Semana_4 Calculo Vectorial

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Notas de clase: Calculo Vectorial
William Ramírez
Mileydis De La Hoz
Ronal Barrios
Magister en Ciencias Matemáticas
Universidad de la Costa C.U.C
Abril 2020
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 1 / 8
Funciones Vectoriales
Vectores tangente unitario:
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en un punto P de C, el vector
tangente unitario de C en P, denotado por T (t), es el vector unitario en la
dirección de DtR(t) si DtR(t) 6= 0.
T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
Vector normal unitario:
Si T (t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el
vector normal unitario de C en P, denotado por N(t), es el vector unitario en
la dirección de DtT (t).
N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 8
Funciones Vectoriales
Vectores tangente unitario:
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en un punto P de C, el vector
tangente unitario de C en P, denotado por T (t), es el vector unitario en la
dirección de DtR(t) si DtR(t) 6= 0.
T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
Vector normal unitario:
Si T (t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el
vector normal unitario de C en P, denotado por N(t), es el vector unitario en
la dirección de DtT (t).
N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 8
Funciones Vectoriales
Vectores tangente unitario:
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en un punto P de C, el vector
tangente unitario de C en P, denotado por T (t), es el vector unitario en la
dirección de DtR(t) si DtR(t) 6= 0.
T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
Vector normal unitario:
Si T (t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el
vector normal unitario de C en P, denotado por N(t), es el vector unitario en
la dirección de DtT (t).
N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 8
Funciones Vectoriales
Vectores tangente unitario:
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en un punto P de C, el vector
tangente unitario de C en P, denotado por T (t), es el vector unitario en la
dirección de DtR(t) si DtR(t) 6= 0.
T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
Vector normal unitario:
Si T (t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el
vector normal unitario de C en P, denotado por N(t), es el vector unitario en
la dirección de DtT (t).
N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 8
Funciones Vectoriales
Vectores tangente unitario:
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en un punto P de C, el vector
tangente unitario de C en P, denotado por T (t), es el vector unitario en la
dirección de DtR(t) si DtR(t) 6= 0.
T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
Vector normal unitario:
Si T (t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el
vector normal unitario de C en P, denotado por N(t), es el vector unitario en
la dirección de DtT (t).
N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 8
Funciones Vectoriales
Vectores tangente unitario:
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en un punto P de C, el vector
tangente unitario de C en P, denotado por T (t), es el vector unitario en la
dirección de DtR(t) si DtR(t) 6= 0.
T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
Vector normal unitario:
Si T (t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el
vector normal unitario de C en P, denotado por N(t), es el vector unitario en
la dirección de DtT (t).
N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 8
Funciones Vectoriales
Vector binormal unitario:
El producto cruz de T (t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t)
como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por
B(t), está definido así:
B(t) = T (t)× N(t).
Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T (t), N(t) y B(t) de una
curva C reciben el nombre de triedro móvil de C. Los planos determinados
por las representaciones de los tres vectores en un punto del espacio tienen
nombres especícos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T (t) y N(t).
Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T (t) y B(t).
Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 8
Funciones Vectoriales
Vector binormal unitario:
El producto cruz de T (t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t)
como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por
B(t), está definido así:
B(t) = T (t)× N(t).
Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T (t), N(t) y B(t) de una
curva C reciben el nombre de triedro móvil de C. Los planos determinados
por las representaciones de los tres vectores en un punto del espacio tienen
nombres especícos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T (t) y N(t).
Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T (t) y B(t).
Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 8
Funciones Vectoriales
Vector binormal unitario:
El producto cruz de T (t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t)
como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por
B(t), está definido así:
B(t) = T (t)× N(t).
Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T (t), N(t) y B(t) de una
curva C reciben el nombre de triedro móvil de C. Los planos determinados
por las representaciones de los tres vectores en un punto del espacio tienen
nombres especícos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T (t) y N(t).
Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T (t) y B(t).
Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 8
Funciones Vectoriales
Vector binormal unitario:
El producto cruz de T (t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t)
como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por
B(t), está definido así:
B(t) = T (t)× N(t).
Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T (t), N(t) y B(t) de una
curva C reciben el nombre de triedro móvil de C. Los planos determinados
por las representaciones de los tres vectores en un punto del espacio tienen
nombres especícos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T (t) y N(t).
Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T (t) y B(t).
Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 8
Funciones Vectoriales
Vector binormal unitario:
El producto cruz de T (t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t)
como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por
B(t), está definido así:
B(t) = T (t)× N(t).
Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T (t), N(t) y B(t) de una
curva C reciben el nombre de triedro móvil de C. Los planos determinados
por las representaciones de los tres vectores en un punto del espacio tienen
nombres especícos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T (t) y N(t).
Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T (t) y B(t).
Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 8
Funciones Vectoriales
Vector binormal unitario:
El producto cruz de T (t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t)
como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por
B(t), está definido así:
B(t) = T (t)× N(t).
Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T (t), N(t) y B(t) de una
curva C reciben el nombre de triedro móvil de C. Los planos determinados
por las representaciones de los tres vectores en un punto del espaciotienen
nombres especícos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T (t) y N(t).
Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T (t) y B(t).
Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 8
Funciones Vectoriales
Vector binormal unitario:
El producto cruz de T (t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T (t)
como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por
B(t), está definido así:
B(t) = T (t)× N(t).
Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T (t), N(t) y B(t) de una
curva C reciben el nombre de triedro móvil de C. Los planos determinados
por las representaciones de los tres vectores en un punto del espacio tienen
nombres especícos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T (t) y N(t).
Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T (t) y B(t).
Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 8
Funciones Vectoriales
Ejemplo: Dada la ecuacion vectorial,
R(t) = (t3 − 3t)i + 3t2j .
Hallar:
1 T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
2 N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
3 B(t) = T (t)× N(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 8
Funciones Vectoriales
Ejemplo: Dada la ecuacion vectorial,
R(t) = (t3 − 3t)i + 3t2j .
Hallar:
1 T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
2 N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
3 B(t) = T (t)× N(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 8
Funciones Vectoriales
Ejemplo: Dada la ecuacion vectorial,
R(t) = (t3 − 3t)i + 3t2j .
Hallar:
1 T (t) =
R
′
(t)
||R′(t)||
.
2 N(t) =
T
′
(t)
||T ′(t)||
.
3 B(t) = T (t)× N(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 8
Longitud de arco y curvatura
La longitud de una curva en el espacio se define exactamente de la misma
manera (véase la figura 1). Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial
r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k , a ≤ t ≤ b, o bien, de forma paramétrica x = f (t),
y = h(t) y z = g(t), donde f ,g y h son continuas. Si la curva se recorre
exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b, enton ces se
puede demostrar que su longitud es
L =
∫ b
a
||r
′
(t)||dt .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 8
Longitud de arco y curvatura
La longitud de una curva en el espacio se define exactamente de la misma
manera (véase la figura 1). Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial
r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k , a ≤ t ≤ b, o bien, de forma paramétrica x = f (t),
y = h(t) y z = g(t), donde f ,g y h son continuas. Si la curva se recorre
exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b, enton ces se
puede demostrar que su longitud es
L =
∫ b
a
||r
′
(t)||dt .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 8
Longitud de arco y curvatura
Ejemplo: Calcular lo longitud de arco de:
1 r(t) = 2 cos(t)i + 5tj + 2 sin(t)k − 10 ≤ t ≤ 10.
2 r(t) =
√
2ti + et j + e−tk 0 ≤ t ≤ 1.
Definición 0.1
La curvatura de una curva es
k =
∣∣∣∣dTds
∣∣∣∣ = |T ′(t)||r ′(t)| .
Donde T es el vector tangente unitario.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 8
Longitud de arco y curvatura
Ejemplo: Calcular lo longitud de arco de:
1 r(t) = 2 cos(t)i + 5tj + 2 sin(t)k − 10 ≤ t ≤ 10.
2 r(t) =
√
2ti + et j + e−tk 0 ≤ t ≤ 1.
Definición 0.1
La curvatura de una curva es
k =
∣∣∣∣dTds
∣∣∣∣ = |T ′(t)||r ′(t)| .
Donde T es el vector tangente unitario.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 8
Longitud de arco y curvatura
Ejemplo: Calcular lo longitud de arco de:
1 r(t) = 2 cos(t)i + 5tj + 2 sin(t)k − 10 ≤ t ≤ 10.
2 r(t) =
√
2ti + et j + e−tk 0 ≤ t ≤ 1.
Definición 0.1
La curvatura de una curva es
k =
∣∣∣∣dTds
∣∣∣∣ = |T ′(t)||r ′(t)| .
Donde T es el vector tangente unitario.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 8
Longitud de arco y curvatura
Ejemplo
1 Mostrar que la curvatura de un circulo de radio r es K =
1
r
.
Teorema 0.1
La curvatura de la curva dada por la función vectorial r es:
k(t) =
|r ′(t)| × |r ′′(t)|
|r ′(t)|3
.
1 Calcule la curvatura de la cúbica torcida r(t) = ti + t2j + t3k , un punto ge
neral y en (0,0,0).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 8
Longitud de arco y curvatura
Ejemplo
1 Mostrar que la curvatura de un circulo de radio r es K =
1
r
.
Teorema 0.1
La curvatura de la curva dada por la función vectorial r es:
k(t) =
|r ′(t)| × |r ′′(t)|
|r ′(t)|3
.
1 Calcule la curvatura de la cúbica torcida r(t) = ti + t2j + t3k , un punto ge
neral y en (0,0,0).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 8
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William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 8