LL - DIVISION POLINOMIOS - John Liñan (2)

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 1 
División de Polinomios 
 
 
MATEMÀTICAS EN LA ANTIGUA CHINA 
Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las 
civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante 
menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei 
(horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La 
matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de 
carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes 
y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico 
formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y 
babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, 
sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre 
agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos 
rectángulos. 
El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, 
aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas 
a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los 
aceptaron como solución a una ecuación. 
La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de 
resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico 
de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los 
coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero 
de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para 
expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie 
de ábaco primitivo. 
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del 
siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el 
desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad 
media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino 
también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma: 
Pn (x)=a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + ao 
El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos 
"método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la 
época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui 
(s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la 
rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al 
que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal. 
Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento. 
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/ 
 
 
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/
2 C E P R E P U C 2021.1 
 
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 
 
Sean D(x) y d(x) polinomios, con d(x)  0 y el grado de d(x) menor o igual que el grado de D(x). Entonces 
existen polinomios Q(x) y r(x) tales que: 
 
 D(x) d(x) D(x): dividendo 
 r(x) Q(x) d(x): divisor 
 Q(x): cociente 
 r(x): residuo 
 
 
El grado de r(x) es menor que el grado de d(x). 
 G(r(x)) < G(d(x)) 
 Max G(r(x)) = G(d(x)) – 1 
 
El grado del cociente Q(x) es la diferencia de grados del dividendo menos el grado del divisor. 
 
DIVISIÓN EXACTA 
Si r(x) = 0 
 D(x) = d(x) Q(x) 
Se dice que D(x) es divisible por d(x) 
DIVISIÓN INEXACTA 
Si r(x)  0 
 D(x) = d(x) Q(x) + r(x) 
 
)x(d
)x(r
)x(Q
)x(d
)x(D
 
 
MÉTODOS DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
1. Algoritmo clásico de la división 
2. Método de Horner 
3. Regla de Ruffini 
 
ALGORITMO CLÁSICO DE LA DIVISIÓN 
Se recomienda cuando los polinomios a dividir son de una sola variable o para polinomios homogéneos 
de dos variables. 
Procedimiento a seguir para la división clásica. 
1. Ordenar el dividendo y el divisor en forma decreciente según las potencias de la variable. 
2. Si falta una potencia de la variable, se debe poner en su lugar el término faltante con coeficiente cero. 
3. Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor para obtener el primer término 
del cociente. 
4. Multiplicar el cociente obtenido con signo cambiado por los términos del divisor y sumar 
ordenadamente el producto obtenido con el dividendo. 
5. El resto obtenido (en el paso 4) se le trata como un nuevo dividendo y se repiten los pasos 3 y 4. 
6. Seguir este proceso hasta que el grado del resto obtenido sea menor que el grado del divisor (o que 
este sea cero), dando el proceso por terminado. 
 
 
D(x) = d(x) Q(x) + r(x) 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 3 
Ejemplo 
1. Divide P(x) = 13x 2 – 9x 3 + 3x 4 – 11x + 4 entre Q(x) = 1 – 2x + x 2 
 
 
MÉTODO DE HORNER 
Procedimiento a seguir para el Método de Horner: 
1. Se escriben los coeficientes del dividendo, completo y ordenado en una fila con su propio signo. 
2. Se escriben los coeficientes del divisor ordenado, en forma descendente, en una columna colocada a la 
izquierda del primer término del dividendo. El primer coeficiente debe ir con su propio signo y los 
restantes con los signos cambiados. 
3. El primer coeficiente del dividendo se divide entre el primer coeficiente del divisor, para así obtener el 
primer término del cociente. 
4. Se multiplica este coeficiente del cociente solamente por los coeficientes del divisor a los cuales se 
cambió de signo, colocándose los resultados en la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha. 
5. Se reduce la siguiente columna y el resultado se divide entre el primer coeficiente del divisor, 
obteniéndose el segundo término del cociente. 
6. Se multiplica este coeficiente del cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, y 
se coloca los resultados en la tercera fila, corriendo un lugar hacia la derecha. 
7. Se continúa este procedimiento hasta obtener un término debajo del último coeficiente del dividendo, 
separando inmediatamente los términos del cociente y resto, según su grado. 
8. Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que 
corresponden al residuo. 
 
Ejemplo 
Divide: 8x 5 + 14x 4 + 5x 3 + 16x 2 + 3x + 2 entre 4x 2 + x + 3. 
Solución: 
Coeficientes del dividendo 
 4 8 14 5 16 3 2 
 1  2  6 
 3  3  9 
 1 3 
  2  6 
 2 3  1 2 4  4 
 
 
De la última fila del cuadro anterior: 
Polinomio cociente: Q(x) = 2x 3 + 3x 2  x + 2 
Polinomio residuo: R(x) = 4x  4 
Coeficientes 
del cociente 
  
Coeficientes 
del residuo 
 
4 C E P R E P U C 2021.1 
 
Ejemplos 
1. Efectúa la siguiente división: 
1xx
2x4x2x5x3
2
234


 
2. Halla la suma de los coeficientes del residuo de 
la siguiente división: 
2xx2x3
5xx17x3x10
32
2345


 
3. Efectúa la siguiente división: 
x21xx2
1x3x8x6x4
23
3425


 
 Halla la suma de los coeficientes del cociente. 
4. Si la división de P(x) = x 5 + x 3 + x 2 + ax + b 
entre Q(x) = x 2  1 es exacta, halla a2 + b2. 
 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 5 
5. Al dividir P(x) = 3x 5 + 48x 2 + ax + b entre 
d(x) = x 3  2x 2 + 4x + 8, se obtiene como 
residuo r(x) = 20x  30. Halla los valores de a 
y b. 
6. Efectúa la siguiente división: 
3x2x
baxx8x
2
23


 
 Si el cociente y el residuo son idénticos, halla 
los valores de a y b. 
 
6 C E P R E P U C 2021.1 
REGLA DE RUFFINI 
La regla de Ruffini se aplica para dividir un polinomio P(x) de grado mayor o igual a 2 entre un divisor 
binómicode la forma ax ± b ; (a  0) o transformable a estas formas. 
 
 Procedimiento a seguirse para emplear la regla de Ruffini 
 1. Se colocan los coeficientes del dividendo, ordenado y completo en forma decreciente. 
 2. Como divisor se coloca el valor de x que resulta al igualar el divisor, d(x)= ax  b , a cero. 
 3. Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por la cantidad colocada como divisor. El 
resultado se coloca en la segunda fila corriendo un lugar hacia la derecha. 
 4. Se reduce esta columna, se multiplica el resultado obtenido por el divisor y el número así obtenido en la 
segunda fila corriendo un lugar hacia la derecha. 
 5. Se reduce la siguiente columna y se sigue el mismo procedimiento hasta obtener un término debajo del 
último término del dividendo (término independiente). 
 6. El resultado de reducir la última columna es el residuo o resto. 
 7. Los resultados obtenidos en la última fila, a excepción del último que corresponde al resto, son los 
coeficientes del cociente q (x), si a = 1. 
 
Ejemplo 
 Divide: x 3 + 3x 2 + 4x  3 entre x + 1 
 Solución 
 x + 1 = 0  x =  1 
 1 
1 3 4  3 
 –1 – 2  2 
 1 2 2  5 
 Polinomio cociente: 
 Q(x) = x 2 + 2x + 2 
 Polinomio residuo 
 R(x) =  5 
 
IMPORTANTE 
Si el divisor es de la forma ax  b con a  1, para obtener el polinomio cociente, al final se divide todos los 
coeficientes obtenidos en el paso 7 entre a. 
 
 
 
 
 
 
 
 Resto 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 7 
Ejemplos 
1. Efectúa la siguiente división: 
2x
3xx3x6x2 324


 
 
2. Efectúa la siguiente división: 
3
1
x
2x11x20x4x6 345


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Efectúa la siguiente división: 
1x3
1x6x10x2x3 345


 
 
 
4. Efectúa la siguiente división: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Se conoce el siguiente polinomio: 
P(x) = 3x 4 + 2x 3 + 2x 2  kx + k 
 Al dividir P(x) entre d(x) = 3x  1, el residuo 
obtenido es 3. Halla la suma de coeficientes del 
cociente. 
 
 
 
 
8 C E P R E P U C 2021.1 
TEOREMA DEL RESTO 
Sea P(x) un polinomio de grado mayor o igual a dos y d(x) un polinomio de la forma: d(x) = ax + b , a  0. 
El resto de dividir P(x) entre d(x) equivale a evaluar el polinomio P(x) para el número real – 
a
b
, es decir, 
R = P(– 
b
a
). 
 
Este valor – 
a
b se obtiene haciendo d(x) = 0: ax + b = 0  x = – 
b
a
 
 
 
IMPORTANTE 
1. Si P(x) es un polinomio de tercer grado que es divisible entre (x + a), (x + b) y (x + c) y con 
 
 coeficiente principal igual a uno, escribiremos: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c). 
 
 Si el coeficiente principal es diferente de uno, escribiremos: P(x) = A(x + a)(x + b)(x + c) 
 
2. Si el divisor es d(x), G.A. (d(x)) = n y R(x) es el resto, entonces G.A. máx (R(x)) = n – 1 
 
 Ejemplos 
 
 G.A. (d(x)) = 1  r(x) = c (constante) 
 
 
 G.A. (d(x)) = 2  r(x) = ax + b 
 
 
 G.A. (d(x)) = 3  r(x) = ax 2 + bx + c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
coeficiente principal 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 9 
Ejemplos 
1. Si P(x) = x 3 – 2x + 3, halla el resto que se obtiene 
al dividir P(x) entre 2x + 6. 
 
 
2. Al dividir P(x) = x 4 + 2x 3 + x + k entre 
d(x) = x – 1, el residuo obtenido P(x) entre d(x) es 
2. Halla el valor de k. 
 
3. Al dividir P(x) entre (x – 1) y (x – 2), se obtiene 
por restos 6 y 18, respectivamente. Determina 
el resto que se obtiene al dividir P(x) entre 
x 2 – 3x + 2.