Inestabilidad-de-flujos-barotropicos-sobre-una-esfera-en-rotacion

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE 
MÉXICO 
 
 
 
 
 
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS DE LA TIERRA 
 
 
 
INESTABILIDAD DE FLUJOS BAROTRÓPICOS SOBRE 
UNA ESFERA EN ROTACIÓN 
 
 
 
T E S I S 
 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
 
M A E S T R O E N C I E N C I A S 
 
(MODELACION MATEMATICA Y COMPUTACIONAL 
DE SISTEMAS TERRESTRES) 
 
P R E S E N T A 
 
ARTURO HERNANDEZ ROSALES 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: DR. IOURI N. SKIBA 
 
 
 
 
 
 
 
 MÉXICO D. F. JUNIO DE 2011 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
C O N T E N I D O G E N E R A L 
 
1. Resumen --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 
2. Introducción ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 
3. Ondas Rossby ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10 
4. Ecuación de Vórticidad en el plano -------------------------------------------------------------- 12 
5. Ecuación de Vórticidad Barotrópica sobre una esfera en rotación ------------ 15 
6. Ecuaciones para derivar funciones asociadas de Legendre ------------------------ 17 
7. Polinomios de Legendre ------------------------------------------------------------------------------- 21 
a) Propiedades de los Polinomios de Legendre ------------------------------------ 23 
8. Funciones asociadas de Legendre ( )μmnP --------------------------------------------------- 24 
a) Propiedades de las Funciones Asociadas de Legendre-------------------- 25 
9. Armónicos esféricos sobre una esfera ----------------------------------------------------- 27 
10. Inestabilidad de flujos cortantes para un fluido homogéneo sobre un plano 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 31 
a) Teorema de Squire ----------------------------------------------------------------------------- 33 
b) Ecuación de Orr-Sommerfeld ------------------------------------------------------------- 34 
c) Inestabilidad de flujos paralelos no viscosos ----------------------------------- 35 
d) Puntos de inflexión y criterio de Rayleigh ----------------------------------------- 36 
e) Teorema de Fjörtoft --------------------------------------------------------------------------- 37 
11. Inestabilidad de flujos barotrópicos sobre una esfera ----------------------------- 39 
a) Condición de Rayleigh-Kuo -------------------------------------------------------------------- 40 
12. Ley de conservación para perturbaciones de un polinomio de Legendre --- 42 
 1
13. Ley de conservación para perturbaciones de una onda Rossby-Haurwitz de 
orden ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 44 n
14. Inestabilidad de un flujo en forma de un polinomio de Legendre por el 
método de modos normales -------------------------------------------------------------------------- 48 
15. Inestabilidad de una onda Rossby-Haurwitz por el método de modos 
normales -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 51 
16. Inestabilidad de Liapunov de una onda no zonal de Rossby-Haurwitz -------- 54 
17. Estimación de la tasa máxima de crecimiento de modos inestables para 
una onda Rossby-Haurwitz y un flujo polinomial de Legendre -------------------- 57 
18. Ortogonalidad del modo inestable para una onda Rossby-Haurwitz ---------- 62 
19. Condiciones de inestabilidad lineal de un flujo )()(~ 0 μμψ naP= y una onda 
 Rosbby-Haurwitz ----------------------------------------------------------------------------------------- 64 
20. Experimentos numéricos ------------------------------------------------------------------------------ 68 
 a) Flujo básico en la forma de un polinomio de Legendre ----------------------------- 71 
 b) Flujo básico en la forma de una onda Rossby-Haurwitz ----------------------------- 80 
21. Conclusiones ----------------------------------------------------------------------------------------------- 88 
22. Referencias Bibliográficas ------------------------------------------------------------------------- 92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
A g r a d e c i m i e n t o s 
 
 
A mi Tutor, Dr. Iouri N. Skiba por otorgarme conocimiento, tiempo y consejo. 
 
Especialmente agradezco a los miembros del jurado: 
Dr. IOURI N. SKIBA 
Dr. ISMAEL PEREZ GARCIA 
Dra. VALENTINA DAVYDOVA VELITSKAYA 
M.C. ALEJANDRO MARTINEZ ZATARAIN 
M.C. LEODEGARIO SANSON REYES 
 
por las sugerencias y comentarios que enriquecieron este trabajo. 
 
Así también, quiero agradecer a mis padres Carmela Rosales Duran y Sidronio 
Hernández Rojas que me dieron vida, comprensión y cariño, a mis hermanas Lucia 
Hernández Rosales y Ausencia Hernández Rosales por su apoyo incondicional, a mi 
gran amiga Elizabeth Reyes George por su entusiasmo para la conclusión de mi tesis 
y a mis grandes amigos del servicio de computo de CCA-UNAM quienes me brindaron 
su apoyo en la instalación de paquetería de computo. Así mismo, estoy muy 
agradecido por la experiencia profesional y servicio de mis profesores de CCA-UNAM 
ya que sin su conocimiento brindado hacia mi persona, en lo personal, sería 
imposible comprender aspectos importantes dentro de mi carrera profesional. 
 
 
Finalmente, agradezco a CONACYT por la beca que me concedió para la realización 
de mis estudios de maestría, al personal del Centro de Ciencias de la Atmósfera y a 
la Coordinación de Estudios de Posgrado en Ciencias de la Tierra por las facilidades 
que me brindo así como del apoyo económico para la impresión de tesis. 
 
 
 
 
 
 
 
 3
RESUMEN 
 
 
El desarrollo de esta tesis se dedica al estudio sobre la estabilidad de flujos sobre la 
atmósfera en la forma de un polinomio de Legendre )1( )( ≥nPn μα y una onda Rossby-
Haurwitz estable del espacio donde es el subespacio de polinomios esféricos 
homogéneos de orden , los cuales son de gran importancia meteorológica. Tanto un 
polinomio 
nHH ⊕1 nH
)1( ≥nn
)(μnaP como una onda Rossby-Haurwitz son soluciones exactas de la ecuación de 
vorticidad barotrópica no lineal los cuales describen la dinámica de un flujo ideal sobre una 
esfera en rotación, así como la dinámica barotrópica de procesos atmosféricos a gran escala 
sobre la atmósfera. Una ley de conservación para perturbaciones a la onda de Rossby-
Haurwitz se deriva y se usa para obtener una condición necesaria para la inestabilidad 
exponencial (Skiba (2000)). La ley involucra el número espectral promedio de Fjörtoft (1953) de 
la amplitud de cada modo inestable y éste debe ser igual a )1( +nn . Se muestra que el flujo 
)(μα nP es (y por lo tanto, exponencial y algebraicamente) estable para todos los modos 
normales cuyo numero de onda zonal satisface la condición m nm ≥ . 
 
 La ortogonalidad de la amplitud de un modo no neutral o no estacionario para la onda 
Rossby-Haurwitz se muestra en dos productos internos distintos. Los resultados analíticos son 
usados para probar y examinar la exactitud de un método numérico espectral, utilizadopara el 
estudio de la estabilidad exponencial para flujos arbitrarios sobre una esfera. La comparación 
de los resultados numéricos y teóricos nos muestra que el método de estudio sobre la 
estabilidad numérica trabaja muy bien en el caso de soluciones suaves tales como los flujos 
zonales y de ondas Rossby-Haurwitz. La nueva condición de inestabilidad localiza 
perturbaciones inestables en el espacio y es útil para probar algoritmos de inestabilidad 
numérica. 
 
 4
Para un flujo en la forma de un polinomio de Legendre, éste complementa las 
condiciones de Rayleigh-Kuo (1949) y de Fjörtoft (1950) en el sentido de que, mientras que los 
anteriores están relacionados con la estructura del flujo básico; la segunda condición 
caracteriza la estructura de una perturbación creciente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
INTRODUCCION 
 
Es bien conocido que, la dinámica barotrópica de la atmósfera a gran escala se puede 
describir mediante la ecuación de vorticidad barotrópica no lineal. Así mismo, flujos 
polinomiales y las ondas Rossby-Haurwitz son soluciones exactas de esta ecuación (vorticidad) 
y además representan una de las características importantes del campo meteorológico. Por lo 
tanto, las propiedades de la estabilidad de la onda Rossby-Haurwitz son de gran interés para 
un estudio profundo de la variabilidad de las bajas frecuencias en la atmósfera (Simmons 
(1983)) y Crommelin (2003)) tanto como para desarrollar métodos de asimilación de datos 
iniciales (Shutyaev (1997) y (2002)). Desde hace tiempo varios campos de investigación se han 
enfocado al estudio sobre la inestabilidad barotrópica de la onda Rossby-Haurwitz sobre el 
plano β (Lorenz (1972) y Anderson (1992)) y la esfera (Hoskins (1973) y Skiba (1992)). Una 
condición básica para el estudio sobre la inestabilidad lineal de esta onda fue recientemente 
obtenida en Skiba (2000). Sin embargo, matemáticamente, el problema de la estabilidad no 
lineal de la onda Rossby-Haurwitz es aún un tema de gran interés puesto que no se ha 
obtenido una solución total. Es claro que, algunos resultados de la estabilidad se han obtenido 
numéricamente (Hoskins (1973) y Baines (1976)), y por lo tanto, contienen errores de cálculo. 
Una truncación severa de las perturbaciones se analiza en Lorenz (1972) y Hoskins (1973) y a 
pesar de que se obtienen conclusiones de interés práctico estos no nos permiten obtener 
resultados exhaustivos. Por ejemplo, el punto débil del estudio sobre la inestabilidad analítica 
de la onda Rossby-Haurwitz (Hoskins (1973)) consiste en usar una métrica inapropiada (ver 
(13) en Hoskins (1973)) para el flujo zonal, la cual no se asemeja siquiera a una seminorma. El 
resultado general obtenido en Wolansky y Gil (1988) y Subbiah y Padmini (1999) es de gran 
interés para el estudio de la estabilidad de un flujo barotrópico. No obstante, la aplicación de 
estos resultados para la onda Rossby-Haurwitz sobre una esfera no proporciona un resultado 
útil. Por ejemplo, el Teorema 2 de Subbiah y Padmini (1999) solo puede aplicarse para una 
situación trivial cuando el flujo básico es una súper-rotación. 
 6
En el presente desarrollo de tesis, se analizará la estabilidad de un polinomio de Legendre 
y una onda Rossby-Haurwitz de un subespacio nHH ⊕1 en un fluido ideal e incompresible 
sobre una esfera en rotación; dónde es un subespacio de los polinomios esféricos 
homogéneos de orden sobre una esfera 
kH
k ( )1≥k . Tales flujos son soluciones exactas de la 
ecuación de vorticidad barotrópica no lineal sobre una esfera en rotación. Así, una ley de 
conservación obtenida para las perturbaciones arbitrarias de los flujos mencionados afirma 
que; cualquier perturbación evoluciona de una manera tal, que su energía cinética y su 
enstrofía 
)(tK
)(tη disminuyan, permanezcan constantes o se incrementen simultáneamente. La ley 
se usa para obtener una condición necesaria para el estudio de la inestabilidad de un modo 
normal. El espectro del operador de linealidad no se ha estudiado muy bien y ninguna prueba 
objetiva de la existencia de la amplitud crítica de la onda Rossby-Haurwitz para la inestabilidad 
exponencial ha sido dada. Las estimaciones de la tasa de crecimiento de modos inestables son 
bastante aproximadas y la sensibilidad de las variaciones de los resultados de la estabilidad 
numérica con respecto a cambios en los parámetros básicos no han sido analizados. Aunque la 
inestabilidad de Liapunov de cualquier onda Rossby-Haurwitz no zonal se haya demostrado 
Skiba (2004)( véase sección 12), su inestabilidad orbital es hasta ahora un problema 
matemáticamente abierto. Así mismo, la inestabilidad de Liapunov de la onda Rossby-Haurwitz 
fue analizado solo en un conjunto invariante de sus perturbaciones (no en todos los conjuntos 
invariantes). La aplicación de los métodos numéricos nos permite inferir sobre éste problema 
bastante complicado. Sin embargo; de ésta forma, el reto principal es la exactitud de los 
resultados de la estabilidad numérica. Por lo tanto; las pruebas de los algoritmos numéricos 
usados en nuestro estudio sobre la estabilidad de flujos son de suma importancia para la 
obtención de resultados fieles en la simulación. En éste trabajo, se usará un método espectral 
numérico desarrollado para el estudio de la inestabilidad de un modo normal (inestabilidad 
exponencial) en el caso de un flujo geofísico arbitrario de un fluido ideal no divergente sobre 
una esfera en rotación. 
 7
 
El método puede ser probado usando soluciones exactas de la ecuación de vorticidad 
barotrópica tales como flujos en la forma de un polinomio de Legendre u ondas Rossby-
Haurwitz. 
 
 Cabe señalar que en el análisis numérico de un modo normal se estudió únicamente la 
inestabilidad exponencial, para cálculos de estabilidad algebraica los métodos numéricos no 
valen la pena intentarlos computacionalmente. De hecho el crecimiento de las perturbaciones 
algebraicas se produce justamente en el caso de que la matriz de estabilidad sea defectuosa, 
es decir; cuando su forma canónica de Jordan tiene por lo menos un bloque cuya dimensión es 
mayor que uno. Debido a que una perturbación infinitesimal puede destruir la celda de Jordan y 
por lo tanto, convertir una matriz defectuosa en una matriz nueva que ya no es defectuosa, 
luego entonces, la inestabilidad algebraica no puede ser analizada por métodos numéricos (ya 
que un método numérico siempre produce por lo menos perturbaciones infinitesimales). 
 
Se implementará un algoritmo numérico espectral para estudiar la inestabilidad lineal de 
flujos en la forma de un polinomio de Legendre y ondas Rossby-Haurwitz que son soluciones 
exactas de la ecuación de vorticidad sobre la esfera. Es claro hacer notar que el estudio de la 
inestabilidad barotrópica de un flujo no divergente sobre una esfera en rotación y su papel en la 
dinámica de la atmósfera han sido estudiados desde hace tiempo por Kuo (1949), Lorenz 
(1972), Baines (1976), Simmon et al. (1983), Zang (1988), Skiba (1989, 1994, 1998, 2000), 
Anderson (1991), Borges y Sardeshmukh (1995), Skiba y Adem (1998), Skiba y Strelkov 
(2000). Lorenz demostró que una onda Rossby-Haurwitz es inestable, y sugirió que dicha 
inestabilidad tiene implicaciones en el pronóstico de largo plazo. Simmons et al. (1983) mostró 
que la inestabilidad barotrópica puede ser responsable de la variabilidad de una baja 
frecuencia de la dinámica atmosférica a gran escala. 
 
 8
 
 En el presente trabajo estudiamos solo la estabilidad de flujos respecto a perturbaciones 
infinitesimales en la forma de un modo normal. El algoritmo numérico para estudiar la 
inestabilidad lineal de un flujo no divergente sobre la esfera, se prueba con la clase de 
soluciones exactas de la ecuación de vorticidad no lineal que son los flujos zonales en la forma 
de un polinomio de Legendre y ondas Rossby-Haurwitz. En casitodos los experimentos 
numéricos con flujos polinomiales de Legendre, que se llevaron a cabo, el número de onda 
zonal del modo más inestable fue para 2=m , y los subsecuentes fueron para 3=m y 1=m , 
los cuales coinciden con los resultados numéricos obtenidos por Baines (1976). Los cálculos 
demostraron una buena precisión donde todos los modos inestables satisfacen la nueva 
condición de inestabilidad, es decir, el número espectral promedio de la amplitud del modo es 
igual a , donde n es el grado del flujo Polinomial o grado de la onda Rossby-Haurwitz. 
Por otro lado, aun hay preguntas sin responder sobre la inestabilidad de varias configuraciones 
(barotrópicas) del flujo atmosférico a gran escala así como de su influencia sobre la variabilidad 
de bajas frecuencias de la atmósfera. La estructura espectral de los modos más inestables, 
puede contribuir a una mejor interpretación de las anomalías presentes en el flujo atmosférico y 
por lo tanto a una mejor comprensión de la variabilidad de baja frecuencia de los procesos 
atmosféricos. 
)1( +nn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
ONDAS ROSSBY 
Las características observables de las ondas de gran escala del flujo en escala planetaria 
se les denominan como ondas planetarias, en una forma más sencilla aparecen debido a la 
variación del parámetro de Coriolis con la latitud y se les conocen como ondas de Rossby. El 
tipo de solución de este tipo de ondas (Rossby) más simple es la que se obtiene de una 
atmósfera con densidad constante bajo la hipótesis de que el flujo zonal es uniforme ur y sin 
movimiento vertical. Las correspondientes ecuaciones de momento y de continuidad se 
expresan como 
 01 =−
∂
∂
+ fv
x
p
dt
du
ρ
 (1) 
 01 =+
∂
∂
+ fu
y
p
dt
dv
ρ
 (2) 
 0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
 (3) 
si aplicamos y∂∂ a (1) y x∂∂ a (2) y las restamos, obtenemos la siguiente expresión 
 0=
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
y
fv
x
u
y
vf
y
u
x
v
dt
d (4) 
donde la cantidad ( ) ( yuxv ∂∂− )∂∂ es una componente del rotacional el cual se le conoce 
como vorticidad relativa ζ y se le considera como un vector con el doble de la velocidad 
angular local ( ) de los elementos del fluido. El segundo término de la ecuación (4) es nulo, 
según indica la ecuación de continuidad (3). Como el parámetro de Coriolis 
Ω2
f solamente varia 
con la latitud es posible que podamos expresar la ecuación (4) de la forma 
 0)( =+
dt
fd ζ (5) 
 a ésta expresión )( f+ζ se le denomina vorticidad absoluta, es decir, la vorticidad atribuible a 
la rotación del fluido sobre si mismo combinada con la rotación de la Tierra. La ecuación (5) 
 10
nos dice que, bajo ciertas condiciones impuestas del flujo no divergente y sin rozamiento, la 
vorticidad absoluta se conserva. 
Para resolver la ecuación (5) se supone que existe una relación lineal entre f e , es 
decir, 
y
yff β+= 0 donde y 0f β son constantes (ésta aproximación se le conoce como 
aproximación al planoβ ). Ahora consideremos un flujo zonal uniforme en una situación no 
perturbada e introducimos perturbaciones denotadas de la forma siguiente; '
ur
uuu += r , 'vv = 
de esta manera la ecuación (5) se transforma en 
 0''' =+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂ v
y
u
x
v
x
u
t
βr (6) 
 como el flujo es no divergente en la horizontal podemos introducir una función de corriente ψ 
para que se satisfaga la ecuación de continuidad (3), es decir, 
 
x
v
y
u
∂
∂
=
∂
∂
−=
ψψ ' ,' (7) 
sustituyendo esta relación en (6), obtenemos 
 02 =
∂
∂
+∇⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
xx
u
t
ψβψr (8) 
 para que sean posibles las soluciones de onda de esta ecuación se buscan de la forma 
)}(expRe{ 0 lykxti ++= ωψψ y satisfacer la relación de dispersión dada por 
 22 lk
u
k
c
+
−=−=
βω r (9) 
La velocidad respecto al flujo zonal es uc r− donde es la velocidad de fase en la 
dirección 
c
x . Las ondas de Rossby, por esta razón, desvían su rumbo hacia el oeste del flujo 
básico, a velocidades típicas de unos metros por segundo, recordando que la velocidad de fase 
de las ondas aumenta con la longitud de onda (ver figuras 1 y 2). 
 
 
 11
 ECUACION DE VORTICIDAD EN EL PLANO 
En condiciones de flujo bidimensional para una atmósfera con densidad uniforme, la 
ecuación (5) corresponde a una expresión de conservación de la vorticidad absoluta. Así para 
movimientos en escala sinóptica los cambios de vorticidad se pueden obtener con las 
ecuaciones aproximadas de momento horizontal (1) y (2). Aplicando )( y∂∂ a la ecuación (1) y 
)( x∂∂ a la ecuación (2) y restando estas mismas ecuaciones, y recordando asimismo que 
yfvdtdf ∂∂= obtenemos la razón de cambio de la vorticidad absoluta denotada por 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+−=+
y
v
x
uff
dt
d )()( ζζ (10) 
 a esta ecuación se le denomina ecuación de vorticidad. El primer término del lado derecho es 
importante y aparece debido a la divergencia horizontal. Es decir, si hay divergencia horizontal 
positiva, el aire sale fuera de la región en cuestión, y asimismo la vorticidad disminuye. En 
realidad es el mismo efecto que experimenta un cuerpo que gira el cual disminuye su velocidad 
angular en respuesta a su conservación de momento angular si su momento de inercia 
aumenta. 
La aplicación del análisis de escala a la ecuación (10) nos muestra que en los 
movimientos a escala sinóptica los dos últimos términos son menores que los otros y que en 
una primera aproximación 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+−=+
y
v
x
uff
dt
dh )()( ζζ (11) 
donde dtdh denota 
y
v
x
u
t ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
 12
Es muy útil aplicar la ecuación (11) para una atmósfera de densidad y temperatura 
constantes para lo cual la ecuación de continuidad para un fluido incompresible es denotada 
por lo que nos conduce a que la expresión de la ecuación (11) sea expresado por 0V =div
 
z
wff
dt
dh
∂
∂
+=+ )()( ζζ (12) 
Así por ser la temperatura constante, el viento geostrófico es independiente de la altura z . 
Además, como por la aproximación adoptada, la vorticidad es igual a la vorticidad del viento 
geostrófico, la vorticidad no variará con la altura. Por ello, tendremos que integrando la 
ecuación (12) entre los niveles y donde 1z 2z hzz =− 12 
 
h
zwzwf
dt
d
f
h )()()(
)(
1 12 −=+
+
ζ
ζ
 (13) 
Considerando después de esto y que ahora el flujo en un instante esta confinado entre los 
niveles separados a una distancia , se tiene que h )()( 12 zwzwdtdh −= , lo cual la ecuación 
(13) se denotara por 
 0=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
h
f
dt
dh ζ(14) 
Esta ecuación (14) es la ley de conservación de la vorticidad potencial. Donde esta 
relación (14) tiene importantes consecuencias para el flujo atmosférico. Por ejemplo, 
consideremos un flujo adiabático sobre una barrera montañosa, a medida que una columna de 
aire pasa sobre dicha barrera, su extensión vertical decrecerá con la cual ζ también habrá de 
disminuir. Por esta razón, una corriente de aire que se desplace hacia el oeste se moverá hacia 
el ecuador al pasar sobre la barrera montañosa. 
 
 
 
 
 13
 
Fig. 1. Esquema representativo del desplazamiento de las Ondas de Rossby a intervalos de tiempo (24h) 
 (Essentials of Meteorology—An Invitation; Ahrens, Donald). 
 
 ONDAS ROSSBY 
LONGITUD (KM)
LA
TI
TU
D
 (
KM
)
-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
 
Fig. 2. Representación de un modelo numérico de ondas Rossby y fenómenos de vorticidad 
 14
ECUACION DE VORTICIDAD BAROTROPICA 
SOBRE UNA ESFERA EN ROTACION 
 
Es de nuestro conocimiento, que la dinámica barotrópica a gran escala de la atmósfera 
puede aproximadamente ser descrito por la ecuación de vorticidad barotrópica no lineal para un 
flujo ideal sobre una esfera unitaria en rotación : S
 ( 02, =+Δ+∂
Δ∂ μψψ )ψ J
t (15) 
donde )(xψ es la función de corriente, y ),( μλ=x es un punto sobre . La ecuación (15) está 
expresado en forma no dimensional; usando coordenadas esféricas 
S
),( μλ , dónde λ es la 
longitud, φμ sin= y φ denota la latitud, Δ expresa el Laplaciano, ψΔ es la vorticidad relativa, 
μψ 2+Δ es la vorticidad absoluta y ( )hJ ,ψ es el Jacobiano (termino no lineal) expresado como 
 ( ) ( ) λμμλ ψψψψ hhhkhJ −=∇⋅∇×= ,
r
 (16) 
El término lineal ( ) λψμψ 22, =J describe a la esfera en rotación, k
r
 es el vector unitario normal a 
la superficie de la esfera . S
 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=∇ ψλ μ
μ
hhh 2
2
1,
1
1 (17) 
es el gradiente de la función ( )μλ,h , y la velocidad del flujo es denotada por 
hkv ∇×= 
rr 
con componentes 
 λμ ψ
μ
ψμ
2
2
1
1 ,1
−
=−−= vu (18) 
y es solenoidal (no divergente) 
0=⋅∇ v 
 
 15
La inestabilidad barotrópica causada por la existencia de cizalladura horizontal 
suficientemente extenso en los flujos atmosféricos ya se ha estudiado desde hace tiempo por 
Lorenz el cual notó que la inestabilidad respecto a perturbaciones iniciales causa la existencia 
de un límite de predictibilidad en la atmósfera. Por otro lado; la inestabilidad barotrópica puede 
ser responsable de la variabilidad de la baja frecuencia en la Atmósfera y el Océano. En éste 
sentido, la inestabilidad de las soluciones exactas de la ecuación de vorticidad barotrópica es 
de gran interés en su forma matemática y meteorológica. 
 
Los cuatro tipos de soluciones exactas de la ecuación de vorticidad barotrópica (15) son 
conocidos hasta ahora como: flujos zonales y ondas Rossby-Haurwitz los cuales representan 
soluciones infinitamente suaves y otros dos tipos de soluciones son conocidos como onda Wu-
Werkley y Modones; en general, representan soluciones débiles generalizadas de la ecuación 
de vorticidad barotrópica. De entre estos cuatro grupos, nos enfocaremos principalmente al 
estudio de flujos zonales en la forma de un polinomio de Legendre y de las ondas Rossby-
Haurwitz estacionarias. En general las ondas no estacionarias tienen la forma: 
 ( ) ( ) ( )( ) ,...,4,3,2 ,1
12 donde ,,,, =
+
+
−=−+−= ∑
−=
n
nn
CCtYaCt n
n
nm
n
m
nm ωμωλμμλψ (19) 
los cuales siempre están presentes en los mapas meteorológicos a latitudes medias. Por lo 
tanto; el estudio de la inestabilidad de las ondas Rossby-Haurwitz es de importancia especial 
en meteorología. Notemos que las amplitudes son arbitrarias, sin embargo ma ( ) mmm aa 1−=− 
para una onda Rossby-Haurwitz real, es decir: 
( ) ( ) ( ) ( )μλμλ ,1,,1 mnmmnmmm yyaa −=−= −− 
( ) ( ) ( ) mnmmnmmmnm yayaya =−=−− μλμλ ,1, 2 
Por lo tanto, 
( )mnmmnmmnmmnmmnm yayayayaya Re2=+=+ −− 
 
 16
ECUACIONES PARA DERIVAR FUNCIONES 
ASOCIADAS DE LEGENDRE 
 
En ésta parte se proporciona una introducción breve para la obtención de las funciones 
base de los polinomios esféricos homogéneos de orden para los modelos espectrales 
globales implementados en el desarrollo de ésta tesis. Los armónicos esféricos están 
relacionados asimismo sobre las funciones trigonometricas a lo largo de la dirección zonal y de 
las funciones asociadas de Legendre en la dirección meridional. Un número de propiedades de 
estas funciones necesitan ser entendidas para la formulación de un modelo espectral. En este 
apartado se describirán algunas características útiles que serán implementados para ilustrar el 
procedimiento para la representación de un conjunto de datos sobre una esfera con armónicos 
esféricos como funciones base. 
n
Consideremos la ecuación siguiente: 
 2
2
2
2 1
t
u
c
u
∂
∂
=∇ (20) 
el cual se satisface para la velocidad potencial de un flujo compresible. Aquí representa la 
velocidad potencial y es la velocidad de las ondas gravitacionales en el flujo. Si el flujo está 
en un estado constante ésta ecuación se reduce a la ecuación de Laplace, de la forma: 
u
c
 02
2
2
2
2
2
2 =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z
u
y
u
x
uu (21) 
 Con el operador de Laplace se describe un proceso difusivo o un proceso de conducción 
de calor en un medio. El operador de Laplace y sus eigenfunciones que son armónicos 
esféricos, son de importancia fundamental en el estudio de la dinámica de flujos sobre una 
esfera y son obtenidos mediante el proceso de separación de variables. Es decir, las 
soluciones pueden ser particionadas en factores, donde cada factor es función de una 
coordenada simple. 
 
 17
Considerando la transformación entre coordenadas cartesianas y esféricas denotadas por: 
 ϕλ sincosrx = , ϕλ cossinry = y ϕcosrz = 
(22) 
donde r es el radio,λ longitud y ϕ la latitud. Sustituyendo x , y y z de las transformaciones 
anteriores en (21), obtenemos la ecuación de Laplace sobre la esfera: 
0
sin
1cot12
2
2
2222
2
22
2
2 =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
λϕϕ
ϕ
ϕ
u
r
u
r
u
rr
u
rr
uu 
ó 
 0
sin
1sin
sin
11
2
2
2
2
2 =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
λϕϕ
ϕ
ϕϕ
uu
r
ur
rr
 (23) 
En el caso de los modelos atmosféricos, la latitud es usualmente usada en lugar de la co-
latitud como una de las coordenadas. De aquí en adelante, ϕ la denotaremos como la latitud. 
La ecuación de Laplace (23) en el sistema de coordenadas ( )ϕλ,,r (donde / 2φ π= −ϕ es la 
colatitud y recordando que )cos()sin( latitudcolatitud = ), entonces adquiere la forma: 
 
0
cos
1cos
cos
1
0
cos
1cos
cos
11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
λϕϕ
ϕ
ϕϕ
λϕϕ
ϕ
ϕϕ
uu
r
ur
r
uu
r
ur
rr
 (24) 
Usaremos el método de separación de variables para resolver (24). Para ello, asumimos 
una solución de la forma )()()( ϕλ PLrRu = , donde R es una función de r , función de L λ 
y P función de ϕ . Sustituyendo estacondición en (24) se obtiene: 
0
cos
cos
cos 2
2
2
2 =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λϕϕ
ϕ
ϕϕ d
LdRP
d
dP
d
dRL
dr
dRr
dr
dLP 
ò que al dividirse por RLP , obtenemos: 
 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dr
dRr
dr
d
Rd
Ld
Ld
dP
d
d
P
2
2
2
2
1
cos
1cos
cos
1
λϕϕ
ϕ
ϕϕ
 (25) 
 18
Donde el lado izquierdo de (25) es función de λ y ϕ , mientras que el lado derecho es 
únicamente función de r . Por lo tanto, ambos lados deben ser igual a una constante, es decir 
k . Considerando el lado derecho de la ecuación (25), obtenemos: 
 0 ,01 ,1 222 =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− kR
dr
dRr
dr
d
dr
dRr
dr
d
R
kk
dr
dRr
dr
d
R
 (26) 
consideremos ahora una solución de (26) de la forma nrR = , donde es un valor entero real. 
Si n es positivo, entonces una substitución de 
n
nrR = en (26) obtendríamos: 
 
( )
[ ] )1(or ,0)1( ,0)1(
0 ,0 ,0 1122
+−==++=++
=+=+=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
nnkRknnkrrnn
krr
dr
dnkrnrr
dr
dkr
dr
drr
dr
d
nn
nnnnn
n
 (27) 
como vemos el valor de k no se altera si reemplazamos por n 1−− n . Por lo tanto, 1−nr es 
así mismo solución de (26), para la cual )1( −−= nnk . De esta manera k es de la forma 
, donde es un entero positivo incluyendo el cero. De esta manera la ecuación (25) 
se reduce a: 
)1( +− nn n
)1(
cos
1cos
cos
1
2
2
2 +−=+⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ nn
d
Ld
Ld
dP
d
d
P λϕϕ
ϕ
ϕϕ
 
si multiplicamos por y reordenamos dicha ecuación obtenemos: ϕ2cos
 
2
2
2 1cos)1(coscos
λ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
d
Ld
L
nn
d
dP
d
d
P
−=++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ (28) 
puesto que el lado izquierdo de la ecuación (28) es una función de ϕ y el lado derecho de la 
ecuación es función de λ , ambos lados pueden igualarse a una constante, es decir . 
Considerando el lado derecho de la ecuación (28) como: 
2m
 ,0 ,1 2
2
2
2
2
=+=− mL
d
Ldm
d
Ld
L λλ
 (29) 
 19
 la cual se obtiene una solución de la forma: ,....3,2,1,0 ,2
2
==+ ± memL
d
Ld imλ
λ
 
por consiguiente, multiplicando (27) por 
ϕ2cos
P
 y recordando que ambos lados de la ecuación 
son iguales a la ecuación se reduce a: 2m
 
0
cos
)1(cos
cos
1
cos
)1(cos
cos
1
2
2
2
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Pmnn
d
dP
d
d
PmPnn
d
dP
d
d
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
 (30) 
si ϕμ sin= y 
μ
ϕ
ϕ
ϕ
μϕ
μ
μϕ d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d cossin === , entonces (30) se expresa como 
 0
1
)1()1(
2
2 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− Pmnn
d
dP
d
d
μμ
μ
μ
 (31) 
recordando que , donde ϕϕ 22 cossin1 =− ϕ varía de 2π− a 2π y μ varía de 1− a 1. 
Las ecuaciones (30) y (31) se usan para derivar las formulas analíticas para funciones 
asociadas de Legendre, aplicable para cualquier número de onda . m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
POLINOMIOS DE LEGENDRE 
 
 
Muchas funciones han surgido de la física matemática, tales como las funciones de 
Legendre que forman una base ortonormal en )(xPn ]1,1[ − . Los polinomios de Legendre se 
introdujeron en 1784 por Andrien Legendre (1752-1823) mediante una solución de la ecuación 
diferencial lineal de segundo orden, donde es un parámetro fijo. n
 (32) 0)1('2'')1( 2 =++−− ynnxyyx
Estas soluciones subsecuentes de la ecuación (32) determinan una serie de polinomios de 
grado y se les denomina Polinomios de Legendre los cuales se representan de la 
forma
n
)(μnP , a partir de los valores propuestos para . Por ejemplo si en la ecuación 
(31), obtenemos: 
n 0=m
 ( ) 0)1(1 2 =++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− Pnn
d
dP
d
d
μ
μ
μ
 (33) 
la cual se le denomina ecuación de Legendre. Las soluciones de ésta ecuación (33) se les 
conoce como Polinomios de Legendre y estos se les denota por )(μnP . Para un n dado, 
)(μnP es un polinomio de orden n y están dados por la ecuación: 
 rn
n
M
r
r
n rnrnr
nP 2
0 )!2()!(!2
)!12()1()( −
= −−
−
−= ∑ μμ (34) 
donde 2nM = si par y n 2)1( −= nM si es impar. Una forma más conveniente para n
)(μnP es dada por la formula de Rodríguez de la forma: 
 1,....,3,2,1,0 ,)1(
!2
1)( 22 ≤=−= μμμ
μ n
d
d
n
P nn
n
n (35) 
donde la ortogonalidad es en el segmento estándar [-1,+1]: 
 ∫
− ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
≠
==〉〈
1
1
,
12
1
,0
)()(
2
1,
kj
j
kj
dPPPP kjkj 
 
μμμ (36) 
 21
lo cual se comprueba integrando por partes. Evidentemente )(μnP es un polinomio algebraico 
de ésimo orden, puesto que al diferenciar el polinomio veces, su orden se 
reduce exactamente a . 
−n n)1( 2 −μ n
n
 Para los polinomios de Legendre es válida la fórmula recurrente 
 0)()()12()()1( 11 =++−+ −+ μμμμ nnn nPPnPn (37) 
para lo cual se pueden hallar los polinomios de Legendre de orden n
 
)35315693429(
16
1)()35(
2
1)(
)5105315231
16
1)13(
2
1)(
)157063(
8
1)()(
)33035(
8
1)(1)(
357
7
3
3
24
6
2
2
35
51
24
40
μμμμμμμμ
μμμμμμ
μμμμμμ
μμμμ
−+−=−=
−+−=−=
+−==
+−==
PP
PP
PP
PP
 
()( 
 
 
6
 
 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
LATITUD
 POLINOMIOS DE LEGENDRE 
 
 
P2
P3
P4
P5
P6
P7
 
 
Fig. 3. Representación esquemática de los polinomios de Legendre de a . Si es par, es 
simétrico a lo largo del ecuador, y si es impar, es antisimétrico a lo largo del ecuador. 
)(2 uP )(7 uP n )(uPn
n )(uPn
 
 22
 Propiedades de los polinomios de Legendre 
Para cualquier polinomio de Legendre se cumplen las siguientes propiedades: 
 (38) 
,....4,2,00)0('
,....3,2,10)0(
)1()1(
1)1(
)()1()(
 
 
 
 
 
==
==
−=−
=
−=−
nP
nP
P
P
PP
n
n
n
n
n
n
n
n
(E).
(D).
(C).
(B).
(A). μμ
la propiedad (A) nos indica que cuando toma valores en forma correspondiente n )(μnP será 
una función par o impar. Si es par, n )(μnP posee solamente energías pares de μ y es 
simétrico con respecto del ecuador )0( =μ . Si es impar, n )(μnP posee únicamente 
energías impares de μ y es antisimétrico con respecto del ecuador. En otras palabras, para 
impar, la gráfica sobre el lado negativo del 
n
μ -eje es una imagen del espectro del grafico en el 
lado positivo del μ -eje, como lo indica la gráfica. 
 
 
LONGITUD
 POLINOMIOS DE LEGENDRE 
 
 L
AT
IT
UD
 
P3
P4
P5
P6
P7
 
 
 
Fig. 4. Representación de Polinomios de Legendre de la forma )(μnP para flujos idealizados 
 23
 FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE )(μmnP
Ahora consideraremos la ecuación asociada de Legendre (31). Las soluciones de esta 
ecuación involucran dos parámetros, y , los cuales son denotados como . Así 
mismo, se le denomina función asociada de Legendre o primera clase de orden y 
grado . Aquí es cualquier entero y es un entero no negativo tal que 
m n )(μmnP
)(μmnP m
n m n mn ≥ . Podemos 
obtener usando la fórmula de Rodríguez expresado por )(μmnP
( ) 1 , 1
!2
)1()( 2
2/2
≤−
−
= +
+
μμ
μ
μμ
n
mn
mn
n
m
m
n d
d
n
P (39) 
Algunas funciones asociadas de los polinomios de Legendreson (con ϕμ sin= ): 
 
 
ϕμμ
ϕϕμμμ
ϕϕμμμ
ϕϕϕμμμμ
ϕμμ
ϕϕμμμ
ϕϕμμμ
ϕμμ
ϕϕμμμ
ϕμμ
4224
4
32/323
4
22222
4
32/1231
4
32/323
3
222
3
22/1221
3
222
2
2/121
2
2/121
1
cos105)1(105)(
cossin105)1(105)(
cos)1sin7(
2
15)1)(17(
2
15)(
cos)sin3sin7(
2
5)1)(37(
2
5)(
cos15)1(15)(
cossin15)1(15)(
cos)1sin5(
2
3)1)(15(
2
3)(
cos3)1(3)(
cossin3)1(3)(
cos)1()(
=−=
=−=
−=−−=
−=−−=
=−=
=−=
−=−−=
=−=
=−=
=−=
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
 (40) 
 
 
 24
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-10
-5
0
5
10
15
LATITUD
 FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE 
 
 
P3
1
P3
2
P3
3
P4
1
P4
2
P4
3
P4
4
 
Fig. 5. Esquema representativo de las funciones asociadas de Legendre de a . Si )(13 μP )(
4
4 μP mn − es par, 
 es simétrico alrededor del ecuador y es antisimétrico si )(μmnP mn − es impar. 
 
Puesto que es un polinomio de grado , este tiene raíces dadas por la 
ecuación . Es claro de (39) que de estas raíces esta en los polos 
)(μmnP n n
0)( =μmnP m )1( ±=μ , 
mientras que las raíces de esta entre los polos. Las raíces de entre los polos son 
llamados los ceros de las Funciones Asociadas de Legendre . Si 
mn − mn −
)(μmnP mn − es par, 
entonces es simétrico con respecto del ecuador. Si )(μmnP mn − es impar, entonces 
es antisimétrico con respecto del ecuador. Algunas propiedades más usadas en son 
las siguientes 
)(μmnP
)(μmnP
 Propiedades de las funciones asociadas de Legendre 
A. ( ) 0)(
)!1(
!1)1()(
)()(0
>
+
−
−=
=
− mP
m
mP
PP
m
n
mm
n
nn
 μμ
μμ
 (41) 
 25
B. 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
−
−+
−
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≠
=−
=−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≠
=
==
−
impar 
par 
 
 
 
 
mn
mn
mn
mn
P
m
m
P
m
m
P
m
m
n
n
m
n
m
n
0
)!(
)!1()1(
)0(
00
0)1(
)1(
00
01
)1(
2/)1(
μ
μ
μ
 (42) 
 
C. Paridad de : (43) )(μmnP )()1()( μμ
m
n
mnm
n PP
+−=−
D. Función generatriz de )(μmnP ∑
∞
=
+ =+−
−
mn
nm
nmm
mm
tP
ttm
tm )(
)21(!2
)1()!2(
2/)1(2
2/2
μ
μ
μ (44) 
E. Fórmulas recurrentes: 
0)()1)(()(
)1(
)1(2)(
0)()()()12()()1(
1
2/12
2
11
=++−+
−
+
−
=+++−−+
++
−+
μμ
μ
μμ
μμμμ
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
PmnmnPmP
PmnPnPmn
 
F. Ortogonalidad de : )(μmnP
{ }
{ }
)!(
)!(
12
2)(
10)()(
12
2)(
0)()(
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
mn
mn
n
P
ndPP
n
dP
nmdPP
m
n
m
l
m
n
n
nm
−
+
+
=
≠=
+
=
≠=
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
μ
μμμ
μμ
μμμ
 si 
 si 
 (45) 
 Cada razón de )(μmP y )(μnP se denominan ortogonales en 11 +≥≤− μ . 
G. Funciones asociadas de Legendre de segunda especie 
 )()1()( 2/2 μ
μ
μμ nm
m
mm
n Qd
dQ −= (46) 
Donde )(μnQ es una función de Legendre de segunda especie. Dicha función está 
definida en 1±=μ , mientras que esta definida en )(μmnP 1±=μ , la función (39) satisface la 
misma relación recurrente que . )(μmnP
 
 
 26
ARMONICOS ESFERICOS SOBRE UNA ESFERA 
Introduzcamos una función. Sea { }1:3 =∈= XRXS una esfera unitaria tridimensional 
con centro en el origen del espacio Euclidiano; y definamos a como un espacio de 
funciones fija y diferenciable de , definiendo un producto vectorial escalar y una norma 
como 
)(SC ∞
S
)(SC ∞
 dsgfdsgfgf
S
∫ ∫∫ −=>=<
1
1
2
0
,
π
 (47) 
 2/1, >=< fff (48) 
donde μλddds = denota al elemento de área en una superficie esférica, ϕμ sen= ; ]1,1[−∈μ es 
la latitud, ]2,0[ πλ ∈ es la longitud y g un conjugado complejo función de . g
Una relación con las funciones asociadas de Legendre en armónicos esféricos se pueden 
expresar mediante la ecuación 
 λμ
π
μλ immn
m
n ePmn
mnnY )(
)!(
)!(
4
12),(
2/1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
⋅
+
= 
πλ
μ
20
11
≤≤
≤≤−
 (49) 
Donde y son números enteros m n nmn ≤≥ ,0 y son funciones propias del operador 
Laplaciano simétrico en : S
 mnn
m
n
m
n
m
n YYYY χλμμ
μ
μ
=
∂
∂
−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
−=Δ− 2
2
2
2
1
1)1( 
(50) 
donde )1( += nnnχ son los valores propios correspondientes a nmY
m
n ≤ si . 
Las funciones armónicas esféricas se consideran como una base ortonormal en el espacio 
, )(SC ∞ nlmk
k
l
m
n YY δδ ⋅>=< ,
donde 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
km
km
mk si 0
 si 1
δ 
 27
el cual se le denomina delta de Kronecker; para cada número entero , cada valor propio 
tiene multiplicidades y un espacio propio correspondiente (Ver figura 6). 
0≥n
)12( +n nH
 
n
0
1
2
3
4
5
6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
 m
 
Fig. 6. Números de onda de los armónicos esféricos en el espacio ),( nm mnY ).(SC
∞
 
Los armónicos esféricos forman la base ortogonal en el 
espacio ver figura 6; los símbolos corresponden a los armónicos esféricos 
simétricos respecto del ecuador y los símbolos negros corresponden a los armónicos esféricos 
antisimetricos (respecto del ecuador) respectivamente. 
12 +n )( ),( nmnY mn ≤≤−μλ
nH
 
La ecuación (50) es de la forma , donde es el Laplaciano 
bidimensional sobre una esfera, 
0)1(2 =++∇ YnnY 2∇
2λ es la longitud y ϕμ sin= , con ϕ siendo la latitud. Sea la 
solución de (50) de la forma )()(),( λμλμ LPY = . Substituyendo en la ecuación (50), 
obtenemos 
 0)1(
1 2
2
2 =++∂
∂
−
+ PLnnLPL
λμ
 (51) 
 28
posteriormente dividiendo por y multiplicando por , (51) se obtiene PL 21 μ−
 
2
2
22
2 1)1)(1()1(1
λ
μ
μ
μ
μ
μ
d
Ld
P
nn
d
dP
d
d
P
−
=−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
− (52) 
El lado izquierdo de la ecuación anterior (52) es una función de μ , mientras que el lado 
derecho es una función de λ . Esto implica que ambos lados de la ecuación deben ser iguales 
a alguna constante. Sea esta constante denotada por , de modo que del lado derecho de la 
ecuación (52) se tiene que 
2m
 0,,
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
=+−==− Lm
d
LdLm
d
Ldm
d
Ld
L λλλ
 (53) 
donde la solución de (53) es dada por λimeL ±= . Posteriormente, el lado izquierdo de la 
ecuación (52) obtenemos 
 222
2
)1)(1()1(1 mnn
d
dP
d
d
P
=−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
− μ
μ
μ
μ
μ (54) 
 multiplicando por )1( 2μ−P se obtiene 
 0
1
)1()1( 2
2
2 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− Pmnn
d
dP
d
d
μμ
μ
μ
 (55) 
el cual es una expresión vista anteriormente como una ecuación asociada de Legendre y como 
se mencionó en el apartado anterior, este tiene soluciones de la forma . Así dada la 
solución de la ecuación (50), 
)(μmnP
)()(),( λμμλ LPY = , encontramos que λimeL ±= usando la 
ecuación (53) y que )(μP tiene la forma usando la ecuación (55). Por lo tanto, la 
solución de la ecuación de Laplace sobre una esfera es de la forma . 
Donde son los armónicos esféricos de orden y grado . El factor describe 
las variaciones este-oeste, y el factor describe las variaciones de las ondas de losarmónicos esféricos en la dirección norte-sur. 
)(μmnP
λμμλ immn
m
n ePY )(),( =
),( μλmnY m n
λime
)(μmnP
),( μλmnY
 29
Algunas propiedades matemáticas usadas para son ),( μλmnY
 para 0),( =μλmnY mn < 
 ( ) λμμλ immnmn ePY −∗ = )(),(
λλ μμμλ immn
mimm
n
m
n ePmn
mnePY −−−−
+
−
−== )(
)!(
)!()1()(),( 
 mn
m
n Ya
nnY 2
2 )1( +−=∇ 
donde representa un complejo conjugado de y ( ) ),( μλ∗mnY ),( μλmnY
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ϕ
ϕ
ϕλϕϕ
cos
cos
1
cos
1
2
2
2
2
a
 donde es el radio de la esfera. a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30
INESTABILIDAD DE FLUJOS CORTANTES PARA UN 
FLUIDO HOMOGENEO SOBRE UN PLANO 
 
En la mayoría de los problemas tales como el problema de Bérnard o de Taylor, la 
viscosidad estabiliza los flujos. Sin embargo, es curioso notar que en algunas situaciones, la 
viscosidad también puede actuar como un factor de desestabilización que aumenta la energía 
de las perturbaciones (Criminale y otros, (2003)). En esta sección nos enfocaremos a derivar la 
ecuación que gobierna la estabilidad de flujos paralelos de un fluido viscoso homogéneo. 
Supongamos que la dirección del flujo primario coincide con el eje x y que varía en la dirección 
y , tal que . Así, descomponemos el flujo perturbado como la suma del flujo 
básico más la perturbación: 
{ 0,0),( yUU =r }
 { } pPwvuUuU ++=+ ,,,
r
 (56) 
Tanto el flujo básico como el flujo perturbado satisfacen las ecuaciones de Navier-Stokes. 
En la forma adimensional, el flujo perturbado satisface la ecuación de momento en x : 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( uUpPxuUyvuUxuUt
u +Δ++
∂
)∂−=+
∂
∂++
∂
∂++
∂
∂
Re
1
 (57) 
 donde 
v
LUR 0= es el número de Reynolds, es la velocidad característica, 0U L es la escala de 
longitud característica. El flujo básico satisface 
 ( uURx
P
+Δ+
∂
)∂−= 10 (58) 
restando las ecuaciones (58) de (57) y omitiendo los términos no lineales obtenemos la 
ecuación de momento en x para perturbaciones, es decir: 
 uRx
P
y
Uv
x
uU
t
u
Δ+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 1
 (59) 
Similarmente, las ecuaciones de momento en las direcciones y y , y la ecuación de 
continuidad para perturbaciones son: 
z
 31
 
0
1
1
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Δ+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
Δ+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
w
Rz
P
x
wU
t
w
v
Ry
P
x
vU
t
v
 (60) 
ya que los coeficientes de (59) y de (60) dependen solo de , la solución admite variaciones 
exponenciales en 
y
x , y , por lo tanto, buscaremos la solución en la forma de un modo 
normal dado por: 
z t
 { } { } ( ){ }kctmzkxiypyupu −+= exp)(ˆ),(ˆ, (61) 
como el flujo no es limitado en x y , por lo tanto; las componentes del numero de onda y m 
deben ser reales. La velocidad de onda 
z k
ir iccc += puede ser compleja. Sin perdida de 
generalidad, se pueden considerar solo valores positivos de y m . Así mismo, es importante 
mencionar que, los modos normales representan ondas que se mueven oblicuamente al flujo 
básico con un numero de onda de magnitud 
k
22 mk + y cuyas amplitudes varían con el tiempo 
como . Por lo tanto, las soluciones son estables si { tkciexp } 0<ic e inestables si . 0>ic
Sustituyendo los modos (61) en (59) y (60), obtenemos: 
 ( ) ( )[ ]umkuRpikUvucUik yyy ˆˆ
1
ˆˆˆ 22 +−+−=+− (62) 
 ( ) ( )[ ]vmkvRpvcUik yyy ˆˆ
1
ˆˆ 22 +−+−=− (63) 
 ( ) ( )[ ]wmkwRpimwcUik yy ˆˆ
1
ˆˆ 22 +−+−=− (64) 
 0ˆˆˆ =++ wimvuik y (65) 
 donde los subíndices denotan derivadas respecto de y estas son las ecuaciones de modos 
normales para perturbaciones tridimensionales. Antes de darle continuidad, primero se 
mostrará que solo perturbaciones bidimensionales deben ser consideradas. 
y
 32
 
a) TEOREMA DE SQUIRE. Una simplificación muy útil de las ecuaciones (62)-(65) 
se obtuvo por Squire en (1933) quien demostró que a cada perturbación tridimensional 
inestable le corresponde una perturbación bidimensional mas inestable. Con el fin de demostrar 
el Teorema, consideraremos la transformación de Squire de la siguiente forma: 
 
( )
kRRk
k
p
k
p
vvvmukuk
ccmkk
==
=+=
=+=
 ,ˆ
ˆ ,ˆˆ
 ,2/122
 (66) 
con la transformación (66), las ecuaciones (62) y (64) se suman y las otras simplemente se 
modifican ligeramente. El resultado es: 
 
( ) [ ]
( ) [ ]
0
1
ˆ
1
2
2
=+
−+−=−
−+−=+−
y
yyy
yyy
vuki
vkv
R
pvcUki
uku
R
pkiUvucUki
 (67) 
 las ecuaciones (67) son exactamente las mismas que (62)-(65), pero con la diferencia de que 
. Así, a cada problema tridimensional le corresponde un problema bidimensional 
equivalente. Además, la transformada de Squire (66) nos muestra que el problema 
bidimensional equivalente (67) esta asociado con un numero de Reynolds mas bajo, puesto 
que 
0ˆ == wm
kk > . Se deduce de aquí que el número de Reynolds crítico bajo el cual la inestabilidad 
se comienza, es mas bajo para perturbaciones bidimensionales. Por lo tanto, podemos decir 
que las perturbaciones bidimensionales son más inestables y nosotros necesitamos considerar 
una perturbación bidimensional si queremos determinar el número más pequeño de Reynolds 
bajo el cual la inestabilidad da inicio. 
 
 33
b) ECUACION DE ORR-SOMMERFELD. Según el Teorema de Squire, solo 
necesitamos considerar las ecuaciones (62)-(65) con 0ˆ == wm . Ya que ahora el problema es 
bidimensional, se puede introducir una función de corriente ( )tyx ,,ψ para el campo de 
perturbaciones mediante las siguientes ecuaciones 
 x
v
y
u
∂
∂−=
∂
∂= ψψ , (68) 
de la cual nos enfocaremos a buscar soluciones de modos normales de la forma 
 { } { } ( ){ }ctxikvuwvu −= expˆ,ˆ,ˆ,, φ (69) 
ahora bien según la ecuación (68), debemos considerar que 
 φφ ikvu y −== ˆ ,ˆ (70) 
entonces, eliminando la presión de las ecuaciones (62)-(65) obtenemos una sola ecuación para 
φ , es decir 
 ( )( ) ( )φφφφφφ 422 2
Re
1 kk
ik
UkcU yyyyyyyyyy +−=−−− (71) 
y las condiciones en la frontera son 0== vu en las paredes rígidas. Esto requiere que 
 21 y si ,0 yyyyy ====φφ (72) 
La condición de la ecuación (71) es bien conocida como la ecuación de Orr-Sommerfeld 
que gobierna la estabilidad de flujos paralelos viscosos, por ejemplo, en un canal recto, o en 
una capa limite. Es esencialmente una ecuación de vorticidad, ya que la presión ha sido 
eliminada. Es difícil obtener soluciones de la ecuación de Orr-Sommerfeld, comúnmente los 
resultados que se obtienen son para flujos bastante simples. 
 
 
 
 
 34c) INESTABILIDAD DE FLUJOS PARALELOS NO VISCOSOS. Con el fin de 
comprender mejor la estabilidad de flujos paralelos viscosos, es útil hacer un análisis de 
inestabilidad de flujos paralelos para flujos ideales no viscosos (caso más simple para un fluido 
ideal). En este caso, la ecuación que gobierna el comportamiento de perturbaciones se obtiene 
como un límite de la ecuación de Orr-Sommerfeld cuando ∞→R : 
 ( )( ) 02 =−−− φφφ yyyy UkcU (73) 
la cual se le denomina ecuación de Rayleigh (Rayleigh (1880)). Si el flujo se limita por las 
paredes y donde , entonces las condiciones de frontera son las siguientes 1yy = 2yy = 0=v
 21 y si 0 yyyy ===φ (74) 
El sistema de ecuaciones (73) y (74) es un problema espectral con como el valor 
propio y 
)(kc
φ como la función propia. La ecuación (73) no incluye la unidad imaginaria y por 
consiguiente, aplicando la operación compleja conjugada, obtenemos que si { }φ,c es una 
solución, entonces { }**,φc también es otra solución. En otras palabras, para cada modo que 
crece existe un modo correspondiente que decrece ( 0>ic ) ( )0<ic . Por lo tanto, soluciones 
estables solo pueden tener un real y la existencia de un valor propio con garantiza la 
inestabilidad. Notemos que a diferencia con el caso de un fluido ideal, el término viscoso en la 
ecuación completa de Orr-Sommerfeld (71) involucra la unidad imaginaria y por lo tanto, la 
conclusión antes mencionada ya no es valida. Ahora mostramos que ciertos perfiles de 
velocidad son potencialmente inestables en un fluido ideal. 
c ( 0≠ic )
( )yU
 
 
 
 
 
 
 35
d) PUNTOS DE INFLEXION Y CRITERIO DE RAYLEIGH. Rayleigh demostró 
que una condición necesaria (pero no suficiente) para la inestabilidad de un flujo paralelo no 
viscoso es que el perfil de velocidad básica ( )yU tiene un punto de inflexión. 
Para demostrar el Teorema, reescribimos la ecuación de Rayleigh (73) en la forma: 
 02 =
−
−− φφφ
cU
U
k yyyy (75) 
 y consideramos un modo inestable para el cual ( )0>ic y por consiguiente, 0≠− cU . 
Multiplicando (75) por e integramos el resultado de *φ 1yy = a . Luego aplicamos la 
integración por partes si es necesario y las condiciones de frontera (74). El primer término se 
transforma de la manera siguiente: 
2yy =
 [ ] ∫∫∫ −=−=
2
1
2
1
2
1
2
1
2***
y
y
y
y
y
yy
y
yy
y
y
yy dydydy φφφφφφφ (76) 
como resultado obtenemos 
 ( ) 022222
1
2
1
=
−
++∫ ∫ dycU
U
dyk
y
y
y
y
yy
y φφφ (77) 
el primer término de (77) es real. La parte imaginaria de (77) es 
 0
2
1
2
2
=
−∫ dycU
U
c
y
y
yy
i
φ
 (78) 
para un modo inestable, y (78) puede ser válida solo si cambia de signo por lo 
menos una vez en el intervalo abierto 
( 0>ic ) yyU
21 yyy << . En otras palabras, para dicha inestabilidad la 
distribución de velocidad básica ( )yU debe tener por lo menos un punto de inflexión (donde 
) en ( . Obviamente, la existencia de un punto de inflexión no garantiza un valor 
distinto de cero. Por lo tanto, el punto de inflexión es una condición necesaria, pero no 
suficiente, para la inestabilidad del flujo no viscoso. 
0=yyU )21, yy ic
 
 36
e) TEOREMA DE FJÖRTOFT. Unos setenta años después del resultado de 
Rayleigh, en 1950, el meteorólogo sueco Fjörtoft encontró una condición necesaria más fuerte 
para la inestabilidad de flujos paralelos no viscosos. El demostró que una condición necesaria 
(pero no suficiente) para la inestabilidad de un flujo paralelo no viscoso es que 0)( infl <−UUU yy 
en algún punto en el flujo, donde es el valor de velocidad básica en el punto de 
inflexión. Para demostrar el Teorema, tomamos la parte real de la ecuación (77): 
inflU ( )yU
 ( )∫∫ <+−=−
− 2
1
2
1
0
)( 2222
2
y
y
y
y
y
ryy dykdy
cU
cUU
φφφ (79) 
si suponemos que el flujo es inestable, es decir, 0≠ic , y existe un punto de inflexión de 
acuerdo con el criterio de Rayleigh. Entonces, se deduce de la ecuación (78) que 
 ( ) 0
2
1
2
2
infl =
−
− ∫
y
y
yy
r dy
cU
U
Uc
φ
 (80) 
sumando las ecuaciones (79) y (80) obtenemos lo siguiente 
 ∫ <−
−2
1
0
)( 2
2
infl
y
y
yy dy
cU
UUU
φ (81) 
y, por consiguiente, debe ser negativo en algún punto en el flujo. )( inflUUU yy −
 
Fig. 7 (Kundu, 1990). Ejemplos de flujos paralelos 
 a) b) c) 
 
 Perfil de Perfil de 
 Blasius Poiseuille 
 
 
 
 
d) e) f) 
 
 
 Punto Punto Punto 
 de de de 
 Inflexión Inflexión Inflexión 
 37
Como podemos notar de los esquemas de la figura 7: 
• Los perfiles de los flujos a), b) y c); son flujos estables debido a que la condición de 
Rayleigh no se satisface, es decir no hay ningún punto de inflexión en el flujo. 
• Los perfiles de los flujos d) y e); son estables, en efecto, debido a que la condición de 
Rayleigh se cumple, es decir, los flujos pueden ser inestables, sin embargo, son 
estables pues la condición de Fjörtoft no se cumple. 
• El perfil del flujo f); en este perfil vemos que la condición de Rayleigh para el criterio de 
inestabilidad de flujos si se cumple, además, se cumple también la condición de Fjörtoft, 
además dicho flujo puede ser inestable. 
• Esto indica que la inestabilidad se alcanza cuando se tienen flujos con distintas 
velocidades (cizallamiento) o diferentes direcciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
INESTABILIDAD DE FLUJOS BAROTROPICOS 
SOBRE UNA ESFERA 
 
El proceso de inestabilidad de la cual depende la existencia del cizallamiento horizontal 
del flujo básico, se le denomina inestabilidad barotrópica (Pedlosky (1987)). Este problema de 
inestabilidad barotrópica de un flujo atmosférico no divergente ha sido investigado desde años 
atrás por Kuo (1949), Lorenz (1972), Simmons et al. (1983), Haarsma y Opsteegh (1988), etc. 
Donde Lorenz (1972) explicó que debido a este problema existe una perdida de predictibilidad 
con el tiempo del flujo atmosférico. Por otro lado, Simmons et. al. (1983) indicaron que el 
problema de inestabilidad barotrópica da como respuesta a ciertos patrones de variabilidad de 
baja frecuencia, que se observan en una atmósfera barotrópica. 
 
Existen dos tipos de estabilidad: la estabilidad lineal y la estabilidad no lineal, de la cual la 
primera esta asociada con los sistemas dinámicos linealizados alrededor de una solución 
básica o de equilibrio, la segunda estabilidad (no lineal) indica que el sistema no lineal es 
estable bajo perturbaciones de amplitud pequeñas y finitas (Liapunov (1966) y Arnold (1965)). 
Considerando a un flujo total como la suma de un flujo zonal más una perturbación, y como la 
energíacinética total se conserva, por lo tanto la perturbación inestable toma energía del flujo 
zonal. Esta característica, para algunos investigadores es el mecanismo de inestabilidad 
barotrópica para flujos zonales. Usaremos a Ψ como una solución básica de la Ecuación de 
Vorticidad Barotrópica sobre la esfera. La estabilidad de una solución básica estacionaria de la 
ecuación de vorticidad barotrópica es de interés considerable Hidrodinámico y Geofísico; y la 
aplicación de los métodos numéricos nos permitirá enfocar estos problemas a una situación 
real. Así mismo, todavía quedan bastantes preguntas por responder acerca de la inestabilidad 
barotrópica sobre una esfera en rotación. 
 
 39
En la sección anterior fueron obtenidas las condiciones de Rayleigh (86) y de Fjörtoft (89) 
para la inestabilidad de flujos paralelos en el plano. Ahora estudiaremos la inestabilidad de 
flujos zonales sobre una esfera en rotación (Kuo (1949), Skiba (1989, 2009b)). Además, para 
flujos zonales (unidimensionales) y ondas Rossby-Haurwitz (bidimensionales), obtenemos una 
nueva condición de inestabilidad que es importante para varios problemas meteorológicos 
(Skiba, 2000, 2008). La cual hasta la fecha, es la única condición de inestabilidad para los 
flujos bidimensionales. 
a) CONDICION DE RAYLEIGH-KUO. Consideremos ahora la inestabilidad de un 
flujo zonal de la forma )(uψ de un fluido barotrópico ideal e incompresible sobre una esfera 
unitaria en rotación. La dinámica de tal fluido se gobierna por la ecuación de vorticidad: 
 ( ) 02, =+Δ+Δ μψψψ Jt (82) 
(Skiba (1989)), dónde, perturbaciones infinitesimales ),,( tuλψ del flujo zonal )(μψ satisfacen 
la ecuación linearizada 
 ( ) ( ) 02,, =+Δ+Δ+Δ μψψψψψ JJt (83) 
considerando la perturbación en la forma de un modo normal 
 ( ) ( ) ( ){ }ctimt −Ψ= λμμλψ exp,, (84) 
sustituyendo (84) en (83) obtenemos el problema espectral para la amplitud ( )μΨ : 
 ( )[ ] 0211 2
2
2 =Ψ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
−Ψ−
c
Um
ψμ
μ μμ
μμ (85) 
donde los subíndices denotan derivadas parciales, ( ) μψμ 21−−=U . Si entonces la 
perturbación (84) es estable. Supongasemos que 
0=m
0≠m y puesto que la función ( )μΨ es una 
combinación lineal de los polinomios de Legendre, las condiciones de frontera, tienen la forma 
siguiente ( ) ( ) 011 =Ψ=−Ψ , y para un modo inestable ; si usamos denotaciones de la forma 0>ic
 
 40
ir iΨ+Ψ=Ψ y ( ) ( ) 0 , ,
1
2222
>
++
=
++
+
−=+=
+
−
ir
i
i
ir
r
rir cc
cg
cc
c
gigg
c μμ
μ
μ ψψ
ψ
ψ
 
ahora, separando las partes real e imaginaria del problema espectral (85), obtenemos 
 ( )[ ] ( ) ( ) iirrr gUUgm Ψ−=Ψ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
−
−Ψ− μμμμμμ μ
μ 22
1
1 2
2
2 (86) 
 ( )[ ] ( ) ( ) riiri gUUgm Ψ−=Ψ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
−
−Ψ− μμμμμμ μ
μ 22
1
1 2
2
2 (87) 
multiplicando la ecuación (86) por y (87) por iΨ rΨ , y restando los resultados obtenemos 
 ( )( ) ( ) 22 21 Ψ−=ΨΨ−ΨΨ− iirir gU μμμμμμ (88) 
integrando de 1−=μ a 1+=μ y usando las condiciones de ( ) ( ) 011 =Ψ=−Ψ , obtenemos 
 ( ) ∫∫
−−
=ΨΩ=Ψ−
1
1
2
1
1
2 02 μμ μμμ dgdgU ii (89) 
donde la cantidad ( ) μμμμ μψ U−=+Δ=Ω 22 representa la derivada de la vorticidad absoluta del 
flujo básico. Ya que 02 >Ψig para un modo inestable, obtenemos la condición necesaria de 
Rayleigh-Kuo para la inestabilidad que requiere que μμμ U−=Ω 2 tiene que cambiar de signo 
por lo menos en un punto del intervalo 11 +<<− μ (Kuo (1949)). El punto de inflexión es un 
punto donde μΩ cambia su signo. La existencia de un punto de inflexión no es suficiente para 
la inestabilidad del flujo zonal sobre la esfera; en efecto, ( )μμμ a912)( −=Ω para el polinomio de 
Legendre de segundo orden, y por lo tanto, a9/1=μ es el punto de inflexión si la amplitud es 
bastante grande . Sin embargo el flujo 
a
)9/1( >a )(2 μaP es estable para cualquier amplitud a 
(Baines (1976), Skiba (1989)). Aplicando el mismo análisis que en la sección anterior, se puede 
derivar un análogo de la condición de inestabilidad de Fjörtoft para los flujos zonales sobre la 
esfera para la inestabilidad de un flujo zonal; el producto ( ) μμμ Ω−− UU debe ser negativo en 
algún punto de tal flujo, donde es el valor de velocidad básica inflU ( )μU en el punto de 
inflexión. 
 41
LEY DE CONSERVACION PARA PERTURBACIONES 
DE UN POLINOMIO DE LEGENDRE 
 
Consideremos un flujo sobre la esfera en la forma de un polinomio de Legendre 
 ( ) ( )μμψ naP= (90) 
o una onda estacionaria de Rossby-Haurwitz 
 ( ) ( ) (∑
−=
+−≡+−=
n
nm
m
n
m
nn Y μλψωμμλψωμμλ )ψ ,,, (91) 
ambos flujos son soluciones de la ecuación de vorticidad. Sea ψ un flujo básico en la forma de 
un polinomio (91), y sea ψ cualquier otra solución de la ecuación de vorticidad. Considerando 
ψψψ −=' como una perturbación del flujo polinomial y usando la ecuación ψχψ n−=Δ , 
reescribimos la ecuación (90) como: 
 ( ) ( ) 0,'2'','' =++Δ++Δ μψψχψψψψ JJ nt (92) 
en el caso cuando ψ es una onda de Rossby-Haurwitz (100) tenemos lo siguiente 
ψχμψ n−=+Δ 2 , y la ecuación para perturbaciones (92) se reduce a 
 ( ) 0'','' =+Δ++Δ ψχψψψψ nt J (93) 
tomando el producto interno de cada una de las ecuaciones (92) y (93) con '' ψχψ n+Δ y usando 
propiedades respectivas obtenemos una ley de conservación expresada por 
 ( ) ( )[ 0] =− tn tKt χη (94) 
 el cual es valido para cualquier perturbación infinitesimal compleja y cualquier perturbación 
finita real de los flujos (91) y (92), es decir, 
 ( ) ( )tKt nχη = (95) 
donde )1( += nnnχ 
 ( ) 2)('
2
1 ttK ψ∇= (96) 
 42
es la energía de perturbaciones, y 
 ( ) 2)('
2
1 tt ψη Δ= (97) 
es la enstrofía de perturbaciones. Así, la energía y la enstrofía de perturbaciones de los flujos 
(91) y (92) crecen, se conservan o decrecen simultáneamente (Skiba (2000)). En general, la 
norma de la energía )(' tψ∇ es más débil que la norma de la enstrofía )(' tψΔ , y un flujo 
arbitrario puede ser estable en la primera norma e inestable en la segunda. Sin embargo, 
según la ecuación (96), los flujos (91) y (92) son estables o inestables en ambas normas 
simultáneamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43
LEY DE CONSERVACION PARA PERTURBACIONES 
DE UNA ONDA ROSSBY-HAURWITZ DE ORDEN n
 
Definición, sea y 1≥n ),( μλ=x . La onda real 
 (98) ∑
−=
−+−≡+−=
n
nm
n
m
n
m
nn tCYfxtfxtf ),(),(),( μλωμωμ
donde ω es la velocidad de rotación angular y es la velocidad de onda, denominada onda 
Rossby-Haurwitz, la cual es la solución exacta de la ecuación de vorticidad no lineal 
nC
0)2,( =+Δ+
∂
Δ∂ μψψψ J
t
 para ω y arbitrarios si mnfn
nC χ
ωω )1(2 +−= (99) 
donde nχ está definido por )1( += nnnχ (Haurwitz (1940) y Machenhauer (1977)). Tanto la 
suma de una súper-rotación ωμ− de los polinomios esféricos homogéneos de 
orden y la onda de Rossby-Haurwitz (98) pertenece a la suma ortogonal 
),,( μλtf mn
n nHH ⊕1 del 
subespacio y . La vorticidad absoluta 1H nH
 μχχμ nnn Cff −−=+Δ 2 (100) 
de la onda Rossby-Haurwitz (98) también pertenece al subespacio . En particular, para 
una onda estacionaria y la vorticidad absoluta pertenece al subespacio . 
nHH ⊕1
0nC = nH
 
Una perturbación arbitraria de la onda de Rossby-Haurwitz (98), (99) se puede expresar 
de la forma 
 ),,(),,(),,(' μλμλψμλψ tftt −= (101) 
donde ),,( μλψ t es otra solución exacta de la ecuación de vorticidad no lineal 
0)2,( =+Δ+
∂
Δ∂ μψψψ J
t
. De acuerdo con el Teorema de Szeptycki (1973) sobre la existencia y 
unicidad de la solución, una norma útil para el cálculo de las perturbaciones de una onda de 
 44
Rossby-Haurwitz debe poseer segundas derivaciones de la función de corriente, es decir, 
relacionarse con la perturbación de la enstrofía. La perturbación (101) satisface la ecuación 
 0)','()2,'()',(' =Δ++Δ+Δ+Δ ψψμψψψ JfJfJt (102) 
con las condiciones iniciales 
 ),,0(),,0(),,0(' μλμλψμλψ f−= (103) 
además, se considera así mismo como una perturbación de la solución ),,( μλψ t . Con (100), la 
ecuación (102) puede expresarse como 
 0),'()' ','( ' =−+Δ++Δ μψχψχψψψ JCfJ nnnt (104) 
En particular, si la onda (98) es estacionaria )0( =nC , entonces (104) se reduce a 
 0)' ','( ' =+Δ++Δ ψχψψψ nt fJ (105) 
realizando un producto interno en la ecuación (104) de ' ' ψχψ n+Δ y usando )1( += nnnχ , 
 y obtendremos una ley de conservación similar a 
la obtenida en (95) 
nlkm
m
n
k
l YY δδμμ =〉〈 )(),( ∑
∞
=
=
1
)()(
n
nhh μμ
 )()( tKt tnt χη = (106) 
donde )1( += nnnχ , 
 21
2 '
2
1'
2
1)( ψψ =∇=tK (107) 
es la energía cinética y 
 
2
2
2 '
2
1'
2
1)( ψψη =Δ=t (108) 
es la energía de la enstrofía de la perturbación 'ψ de la onda Rossby-Haurwitz. Por lo tanto, 
obtenemos la siguiente afirmación (Skiba (1989)). 
 
 
 45
TEOREMA 1. Cualquier perturbación de la onda Rossby-Haurwitz (98) se desarrolla de 
una manera tal que su energía cinética y la enstrofía )(tK )(tη disminuyan, permanezcan 
constantes o incrementen simultáneamente de acuerdo con la relación de proporcionalidad 
(106) (ley de conservación). 
 
La ley (106) fue establecida por Gill (1974) para perturbaciones infinitesimales de una 
onda planetaria de Rossby estacionaria en el plano beta β , y por Karunin (1970) para 
perturbaciones infinitesimales de una circulación polinomial de Legendre. El Teorema 1 
generaliza estos resultados para perturbaciones arbitrarias de cualquier onda de Rossby-
Haurwitz del subespacio sobre una esfera. La energía , y la enstrofía nHH ⊕1 )(tK )(tη de 
una perturbación no solo poseen información sobre su magnitud si no que también de su 
composición espectral de la perturbación 'ψ . Debido a 
rs
r
s
hh
+
−≤ 2/2 , la 2-norma (la 
norma relacionada con la enstrofía) es más fuerte que la 1-norma (la norma relacionada con la 
energía), y en general, una perturbación de la solución de la ecuación de vorticidad puede ser 
estable en la norma relacionada con la energía e inestable en la norma relacionada con la 
enstrofía. Sin embargo, por el Teorema 1, la onda de Rossby-Haurwitz (98) es un flujo especial 
ya que tiene las mismas propiedades de estabilidad en ambas normas. El valor 
 2
1
2
2
'
'
)(
)()),,('()(
ψ
ψημλψχχ ===
tK
ttt (109) 
es un valor promedio de la perturbación 'ψ (el cuadrado del número espectral de Fjörtoft 
(1953)). Debido a (106), la función (ley de conservación, ecuación 94) 
 { } )()()()(]'[ tKttKtU nn χχχηψ −=−= (110) 
se conserva con el tiempo para cualquier perturbación 'ψ de la onda Rossby-Haurwitz , 
es decir, 
)1( ≥n
 [ ]{ } 0)()(]'[ =−= tnt tKtU χχψ (111) 
 46
ó 
 0
2
1
1
1
2
)(')()(')( Ltt
k
km
m
k
nk
k
km
n
k
knk
m
knkk +−=− ∑∑ ∑ ∑
−=
∞
+= −=
−
=
ψχχχψχχχ (112) 
donde )(' tmkψ es el coeficiente de Fourier de 'ψ , mientras que 
 )]0('[20 ψUL = (113) 
es el valor de la constante determinada de la perturbación inicial (103). Notemos que la ley de 
conservación (112) es simplemente la conservación de la pseudoenergía (Shepherd (1990)). 
Este fue usado por Petroni et al. (R. Petroni, S. Pierini y A. Vulpiani, 1987) para perturbaciones 
pequeñas en una onda armónica en el plano β (ver también; Shepherd (1988), Petroni y otros 
(1989)). La invariante del momentum angular 〉Δ〈 μψ , para cualquier solución ),,( μλψ t de 
0)2,( =+Δ+
∂
Δ∂ μψψψ J
t
 proporciona una ley de conservación para perturbaciones arbitrarias 
de la onda Rossby-Haurwitz. 
 c=〉〈−=〉Δ〈=〉Δ〈 μψμψμψ ,'2,',' (114) 
Por lo tanto, la proyección de cualquier perturbación 'ψ sobre el polinomio de Legendre 
de grado uno es invariante. Usando la convolución , se 
muestra (Skiba (1993)) que la proyección 
∑
−=
=+=
n
nm
m
n
m
nnn YhPhnh )())(*)(12()( μμμ
'1ψ de cualquier perturbación 'ψ sobre el 
subespacio también es invariante, y por lo tanto, la componente de esta perturbación no 
tiene importancia en el análisis de la inestabilidad de la onda de Rossby-Haurwitz. Esta 
característica siempre se toma en cuenta, aunque no ortogonalicemos a 
1H
'ψ sobre . 1H
 
 
 
 
 
 
 
 47
INESTABILIDAD DE UN FLUJO EN FORMA DE UN 
POLINOMIO DE LEGENDRE POR EL METODO DE 
MODOS NORMALES 
 
Es preciso notar que cualquier resultado exacto sobre la inestabilidad de un flujo es muy 
importante para probar los algoritmos numéricos y programas computacionales. Las 
condiciones de Rayleigh-Kuo y de Fjörtoft se pueden aplicar solo para los flujos zonales 
(unidimensionales). Obtenemos ahora una nueva condición mas para la inestabilidad de un 
modo normal de los flujos (90) y (91). También es sólo la condición necesaria para la 
inestabilidad. Sin embargo, es la única condición de inestabilidad para los flujos 
bidimensionales (ondas Rossby-Haurwitz (91)). Sea ψ un flujo básico polinomial de la forma 
 ( ) ( )μμψ naP= (115) 
de grado y amplitud el problema es de interés especial, ya que el flujo polinomial de 
Legendre forma una base ortogonal en el espacio de flujos zonales sobre una esfera. Baines 
(1976) mostró que si y 
n a
1=n 2=n , entonces el flujo (115) es linealmente estable para 
cualquier amplitud a . Por lo tanto asumiremos aquí que para el estudio de flujos 
polinomiales. 
3≥n
Consideremos perturbaciones infinitesimales