[02 2020 - MBas] Taller 03

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Taller 03 [ Moodle: secciones 2.3 a 2.4 ]
Matemáticas Básicas
2020/02
Escuela de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Sede Medelĺın
1. Halle, sin efectuar la división, el residuo de dividir
(a) x2 − 2x + 3 entre x− 1.
(b) x3 − 3x2 + 2x− 2 entre x + 1.
(c) x4 − x3 + 5 entre x− 2.
(d) x5 − 2x3 + 2x− 4 entre x− 5.
(e) −3x17 + x9 − x5 + 2x entre x− 1.
2. Utilice la división sintética y el teorema del residuo (no real-
ice directamente una división), para comprobar que (x− 2)2
es un factor de 3x4 − 10x3 − x2 + 28x− 20.
3. Use el teorema del factor para determinar si x−c es un factor
de P (x).
(a) P (x) = 4x3 − 3x2 − 8x + 4, x− 2.
(b) P (x) = 2x4 − x3 + 2x− 1, x− 1
2
.
(c) P (x) = 2x6 − 18x4 + x2 − 9, x + 3.
4. Halle todas las ráıces reales de cada polinomio.
(a) Q(x) = x4 − x3 + 2x2 − 4x− 8.
(b) R(x) = x3 + 32x
2 + 3x− 2.
(c) P (x) = 2x3 − x2 + 2x− 3.
5. Encuentre el valor de k tal que f(x) = x3 − kx2 + kx + 2
tiene como un factor a x− 2.
6. Use división sintética y teorema del residuo para evaluar
p(−1) si p(x) = 4x2 + 12x + 5.
7. Halle sin hacer la división el residuo de dividir P (x) =
x102 − 2x + 3 entre x− 1.
8. Halle los ceros racionales de
(a) P (x) = x4 − 5x2 + 4
(b) P (x) = 4x3 + 8x2 − 11x− 15
(c) P (x) = x5 + 3x4 − 9x3 − 31x2 + 36
9. Calcule usando productos notables
(a)
(
3
2
+
1
2
x2
)2
(b) (2m2 − 3n3)2
(c) (3x3 − 4x2 + 2x)2
(d) (4x + 7)(4x− 7)
(e)
[
(m + n)− 1
2
] [
(m + n) +
1
2
]
10. Aplique productos notables y simplifique
(a) (2x + 1)(2x− 1)− (−2x)2 + (3− 2x)2
(b) (x + 3)2 + 2x(x + 4)(x− 4)− 2x(x− 2)2 − 4(3− 2x)2
FACTORIZACIÓN
11. Factorice completamente las siguientes expresiones sobre R.
(a) 10abc8 − 15ab2c
(b) x2 − 11x + 30
(c) x2 + 6x + 8
(d) 2x3 − 5x2 + 6x− 15
(e) x3 − x2 − 56x
(f) 2x2 + 4x− 96
(g) 15x2 + 2x− 8
(h) 2x3 − 128
(i) x4 − 2x2 − 8
(j) y4 + 10y2 + 25
(k) x3(x− 6)2 + x4(x− 6)
(l) (x + 4)3(x + 6)4 + (x + 4)4(x + 6)3
(m) 2x3 + 8x2 − 3x− 12
(n) 9a2 − 16b2 − 3a− 4b
(o) 16x2 − y2 − 4x + y
(p) a3 + 27b3 + a + 3b
(q) 81c4 − d4
(r) x6 − 9x3 + 8
(s) y8 − 5y4 + 4
(t) 64x6 − y6
(u) xy − vy + xz + wy + wz − vz
(v) 64X6n − Y 6n
(w) X8m − 16Y 4n
(x) x4(x + 2)3 + x5(x + 2)4
(y)
(
a2 + 2a
)2 − 2 (a2 + 2a)− 3
(z) 12x
−1/2(3x + 4)1/2 − 32x
1/2(3x + 4)−1/2
12. Factorice completamente sobre R
(a) x3 − x2 + x− 1
(b) 4x3 + 23x2 + 39x + 18
(c) 9x2y2 − 36z6
(d) 36t8 − 25x10
(e) 3ax− bx− 3ay + by
(f) 25a2 − 10ab + b2
(g) x4 − 29x2 + 204
(h) 6x4 − 31x2 + 35
(i) 729x3 − y3
(j) 1− (7a− 3b)2
(k) x4 + 4
Respuestas
1. (a) 2 (b) −8 (c) 13 (d) 2881 (e) −1
2. Use división sintética con c = 2 y luego teorema del factor con c = 2.
3. (a) No (b) Śı (c) Śı
4. (a) x1 = −1, x2 = 2 (b) x1 = 12 (c) x1 = 1
5. k = 5
6.
4 12 5
− 1 − 4 − 8
4 8 − 3
. Luego P (−1) = −3.
7. 2
8. (a) x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 2
(b) x1 = − 52 , x2 = −1, x3 =
3
3
(c) x1 = −3, x2 = −2 (multiplicidad 2), x3 = 1, x4 = 3
9. (a) 94 +
3
2x
2 + 14x
4
(b) 4m4 − 12m2n3 + 9n6
(c) 9x6 − 24x5 + 28x4 − 16x3 + 4x2
(d) 16x2 − 49
(e) m2 + 2mn + n2 − 14
10. (a) 4x2 − 12x + 8 (b) −7x2 + 14x− 27
11. (a) 5abc(2c7 − 3b)
(b)
(
x− 5
) (
x− 6
)
(c)
(
x + 2
) (
x + 4
)
(d)
(
2x2 + 6
) (
x− 52
)
(e) x
(
x + 7
) (
x− 8
)
(f) 2
(
x− 6
) (
x + 8
)
(g) 15
(
x− 23
) (
x + 45
)
(h)
(
2x2 + 8x + 32
) (
x− 4
)
(i)
(
x2 + 2
) (
x− 2
) (
x + 2
)
(j) (y2 + 5)2
(k) 2x3(x− 6)(x− 3)
(l) 2
(
x + 4
)3 (
x + 5
) (
x + 6
)3
(m) (x + 4)(
√
2x +
√
3)(
√
2x−
√
3)
(n) (3a + 4b)(3a− 4b− 1)
(o) (4x− y)(4x + y − 1)
(p) (a + 3b)(a2 − 3ab + 9b2 + 1)
(q) (3c− d)(3c + d)(9c2 + d2)
(r) (x− 1)(x2 + x + 1)(x− 2)(x2 + 2x + 4)
(s) (y − 1)(y + 1)(y2 + 1)(y2 + 2)(y +
√
2)(y −
√
2)
(t) (2x− y)(4x2 + 2xy + y2)(2x + y)(4x2 + 2xy + y2)
(u) (x− v + w)(y + z)
(v) (2Xn + Y n)(4X2n − 2XnY n + Y 2n)(2Xn − Y n)(4X2n +
2XnY n + Y 2n)
(w)
(
X4m + 4Y 2n
) (
X2m + 2Y n
) (
X2m − 2Y n
)
(x) x4
(
x + 1
)2 (
x + 2
)3
(y) (a + 1)2(a + 3)(a− 1)
(z) 2x−
1
2 (3x + 4)−
1
2
12. (a)
(
x2 + 1
) (
x− 1
)
(b) 4
(
x + 2
) (
x + 3
) (
x + 34
)
(c) 9(xy − 2z3)(xy + 2z3)
(d) (6t4 − 5x5)(6t4 + 5x5)
(e) (3a− b)(x− y)
(f) (5a− b)2
(g) (x +
√
12)(x−
√
12)(x +
√
17)(x−
√
17)
(h) (
√
3x +
√
5)(
√
3x−
√
5)(
√
2x +
√
7)(
√
2x−
√
7)
(i) (9x− y)(81x2 + 9xy + y2)
(j) (1− 7a + 3b)(1 + 7a− 3b)
(k) (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2)