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Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Prefacio a la Segunda Edición 
Este libro es para el curso estándar, de un semestre, de nivel intermedio-
júnior, que a menudo pasa por el título "Ecuaciones Diferenciales Parciales 
Elementales" o "Problemas de Valor en la Frontera". El público está formado 
por estudiantes de matemáticas, ingeniería y ciencias. Este texto da 
derivaciones de las ecuaciones estándar de ingeniería y ciencia (incluyendo 
la ecuación de advección, la ecuación de difusión, la ecuación de onda y la 
ecuación de Laplace) y métodos para resolver esas ecuaciones en dominios 
acotados y no acotados. Los métodos incluyen expansiones de funciones 
propias (variables separables), transformaciones integrales (Fourier y 
Laplace), métodos característicos y métodos de diferencias finitas. Hay un 
fuerte énfasis en el modelado y las aplicaciones en todo. Los prerrequisitos 
son Cálculo y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Hay varios excelentes textos existentes, pero la mayoría de ellos son largos. 
Este texto fue escrito para proporcionar una breve introducción de un 
semestre a las ecuaciones diferenciales parciales. Es limitado tanto en 
alcance como en profundidad en comparación con los libros existentes, pero 
abarca los temas principales. Las fronteras de la matemática y la ciencia se 
están expandiendo rápidamente, y un curso de un semestre debe tratar de 
hacer avanzar a los estudiantes a un nivel en el que puedan alcanzar estos 
límites más rápidamente que en el pasado. No todos los temas tradicionales 
pueden ser examinados con gran detalle. Un ejemplo es el método de 
separación de variables, que desempeña un papel dominante en la mayoría 
de los textos; Algunas ilustraciones bien escogidas del método deberían 
bastar. 
El nivel de exposición en este texto es ligeramente superior al que 
normalmente se encuentra en el curso de ecuaciones diferenciales post-
cálculo. La filosofía es que un estudiante debe progresar en la capacidad de 
leer matemáticas. Los cálculos elementales y las ecuaciones diferenciales 
ordinarias contienen muchos ejemplos y cálculos detallados, pero los libros 
avanzados de matemáticas y ciencias le dejan mucho al lector. Este texto 
deja algunos de los detalles fáciles de suministrar al lector. Al estudiante se 
le anima como parte del proceso de aprendizaje a llenar estos detalles 
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faltantes (ver "Para el Estudiante"). La escritura tiene más un estilo de 
ingeniería y ciencia que un formato matemático formal. En consecuencia, 
los argumentos dados son deducciones en lugar de pruebas 
cuidadosamente construidas. Los ejercicios animan a los estudiantes a 
pensar en los conceptos y deducciones en lugar de simplemente repetir 
muchas soluciones rutinarias. El estudiante que lea este libro 
cuidadosamente y que resuelva la mayor parte de los ejercicios tendrá una 
sólida base de conocimientos para continuar con un curso de ecuaciones 
diferenciales parciales de segundo año en el que se llevarán a cabo pruebas 
cuidadosas o cursos superiores en ciencias e ingeniería donde se introducen 
las aplicaciones detalladas de ecuaciones diferenciales parciales. Tanto la 
exposición como los ejercicios desarrollarán habilidades analíticas que 
algunos estudiantes no desarrollaron en los cursos de cálculo de la reforma. 
Los principales cambios en esta segunda edición incluyen una nueva 
sección en el Capítulo 1 sobre los procesos de advección y difusión en las 
ciencias biológicas y un nuevo capítulo (capítulo 5) sobre modelos en las 
ciencias de la vida; Este último incluye secciones sobre estructura de 
edades, ondas epidémicas itinerantes y formación de patrones a través de 
inestabilidades químicas. Muchos nuevos ejercicios han sido añadidos en 
todo el texto. 
En el Capítulo 1 introducimos algunas ecuaciones diferenciales parciales 
básicas de la matemática aplicada. Muchas de las ecuaciones básicas 
provienen de una ley de conservación, o ley de equilibrio, y describen 
procesos físicos como advección (convección), difusión y reacción. La 
variedad de aplicaciones demuestran el papel central que desempeñan las 
ecuaciones diferenciales parciales en todas las áreas de la ciencia y la 
ingeniería. El objetivo es dar a los estudiantes un sentido de los orígenes de 
las ecuaciones diferenciales parciales y cómo sus soluciones difieren. Al 
mismo tiempo, los ejercicios obligan a los estudiantes a revisar la regla de 
la cadena, el teorema de la divergencia y otros conceptos del cálculo 
multivariable. 
El Capítulo 2 examina ecuaciones en dominios ilimitados infinitos y semi-
infinitos. La opinión del autor es que estos problemas son más simples que 
sus contrapartes en dominios acotados con límites presentes. La mayoría de 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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los estudiantes han estudiado transformadas de Laplace en un curso de 
ecuaciones diferenciales ordinarias elementales, por lo que es una 
transición natural para estudiar los métodos de transformación para las 
ecuaciones de derivadas parciales. 
Una idea fundamental en matemáticas aplicadas es la ortogonalidad. En el 
capítulo 3, en lugar de adoptar un enfoque estricto en la serie de Fourier, se 
toma una estrategia general. Cursos de cálculo siempre han incluido la serie 
de Taylor, y muchos cursos de cálculo, especialmente los cursos de reforma, 
ahora incluyen algún material sobre la serie de Fourier. Por lo tanto, los 
estudiantes están listos para ser introducidos a las expansiones generales 
de funciones en serie, especialmente las series ortogonales. Estas 
expansiones están motivadas por el método de separación de variables y las 
series de Fourier clásicas se estudian como un caso especial. 
El Capítulo 4 contiene material tradicional sobre el método de separación 
de variables para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dominios 
acotados. Resolvemos ecuaciones con diversas condiciones de contorno en 
geometría rectangular, cilíndrica y esférica. Se insta a los estudiantes a usar 
paquetes de software para realizar algunos de los cálculos. Hay una sección 
sobre problemas inversos y una sección sobre el método de diferencias 
finitas. 
Me gustaría dar las gracias a los muchos usuarios de la primera edición por 
ayudar a que sea un éxito. Su brevedad ciertamente golpeó un acorde 
positivo. Algunos de sus comentarios, correcciones y sugerencias se han 
convertido en una parte de esta nueva edición. También me gustaría dar las 
gracias a mi amigo y colega de Biociencia, el profesor Tony Joern, por 
presentarme a un mundo de interesantes problemas en ecología. Algunos 
de estos problemas estimularon la nueva cobertura de las aplicaciones de 
las EDP a la biología en esta segunda edición. 
Sugerencias para el uso del texto: El autor ha enseñado este material en 
numerosas ocasiones y utiliza aproximadamente el siguiente calendario: 
Capítulo 1 (10 clases), Capítulo 2 (9 clases), Capítulo 3 (7 clases), Capítulo 4 
(12 clases) Capítulo 5 (6 clases). Bajo este calendario, las secciones marcadas 
con un asterisco (∗) en la Tabla de Contenidos a menudo no están cubiertas 
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en conferencias, sino más bien se asignan como material de lectura adicional 
a los estudiantes de posgrado que toman el curso. Los esquemas de las 
soluciones a muchos de los ejercicios se pueden encontrar en mi sitio web 
(www.math.unl.edu/~dlogan) o se accede en el sitio de Springer-Verlag 
(www. Springer-ny.com). 
Lincoln, Nebraska J. David Logan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para el estudiante 
Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) son una materia sobre 
ecuaciones diferencialespara funciones desconocidas de varias variables; 
Las derivadas implicadas son derivadas parciales. Como tal, es una materia 
que está íntimamente conectado con cálculo multivariable o de tercer 
semestre. Para ser exitoso se debe tener, en primer lugar, un buen dominio 
de los conceptos del cálculo de varias variables. Por lo tanto, mantenga un 
texto de cálculo cerca y revise los conceptos cuando sean necesarios. Los 
mismos comentarios se aplican a las ecuaciones diferenciales ordinarias 
elementales (EDO). Hay un apéndice al final del libro que revisa algunas de 
las técnicas básicas de solución para EDO. 
En segundo lugar, un libro de matemáticas debe leerse con un lápiz y papel 
a mano. Los libros elementales llenan la mayoría de los pasos en la 
exposición, pero los libros avanzados dejan muchos detalles al lector. Este 
libro tiene suficiente detalle para que pueda seguir la discusión, pero se 
requiere lápiz y papel en algunas partes. Verificar todas las declaraciones 
en un texto es un esfuerzo valioso y le ayudará a aprender el material. 
Muchos estudiantes encuentran que estudiar EDP proporciona una 
oportunidad para reforzar muchos conceptos de cálculo y cálculos. 
Por último, los ejercicios son la parte más importante de este texto, y usted 
debe tratar de resolver la mayoría o todos ellos. Algunos requerirán cálculos 
analíticos o informáticos de rutina, pero otros requerirán una reflexión 
cuidadosa. Aprendemos matemáticas haciendo matemáticas, incluso 
cuando estamos atrapados por un problema. El esfuerzo puesto en un 
intento fallido le ayudará a resolver los conceptos y reforzar el proceso de 
aprendizaje. Vea los ejercicios como un desafío y resista la tentación de 
renunciar. 
Lincoln, Nebraska J David Logan 
 
 
 
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Contenidos 
Prefacio a la Segunda Edición 2 
Para el Estudiante 6 
Capítulo 1: Los Orígenes Físicos de las Ecuaciones Diferenciales 
Parciales 
1.1 Modelos Matemáticos 9 
1.2 Leyes de Conservación 19 
1.3 Difusión 29 
1.4 Modelos de EDP en Biología 38 
1.5 Vibraciones y Acústica 53 
1.6 Mecánica Cuántica 63 
1.7 Flujo del Calor en Tres Dimensiones 67 
1.8 Ecuación de Laplace 74 
1.9 Clasificación de las EDP 82 
 
Capítulo 2: Ecuaciones Diferenciales Parciales en Dominios No 
Acotados 
2.1 Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor 88 
2.2 Problema de Cauchy para la Ecuación de Onda 96 
2.3 Problemas Mal Planteados 102 
2.4 Dominios Semi-Infinitos 106 
2.5 Principio de Duhamel y Fuentes 113 
2.6 Transformadas de Laplace 119 
2.7 Transformadas de Fourier 128 
2.8 Solución de EDP Usando Sistemas de Algebra por Computadora 137 
Capítulo 3: Expansiones Ortogonales 
3.1 El Método de Fourier 142 
3.2 Expansiones Ortogonales 146 
3.3 Series Clásicas de Fourier 159 
3.4 Problemas de Sturm-Liouville 167 
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Capítulo 4: Ecuaciones Diferenciales Parciales en Dominios Acotados 
4.1 Separación de Variables 178 
4.2 Condiciones de Flujo y Radiación 189 
4.3 Ecuación de Laplace 199 
4.4 Enfriamiento de una Esfera 210 
4.5 Difusión en un Disco 217 
4.6 Fuentes y Dominios Acotados 224 
4.7 Problemas de Identificación de Parámetros 230 
4.8 El Método de las Diferencias Finitas 237 
Capítulo 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales en las Ciencias de la Vida 
5.1 Modelos Estructurados por Edad 251 
5.2 Frente de ondas viajeras 263 
5.3 Equilibrio y Estabilidad 272 
Apéndice: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 285 
Tabla de Transformadas de Laplace 293 
Referencias 294 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Capítulo 1 
Los Orígenes Físicos de las Ecuaciones 
Diferenciales Parciales 
 
1.1 Modelos Matemáticos 
Muchas ideas importantes de matemáticas fueron desarrolladas dentro del 
marco de las ciencias físicas. Por ejemplo, el cálculo tiene sus orígenes en el 
esfuerzo por describir con exactitud el movimiento de los cuerpos. Las 
ecuaciones matemáticas siempre han proporcionado un lenguaje con el cual 
se formulan conceptos en física – Las ecuaciones de Maxwell describen un 
fenómeno electrodinámico, las ecuaciones de Newton describen sistemas 
mecánicos, las ecuaciones de Schrödinger describen aspectos de la mecánica 
cuántica; y así sucesivamente. En el transcurso de los años, sin embargo, 
matemáticos y científicos han extendido este tipo de conexiones para incluir 
todas las áreas de la ciencia y la tecnología, emergiendo así un campo 
llamado Modelación Matemática. Un modelo matemático es una ecuación 
o un conjunto de ecuaciones, cuya solución describe el comportamiento 
físico de un sistema físico relacionado. Estos modelos pueden ser 
concernientes a lo económico, biológico, etcétera. Por ejemplo las 
ecuaciones de Maxwell son un modelo para el fenómeno electrodinámico, 
como muchos modelos matemáticos, las ecuaciones de Maxwell se basan en 
experimentos y observaciones físicas. En general, un modelo matemático es 
una descripción simplificada o caricatura de la realidad física (económica, 
biológica, etc.) en términos matemáticos. La modelación matemática 
involucra observaciones físicas relevantes, formulación de las ecuaciones, 
análisis y simulación; y finalmente validación del modelo. En este últimopaso la información de las simulaciones y las soluciones alimentan de 
nuevo el modelo, para asegurar cuando en verdad el modelo describe al 
fenómeno; en este paso, pueden ocurrir modificaciones y pueden hacerse 
las mejoras. 
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En este curso se estudiarán modelos físicos de Ecuaciones en Derivadas 
Parciales (EDP). Esto es, se examinarán fenómenos físicos que se describen 
por ecuaciones diferenciales parciales. El objetivo es estudiar el origen de 
tales modelos y las herramientas que se utilizan para su análisis. 
El lector debería estar familiarizado con sistemas físicos gobernados por 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO). Por ejemplo, el modelo típico 
de crecimiento de poblaciones de Malthus (Thomas Malthus fue un 
ensayista del siglo XVIII que escribió en palabras sobre el crecimiento de la 
población y el suministro de recursos) 
ⅆ𝑢
ⅆ𝑡
= 𝑟𝑢, 𝑡 > 0, 
el cual es un modelo simple del crecimiento de la población donde la razón 
de cambio de la población 𝑢 = 𝑢(𝑡) es proporcional a la población. Aquí 𝑡 
es el tiempo y 𝑢 = 𝑢(𝑡) es la población de un sistema de individuos dado. 
Nos referimos a 𝑢 como la variable de estado y decimos que la evolución de 
la variable de estado se rige por la ecuación del modelo. El número real 𝑟 es 
un parámetro físico dado que representa la razón de crecimiento relativo; 
presuntamente 𝑟 puede medirse para la población dada bajo investigación. 
La solución a tal modelo se puede encontrar fácilmente, a saber; 
𝑢(𝑡) = 𝑢0ⅇ
𝑟𝑡 , 𝑡 > 0 
Donde 𝑢0 representa la población inicial. 
Así el modelo de Malthus predice un crecimiento exponencial, el cual 
describe con precisión algunas poblaciones durante la etapa inicial de 
crecimiento. 
El modelo de Malthus es un modelo típico de EDO. La variable de estado 
es una función que depende únicamente de una variable independiente 
(tiempo 𝑡), el modelo contiene un parámetro 𝑟. En general los modelos de 
EDO son del tipo 
ⅆ𝑢
ⅆ𝑡
= 𝐹(𝑡, 𝑢; 𝑟), 𝑡 > 0 
 
Donde 𝐹 es una relación funcional dada entre 𝑡, 𝑢 y 𝑟. Algunos modelos 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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incluyen una condición inicial de la forma 𝑢(0) = 𝑢0, donde 𝑢0 es un valor 
de estado dado en 𝑡 = 0. De manera más general, un modelo de EDO puede 
consistir de un sistema de 𝑛 EDO para 𝑛 variables de estado 𝑢1(𝑡), … , 𝑢𝑛(𝑡) 
y puede haber 𝑚 parámetros 𝑟1, … , 𝑟𝑚. 
Un modelo de EDP difiere de un modelo de EDO en que la variable de 
estado depende de más de una variable independiente, y la ecuación del 
modelo resultante es una EDP. Mientras que una EDO modela la 
evolución de un sistema en el tiempo, y las observaciones se hacen en el 
tiempo, una EDP modela la evolución de un sistema en el tiempo y 
espacio; el sistema se puede observar tanto en un intervalo de tiempo 
como en una región espacial (la cual puede ser de una, dos o tres 
dimensiones). Los modelos de EDP pueden ser independientes del tiempo, 
pero depender de varias variables espaciales. Para atrapar la idea, vamos a 
considerar el problema de determinar la temperatura en una barra de metal 
aislada lateralmente, de longitud 𝑙 y área unitaria de la sección transversal, 
cuyos dos extremos se mantienen a temperatura constante de valor cero 
grados y cuya temperatura inicial (en el tiempo cero) varía a lo largo de la 
barra y se determina por una función fija 𝜙(𝑥). 
 
Figura 1.1 Barra de metal aislada lateralmente con la 
temperatura de cero grados en los extremos. El calor 
fluye en la dirección 𝑥, y 𝑢(𝑥, 𝑡) es la temperatura de la 
sección transversal en 𝑥 en el tiempo 𝑡. 
 
¿Cómo funciona el enfriamiento de la barra? En este caso, la variable de 
estado 𝑢 es la temperatura, y esta depende de cuando se hace la medición y 
en que parte de la barra. Luego 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝑙 La ecuación modelo 
que rige la evolución de la temperatura 𝑢 es llamada la ecuación del calor 
y tiene la siguiente forma 
 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙 (𝟏. 𝟏) 
 
La cual es una EDP (casi siempre utilizamos la notación de subíndice para 
indicar diferenciación parcial; y rara vez se escriben las variables 
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independientes, prefiriendo 𝑢 a 𝑢(𝑥, 𝑡)). En otras palabras, la derivada 
parcial de la temperatura con respecto a 𝑡 debe ser igual a la segunda 
derivada parcial respecto a 𝑥 multiplicada por una constante 𝑘. La 
constante 𝑘, es llamada constante de difusividad y es un parámetro 
conocido propio de la barra; que se puede determinar en términos de la 
densidad, calor específico y conductividad térmica del metal. De esta 
manera, la ecuación del calor es un modelo de EDP. Más adelante 
observaremos que surge de una ley básica física (ahorro de energía) y una 
observación empírica (ley del calor de Fourier). Las condiciones de que los 
extremos de la barra se mantengan a temperatura cero grados se expresa 
por: 
 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒖(𝒍, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎 (𝟏. 𝟐) 
que son conocidas como condiciones en la frontera porque son 
condiciones que se imponen en la frontera del dominio espacial. La 
condición de que la barra tenga inicialmente una temperatura de 𝜙(𝑥) 
grados se expresa matemáticamente por 
 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝓(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝒍. (𝟏. 𝟑) 
Esta condición se conoce como condición inicial porque se especifica la 
variable de estado en el tiempo 𝑡 = 0. El conjunto de ecuaciones (1.1) – (1.3) 
– La EDP y las condiciones auxiliares- forman el modelo matemático para 
el flujo de calor en la barra. A tal modelo, desde el punto de vista de EDP 
se le conoce como un problema de valores en la frontera y condiciones 
iniciales. La invención y análisis de tales modelos son la materia de estudio 
de estas notas. 
En el ejemplo previo del flujo del calor, la variable de estado 𝑢 dependía de 
dos variables independientes: una variable temporal y una espacial. Dicho 
modelo es un modelo de evolución. Algunos sistemas físicos no dependen 
del tiempo, sino únicamente de las variables espaciales, a tales modelos se 
les conoce como modelos estáticos o de equilibrio. Por ejemplo, si 𝛺 
representa una región tridimensional acotada la cual no presenta carga y en 
la frontera de la región 𝜕𝛺 se da un potencial eléctrico independiente del 
tiempo (recordando que en electrostática, el gradiente del potencial 
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eléctrico es el campo vectorial eléctrico), entonces se sabe que el potencial 
eléctrico 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) dentro de 𝛺 satisface la ecuación de Laplace, una 
ecuación diferencial parcial que tiene la forma 
 
𝒖𝒙𝒙 + 𝒖𝒚𝒚 + 𝒖𝒛𝒛 = 𝟎, (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝜴 (𝟏. 𝟒) 
 
Si denotamos el potencial dado en la frontera por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) entonces (1.4) 
junto con la condición de frontera 
 
𝒖(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛), (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝝏𝜴 (𝟏. 𝟓) 
 
es un modelo de equilibrio de la electrostática. En ecuaciones diferenciales 
parciales tales modelos son llamados problemas de valor en la frontera. 
Resolver la ecuación de Laplace (1.4) en una región 𝛺 sujeto a la 
condición (1.5) en la frontera es llamado Problema de Dirichlet. 
En general, una EDP en una variable espacial y el tiempo es de la forma 
 
𝑮(𝒙, 𝒕, 𝒖, 𝒖𝒙, 𝒖𝒕, 𝒖𝒙𝒙, 𝒖𝒕𝒕, 𝒖𝒙𝒕, … ) = 𝟎, 𝒙 ∈ 𝜴, 𝒕 ∈ 𝑰, (𝟏. 𝟔) 
donde 𝐼 es un intervalode tiempo dado y  es un intervalo en una 
dimensión. A menudo, 𝐼 es un tiempo positivo 𝑡 ≥ 0, y 𝛺 puede ser un 
intervalo acotado o no acotado. De este modo, una EDP es una ecuación que 
involucra una función desconocida 𝑢(𝑥, 𝑡), la variable de estado y algunas 
derivadas parciales. El orden de la ecuación (1.6) es el orden de la derivada 
más alta que aparece. Un modelo de EDP es una EDP junto con condiciones 
iniciales y/o de frontera que especifican el estado inicial y en la frontera. 
Pueden aparecer uno o más parámetros que no se muestran en (1.6). 
Las EDPs se clasifican de acuerdo a su orden y a otras propiedades. Por 
ejemplo, como en EDO, se clasifican en lineales y no lineales. La ecuación 
(1.6) es lineal si 𝐺es una función lineal en 𝑢 y en todas sus derivadas; esto 
significa que la 𝑢 desconocida y las derivadas que están presentes aparecen 
solas y a la primera potencia en la ecuación; de otra forma es no lineal. Una 
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ecuación lineal es homogénea si cada término contiene a 𝑢 o alguna 
derivada de 𝑢. 
Ejemplo 
Las siguientes dos ecuaciones son de segundo orden 𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥𝑥 = 0 y 𝑢𝑡𝑡 −
𝑢𝑥 + 𝑠ⅇ𝑛𝑢 = 0, son no lineales, la primera por el producto 𝑢𝑢𝑥𝑥 y la segunda 
porque la 𝑢 está ligada a la función seno. La siguiente ecuación es de 
segundo orden, lineal y no-homogénea 𝑢𝑡 − 𝑠ⅇ𝑛(𝑥
2𝑡)𝑢𝑥𝑥 = 0. □ 
No se puede exagerar la importancia de la división de las EDP en las 
categorías de lineales o no lineales. Las ecuaciones lineales tienen una 
estructura algebraica en el conjunto de sus soluciones; por ejemplo, la suma 
de dos soluciones a una ecuación lineal homogénea es también una 
solución, es decir, satisfacen el principio de superposición. Esto no ocurre 
con las no lineales además de que sus soluciones son más difíciles de 
analizar. En este texto solo se estudiarán las ecuaciones lineales. 
Igualmente importante en los esquemas de clasificación para una EDP es la 
especificidad del fenómeno físico que se describe; por ejemplo, una EDP 
puede ser clasificada como de onda, de difusión, o estática, dependiendo de 
los modelos de propagación de la onda, del proceso de difusión, o del 
estado de equilibrio, respectivamente. Por ejemplo, la ecuación de Laplace 
(1.4) es una ecuación de equilibrio lineal y de segundo orden; la ecuación 
del calor (1.1) es una ecuación de difusión lineal, de segundo orden porque 
el flujo de calor es un proceso de difusión. En la sección 1.10 daremos una 
caracterización más precisa. 
Para una solución a la EDP (1.6) nos referimos a una función 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) 
definida en el dominio de espacio-tiempo 𝑡 ∈ 𝐼, 𝑥 ∈ 𝛺 que satisface, tras la 
sustitución, la ecuación (1.6) de forma idéntica en ese dominio. Implícito en 
esta definición está la estipulación de que 𝑢 posee la mayor cantidad de 
derivadas parciales continuas como sea necesario para la EDP. Por ejemplo, 
una solución de una ecuación de segundo orden debe tener dos derivadas 
parciales continuas, para que tenga sentido para el cálculo de las derivadas 
y sustituirlas en la ecuación. Mientras que la solución general de una EDO 
implica constantes arbitrarias, la solución general a un EDP implica 
funciones arbitrarias. A veces la solución general a un EDP se puede 
encontrar, pero usualmente no es necesario tener que resolver la mayoría 
de los problemas de interés. 
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Ejemplo: 
Comprobar, por sustitución directa, que ambas funciones 
𝑢1(𝑥, 𝑡) = 𝑥
2 + 2𝑡 y 𝑢2(𝑥, 𝑡) = ⅇ
−𝑡𝑠ⅇ𝑛𝑥 
resuelven la ecuación del calor 𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 0 
Hay muchas otras soluciones a esta ecuación. Las condiciones auxiliares, 
como las condiciones iniciales y de frontera, por lo general señalan a la 
solución adecuada a un problema. 
Ejemplo: 
Considerar la EDP no homogénea lineal de primer orden. 
𝑢𝑥 = 𝑡𝑠ⅇ𝑛𝑥 
Esta ecuación puede ser resuelta por integración directa. Integramos con 
respecto a 𝑥 , manteniendo 𝑡 fijo, obtenemos: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝑡 cos 𝑥 + 𝜙(𝑡), 
donde 𝜙 es una función arbitraria. Note que, en una EDP, integrar con 
respecto a una variable produce una función arbitraria de la otra variable, 
no una constante arbitraria como en el cálculo de una dimensión. Esta 
última ecuación define la solución general. Uno puede comprobar que es 
solución para alguna función diferenciable 𝜙(𝑡) . Las EDP tienen funciones 
arbitrarias en la expresión de sus soluciones generales; el número de tales 
funciones usualmente coincide con el orden de la ecuación. □ 
En este punto mencionamos que algunos sistemas de álgebra 
computacional tienen comandos que regresan la solución general a la EDP 
en términos de funciones arbitrarias. El lector que desee explorar esta 
característica en el paquete de software de Maple puede en este momento 
ir directamente a la sección 2.8 para ejemplos. 
Geométricamente, una solución 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) puede pensarse como una 
superficie en el espacio − 𝑥𝑡𝑢. Refiérase a la figura 1.2. La superficie se 
encuentra sobre el dominio del espacio-tiempo 𝛺× 𝐼 (Este es el conjunto 
(𝑥, 𝑡) tal que 𝑥 ∈ 𝛺 y 𝑡 ∈ 𝐼). Alternativamente, se puede considerar la 
solución como una secuencia continua de instantáneas de tiempo. Esto es, 
para cada tiempo 𝑡0 fijo, 𝑢(𝑥, 𝑡0) es una función de 𝑥 y por lo tanto 
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representa una instantánea de tiempo de la solución. En otras palabras, 
𝑢(𝑥, 𝑡0) es interpretado como un perfil de onda, o señal, en el tiempo 𝑡0. De 
esta manera una solución 𝑢(𝑥, 𝑡) de (1.6) 𝐺(𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑡 , 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢𝑡𝑡 , 𝑢𝑥𝑡 , … ) = 0,
𝑥 ∈ 𝛺, 𝑡 ∈ 𝐼, se puede considerar como una sucesión continua, en el tiempo, 
de la evolución de las formas de onda. 
Notas bibliográficas 
Hay muchos excelentes libros de EDP elementales escritos 
aproximadamente al mismo nivel que éste. Mencionamos a Farlow (1993), 
Guenther & Lee (1992) y Strauss (1992). En un nivel avanzado sugerimos a 
John (1982) o Renardy & Rogers (1993). El texto clásico de Tychonov & 
Samarskii (1990) tiene un buen balance de aplicaciones y teoría. Las EDP no 
lineales se tratan en detalle en Logan (1994), Smoller (1995) y Whitham 
(1974). Los modelos de EDP ocurren en todas las áreas de las ciencias puras 
y aplicadas. Los textos generales que involucran el modelado son Lin & 
Segel (1989) y Logan (1997). Las áreas específicas están incluidas en Bird, 
Stewart y Lightfood (1960) (ingeniería química), Carslaw y Jaeger (1959) 
(transferencia de calor), Chorin y Marsden (1993) (dinámica de fluidos), 
Edelstein-Keshet (1988), Grindrod (1997), Kot (2001), Britton (2003) y 
Murray (2003) (biología), de Marsily (1987) y Logan (2001) (hidrogeología) 
y Segel (1987). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 Una superficie de la solución 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑡) cuya sección transversal es un perfil 
de onda. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Ejercicios: 
1. Verificar que una solución a la ecuación del calor 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 en el 
dominio −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 > 0 está dada por 𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
√4𝜋𝑘𝑡
ⅇ−
𝑥2
4𝑘𝑡. 
Utilizar un paquete de álgebra computacional para esbozar varias 
instantáneas de tiempo sobre el mismo conjunto de ejes de 
coordenadas para mostrar cómo el perfil de temperatura evoluciona 
en el tiempo (toma 𝑘 = 1). ¿Cómo es el perfil de temperatura cuando 
𝑡 → 0? Dibuje la superficie de la solución. ¿Cómo afecta el parámetro 
𝑘 a la solución? Verificar que 𝑢(𝑥, 𝑦) = ln√𝑥2 + 𝑦2satisface la 
ecuación de Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0. Para todo (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). 
2. Verificar que 𝑢(𝑥, 𝑦) = ln√𝑥2 + 𝑦2 satisface la ecuación de Laplace 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 para todo (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). 
3. Encontrar una función 𝑢(𝑥, 𝑡) que satisface la EDP 𝑢𝑥𝑥 = 0, 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 𝑡 > 0 sujeto a las condiciones de frontera𝑢(0, 𝑡) = 𝑡2, 𝑢(1, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0. 
4. Verificar que 𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2𝑐
∫ 𝑔(𝜉)ⅆ𝜉
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
 es una solución a la EDP 𝑢𝑡𝑡 =
𝑐2𝑢𝑥𝑥 donde 𝑐 es una constante y 𝑔 es una función continuamente 
diferenciable. Aquí necesitaras la regla de Leibniz para diferenciar 
una integral con respecto a un parámetro que se produce en los límites 
de integración y en el integrando. La regla de Leibniz es 
ⅆ
ⅆ𝑡
∫ 𝐹(𝑦, 𝑡)ⅆ𝑦 
𝑏(𝑡)
𝑎(𝑡)
= ∫ 𝐹𝑡(𝑦, 𝑡)ⅆ𝑦
𝑏(𝑡)
𝑎(𝑡)
+ 𝐹(𝑏(𝑡), 𝑡)𝑏´(𝑡) − 𝐹(𝑎(𝑡), 𝑡)𝑎´(𝑡) 
Aquí, se asume que 𝑎, 𝑏, y 𝐹 son continuamente diferenciables. 
5. ¿Para qué valores de 𝑎, y 𝑏, 𝑢(𝑥, 𝑡) = ⅇ𝑎𝑡𝑠ⅇ𝑛 𝑏𝑥 es solución a la 
ecuación 𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0? 
6. Encontrar la solución a la ecuación general 𝑢𝑥𝑡 + 3𝑢𝑥 = 1. Sugerencia: 
Suponga 𝑣 = 𝑢𝑥 y resuelva la ecuación resultante para 𝑣; entonces 
encuentre 𝑢 . 
7. Demostrar que la ecuación no lineal 𝑢𝑡 = 𝑢𝑥
2 + 𝑢𝑥𝑥 puede ser reducida 
a la ecuación del calor 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 eligiendo 𝑤 = ⅇ
𝑢 para la variable 
dependiente. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
18 
 
8. Mostrar que la función 𝑢(𝑥, 𝑦) = arctan (
𝑦
𝑥
) satisface la ecuación 
bidimensional de Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 para 𝑦 > 0. Usando este 
hecho construir una solución a la ecuación bidimensional para 𝑦 > 0 
que además satisfaga las condiciones de frontera 𝑢(𝑥, 0) = 1 para 
 𝑥 > 0 y 𝑢(𝑥, 0) = −1 para 𝑥 < 0 . Asegúrese de explicar que rama de 
la función arctan está utilizando. 
9. Mostrar que ⅇ−𝜉𝑦𝑠ⅇ𝑛 (𝜉𝑥), 𝑥𝜖ℝ, 𝑦 > 0 es una solución a 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 
para algún valor del parámetro 𝜉. Deduce que 𝑢(𝑥, 𝑦) =
∫ 𝑐(𝜉)ⅇ−𝜉𝑦𝑠ⅇ𝑛 (𝜉𝑥)
∞
0
ⅆ𝜉. 
es una solución a la misma ecuación para alguna función 𝑐(𝜉) que es 
continua y acotada en [0,∞). (La hipótesis sobre 𝑐 permite diferenciar 
bajo el signo de la integral). Este ejercicio muestra que tomando 
soluciones integrales a veces da otra solución; la integración es una 
forma de superposición o suma de una solución continua. 
10. La EDP lineal homogénea con coeficientes constantes admite 
soluciones complejas de la forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴ⅇ𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) las cuales son 
llamadas ondas planas. La parte real e imaginaria de esta función 
compleja arroja soluciones reales. Aquí 𝐴 es la amplitud, 𝑘 es el 
número de onda, y 𝑤 es la frecuencia temporal. Cuando la forma de 
la onda plana es sustituida en la EDP resulta una relación de 
dispersión de la forma 𝜔 = 𝜔(𝑘) que establece como la frecuencia 
depende del número de onda. Para las siguientes EDP, encontrar la 
relación de dispersión y describir el resultado de la onda plana 
dibujando un perfil de la onda en diferentes tiempos. 
a) 𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 
b) 𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 0 
c) 𝑢𝑡 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0 
d) 𝑢𝑡 = 𝑖𝑢𝑥𝑥 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
19 
 
1.2 Leyes de conservación 
 
Muchos modelos vienen de una ley de equilibrio básico, o la ley de la 
conservación. Una ley de conservación es sólo una formulación 
matemática del hecho básico de que la tasa de cambio en un dominio 
dado debe ser igual a la velocidad a la que fluye la cantidad a través de la 
frontera más la velocidad a la que se crea la cantidad, o se destruye, dentro 
del dominio. Por ejemplo, considere una población de una determinada 
especie animal en una región geográfica determinada. La velocidad de 
cambio de la población animal debe ser igual a la velocidad a la que los 
animales migran hacia la región, menos la velocidad a la que migran fuera 
de ella, además de la tasa de natalidad, menos la tasa de muerte. Un 
enunciado de este tipo es una expresión verbal de un equilibrio, o la ley de 
la conservación. Uno puede hacer declaraciones similares para muchas 
cantidades de -energía térmica, la masa de un producto químico, el número 
de automóviles en una autopista, y así sucesivamente. 
Para cuantificar tales declaraciones requerimos alguna notación. Suponga 
que la variable de estado 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) denota la densidad de una cantidad 
dada (masa, energía, animales, automóviles, etc.); la densidad se mide 
generalmente en cantidad por unidad de volumen, o en ocasiones cantidad 
por unidad de longitud. Por ejemplo, la densidad de energía se mide en 
unidades de energía por volumen. Suponemos que cualquier variación en 
la cantidad se limita a una dimensión espacial, es decir, se supone un 
dominio de una sola dimensión (por ejemplo, un tubo, como en la figura 
1.3) donde cada sección transversal está etiquetada por la variable espacial 
𝑥; es necesario que no haya variación de 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) dentro de la sección 
transversal en 𝑥. Implícita es la suposición de que la cantidad en el tubo es 
lo suficientemente abundante y continua en 𝑥 por lo que tiene sentido para 
definir una densidad en cada sección del tubo. El importe de la cantidad en 
una pequeña sección de anchura ⅆ𝑥 es 𝑢(𝑥, 𝑡)𝐴 ⅆ𝑥, donde 𝐴 es el área de la 
sección transversal del tubo. Además, suponemos que 𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡) denota el 
flujo de la cantidad en 𝑥 en el tiempo 𝑡. El flujo mide el importe de la 
cantidad que está cruzando la sección en 𝑥 en el tiempo 𝑡 y sus unidades 
son cantidad por unidad de área, por unidad de tiempo. Por lo tanto 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
20 
 
𝐴𝜙(𝑥, 𝑡) es el importe actual de la cantidad que está cruzando la sección en 
𝑥 en el tiempo 𝑡. Por conveniencia, el flujo es positivo si fluye a la derecha, 
y negativo si fluye a la izquierda. Finalmente, supongamos 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑡) 
denota la razón a la cual se crea la cantidad, o destruye, dentro de la sección 
en 𝑥 en el tiempo 𝑡. La función 𝑓 es llamada término fuente si es positiva y 
un sumidero si es negativa; se mide en cantidad por unidad de volumen 
por unidad de tiempo. Así 𝑓(𝑥, 𝑡)𝐴 ⅆ𝑥 representa la acumulación de la 
cantidad que es creada en una pequeña anchura ⅆ𝑥 por unidad de tiempo. 
 
Figura 1.3. Tubo con área de sección 
transversal 𝐴 con una muestra de sección 
arbitraria. El lado lateral está aislado, y las 
cantidades varían únicamente en la dirección 
de 𝑥 – en el tiempo. 
 
Una ley de conservación es una relación cuantitativa entre 𝑢, 𝜙 y 𝑓. Se 
puede formular la ley considerando una sección 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 fija, pero 
arbitraria del tubo (Figura 1.3) y requiriendo que la razón de cambio de la 
acumulación de la cantidad en la sección sea igual a la razón a la cual fluye 
en 𝑥 = 𝑎 menos la razón en la cual esta es creada dentro de 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. En 
símbolos matemáticos 
 
ⅆ
ⅆ𝒕
∫𝒖(𝒙, 𝒕)𝑨ⅆ𝒙
𝒃
𝒂
= 𝑨𝝓(𝒂, 𝒕) − 𝑨𝝓(𝒃, 𝒕) + ∫𝒇(𝒙, 𝒕)𝑨ⅆ𝒙 (𝟏. 𝟕)
𝒃
𝒂
 
esta ecuación es la ley de conservación fundamental; esta es una expresión 
integral del hecho básico que debe haber un balance entre, cuánto entra, 
cuanto sale y cuanto se cambia. Como A es una constante, puede cancelarse 
de la fórmula. 
La ecuación (1.7) es un modelo integral. Sin embargo, si las funciones 𝑢 y 𝜙 
son suficientemente suaves, esta ecuación puede reformularse como un 
modelo en EDP. Por ejemplo, si 𝑢 tiene primeras derivadas parciales 
continuas, entonces la derivada respecto al tiempo en el lado izquierdo de 
(1.7) puede ser llevada bajo el signo de la integral para obtener 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
21 
 
 
ⅆ
ⅆ𝑡
∫ 𝑢(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
 
(note que este es un caso especial de la regla de Leibniz – ver sección 1.1, 
ejercicio 4). Si 𝜙 tiene primeras derivadas parciales continuas, entonces se 
puede aplicar el teorema fundamental del cálculo para escribir el cambio en 
el flujo como la integral de una derivada, o 
 𝜙(𝑎, 𝑡) − 𝜙(𝑏, 𝑡) = −∫ 𝜙𝑥(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
 
Por lo tanto, (1.7) puede ser escrito como∫ (𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝜙𝑥(𝑥, 𝑡) − 𝑓(𝑥, 𝑡)) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= 0 
Puesto que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 es cualquier intervalo, y como el integrando es 
continuo, se sigue que el integrando se anula, o 
 𝒖𝒕(𝒙, 𝒕) + 𝝓𝒙(𝒙, 𝒕) = 𝒇(𝒙, 𝒕) (1.8) 
La ecuación (1.8) es una versión local de (1.7) obtenidas bajo la suposición 
de que 𝑢 y 𝜙 son continuamente diferenciables; este es un modelo de EDP 
describiendo la relación entre la densidad, su flujo, y la razón a la cual esta 
es creada. A (1.8) se le llama ley de la conservación fundamental. El término 
𝑓 es llamado la fuente, el término 𝜙 es el flujo. En (1.7) se suele entender la 
dependencia de 𝑥 y 𝑡 cuando se escribe 𝑢𝑡 + 𝜙𝑥 = 𝑓 por simplicidad. 
Antes de estudiar algunos ejemplos, haremos algunos comentarios 
generales. El flujo 𝜙 y la fuente 𝑓 son funciones de 𝑥 y 𝑡 pero su dependencia 
puede ser además de 𝑢. Por ejemplo, la fuente puede ser 𝑓 = 𝑓(𝑢), donde, 
por supuesto 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). Similarmente, 𝜙 puede depender de 𝑢. Esta 
dependencia conduce a modelos no lineales. A continuación, observemos 
que (1.8) es una sola ecuación, sin embargo hay dos incógnitas, 𝑢 y 𝜙 
(regularmente la fuente 𝑓 se asume que está dada). Esto significa que se 
requiere de otra ecuación para determinar 𝑢 y 𝜙. Esta ecuación se le llama 
relación constitutiva (o ecuaciones de estado) y surgen de las suposiciones 
físicas del medio. 
Ejemplo 
(Advección) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
22 
 
Un modelo donde el flujo es proporcional a la misma densidad, que es, 
𝜙 = 𝑐𝑢 
donde 𝑐 es una constante, es llamado un modelo de advección. Note que 𝑐 
debe tener unidades de velocidad (longitud por tiempo). En este caso la ley 
de conservación (1.8), por la ausencia de fuente (𝑓 = 0) se convierte en, 
𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 = 𝟎 (1.9) 
La ecuación (1.9) se le llama ecuación de advección. El lector debe verificar 
que la función 
 𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑭(𝒙 − 𝒄𝒕) (1.10) 
es solución a (1.9) para una función diferenciable 𝐹. Tales soluciones 
(1.10) son llamadas ondas viajeras a la derecha, ya que la gráfica de 
𝐹(𝑥 − 𝑐𝑡) es sólo la gráfica de 𝐹(𝑥) desplazada a la derecha 𝑐𝑡 unidades 
espaciales. Por lo que, cuando el tiempo 𝑡 aumenta, el perfil de la onda 𝐹(𝑥) 
se mueve hacia la derecha sin distorsiones, con su forma sin cambios, a la 
velocidad 𝑐. La figura 1.4 muestra dos formas de ver una onda viajera. 
Intuitivamente, (1.9) describe lo que usualmente se conoce como advección. 
Por ejemplo, un enjambre de insectos moviéndose como una onda de 
densidad sin distorsiones representaría la advección. Otros términos 
comunes para describir esta clase de movimiento son transporte y 
convección. 
Si el flujo es una función no lineal de la densidad, esto es, 𝜙 = 𝜙(𝑢), 
entonces la ley de conservación (1.8) toma la forma 
 𝑢𝑡 + 𝜙(𝑢)𝑥 = 𝑢𝑡 + 𝜙
′(𝑢)𝑢𝑥 = 0 (1.11) 
Si 𝜙(𝑢) es no lineal en 𝑢, entonces (1.11) es un modelo de advección no lineal 
y estos modelos son más difíciles de analizar. No se estudiarán tales 
modelos en este texto. El lector puede consultar Logan (1994) para un 
tratamiento elemental de las ecuaciones no lineales. 
Ejemplo 
(Advección y decaimiento) 
Recordar de las ecuaciones diferenciales elementales que el decaimiento o 
descomposición (por ejemplo, decaimiento radiactivo) se basa en la ley 
ⅆ𝑢
ⅆ𝑡
= −𝜆𝑢, donde 𝜆 es el índice de decaimiento. De esta forma, una sustancia 
moviéndose a través de un tubo a la velocidad 𝑐 (por ejemplo, un elemento 
químico radiactivo disuelto en agua fluyendo con velocidad 𝑐) puede ser 
modelada por la ecuación de advección-decaimiento: 
 𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 = −𝝀𝒖 (1.12) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
23 
 
Aquí, 𝑓 =−𝜆𝑢 es el término fuente (específicamente el término de 
decaimiento) y ∅ = 𝑐𝑢 es el término del flujo en la ley de conservación (1.8). 
El problema de valor inicial puro para la ecuación de advección es 
 𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 = 𝟎, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎 (1.13) 
 𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒖𝟎(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ (1.14) 
donde 𝑢0(𝑥) es una densidad dada, o señal. De (1.10) se sigue que la 
solución a este problema (1.13) - (1.14) es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0(𝑥 − 𝑐𝑡) 
Así, físicamente, la densidad inicial se mueve a la derecha con una 
velocidad 𝑐. Alternativamente se puede pensar como la señal de densidad 
moviéndose a través de la familia de líneas rectas 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡 constante en el 
espacio tiempo. Estas líneas, llamadas características, son las curvas que 
llevan la señal. 
 
 
 
 
Figura 1.4. Dos vistas de una onda 
viajera: (a) instantáneas de tiempo, y 
(b) en el espacio tiempo como una 
cresta. 
 
 
Ahora se indicará como resolver una ecuación general de advección de la 
forma 
 𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 + 𝒂𝒖 = 𝒇(𝒙, 𝒕), (1.15) 
 
Donde 𝑎 y 𝑐 son constantes y 𝑓 es una función dada. Como la ecuación de 
advección propaga señales con velocidad 𝑐, es razonable intentar resolver 
esta ecuación transformándola a una nueva, moviendo el sistema de 
coordenadas. Así, sea 𝜉 y 𝜏 nuevas variables independientes, llamadas 
coordenadas características, definidas por 
𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑡 
Se piensa a 𝜉 como el movimiento de una coordenada que viaja con la señal. 
Entonces, si se denota 𝑢(𝑥, 𝑡) en las nuevas variables por 𝑈(𝜉, 𝜏) (esto 
es, 𝑈(𝜉, 𝜏)= 𝑢(𝜉+ 𝑐𝜏,𝜏), o 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈(𝑥 − 𝑐𝑡, 𝑡)), entonces por regla de la 
cadena 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
24 
 
𝑢𝑡 = 𝑈𝜉𝜉𝑡 + 𝑈𝜏𝜏𝑡 = −𝑐𝑈𝜉 + 𝑈𝜏 
y 
𝑢𝑥 = 𝑈𝜉𝜉𝑥 + 𝑈𝜏𝜏𝑥 = 𝑈𝜉 
Así (1.15) se simplifica a 
𝑈𝜏 + 𝑎𝑈 = 𝐹(𝜉, 𝜏), 
Donde 𝐹(𝜉, 𝜏) = 𝑓(𝜉 + 𝑐𝜏, 𝜏). Observe que la EDP contiene derivadas 
respecto a una sola variable independiente y puede ser considerada como 
una EDO con la otra variable independiente como parámetro. Por lo tanto, 
podemos resolverla por los métodos de EDO. Tiene la forma de una 
ecuación lineal, y así puede ser resuelta multiplicando por el factor 
integrante ⅇ𝑎𝜏 e integrando con respecto a 𝜏. Un ejemplo que ilustra este 
procedimiento. 
Ejemplo 
Encontrar la solución general de 
𝑢𝑡 + 2𝑢𝑥 − 𝑢 = 𝑡. 
Suponga 𝜉 = 𝑥 − 2𝑡, 𝜏 = 𝑡. En estas coordenadas características la ecuación 
se transforma a 
𝑈𝜏 − 𝑈 = 𝜏. 
Multiplicando por ⅇ−𝜏 obtenemos 
𝑈𝜏ⅇ
−𝜏 − 𝑈ⅇ−𝜏 = 𝜏ⅇ−𝜏 
𝜕
𝜕𝜏
(𝑈ⅇ−𝜏) = 𝜏ⅇ−𝜏 
Integrando, 
𝑈ⅇ−𝜏 = ∫ 𝜏ⅇ−𝜏 ⅆ𝜏 = −(1 + 𝜏)ⅇ−𝜏 + 𝑔(𝜉), 
Donde 𝑔 es una función arbitraria. Transformando a las variables 𝑥𝑡 
entonces se obtiene la solución general. 
𝑢(𝑥, 𝑡) = −(1 + 𝑡) + 𝑔(𝑥 − 2𝑡)ⅇ𝑡 
La EDP de reacción-advección más general 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
25 
 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑢) 
puede teóricamente ser resuelta haciendo la misma transformación 
 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑡 para simplificarla a una ecuación de la forma 
𝑈𝜏 = 𝐹(𝜉, 𝜏, 𝑈) 
En estas coordenadas características la EDP se simplifica a una EDO con 
solo una derivada. El punto importante es que el operador de advección 
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑐
𝜕
𝜕𝑥
 se simplifica a 
𝜕
𝜕𝑡
 en coordenadas características; así, cambiando las 
variables independientes es una buena estrategia para manipular las 
ecuaciones cuando se tiene un operador de advección. Esta técnica de 
solución se le conoce como método de las características. 
Un método de las características similar se puede aplicar para resolver la 
ecuación 
𝑢𝑡 + 𝑐(𝑥,𝑡)𝑢𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑢). 
En este caso se puede pensar a 𝑐(𝑥, 𝑡) como la velocidad de advección en un 
medio heterogéneo; si se reemplaza la constante 𝑐 en el problema previo 
dependiendo ahora de la localización en el medio y en el tiempo. Las 
coordenadas características estarán dadas por 𝜉 = 𝜙(𝑥, 𝑡), 𝜏 = 𝑡, donde 
𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝐶 es la solución general de la EDO 
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
= 𝑐(𝑥, 𝑡) 
En estas nuevas coordenadas es fácil ver que la EDP original se transforma 
a una ecuación de la forma 
𝑈𝜏 = 𝐹(𝜉, 𝜏, 𝑈) 
donde 𝑈 = 𝑈(𝜉, 𝜏) . 
Ejemplo 
Considerar la EDP 
𝑢𝑡 + 2𝑡𝑢𝑥 = 0 
Aquí, 𝑐(𝑥, 𝑡) = 2𝑡. Poniendo 
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
= 2𝑡 y resolviendo da 𝑥 − 𝑡2 = 𝐶. Así 𝜉 =
𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝑥 − 𝑡2. Las coordenadas características son 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
26 
 
𝜉 = 𝑥 − 𝑡2, 𝜏 = 𝑡, 
y con ayuda de la regla de la cadena 
𝑢𝑡 = 𝑈𝜉(−2𝑡) + 𝑈𝜏, 𝑢𝑥 = 𝑈𝜉. 
Por lo tanto, al sustituir 𝑢𝑡 = 𝑈𝜉(−2𝑡) + 𝑈𝜏, 𝑢𝑥 = 𝑈𝜉 en la ecuación 𝑢𝑡 +
2𝑡𝑢𝑥 = 0 la EDP se transforma a 𝑈𝜏 = 0. Por eso 𝑈 = 𝑔(𝜉), donde 𝑔 es una 
función arbitraria. La solución general a la EDP dada es 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑡)2. 
Obsérvese que la solución es constante a lo largo del conjunto de las curvas 
características (parábolas en el espacio- tiempo) 𝑥 − 𝑡2 = 𝐶. 
En la sección 1.4 existe un tratamiento ampliado de la advección en un 
contexto biológico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
27 
 
Ejercicios 
1. ¿Cómo cambia la ley de conservación básica si el tubo tiene un área 
de sección transversal variable 𝐴 = 𝐴(𝑥) en lugar de un área de 
sección transversal constante. 
2. Resolver el problema de valor inicial 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 0) = ⅇ
−𝑥2 , 𝑥 ∈ ℝ. 
Escoger 𝑐 = 2 y dibujar la superficie de la solución y varias 
instantáneas de tiempo. ¿Puedes ver una onda viajera? Dibuja las 
curvas características en el plano- 𝑥𝑡. 
3. Encuentra la solución general a la ecuación de advección-decaimiento 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = −𝜆𝑢 
Por transformación de coordenadas características 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑡. 
4. Mostrar que el término para el decaimiento en la ecuación de 
advección-decaimiento 𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = −𝜆𝑢 se puede quitar haciendo un 
cambio de variable dependiente para 𝑤 = 𝑢ⅇ𝜆𝑡 
5. Resolver el problema de valor inicial puro 
 𝑢𝑡 + 𝑥𝑡𝑢𝑥 = 0, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 
y 
𝑢𝑡 + 𝑥𝑢𝑥 = ⅇ
𝑡 , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥). 
 
6. Resolver el problema de valor inicial y de frontera 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = −𝜆𝑢, 𝑥, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0; 𝑢(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡), 𝑡 > 0 
En este problema tienes que tratar los dominios 𝑥 > 𝑐𝑡 y 𝑥 < 𝑐𝑡 de 
manera diferente; la condición de frontera afecta la región solución 
𝑥 < 𝑐𝑡, y la condición inicial afecta la región 𝑥 > 𝑐𝑡. 
7. Resolver el problema de valor inicial puro 
𝑢𝑡 + 𝑢𝑥 − 3𝑢 = 𝑡, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥2, 𝑥 ∈ ℝ. 
8. Para estudiar la absorción de nutrientes en el intestino de los insectos 
se supone un modelo de su tracto digestivo como un tubo de longitud 
𝑙 y sección transversal 𝐴. Los nutrientes de la concentración 𝑛 =
𝑛(𝑥, 𝑡) fluyen a través del tracto a velocidad 𝑐, y son absorbidos a nivel 
local a una taza proporcional a √𝑛. ¿Cuál es el modelo de EDP? Si el 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
28 
 
tracto está vacío en 𝑡 = 0 y luego se introducen nutrientes a la 
concentración constante 𝑛0 en la boca ( 𝑥 = 0) para 𝑡 > 0. Resolver 
este modelo de EDP y esbozar una gráfica de la concentración de 
nutrientes al salir del tracto en (𝑥 = 𝑙) para 𝑡 > 0. ¿Físicamente, 
porque 𝑛(𝑥, 𝑡) = 0 para 𝑥 > 𝑐𝑡 es la solución? 
9. Explicar porque la función 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐺(𝑥 + 𝑐𝑡) es llamada una onda 
viajera hacia la izquierda. ¿Cómo intentaría resolver la ecuación de 
advección 𝑢𝑡 − 𝑐𝑢𝑥 = 𝐹(𝑥, 𝑡, 𝑢)? 
10. La densidad de coches en una autopista ocupa un carril sin salida y la 
entrada es 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) carros por milla. Si 𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡) es el flujo de 
automóviles por hora, encuentre una ley de conservación que 
relacione la densidad y el flujo. ¿Por qué podría 𝜙 = 𝛼𝑢(𝛽 − 𝑢)(𝛼, 𝛽 >
0) ser una suposición razonable? Anote la EDP no lineal resultante 
para 𝑢. 
11. Encontrar una fórmula que defina implícitamente la solución 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑡) del problema de valor inicial para la ecuación de reacción-
advección. 
𝑢𝑡 + 𝑣𝑢𝑥 = −
𝛼𝑢
𝛽 + 𝑢
, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ 
Aquí, 𝑣, 𝛼 y 𝛽 son constantes positivas. Mostrar a partir de una 
fórmula implícita que siempre se puede resolver para 𝑢 en términos 
de 𝑥 y 𝑡. 
12. Escribe una fórmula para la solución general de la ecuación 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑢. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
1.3 Difusión 
 
Vamos de nuevo a escribir la ley de conservación básica (1.8) sin fuente 
 𝒖𝒕 +𝝓𝒙 = 𝟎 (1.16) 
Reiteramos que, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) representa la densidad de una cantidad física y 
𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡) representa su flujo. La ecuación (1.16) describe localmente cómo 
los cambios en la densidad están relacionados con los cambios del flujo. En 
la última sección modelamos la advección asumiendo que el flujo era 
proporcional a la densidad. Ahora queremos modelar un simple proceso de 
difusión. Construiremos la noción suponiendo que 𝑢 denota la 
concentración de alguna especie química, digamos un gas en un tubo. 
Esperamos que el movimiento aleatorio y las colisiones de las moléculas 
causen concentraciones o expansiones. Lo mismo puede ser para insectos 
en un tubo, gente congregada en una avenida, o la energía del calor en una 
barra de metal. 
Para este tipo de modelo de movimiento aleatorio se tienen dos 
observaciones: (i) el movimiento es de grandes concentraciones a 
concentraciones menores, y (ii) si el gradiente de concentración es mayor, 
mayor será el flujo. Por lo tanto, el flujo puede depender de la derivada 
respecto a 𝑥 de la densidad (la cual mide la inclinación de la curva de 
densidad). Se supone una relación lineal de la forma 
 𝝓 = −𝑫𝒖𝒙 (1.17) 
donde 𝐷 es una constante de proporcionalidad. El signo menos garantiza 
que si 𝑢𝑥 < 0, entonces 𝜙 será positivo y el flujo será, por conveniencia, a la 
derecha; si 𝑢𝑥 > 0, entonces 𝜙 será negativo y el flujo será a la izquierda. 
Decimos que el flujo es a favor del gradiente. La ecuación (1.17) es llamada 
ley de Fick, y la constante 𝐷 es llamada constante de difusión. 𝐷 se mide en 
longitud al cuadrado por unidad de tiempo. 
Cuando la ecuación constitutiva (1.17) se sustituye en la ley de conservación 
(1.16), obtenemos un modelo de ecuación simple 
 𝒖𝒕 −𝑫𝒖𝒙𝒙 = 𝟎, (1.18) 
la cual es llamada es llamada ecuación de difusión que es una ecuación 
fundamental en matemáticas aplicadas. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
30 
 
Ejemplo: 
(Flujo de calor) 
Vamos a considerar el flujo del calor en una barra de una dimensión que 
tiene una constante de densidad 𝜌 y una constante de calor específico 𝐶. Las 
dos constantes son parámetros físicos que están en tablas de ingeniería y 
manuales de física. El calor específico es la cantidad de energía requerida 
para aumentar un grado una unidad de masa del material y está dado en 
unidades de energía por unidad de masa por grados. Podemos aplicar la 
ley de conservación básica (1.16) a la barra, con 𝑢 la densidad de energía 
dada por 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝜌𝐶𝜃(𝑥, 𝑡), donde 𝜃(𝑥, 𝑡) es la temperatura en (𝑥, 𝑡) (la 
condición de que la energía es proporcional a la temperatura es, en sí 
misma, una suposición acerca del medio). Porlo tanto, 
 𝝆𝑪𝜽𝒕 +𝝓𝒙 = 𝟎 (1.19) 
es una expresión del balance de la energía en la barra cuando no hay fuente 
presente. El flujo de la energía se supone dado por la ley de Fick con 
expresión 
 𝝓 = −𝑲𝜽𝒙, (1.20) 
donde 𝐾 es la conductividad térmica, otra constante física. En el contexto 
del flujo del calor, (1.20) es llamada ley del calor de Fourier. Esta ley, es una 
relación constitutiva basada en la evidencia empírica, es una declaración de 
que el calor fluye desde las regiones más calientes a las regiones más frías; 
dicho de otra manera, el calor fluye en el sentido del gradiente de 
temperatura. Ahora, podemos sustituir (1.20) en (1.19) para obtener una 
única ecuación de la temperatura 𝜃(𝑥, 𝑡), a saber, 
 𝜽𝒕 − 𝒌𝜽𝒙𝒙 = 𝟎, 𝒌 ≡
𝑲
𝝆𝑪
 (1.21) 
La ecuación (1.21) se conoce como la ecuación del calor; esta es la ecuación 
de difusión en el contexto del flujo del calor. La constante 𝑘 se llama la 
difusividad y es una propiedad del medio; valores de 𝑘 para diferentes 
medios (metales plásticos, etc.) se encuentran en tablas matemáticas. Note 
que 𝑘 tiene las mismas dimensiones (longitud al cuadrado por tiempo) que 
la constante de difusión. En lo sucesivo se utilizará 𝑢 en lugar de 𝜃 para la 
función de temperatura. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
31 
 
En algunos casos la conductividad térmica 𝐾 en (1.20) puede no ser 
constante, además puede depender de 𝑥 si la barra es no homogénea; 
sobre rangos de temperatura largos, la conductividad puede depender 
además de la temperatura 𝜃. Si por ejemplo, 𝐾 = 𝐾(𝜃), entonces 
obtenemos un modelo de calor no lineal. 
 𝜌𝐶𝜃𝑡 − (𝑘(𝜃)𝜃𝑥)𝑥 = 0 
Es posible, desde luego, que la densidad y el calor específico dependan de 
la localización 𝑥 o la temperatura 𝜃. 
Ejemplo: 
(Advección-difusión) 
Si la advección y la difusión están presentes, entonces el flujo está dado por 
𝜙 = 𝑐𝑢 − 𝐷𝑢𝑥 , 
y en consecuencia, la ley (1.16) es 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 − 𝐷𝑢𝑥𝑥 = 0, 
que es la ecuación de advección difusión, esta ecuación puede gobernar la 
densidad de un químico, digamos, que está siendo afectado por el 
movimiento a granel de un fluido en movimiento a una velocidad 𝑐 en la 
que se disuelve, mientras que al mismo tiempo este se difunde de acuerdo 
a la ley de Fick. Si el químico además decae a razón 𝜆, entonces se incluye 
un término fuente, y el modelo es 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 − 𝐷𝑢𝑥𝑥 = −𝜆𝑢, 
que es la ecuación de advección-difusión-decaimiento. 
La ecuación de difusión es algunas veces acompañada por condiciones 
iniciales que especifican la densidad en tiempo 𝑡 = 0 en todos los puntos 
del dominio espacial, también por condiciones de frontera que especifican 
la densidad en la frontera del dominio para todo el tiempo 𝑡. Para construir 
la idea, vamos a considerar un tubo finito de longitud 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙. Entonces 
las condiciones iniciales tienen la forma 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 
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donde 𝑢0 es la distribución de densidad inicial dada. Existen tres tipos de 
condiciones en la frontera que suelen ocurrir en problemas físicos. Si la 
densidad se especifica en la frontera 𝑥 = 0, entonces se tiene 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡), 𝑡 > 0, 
donde es dada; esta condición es llamada condición de Dirichlet. Se puede 
especificar el flujo en una frontera, es decir, 
−𝐷𝑢𝑥(0, 𝑡) = ℎ(𝑡), 𝑡 > 0, 
la cual se conoce como condición de Neumann. Si ℎ(𝑡) ≡ 0, se dice que la 
frontera está aislada; si 𝑔 ó ℎ es cero, se dice que la correspondiente frontera 
es homogénea. 
Un tercer tipo de condiciones en la frontera tiene la forma (digamos en 𝑥 =
0) 
−𝐷𝑢𝑥(0, 𝑡) = −𝛽(𝑢(0, 𝑡) − 𝜓(𝑡)), 𝑡 > 0. 
En el flujo del calor en una barra, por ejemplo, esta ley expresa la ley de 
enfriamiento de Newton, la cual establece que el flujo de calor es 
proporcional a la diferencia de temperaturas entre los extremos de la barra 
y la temperatura dada 𝜓(𝑡) del ambiente; 𝛽 es la constante de 
proporcionalidad que representa el factor de la pérdida de calor. Este tipo 
de condiciones se llaman condiciones de radiación o condición de Robin. 
Parte de los requerimientos de un modelo de EDP bien planteado es que la 
EDP sea acompañada por condiciones iniciales y condiciones en la frontera 
apropiadas para que el problema matemático resultante tenga una única 
solución, así como un significado físico correcto. 
Muchos modelos de EDP tienen la propiedad de que después de un tiempo 
largo, el efecto causado por las condiciones iniciales decae siempre y la 
solución tiende a un estado de reposo 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), dependiendo solo de 𝑥 y 
las condiciones de frontera. En este caso, las derivadas con respecto al 
tiempo en la ecuación se anulan y 𝑢(𝑥) satisface una EDO con condiciones 
de frontera apropiadas. Un simple ejemplo está dado por la ecuación de 
difusión 𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥. La solución para el estado estacionario 𝑢 = 𝑢(𝑥) 
satisface 𝐷𝑢′′(𝑥) = 0, la cual da una densidad lineal 𝑢(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Las 
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33 
 
constantes 𝑎 y 𝑏 son determinadas por las condiciones de frontera dadas. El 
siguiente ejemplo es más complicado. 
Ejemplo: 
Considere un problema de valores iniciales y de frontera para la ecuación 
de difusión- decaimiento: 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑟𝑢, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, −𝐷𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = −1, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿. 
Este modelo puede, por ejemplo, representar una difusión de población de 
peces en un canal con razón de mortalidad 𝑟. En la frontera izquierda la 
densidad de población se mantiene en 0, mientras que en la frontera 
derecha los peces son introducidos al canal a razón de 1 por unidad de área 
por unidad de tiempo. El modelo para el estado-estable es el problema de 
valor en la frontera puro 
𝐷𝑢′′ − 𝑟𝑢 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 
𝑢(0) = 0, −𝐷𝑢′(𝐿) = −1 
para 𝑢 = 𝑢(𝑥). La condición inicial es ignorada ya que esta no afecta 
posteriormente a la solución. Para resolver la ecuación diferencial 
aplicamos métodos conocidos y obtenemos 
𝑢(𝑥) = 𝑐1𝑠ⅇ𝑛ℎ (√
𝑟
𝐷
𝑥) + 𝑐2 cosh (√
𝑟
𝐷
𝑥), 
donde 𝑐1 y 𝑐2 son constantes arbitrarias. La condición de frontera 𝑢(0) = 0 
forza a 𝑐2 = 0, dando 𝑢(𝑥) = 𝑐1𝑠ⅇ𝑛ℎ (√
𝑟
𝐷
𝑥). La condición de frontera 
derecha da −𝐷√
𝑟
𝐷
𝑐1cos ℎ (√
𝑟
𝐷
𝐿) = −1, o 𝑐1 =
1
√𝑟𝐷
cos ℎ (√
𝑟
𝐷
𝐿). Por lo tanto, 
la solución del estado de equilibrio, que representa la densidad de peces en 
el canal a lo largo del tiempo, es 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
34 
 
𝑢(𝑥) =
𝑠ⅇ𝑛ℎ (√
𝑟
𝐷
𝑥)
√𝑟𝐷 cos ℎ (√
𝑟
𝐷
𝐿)
. 
Los problemas de valores en la frontera puros para EDO son diferentes a 
los problemas de valores iniciales en que ellos no siempre tienen solución, 
o pueden tener muchas soluciones. Esto es, no hay garantía de que el 
sistema tenga una solución de estado estacionario. Si hay un estado de 
equilibrio, este puede ser inestable y el sistema no se acercará a ese estado. 
Estas cuestiones justifican su posterior análisis, y se verán en los capítulos 
4 y 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
35 
 
Ejercicios: 
1. El calor fluye longitudinalmente a través de una barra de metal de 
longitud 10 cm y la temperatura 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) satisface la ecuación de 
difusión 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥, donde 𝑘 = 0.02𝑐𝑚
2 ∕ 𝑠. Suponga que la 
temperatura en algún tiempo fijo 𝑇 en 𝑥 = 4,6,8 cm es 580, 640 y 720 
respectivamente. Calcular 𝑢𝑥𝑥(6, 𝑇) usando unaaproximación por 
diferencias. ¿Para la temperatura en 𝑥 = 6, aumenta o disminuye en 
el siguiente instante de tiempo? Calcular la temperatura en 𝑥 = 6 en 
𝑇 + 0.5 segundos. (Recordar del cálculo que 𝑓′′(𝑎) ≈
𝑓(𝑎−ℎ)−2𝑓(𝑎)+𝑓(𝑎+ℎ)
ℎ2
 donde ℎ es un pequeño incremento) 
2. Suponga que 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) satisface el modelo de EDP 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 
demostrar que 
∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)2 ⅆ𝑥
𝑙
0
≤ ∫ 𝑢0(𝑥)
2 ⅆ𝑥
𝑙
0
, 𝑡 > 0 
Sugerencia: suponga 𝐸(𝑡) = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)2 ⅆ𝑥
𝑙
0
 y muestre que 𝐸′(𝑡) ≤ 0. 
¿Qué se puede decir acerca de 𝑢(𝑥, 𝑡) si 𝑢0(𝑥) = 0? 
3. Demostrar que el problema 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡), 𝑢(𝑙, 𝑡) = ℎ(𝑡), 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 
con condiciones de frontera no homogéneas puede ser transformado 
a un problema con condiciones de frontera homogéneas. 
Sugerencia: introduce una nueva variable dependiente 𝜔 para 
sustraer de 𝑢 una función lineal de 𝑥 que satisface las condiciones de 
frontera en alguna 𝑡 fija. En la transformación del problema para 𝜔, 
observe que la EDP recoge un término fuente, por lo que usted 
realmente está negociando las condiciones de frontera por términos 
fuente. 
4. Demostrar que la ecuación de advección-difusión-decaimiento 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑐𝑢𝑥 − 𝜆𝑢 
puede ser transformada a la ecuación de difusión por una 
transformación de la forma 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
36 
 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑤(𝑥, 𝑡)ⅇ𝛼𝑥−𝛽𝑡 
 
solución: Tomar 𝛼 =
𝐶
𝐷
, 𝛽 = 𝜆 +
𝑐2
4𝐷
. 
5. El flujo de calor en una barra de metal con una fuente de calor 
interno se rige por el problema 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 + 1, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑢(1, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0 
¿Cuál será la temperatura del estado estable en la barra después de 
un largo tiempo? 
Sugerencia: En el estado de equilibrio 𝑢 depende solo de 𝑥. 
6. Una barra pierde calor a través de su límite lateral a un ritmo 
proporcional a la temperatura 𝑢. La ecuación es 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 − 𝑎𝑢, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 1, 𝑢(1, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0. 
Analiza como fluye el calor en la barra y a través de sus límites. 
Grafica la distribución de temperatura en el estado estacionario. 
7. Las bacterias en un medio unidimensional (un tubo con área de 
sección transversal igual a uno, longitud 𝑙, y tapado en ambos 
extremos) tienen una taza de crecimiento dada por la ley logística 
𝑟𝑢 (1 −
𝑢
𝑘
), donde 𝑟 es la constante de crecimiento, 𝑘 es la capacidad 
de carga, y 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) es la densidad de bacterias medida en 
bacterias por unidad de longitud. Inicialmente, la densidad está 
dada por 𝑢 = 𝑎𝑥(𝑙 − 𝑥) . Para 𝑡 > 0 las bacterias también se 
difunden con difusión constante 𝐷. Formular un problema inicial y 
de frontera para la densidad. Si esperamos mucho tiempo, ¿Cuál 
será la densidad? Usa perfiles de densidad que muestren cómo 
evoluciona la densidad. Es posible que desee considerar el caso 𝑎𝑙 <
4𝑘 y 𝑎𝑙2 > 4𝑘 por separado. 
Sugerencia: Piensa en el problema como si no hubiera difusión 
presente. 
8. Demostrar que la ecuación 𝑢𝑡 = 𝑘(𝑡)𝑢𝑥𝑥 puede ser transformada en 
la ecuación de difusión cambiando la variable independiente 𝑡 por 
𝜏 = ∫ 𝑘(𝜂) ⅆ𝜂
𝑡
0
. Mostrar que la ecuación 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 − 𝑏(𝑡)𝑢𝑥 puede ser 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
37 
 
transformada a la ecuación de difusión mediante un cambio en la 
variable espacial 𝜉 = 𝑥 − ∫ 𝑏(𝜂) ⅆ𝜂
𝑡
0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
38 
 
1.4 Modelos de EDP en Biología 
 
En muchas formas los modelos matemáticos en biología son muy diferentes 
de los de las ciencias físicas y la ingeniería. En este último caso los modelos 
se basan por lo general en los principios y leyes científicas que se pueden 
expresar con precisión en términos de cantidades medidas casi 
exactamente, y el objetivo es obtener resultados cuantitativos precisos. Por 
ejemplo, no hay duda de que las leyes de Newton del movimiento o las 
ecuaciones de Maxwell de la electrodinámica podrían aplicarse a alguna 
situación física. En las ciencias de la vida, sin embargo, es realmente 
imposible modelar todas las complejidades de la interacción depredador-
presa, las acciones de la bolsa, la dinámica de crecimiento de un tumor, o la 
propagación de una enfermedad infecciosa. Por lo tanto, los modelos son 
más fenomenológicos en la naturaleza, prediciendo características sólo 
cualitativas en lugar de conducir a resultados cuantitativos detallados. Los 
sistemas biológicos son muy complejos, y muchas veces sólo intentan 
describir las burdas características, haciendo caso omiso de gran parte de 
los detalles finos, la estocasticidad, y la variabilidad natural. En esta sección 
introduciremos algunos modelos estándar de EDP en las ciencias 
biológicas. las ideas complementarán la discusión de advección y difusión 
introducidas en las dos secciones anteriores. 
Empezamos con un simple experimento mental que ilustra cómo las 
ecuaciones diferenciales parciales surgen naturalmente en la dinámica de 
una población. Imagine que queremos estudiar la dinámica de una 
población grande de insectos en un tubo cilíndrico de longitud 𝑙 y área de 
sección transversal 𝐴. (Podríamos igualmente centrarnos fácilmente en 
bacterias, células, u otro organismo, y considerar el tubo como un canal u 
otro medio unidimensional) De las ecuaciones diferenciales elementales 
recordemos que tal población es a menudo modelada por la ley de 
crecimiento, o ecuación diferencial, para la población 𝑢 = 𝑢(𝑡) de insectos 
en el tubo en el tiempo 𝑡. Como se observó en la sección 1.1, el modelo de 
Malthus es 
ⅆ𝑢(𝑡)
ⅆ𝑡
= 𝑟𝑢(𝑡), 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
39 
 
que establece que la tasa de crecimiento es proporcional a la población 
actual, donde la constante de proporcionalidad 𝑟 es la tasa de crecimiento 
intrínseca. Es fácil resolver esta ecuación de modelo simple usando 
separación de variables y obtener una fórmula para la solución: 𝑢(𝑡) =
𝑢(0)ⅇ𝑟𝑡 . Por lo tanto, el modelo conduce a un crecimiento demográfico 
exponencialmente creciente. Este modelo es razonable para las primeras 
etapas del crecimiento de la población, pero es claramente imposible que 
una población continúe en este modo de crecimiento durante largos 
períodos porque los recursos (alimentos, espacio y otros factores 
ambientales) son generalmente limitados. Cuando los recursos son 
limitados y hay competencia por esos recursos, el modelo Malthus suele ser 
reemplazado por el modelo logístico 
ⅆ𝑢(𝑡)
ⅆ𝑡
= 𝑟𝑢(𝑡) (1 −
𝑢(𝑡)
𝐾
), 
donde 𝐾 es la capacidad de carga. Como la población 𝑢(𝑡) crece y se acerca 
a 𝐾, la tasa de crecimiento se aproxima a cero y existe un límite al 
crecimiento. La solución a este modelo de ecuación es fácilmente obtenida 
por separación de variables y se representa gráficamente con el familiar 
sigmoide, o curva en forma de 𝑆. En estos dos modelos dinámicos 
elementales la población sólo depende de una variable independiente, el 
tiempo 𝑡. También, aunque se suele decir que 𝑢 es la población total, 
implícitamente se entiende que es una densidad de población, o de la 
población por unidad de volumen (en este caso, el volumen fijo 𝐴𝐿 -área 
por longitud- del tubo). 
Claramente estos modelos ignoran cómo los insectos se distribuyen 
espacialmente en el tubo. Si queremos considerar esta distribución, 
entonces la población 𝑢 no solo dependerá del tiempo sino también de una 
variable espacial 𝑥 que denota la posición en el tubo, donde 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; esto 
es, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). Con esta interpretación, 𝑢(𝑥, 𝑡) es una densidad de población 
midiendo el número de insectos en un pequeño volumen 𝐴𝛥𝑥 que se 
encuentra entre 𝑥 y 𝑥 +𝛥𝑥. En otras palabras, 𝑢(𝑥, 𝑡)𝐴𝛥𝑥 es el número de 
insectos en el pequeño volumen. En este modelo hay implícitamente dos 
hechos: hay suficientes insectos en el tubo de manera que la definición de 
una densidad local tiene sentido, y no hay variaciones en la densidad en la 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
40 
 
dirección radial. Para modelar los cambios de población, hay que 
preguntarse cómo evoluciona en el tiempo y el espacio; Por consiguiente, 
esperamos un modelo de ecuación diferencial parcial para 𝑢(𝑥, 𝑡). 
Si adoptamos un modelo de crecimiento, entonces debemos incluir 
términos (por ejemplo, que contienen derivadas parciales espaciales) que 
indican cómo los insectos se mueven en el tubo. Por ejemplo, si el 
movimiento es debido a la difusión, entonces el modelo de EDP para el 
crecimiento logístico que se puede esperar es, 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 + 𝑟𝑢 (1 −
𝑢
𝐾
) , 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). 
Esta ecuación es llamada la ecuación de Fisher, y es uno de los modelos de 
EDP fundamentales en la biología. 
Por último, se observa que el conocimiento de la densidad de población 
𝑢(𝑥, 𝑡) permite calcular la población total en el tubo en el tiempo 𝑡 a través 
de, 
La población total de insectos en el tiempo 𝑡 = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)𝐴 ⅆ𝑥
𝐿
0
. 
La discusión precedente indica cómo el análisis de la estructura espacial 
lleva a un modelo de EDP. Hay otros tipos de estructura, además de la 
estructura espacial. Si estamos interesados en la edad de los insectos, 
entonces la densidad de la población depende de la edad y de un tiempo 𝑡; 
por lo tanto, 𝑢 = 𝑢(𝑎, 𝑡), donde 𝑢(𝑎, 𝑡) ⅆ𝑎 representa el número de 
individuos en el tiempo 𝑡 entre las edades 𝑎 y 𝑎 + ⅆ𝑎. Un ejercicio 
importante en la historia de la teoría es el desarrollo de modelos que 
predicen la estructura por edad 𝑢(𝑎, 𝑡) de una población en cualquier 
momento 𝑡, si la estructura de edad inicial 𝑢(𝑎, 0) es conocida y se dan las 
tasas de natalidad y mortalidad. Estos problemas se discuten en el capítulo 
5. Otros modelos estructurados pueden incluir otras cosas o parámetros, 
como el tamaño o el peso; estos son llamados modelos fisiológicamente 
estructurados. Un modelo de la población que incluye tanto la edad 𝑎 y una 
longitud 𝑙 conduce a un modelo de EDP para una función de tres variables, 
𝑢 = 𝑢(𝑎, 𝑙, 𝑡). Así la densidad de población depende de la edad del 
organismo, su longitud, y el tiempo. Otros modelos de ecuaciones 
diferenciales parciales en las ciencias biológicas incluyen modelos para las 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
41 
 
reacciones bioquímicas y el movimiento de las especies químicas en la 
sangre, en las células, y en otros medios de comunicación. 
Existen dos modelos fundamentales de la biología para describir el 
movimiento: advección y difusión. Nos encontramos con estos procesos en 
las secciones 1.2 y 1.3. Advección es el término más común en biología, 
mientras que la convección es el término que se utiliza a menudo en 
ingeniería y otras ciencias físicas. En la vida científica, la advección se refiere 
al transporte de partículas, productos químicos, animales, o lo que sea, a 
través del movimiento del medio de soporte, por ejemplo, el viento, el agua, 
la sangre, etc. La difusión se refiere al movimiento aleatorio de las 
partículas, productos químicos, animales, o lo que sea, que causan estas 
entidades para dispersarse de altas a bajas concentraciones. Vamos a 
discutir la naturaleza aleatoria de la difusión en estos últimos párrafos. La 
Figura 1.5 compara los perfiles de tiempo de ambos procesos de advección 
y difusión, y una combinación de los dos. 
Figura 1.5. Perfiles de 
densidad espacial que 
muestran cómo una 
señal inicial se propaga 
en el tiempo bajo una 
advección, difusión, o un 
proceso de advección-
difusión. 
Un modelo de advección se obtiene de la ley de conservación derivada en 
la sección 1.2. Para reiterar, la ley básica de conservación en una dimensión 
relaciona la derivada temporal de la densidad desconocida 𝑢(𝑥, 𝑡), la 
derivada espacial del flujo desconocido 𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡), y la fuente (o sumidero) 
𝑓(𝑥, 𝑡). Y viene dada por la ecuación (1.8) como 
𝒖𝒕 = −𝝓𝒙 + 𝒇. (1.22) 
 
La densidad se puede referir a la densidad de animales, productos químicos 
o alguna partícula que se propague. El flujo, una medida de la velocidad de 
flujo, es generalmente dependiente de la densidad a través de la suposición 
de una ecuación constitutiva; diferentes movimientos surgen de diferentes 
supuestos. Como hemos señalado, la advección está definida por la relación 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
42 
 
𝜙 = 𝑐𝑢, 
donde 𝑐 es la velocidad del medio llevando la densidad, y la difusión se 
define por la ley de Fick 
𝜙 = −𝐷𝑢𝑥, 
donde 𝐷 es el coeficiente de difusión. El coeficiente de difusión tiene 
dimensiones de longitud al cuadrado por tiempo, y a menudo se utiliza la 
relación 𝐷 =
𝐿2
𝑇
 para estimar el tiempo 𝑇 que se tarda una sustancia en 
difundirse en una longitud 𝐿. Si 𝑐 y 𝐷 son constantes, podemos sustituir 
estas relaciones definidas en (1.22), respectivamente, para obtener las 
ecuaciones de equilibrio fundamentales: 
𝑢𝑡 = −𝑐𝑢𝑥 + 𝑓 (ecuación de advección con fuente) 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 + 𝑓 (ecuación de difusión con fuente). 
Si ambas, advección y difusión están presentes, entonces el flujo es 
𝜙 = −𝐷𝑢𝑥 + 𝑐𝑢, 
y la ley de equilibrio fundamental se convierte en 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑐𝑢𝑥 + 𝑓 (ecuación de advección-difusión con fuente). 
Fuentes y sumideros dependen del modelo. Para los modelos de población 
el término fuente 𝑓 representa la tasa de natalidad o de crecimiento, y un 
sumidero representa una tasa de mortalidad, ya sea por causas naturales o 
por la depredación. Para los problemas químicos, el término fuente / 
sumidero se llama un término de reacción y representa la tasa a la que las 
sustancias químicas se crean o se consumen por reacción química, o se 
pierden por absorción (digamos, al cruzar la frontera de una célula). Las 
fuentes son términos positivos, y los sumideros son términos negativos. 
Además, las EDP van siempre acompañadas de un dominio relevante de 
espacio y tiempo y por las condiciones iniciales y / o condiciones de 
frontera; una condición inicial señala la distribución inicial de densidad 
𝑢(𝑥, 0), y una condición de frontera establece lo que está pasando en el 
límite del dominio. En este último caso es posible especificar la densidad 𝑢, 
así mismo, podemos especificar el flujo 𝜙. Es importante notar que el flujo 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
43 
 
es diferente para los tres modelos diferentes definidos anteriormente: 
advección, difusión, advección y-difusión. 
En algunos procesos biológicos la velocidad de advección 𝑐 y la constante 
de difusión pueden depender de la ubicación en el medio, y por lo tanto 
dependerá de x, o pueden depender también de la densidad 𝑢. Esto es, 𝑐 =
𝑐(𝑥, 𝑢) y 𝐷 = 𝐷(𝑥, 𝑢). La dependencia de 𝑥 significa un medio heterogéneo 
de propagación. Por lo tanto, la ecuación de advección-difusión con una 
fuente es 
𝑢𝑡 = (𝐷𝑢𝑥)𝑥 − (𝑐𝑢)𝑥 + 𝑓, 
y los factores 𝑐 y 𝐷 no pueden ser sacados de las derivadas espaciales. 
Cuando 𝑐 o 𝐷 dependen de 𝑢, la ecuación es no lineal. 
La noción de difusión se introdujo en la sección 1.3, sobre todo en el 
contexto de la conducción de calor. Ahora se discute la relación entre la 
difusión y el movimiento al azar en los entornos biológicos. 
En química y física es fácil deducir, razonar a un nivel atómico o molecular, 
cómo se difunde una sustancia debido al movimiento aleatorio. Esta 
descripción microscópica de difusión se basa en estadísticas y el hecho de 
que los átomos o moléculas chocan aleatoriamente. Estas colisiones 
aleatorias hacen que un conjunto de moléculas pase de regiones