[02 2020 - MBas] Taller 07

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Taller 07 [ Moodle: secciones 4.2 a 4.3 ]
Matemáticas Básicas
2020/01
Escuela de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Sede Medelĺın
1. Dado que ∆ACE es rectángulo en C, que AB ∼= AF y que
FE ∼= DE , halle el valor de ]BFD.
2. Sabiendo que AE ∼= EB y que AC y BD son paralelos, en-
cuentre los valores de x y y.
3. Sabiendo que CD ∼= CE y que ]ACD ∼= ]BCE, encuentre
los valores de x y y.
4. Sabiendo que los triángulos ∆ADE y ∆BCE son rectángulos
en E, que AE ∼= EB y que CE ∼= DE, encuentre los valores
de x y y.
5. Considere la siguente figura:
(a) Sabiendo que AB ∼= AC, que F es punto medio de BC
y que ]BFD ∼= ]CFE, demuestre que FD ∼= FE.
(b) Sabiendo que AB ∼= AC, que AD ∼= AE, que FD y AB
son perpendiculares y que FE y AC son perpendicu-
lares, demuestre que BF ∼= FC.
6. Sabiendo que BC y AD son paralelos, demuestre que ∆ADE
y ∆BCE son semejantes y escriba la proporcionalidad que
se cumple.
7. Sabiendo que DE y AB son paralelos, determine la longitud
del segmento CD.
8. Sabiendo que AC y DE son paralelos, halle el valor de x.
9. En cierto momento del d́ıa, una torre vertical produce una
sombra que mide 150 m. En ese mismo instante y lugar, una
vara vertical de 80 cm produce una sombra de 120 cm. ¿Cuál
es la altura de la torre? (Suponga que el terreno es com-
pletamente horizontal y que los rayos del sol, en un mismo
instante, son paralelos).
10. Un avión sobrevuela un terreno triangular y en dicho instante
toma una fotograf́ıa aérea de él. En la fotograf́ıa se observa
que las longitudes de los tres lados del triángulo son 2 cm,
2.5 cm y 3.5 cm, respectivamente. Si se sabe que el lado más
corto del terreno real mide 400 m, halle las longitudes de los
demás lados del terreno.
11. En la siguiente figura, los segmentos de recta BC y DE son
paralelos. Halle la longitud del segmento DE.
12. (a) Demuestre que la bisectriz del ángulo interior de un
triángulo, divide al lado opuesto en segmentos propor-
cionales a los otros dos lados.
(b) Sabiendo que AD es bisectriz de ]CAB, calcule el valor
de x.
(c) Sabiendo que BD es bisectriz de ]ABC, calcule el valor
de x.
13. Demuestre que el punto medio de la hipotenusa en un
triángulo rectángulo equidista de los tres vértices.
14. Considere el triángulo isósceles con vértices A,B,C
en el cual AC ∼= BC. Si AE ∼= BF y D es el punto medio del
segmento AB, demuestre que los ángulos ∠DEF y ∠DFE
son congruentes.
15. Trace un triángulo 4ABC isósceles cualquiera y trace las
medianas de los ángulos ∠B y ∠C adyacentes a su base.
(a) Si BE y CD son las medianas trazadas previamente y
G es su punto de intersección, pruebe que 4BCE ∼=
4CBD.
(b) ¿Qué se puede decir de las medianas BE y CD?
(c) ¿Qué se puede afirmar de ∠GBC y ∠GCB?
(d) ¿Es el triángulo 4GBC isósceles?
16. Pruebe que en un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo
vértice es a la vez altura, mediana y mediatriz de la base.
17. Sea ∆ABC un triángulo equilátero con lado L. Si desde
cada uno de los vértices se traza un arco de circunferencia
con radio
L
2
, como se muestra en la figura, calcule el área
sombreada en términos de L.
18. El peŕımetro de la figura que se muestra a continuación es
20 m. Halle el valor de R y calcule el área de la región.
19. Sea ABCD un cuadrado de lado L. Si desde los vértices B
y D se traza 1/4 de arco de circunferencia con radio L, tal y
como se muestra en la figura, calcule el área sombreada.
20. Sea ABCD un cuadrado de lado 2L. Si desde el centro del
cuadrado trazamos una circunferencia completa con radio L
y desde cada uno de los vértices trazamos 1/4 de circunfer-
encia con radio L, como lo muestra la figura, calcule el área
sombreada.
21. Para construir un octágono se recorta en cada uno de los
vértices de un cuadrado de lado a, un triángulo isósceles del
mismo tamaño, de modo que el peŕımetro del octágono re-
sultante es los tres cuartos del peŕımetro del cuadrado (véase
la siguiente figura). ¿Cuál es la longitud de los lados congru-
entes del triángulo isósceles?
22. Con un alambre de 100 cm se construyen un cuadrado de
lado L y un triángulo equilátero de lado w, usando todo el
alambre disponible. Calcule la suma de las áreas de las dos
figuras:
(a) en términos de L,
(b) en términos de w.
23. Con un alambre de 100 cm se construyen un cuadrado de
lado L y una circunferencia de radio r, usando todo el alam-
bre disponible. Calcule la suma de las áreas de las dos
figuras:
(a) en términos de L,
(b) en términos de r.
24. Determine el lado de un triángulo equilátero cuyo peŕımetro
es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. Calcule sus
áreas.
25. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un
cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se con-
struyen triángulos equiláteros. Halle el área de la estrella aśı
formada.
26. (a) Encuentre el área de un hexágono regular de lado l.
(b) El área de un cuadrado es 2304 cm2. Calcule el área del
hexágono regular que tiene su mismo peŕımetro.
27. En la siguiente figura el diámetro AB es paralelo al segmento
de recta CD. Encuentre el área de la región sombreada.
28. Un carro parte de un punto A y viaja en ĺınea recta durante 2
horas, en dirección este y a una velocidad de 40 km/h. Luego
viaja en ĺınea recta durante una hora, en dirección norte y a
una velocidad de 60 km/h. Al final del recorrido, ¿qué tan
lejos se encuentra del punto A?
Respuestas
1. ]BFD = 45◦.
2. x = 19, y = 8.
3. x = 4, y = 15.
4. x = 48, y = 12.
5.
6.
AD
BC
=
AE
CE
=
DE
BE
.
7. x = 24.
8. x = 32.
9. x = 100 m.
10. x = 500 m y 700 m.
11. 25 unidades.
12. (b) x = 24.
(c) x = 5.
13.
14.
15.
16.
17. L2
(√
3
4
− π
8
)
.
18. R =
20
7 + π +
√
13
, A =
200(π + 14)
(7 + π +
√
13)2
.
19. A =
π − 2
2
L2.
20. A = 2(π − 2)L2.
21. x =
a
8− 4
√
2
.
22. (a)
(9 + 4
√
3)L2 − 200
√
3L+ 2500
√
3
9
.
23. (b)
(4π + π2)r2 − 100πr + 2500
4
.
24. A4 = 64
√
3, A� = 144.
25. A = 32(
√
3 + 1).
26. (a)
3
√
3
2
L2.
(b) 1536
√
3.
27.
70− 9π
2
cm2.
28. 100 km.