Crecimiento logistico con desfase y competencia

Vista previa del material en texto

Crecimiento	logístico	con	desfase	o	inercia	
Hemos visto que en el crecimiento logístico, cuando la población se acerque a la capacidad 
de carga, experimenta una disminución cada vez mayor en el número de individuos que se 
añaden a la población. En una población cerrada, quiere decir comienzan a nacer menos y/o a 
morir más. Ante la falta de recursos eso no nos sorprende. En capacidad de carga mueren 
igual de los que nacen y la curva del crecimiento logístico, como vimos arriba, se mantiene 
estable en la capacidad de carga. Sin embargo, no es difícil de imaginar, que el proceso que 
resulta en nacimientos no puede parar de inmediato, así como tampoco las muertes llegan de 
golpe cuanto las condiciones del medio exigen el ajuste. Podemos decir que entre la 
información sobre la capacidad del medio hay un desfase o que el crecimiento lleva una 
inercia y demora en frenar. Como ejemplo si mañana la humanidad decide que debemos 
frenar el crecimiento global mundial, salvo que sacrifiquemos individuos, el crecimiento 
tardará un tiempo (¿días, semana, meses, años, décadas?) en frenarse. 
 
Vimos que en el modelo logístico la relación de K con N en el momento t, es la que regula el 
crecimiento: 
 
 K-Nt 
 K 
 
El factor representa, en el momento t, la fracción de K no utilizada de los recursos. En el 
momento t, cuando K=N, dijimos que no quedan recursos sin utilizar, no hay recursos para 
más individuos, el factor se vuelve 0 y la población no crece. 
Si queremos incorporar un desfase, en vez de poner Nt en el nominador, le ponemos un N un 
poco anterior a t, por decir un momento ¡ (tau) antes, o sea Nt-¡ . Quiere decir el factor queda 
como K-(Nt-¡)/K, unos pasos ¡ desfasado. 
Con esto el modelo considera que se agotan los recursos, o sea el factor se vuelve cero, recién 
cuando la población sobrepasa a K por ¡ pasos, o sea, Nt-¡ = K. En el siguiente paso, porque 
la población siguió creciendo, el Nt-¡ está aún encima de K y el factor es negativo, la 
población decrece. Cuando la población baje hasta K, el Nt-¡ seguirá por arriba de K por lo 
que el factor sigue negativo y la población sigue decreciendo. Recién terminará de decrecer, 
cuando nuevamente Nt-¡ sea igual a K. Se creará una oscilación alrededor de K, que 
dependiendo del r y ¡ se mantendrá o irá frenando hasta estabilizarse en K. 
 
 
 K-( Nt-¡) 
dN/dt = rN - ------------ 
 K 
 
 
 
Figura: Un ejemplo con una población inicial de 5 individuos un r de 0.75 ind/indiv/t y un 
desfase ¡ de 2t en un medio con capacidad de carga de K=500 individuos. Las oscilaciones 
se van frenando y eventualmente la población se estabiliza en 500. 
 
Como podemos imaginar, una población en estas condiciones puede colapsar si se pasa 
demasiado de K y luego rebota a cero en alguna oscilación. 
 
 
Cuadro de Lobos 
For example, there is a phenomenon called the 'grandmother effect', documented in white-
tailed deer and some rodents. If conditions were good when X's grandmother was gestating 
X's mother, then X's mother tends to produce offspring that survive and breed well. This 
effect causes a two-generation time lag in density dependent effects on dN/dt. 
 
 
 
Competencia	Lodka-Volterra	
 
Cuando tenemos dos poblaciones que llamaremos 1 y 2, que utilizan los mismos recursos, 
tenemos competencia por recursos. 
Por un lado si la población 1 tiene cierta capacidad de carga de K1 individuos, estos recursos 
para K1 individuos, se verán reducidos no solo por el crecimiento de su misma población N1, 
si no también por los individuos de la población 2 que usan esos recursos. Mientras mayor 
N2, menos recursos para N1 y viceversa. 
 
Asumiendo que los individuos de ambas poblaciones no son exactamente iguales, por 
ejemplo, unos más grandes que los otros, cada uno, en ausencia del otro tendrá una diferente 
capacidad de carga que llamaremos K1 y K2. 
De eso también se desprende que un individuo de la población 1, utiliza una proporción de lo 
que utiliza un individuo de la población 2. Esa proporción es conocida como el coeficiente de 
competencia y si le llamamos a (alfa), en cuanto a recursos N1=aN2 y de forma recíproca 
usamos un coeficiente de competencia b para la población 2: N2= bN1 
 
Si vemos a la población 1, sin la población 2, poniéndole el subíndice de la población para 
evitar confusión tenemos la clásica fórmula del crecimiento logístico: 
 
dN1/dt = r1N1 (K1-N1/K1) 
 
Sin embargo, si metemos N2 individuos de la población 2 al sistema, debemos considerar que 
esos van a consumir, según vimos arriba, como aN2 individuos de N1. Quiere decir eso lo 
debemos restar de K1 , junto con los N1, de la relación del tamaño poblacional con la 
capacidad de carga: 
 
De los recursos para la población 1, K1 quedaría: 
K1-N1-aN2 o K1-(N1+aN2) 
 
 
La dinámica de la población 1 la podemos representar como: 
 
dN1/dt = r1N1 ((K1- (N1+aN2)) /K1) 
 
La dinámica de la población 2 la podemos representar como: 
 
dN2/dt = r2N2 ((K2- (N2+bN1)) /K2)