ALGEBRA SEM 05 - 2022 II

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Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo 1 
3 4 
LINEA DIVISORIA 
 
2 
1 
d 
D  d  Q   Q 
 ÁLGEBRA 
 CICLO 2022-II 
DIVISIÓN ALGEBRAICA Semana N° 05 
DIVISIÓN ALGEBRAICA 
 
Operación que se realiza entre polinomios y 
que consiste en hallar dos polinomios 
llamados cociente y residuo, conociéndose 
otros dos polinomios denominados dividendo 
y divisor. Los polinomios mencionados 
cumplen la siguiente identidad: 
D
( x ) 
 d
( x ) 
 Q
( x ) 
 R
( x ) 
; x  
Si la división no es exacta R( x)  0 , se 
obtiene un cociente completo 
completo o completado, con signo 
contrario, salvo el primero. 
3. Coeficientes del cociente que se obtienen 
de dividir la suma de los elementos de 
cada columna entre el primer coeficiente 
del divisor. Cada coeficiente del cociente 
se multiplica por los demás coeficientes 
del divisor para colocar dichos resultados a 
partir de la siguiente columna en forma 
horizontal. 
4. Coeficientes del residuo que se obtienen 
de sumar las columnas finales una vez 
D
( x ) 
d
( x ) 
R
( x ) 
 Q( x )  . 
d
( x ) 
obtenidos todos los coeficientes del 
cociente. 
Esquema general 
Si la división es exacta R( x )  0 (el resto es 
un polinomio idénticamente nulo), se obtiene 
un cociente exacto. 
D
( x ) 
 
 
( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 
( x ) 
2. Principales métodos de división: 
 
 
 
La línea 
 
 
 
divisoria se colocará separando 
 
Método de William George Horner 
Este método es aplicable para la división de 
polinomios de cualquier grado, se recomienda 
utilizar para divisores cuyos grados sean 
mayores o iguales que 2. 
 
Pasos a seguir: 
1. Coeficientes del dividendo ordenado 
decrecientemente en una variable, 
completo o completado. 
2. Coeficientes del divisor ordenado 
decrecientemente en una variable, 
tantos términos de la parte final del 
dividendo como lo indique el grado del 
divisor. 
 
Método de Paolo Ruffini 
Es una consecuencia del método de Horner, 
utilizándose para dividir polinomios, y cuyo 
divisor es un binomio de primer grado de la 
forma: d ( x)  ax  b; a  0 . 
También podría ser cualquier otro divisor que 
puede ser llevado o transformado a la forma 
antes mencionada. 
Pasos a seguir: 
Docente: Equipo Docente 
Docente: Equipo Docente 2022 - II 
Álgebra. 
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1. Coeficientes del dividendo ordenado 
decrecientemente, completo o 
completado con respecto a una variable. 
2. Valor que se obtiene para la variable 
cuando el divisor se iguala a cero. 
3. Coeficientes del cociente que se obtienen 
de sumar cada columna, luego que el 
coeficiente anterior se ha multiplicado por 
 y colocado en la siguiente columna. 
4. Resto de la división que se obtiene de 
sumar la última columna. 
 
Esquema general 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1. Indicar el resto en: 
2x 
4 
 5x 
3 
 4x 
2 
 3x  1 
 
 
x  3 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) -2 
 
2. Hallar el resto en: 
x 
4 
 2x 
3 
 m 
2 
x 
2 
 mx  m 
x  m  1 
 
a) -1 b) 1 c) 0 
d) 2 e) 3 
 
3. Para qué valor de “m” la suma de los 
coeficientes del cociente de la división: 
x 
4 
 3x 
3 
 5x 
2 
 2x  m 
Observación: Si en el divisor 
d( x )  ax  b; a  1 ; luego de dividir por 
 
resto. 
x  2 
es igual al 
Ruffini los coeficientes obtenidos en el 
espacio (3) del cociente deben dividirse 
entre “a” para obtener el cociente 
a) -5 b) -6 c) -7 
d) -8 e) -9 
correcto. 
Observación: 
Si el divisor es un binomio de la forma: 
4. Hallar 
a 
si la división: 
b 
d ( x)  axn  b; a  0 , para proceder a 2x 
4 
 3x 
3 
 x 
2 
 ax  b 
 
 2 es exacta. 
dividir por Ruffini todos los exponentes de 
la variable en el dividendo deben ser 
múltiplos del exponente de la variable del 
divisor. Luego de verificar esto, se procede 
como en los ejemplos anteriores. 
x  2x  3 
a) 1 b) -1 c) 2 
d) -2 e) -1/9 
 
5. El residuo de dividir: 
8x 
5 
 4x 
3 
 ax 
2 
 bx  c 
2x 
3
 
es 
 x 
2 
 3 
5 x 
2 
 11 x  7 . Hallar E 

a) 20 b) 30 c) 40 
d) 50 e) 60 
2 
4 3 
1 
abc 
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 



6. Al efectuar la división: 
10. Hallar el valor de Q  A · D 
2
 
B · C 
en el 
nx 
4 
 
 n  n 
2 
 1
 x 
3 
 x 
2 
 n 
2 
x  n 
2 
 7 cociente exacto: 
A x 3  B x 2  C x  D 
 
x 2  H 2 
 

x  n  1 
se observa que la suma de los 
coeficientes del cociente y el resto es 
a) 1 b) 4 c) 16 
d) 24 e) 32 
 
11. Si en la división: 
cero. Hallar el valor del resto. 
a) -3 b) 20 c) -4 
6 x 4 – x 3y – 6 x 2y 2  5 xy 3 – 3 y 4 
 
2 x 2  xy – 2y 2 
el residuo 
d) 10 e) -5 
 
7. Dividir: 
es –16, entonces el valor de y es: 
 
 
e indicar el resto. 
12. Si en la siguiente división: 
3x
4 
 x
3 
 2 x
2 
 ax  a ; el residuo no es de 
 
a) 12 2 b) 2 c) -2 x
2 
 x  1 
d)  12 e) 2 primer grado; hallar dicho residuo. 
a) 22 b) 16 c) 15 
8. A partir de la siguiente división 
5x 
401 
 2x 
400 
 x 
399 
 6x 
2 
 5x  11 
 
 
x 1 
d) 26 e) 24 
 
13. Si la división: 
ax
5 
 bx
4 
 cx
3 
 9 x
2 
 18x  8 
Indicar la suma de coeficientes del 2 x2 
 
 3x  4 
es exacta, 
cociente más el resto. 
a) 1476 b) 1647 c) 1764 
d) 1674 e) 1697 
calcule: a  b  c 
2 
a) -2 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
9. Luego de dividir mx
4 
 nx
3 
 14x 
2 
 5x  10 , 
2x 
2 
 x  3 
14. Si el resto de dividir: 
6 x 
5 
 4 x 
4 
 5x 
3 
 8x 
2 
 mx  n 
se obtuvo como residuo 4.¿Cuál es el 3x 2  2 x  1 
es: 
valor de m.n? 
a) 6 b) 10 c) 20 
d) 30 e) 15 
px  q ; calcular el valor numérico de: 
mq  2
np  5
a) 81 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
x 
5 
 2 x 
4 
  2  1x 3  2 2 x 2  8 2 x  12 
x  2  1 
2 2 
. 
a) –1 b) –2 c) 1 
d) 4 e) 2 
 
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Máquina de escribir
6
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Nota rápida
Tiene residuo 4, y se le quita al 10 para encontrar un número divisible entre 3 que es 6, y ya que se le quitó el residuo, este queda con residuo=0

10 - 4 => 6
 3 / 6 5 14 n m /
R(x)=0
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15. De la división: 20. Si el polinomio 
x
7 
 2x
6 
 13x
5 
 3x
4 
 ax
3 
 bx
2 
 cx  d 
x
4 
 3x
3 
 2x  5 
el al ser dividido 
por da un residuo nulo, 
resto Rx  3x3  4 x 2  2 x  1 , indique el entonces el valor de a. b es 
valor de: P  a2  b2  c2  d 2 
a) 346 b) 366 c) 386 
d) 356 e) 376 
 
16. Para que la división de x4+ax2+b, 
entre x2+x+1, sea exacta, los valores 
de a y b deben ser: 
a) 1 b) 9 c) 10 
d) 90 e) 100 
 
21. Halle el valor numérico del 
polinomio: 
Px  x
4 
 33 5. 3 x
2 
 5  3 5  2 3 x  3 25  4 
cuando x toma el valor de 3 5 
a) 1; –1 b) 1; –2 c) –2; 1 
d) –1; 1 e) 1; 1 
a)  1 
d) 7 
b) 0 
 
 
 
17. Al dividir: 22. Se sabe que el polinomio 
ax5  bx 4  c  a x3  a  bx2  b  a x  a El 
x  1 Px  x 
n  2 
 Ax 
n 1 
 ABx 
n es 
resto que se obtiene es 9; entonces, la 
suma de los coeficientes del cociente 
es: 
a) 81 b) 71 c) 17 
d) 18 e) 27 
 
18. Si la siguiente división 
 
Es exacta, calcule a. b 
a) 24 b) 30 c) 32 
d) 35 e) 40 
 
19. Luego de efectuar la división 
divisible por: 
Qx  x 2  A  Bx  AB con AB  0 
A 
Calcular el valor que asume 
B 
a) -1/3 b) -1/4 c) -1/2 
d) -1/5 e) ¼ 
23. En la división: 12 x 
4 
 2ax 
3 
 bx 
2 
 5cx  d 
3x 2  2x  1 
se obtieneun cociente en el que los 
coeficientes de sus términos van 
aumentando de dos en dos unidades a 
partir del primero. Hallar: a 2  b 2 
a) 231 b) 292 c) 304 
d) 256 e) 281 
 
, el resto obtenido 24. Si la división: 
8x 
4 
 ax 
3 
 bx 
2 
 cx  d se 
2x 2  x  1 
es Calcule la suma 
de coeficientes del cociente. 
a) 6 b) 12 c) 15 
d) 17 e) 18 
obtiene un cociente, cuyos 
coeficientes van disminuyendo de 1 en 
1 a partir del primero y un residuo 
igual a (5x+1). Calcular: a  b  c  d 
a) 6 b) 16 c) 18 
d) 5 e) 3 
e) 23 25  7 
3 
3 5 c) 23 25 
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