cual
Por lo que la solución general es de la forma:
La cual también puede expresarse como
Por lo tanto
2. AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO: 
Para este caso es una raíz doble por lo que es una solución particular de la ecuación diferencial. Por lo que necesitamos otra solución, la cual será de la forma:
Con lo cual, la solución general de la ecuación de movimiento será:
Utilizando las condiciones iniciales:
 
Por lo cual
En donde el tiempo requerido para acercarse a una distancia dada del punto de equilibrio es mínimo.
3. SOBREAMORTIGUAMIENTO: 
Para este caso tenemos que:
Con lo que la solución general de la ecuación diferencial es de la forma:
Donde es la frecuencia angular, el movimiento no es periódico, sino que tiende asintóticamente hasta la posición de equilibrio. Luego la velocidad es:
Los parámetros se determinan en función de las condiciones iniciales:
Por lo que:
OSCILACIONES FORZADAS
Como en los casos anteriores en el oscilador amortiguado se produce una pérdida de energía, lo cual provoca que el sistema se detenga.
Para evitar esto, consideremos que sobre el sistema actúa una fuerza externa, la cual se encarga de compensar estas pérdidas de energía.
Por lo que nuestra ecuación diferencial tendrá la forma:
 
Donde F(t) es la fuerza externa o también llamada fuerza impulsora, la cual se encarga de contrarrestrar el efecto de la fuerza de amortiguamiento.
Como ejemplo de fuerza impulsora, consideremos una fuerza armónica, es decir, 
 
Si consideramos el caso de un amortiguamiento débil, esto es para:
Entonces la solución de la ecuación diferencial homogénea será de la forma:
cos(
Siendo 
Luego la solución particular de la ecuación diferencial es:
Siendo 
Para una fuerza impulsora de tipo armónico, se tiene:
Donde y son dos constantes que dependen de la amplitud de la fuerza impulsora, de su frecuencia, del factor de amortiguamiento y de la frecuencia del oscilador libre.
Por lo que la solución general de la ecuación diferencial, será:
P.T 
P.E
Para obtener la forma de la parte estacionaria de la solución de la ecuación de movimiento del oscilador forzado, utilizaremos los números complejos.
Consideremos una solución de la forma:
Siendo A un número complejo de la forma:
Luego tenemos que:
 
 
 
Luego la solución de la ecuación de movimiento será:
 representa el el desfase entre la fuerza impulsora y el desplazamiento. Para un y un dados se tiene:
 .
 
RESONANCIA
MUCHAS GRACIAS
QUE PASEN UN BONITO DÍA
Mg. Luis Alberto Bolarte Canals
«El misterio es la cosa más bonita que podemos experimentar. Es la fuente de todo arte y ciencia verdadera».
Albert Einstein