07-DESCARGAR-DIVISIÓN-DE-POLINOMIOS-HORNER-RUFFINI-Y-TEOREMA-DEL-RESTO

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3 
AÑO 
 
División algebraica I 
(Método de Horner) 
 
 
 
 
División por Horner: 
 
 
 
 
 
 
 
 
División no algebraica de polinomios 
 
Esta división exige condiciones especiales: 
 
a. Aplicamos el método de Horner con el ordenamiento 
de los polinomios ascendentemente. 
 
- Dividir (2x2 - 3x + 3) entre (4x3 - x + 1) 
Resolución: Por Horner 
b. El cociente obtenido posee infinitos términos. 
c. El resto se hace tender a cero. 
d. Dicha división es válida para ciertos intervalos de la 
variable. 
1 3 -3 
 
1 3 
 
0 
2 0 
 
0 -12 
 
0 0 
0 ............. 
 
 
0 
 
 
 
 
- Dividir 1 entre (1 - x) 
- 4 
 
3 0 2 
2 
 
-10 
0 -8 
 
............. 
 
Resolución: Por Horner 2x2  3x  3 

4x3  x  1 
 
 3  2x2 
 
 10x3 
 
 ..... 
1 1 0 0 0 
 
1 1 1 1 
 
1 1 1 1 
0 ............. 
 
1 ............. 
 
1 
 
 
 
 
Es la operación que tiene como objetivo calcular una 
expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), 
 
1 
1  x 
 
 1  x  x2  x3  ....; 
 
| x | < 1 
conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d). 
 
Esquema clásico 
 
- Dividir 1 entre (1 - 4x + 4x2) 
 
Resolución: Por Horner 
D d 
Se conoce : D y d 
R q 
Por conocer: q y R 
 
1 1 0 
 
4 4 
 
-4 
 
 
1 4 
0 0 
 
-4 
 
16 -16 
 
48 
 
12 32 
0 
 
 
 
 
-48 
............. 
 
............. 
 
 
 
 
............. 
Se cumple: D = dq + R 
 
 
Propiedades 
 
 
menos el grado del divisor. 
 
 
1 
1  4x  4x2 
 
 1  4x  12x2  32x3  ...; 
 
 
 
| x |  
1 
2 
q° = D° - d° 
 
2. El grado máximo del resto es el grado del divisor 
disminuido en uno. 
 
R°
MÁX. 
= dº - 1 ; Rº
MÁX.  Grado máximo del resto 
 
2 6 5 -26 33 -22 6 
 
3 
 
-1 
9 -3 
21 -7 
-12 
 
 
 
4 
21 -7 
 3 7 -4 7 3 -1 
 
2 10 - 4 8 6 - 5 11 
2 10 - 20 
- 4 6 - 12 
 - 6 12 
 - 12 24 
 
3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra 
forma una identidad. 
 
D = d.q + R  D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
 
 Problemas resueltos 
 
1. Dividir: 
 
 
4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio 
idénticamente nulo. 
 
R(x)  0 
10x5  4x 4  8x 3  6x 2  5x  11 
2x 2  2x  4 
Solución: 
Aplicando Horner: 
 
 
 
D(x)  x
8 + x4 + 2x - 3 



5º 
q° = 8 - 5 = 3 
 
MÁX. 
 
 
 
 
 
5 3 - 3 
 
 
 
 
 
- 6 - 5 35 
División entre polinomios 
 
Para todos los métodos es necesario que el dividendo y 
el divisor estén ordenados y completos (o al menos tenga 
esa forma). 
 
Método de Horner 
 
Para este método sólo se utilizan coeficientes, 
empleando el siguiente esquema: 
 
 
con 
 
Coef. del cociente Coef. del resto 
 
La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente 
y del resto. 
 
Se tiene: 
qº = 3 ; Rº
MÁX. 
= 1 
q = 5x3 + 3x2 - 3x - 6 
R(x) = - 5x + 35 
 
2. Dividir: 
 
12x 4  14x 3  15x 2  6x  4 
su mismo 
signo 
d D I V I D E N D O 
 
i 
 
4x 2 
 
 2x  1 
v 
Con 
i 
Colocando los coeficientes: 
cambiado s 
o 
r 
 
 
 
 
Observación: 
 
 
 
 
C O C I E N T E 
 
 
 
 
RESTO 
 
4 12 
 
2 
 
-1 
 
 
 
3 
 
2
 
 
-14 15 -6 4 
 
6 -3 
 
-4 2 
 
4 -2 
 
-2 2 0 +2 
 
- Los lugares en que se indica dividendo y divisor se 
colocan sólo coeficientes. 
* Cociente: 3x 
* Resto: 0x + 2 
- 2x + 2 
En el caso del divisor la letra “d” simboliza al primer 
coeficiente del divisor, las demás letras representan a 
los demás coeficientes, que se colocan con signo 
cambiado. 
Igualmente del cociente y el resto sólo se obtienen 
coeficientes. 
 
- La línea que separa el cociente del resto se traza de 
acuerdo al grado del divisor. 
Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos 
lugares como lo indica el número que representa el 
grado del divisor. 
3. Efectuar la división: 
 
 
6x5  5x 4  26x 3  33x 2  22x  6 
2x 2  3x  1 
 
 
* Cociente: 3x3 + 7x2 - 4x + 7 
* Resto: 3x - 1 
 
2 2 3 -4 -A -B 
 
1 
 
6 
 
1 6 
 
2 
 
 
12 
 
2 12 
 1 2 2 (14 - A) (12 - B) 
 
1 1 -4 6 - m - 2 n+3 
 
-2 
 
-1 
 
-2 -1 
 
12 
 
 
6 
 
-34 -17 
 1 -6 17 (-m - 30) (n - 14) 
 
B - 1 = 0 
 
 A - 6 = 0 
B = 1  A = 6 
 
4. Calcular "A + B", si la división es exacta. Resolución: 
 
 
 
 
 
Resolución: 
 
2x 4  3x 3  4x 2  Ax  B 
2x 2  x  6 
Al invertir los coeficientes, la división seguirá siendo 
exacta. 
 
1 1 1 3 B A 
 
-2 -2 -3 
-3 2 3 
-4 -6 
1 -1 2 (B - 1) (A - 6) 
 
 
Como la división es exacta (R = 0), entonces: 
 
 
 
* Si la división es exacta: 
Residuo = 0; entonces: 
 
14 - A = 0  A = 14 
12 - B = 0  B = 12 
 
 
 
 
 
 
 
Rpta.: A + B = 26 
 
 
 A + B = 7 
 
 
 
 
Problemas para la clase 
 
 
 
Rpta.: 7 
 
5. Dividir y hallar "m + n", si la división: 
 
 
x 4  4x3  6x2  (m  2)x  n  3 
x2  2x  1 
 
deja como resto: -27x - 11 
Bloque I 
 
1. Hallar el cociente de la siguiente división: 
 
 
x 3  5x 2  6x  7 
x 2  3x  2 
 
Resolución: a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1 
d) 2x - 3 e) 2x + 3 
 
2. Al efectuar la siguiente división: 
 
 
4x 4  4x 3  5x 2  9x  6 
2x 
2 
 3x  5 
 
 
 
Igualando los restos: 
Indicar el cociente. 
 
a) x2 + x - 1 b) x2 - 1 c) 2x2 + x - 1 
2
 
-27x - 11 (-m - 30)x + (n -14) 
d) x + 11 e) 2x + 2x - 1 
-27 = -m - 30  m = -3 
-11 = n - 14  n = 3 
 
Rpta.: m + n = 0 
 
6. Calcular "A + B", en la división exacta: 
 
 
Ax 4  Bx 3  3x 2  x  1 
3x 2  2x  1 
 
3. Hallar el residuo de la siguiente división: 
 
 
3x5  2x 4  5x 2  4x  1 
x 3  x 2  1 
 
a) x2 + 3x + 1 b) x2 + 3x c) x2 - 3x 
d) x2 + 5x e) x2 - 5x + 1 
 
4. Al dividir: 
 
 
6x 6  13x 5  7x 4  11x 2  8x  5 
2x 3  3x 2  5x  1 
 
señalar el cociente. 
 
a) 3x3 + 2x2 + x + 2 b) x3 + 2x2 + x + 2 
c) x3 + x2 + x + 1 d) x3 - 2x2 + 3x - 2 
e) 8x2 + x + 3 
 
* Del problema anterior: 
 
5. Señalar el residuo : 
a) 22 b) 18 c) 17 
d) 25 e) 28 
 
12.En la siguiente división exacta: 
 
 
2m4  4m3  am2  5m  b 
m2  m  2 
 
a) x2 + 2x + 2 b) 3x3 + 2x2 + x + 2 
c) 8x2 + x + 3 d) x2 - x + 1 
e) 2 
 
6. El coeficiente del término lineal del cociente es: 
calcular "a + b" 
 
a) 2 b) 13 c) 9 
d) 8 e) 19 
 
13.Determinar "a + b"; si la división: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 0 e) 4 
 
3x4 
 
 5x3 
 
 ax  b 
 
7. La suma de coeficientes del cociente: 
 
a) 4 b) 7 c) 6 
d) 5 e) 8 
 
8. Hallar el residuo de la siguiente división: 
 
 
y3  5y2  7y  5 
y2  2y  3 
 
a) y + 5 b) y2 + 3 c) y + 3 
d) -10y + 14 e) 10y + 14 
 
9. Hallar el residuo de la división: 
 
 
z4  3z3  2z2  z  5 
z2  3z  1 
x2  x  1 
 
deja como residuo: 5x + 7 
 
a) 28 b) 24 c) 20 
d) 16 e) 12 
 
14.En la siguiente división: 
 
 
2x 4  7x 3  16x 2  Ax  B 
2x 2  3x  4 
 
deja como resto: 2x + 30. 
Hallar "A . B" 
 
a) 1 b) 20 c) 1/2 
d) 1/3 e) 30 
 
15.Hallar el residuo luego de dividir: 
 
a) z2 + 1 b) -2 c) 4z 
d) -6 e) 4z - 6 
 
8x 6 
 
 9x 4 
 
 2x 2  4 
 
10.Hallar "A + B", si la siguiente división: 
 
 
x 4  3x 3  2x 2  Ax  B 
x 2  3x  2 
x 2  2 
 
a) 10 b) 20 c) 30 
d) 40 e) 60 
 
16.Determinar "m + n", para que la división: 
es exacta. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
 
 
6x 4 
 
 
 16x 3 
 
 
 25x 2 
 
 
 mx  n 
d) 4 e) 5 
 
Bloque II 
 
 
 
sea exacta. 
3x 2  2x  1 
 
11.Calcular "m + n + p" si la división: 
 
 
6y5  17y 4  7y 3  my 2  ny  p 
3y 3  4y 2  5y  7 
a) 17 b) 18 c) 19 
d) 20 e) 21 
es exacta. 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
a) 8 b) 9 c) 10 
d) 11 e) 12 
 
a) 21 b) 20 c) 30 
d) 40 e) 50 
 
17. Determine "p - q", si la división: 22.Hallar el valor de "m . n" si la división: 
 
x 4  mx  n 
6x 4  8x 2  px  q 
3x 2  3x  7 
(x  1)2 
; es exacta 
 
es exacta. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
18.Calcule "A + B", si la división: 
 
 
12x 4  12x 3  13x 2  Ax  B 
2x 2  3x  5 
 
deja como resto: 4x + 5. 
a) 15 b)14 c) 13 
d) 12 e) 11 
 
23.Determine "r + s" de manera que el polinomio 
P(x) = x3 + rx + s; sea divisible por: x2 - 2x + 1 
 
a) -1 b) -2 c) -5 
d) 5 e) 1 
 
24.Hallar "a + b", en la siguiente división exacta: 
 
ax 4  bx 3  3x 2  x  1 
3x 2  2x  1 
 
a) 45 b) 46 c) 47 
d) 48 e) 49 
 
19.Calcular "A + B - C", si la división: 
 
 
8x 5  4x 3  Ax 2  Bx  C 
2x 3  x 2  3 
 
deja como resto: 5x2 + 11x + 7 
 
25.Hallar el resto al dividir: 
 
6x 4  4yx3  4x 2 y2  2y 4  4xy3 
3x 3  x 2 y  xy2  y3 
 
a) x2 + y2 b) 2x2 + xy c) -x2 
2
 
d) 2x + y e) 0 
 
 
 
20.Si al dividir: 
 
 
 
 
 
4x 4  6x3  2x2  ax  b 
x2  2x  2 
26.Hallar el cociente luego de dividir: 
 
12x 4  14x 3 y  15x 2 y 2  4y 4 
4x 2  2yx  y 2 
 
a) 3x2 + 2y2 b) 3x2 - 2xy + 2y2 
c) 3x2 + 2xy + 4y2 d) 3x2 + xy - y2 
deja un resto: -25x + 21. Hallar "a - b" 
 
a) -2 b) 0 c) 2 
d) 1 e) -1 
 
Bloque III
 
e) 3x2 + 2xy + y2 
 
27. Hallar el valor de "a + b + c", si el resto de la división 
indicada siguiente: 
 
ax 5  bx 4  cx 3  5x  3
 
 
 
21.La siguiente división: 
 
2x 3  x 2  x  2 
; es: 7x
2 + 8x - 3 
 
 
x 4  (m  3)x 2  n  3 
x 2  x  1 
 
; es exacta. Hallar (m + n) 
 
 
28.Si en la siguiente división: 
 
5x 3  6x 4  1 
a) -1 b) 1 c) 2 
d) -2 e) 8 
x  3x 2  2 
 
se obtiene un resto de la forma: mx + n - 3. 
Calcular "m - n" 
 
a) -1 b) -2 c) -3 
d) 4 e) 3 
 
(x) 
29.En el esquema de Horner mostrado: 
 
 
1 3 a 1 b c 
m 9 d 
2 e f 
g h 
n -2 p 4 -3 
 
 
Determinar el valor de: 
 
Autoevaluación 
 
1. Dividir, hallar el cociente: 
 
x5  x 4  2x 3  2x 2  x  2 
x 4  2 
 
a) x b) x + 1 c) x - 1 
d) 2x - 3 e) x + 3 
 
 
2. Hallar el resto en: 
3  a  b  c 
 m 
n  p  2 
 
2x 4 
 
 3x 3 
 
 8x 2 
 
 1  4x 
 
 
a) 1 b) -1 c) 3 
 
2 
 
 
 
a) 2x2 
x 2  (x  1) 
 
+ 5x - 1 b) x - 1 c) 1 
d) 4 e) 
5 
d) 0 e) 2 
 
30.En la división siguiente: 
 
 
2x 5  3x 4  bx 3  6bx 2  x  a 
3. Hallar el resto en: 
 
5x 3  6x 4  1 
2
 
 
x 2  x  b 
x  3x  2 
 
Se sabe que el resto es "2x + 3", además la suma de 
coeficientes del cociente es mayor que 15, calcular "a.b" 
 
a) 4 b) 9 c) 7 
d) 2 e) 8 
 
a) x + 1 b) x - 1 c) 1 
d) x + 3 e) x - 2 
 
4. Hallar "m + n", si el residuo de dividir: 
 
3x5  mx 3  nx 2  x  2 
x 2  3 
 
es: 5x - 10 
 
a) 11 b) 5 c) 1 
d) 7 e) 4 
 
5. Sea: Q = ax2 + bx + c; el cociente de la división de: 
 
(2x4 + 3x3 - 8x2 + 1 - 4x) entre (x2 - x - 1) 
 
Calcular: (a - b + c)2 
 
 
a) -4 b) 16 c) 4 
d) 12 e) 25 
 
 
 
 
 
Claves 
 
1. b 
2. d 
3. a 
4. a 
5. b 
 
 
AÑO 
3x - 1 = 0 3 5 - 17 8 7 
1/3  1 2 - 5 1 
 3 6 - 15 3 8 
 3 
1 

2 

- 5 

1 
 
 
x - 2 = 0 3 - 2 7 - 11 5 1 
2 6 8 30 38 86 Resto 
 3 4 15 19 43 87 
 
División algebraica II 
(Método de Ruffini - Teorema 
del Resto) 
 
 
 
Método de Ruffini Ejemplo: 
 
Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer 
grado de la forma: ax + b; a  0 
 
Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes, 
cumpliendo el siguiente esquema: 
Dividir: 
 
 
 
Solución: 
 
 
3x 4  5x3  17x2  8x  7 
3x  1 
 
 
 
N D I V I D E N D O 
C O C I E N T E R 
 
Por Ruffini: 
 
Valor de “x” al igualar el divisor a cero. 
 
 
Ejemplo: 
 
Dividir: 
 
 
3x5  2x 4  7x3  11x2  5x  1 
 
 
Como: 
qº = 4 - 1 
Coeficientes del cociente 
 
 
Solución 
 
Por Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
x  2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficientes del cociente 
q = x3 + 2x2 - 5x + 1 
R = 8 
 
Teorema del Resto 
 
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la 
división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer 
grado de la forma : ax + b y en algunos casos especiales. 
 
Regla: 
 
Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se 
calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea 
qº = 5 - 1 = 4 
q = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43 
R = 87 
 
Observación: 
 
Si en el divisor : ax + b, a  1, luego de dividir por 
Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse 
entre “a” para obtener el cociente correcto. 
de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el 
dividendo. El resultado obtenido es el resto. 
 
Ejemplo: Calcular el resto en: 
 
 
x5  3x  5 
x  2 
Solución: 
 
T. Resto: x - 2 = 0  x = 2 
 R = 25 + 3(2) - 5  R = 33 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Dividir y dar el cociente y residuo. 
 
 
 
Bloque I 
 
Problemas para la clase 
 
5x 4  16x3  8x  2 
x  3 
 
Solución: Colocando los coeficientes: 
1. Señalar el residuo en la siguiente división: 
(x3 + 3x2 - 7x - 5) entre (x - 1) 
a) -5 b) -7 c) 8 
d) -8 e) -9 
 
5 16 
 
-3 -15 
 
5 1 
 
 
3 2
 
0 -8 2 
 
-3 9 -3 
 
-3 1 -1 
2. Efectuar la división: 
 
2x 4  7x2  5x  3 
x  2 
dar el residuo. 
* Cociente: 5x + x 
* Residuo: -1 
 
2. Dividir: 
- 3x + 1 
a) 9 b) -9 c) 8 
d) 7 e) -8 
 
3. Dada la división: 
 
5x 4  x3  7x2  9
 
 
 
 
 
Solución: 
6x 4  4x3  x2  10x  2 
3x  1 
 
 
hallar el residuo. 
 
x  1 
 
6 -4 
-1/3 -2 
6 -6 
3 
1 10 2 
2 -1 -3 
3 9 -1 
 
 
4. Hallar el cociente en la división 
 
4x
3 
 4x
2 
 3x  9 
2 -2 1 3 -1 2x  1 
 
 
* Cociente: 2x3 - 2x2 + x + 3 
* Resto: -1 
 
3. Calcular el resto: 
 
 
(x  3)7  (x 2  x  7)8  x  2 
x  2 
 
Solución: 
 
* Aplicando el Teorema del Resto. 
x + 2 = 0  x = -2 
* Reemplazando en el dividendo: 
 
(-2 + 3)7 + [(-2)2 - (-2) - 7]8 - (-2) - 2 = R 
(1)7 + [-1]8 + 2 - 2 = R 
2 = R 
a) 2x2 - 3x + 3 b) 4x2 - 6x + 6 
c) x2 - x + 1 d) x2 + x - 1 
e) 2x2 + 3x + 3 
 
5. En el siguiente esquema de Ruffini: 
 
 
4 ? 6 ? 8 
? -4 ? -15 ? 
? ? ? ? 16 
 
hallar la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
6. Si los coeficientes del cociente entero de dividir: 
 
 
8x 4  18x 3  ax 2  bx  c 
2x  3 
 
son números consecutivos y el residuo es -8 ; calcular 
"a + b + c" 
 
a) 16 b) 8 c) 20 
d) 22 e) 23 
 
7. Hallar el resto en la siguiente división: 13.Al dividir: 
 
 
x 3  3x  15 
x  2 
6x 4  4x3  x2  10x  2a 
3x  1 
 
a) 5 b) -5 c) 0 
d) 1 e) -1 
 
8. Calcular el resto en:
 
obtengo como resto -1: hallar "a". 
 
 
 
3 
 
 
 
(x  2)8  (x  1)4  16 
x  1 
a) b) 1 c) -1 
2 
 
d) 
5 
e)  
5
 
2 2 
 
a) 0 b) 2 c) 32 
d) 16 e) 1 
 
9. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente 
división: 
 
14.En la división: 
 
 
 
2x 4  3x 3  2ax 2  3a 
x  1 
 
 
x(x 2  1)  3x 2 (x  1)  2 
x  2 
 
a) -8 b) -7 c) 8 
d) 6 e) -4 
 
10.Calcular el resto en: 
 
 
(x  1)2n  (x  1)n  3 
x  2 
 
además "n" es impar. 
 
a) -1 b) 1 c) -2 
d) 2 e) 0 
 
 
Bloque II 
 
11.Hallar "a" en la división exacta: 
 
 
5x 4  16x 3  8x  a 
x  3 
 
a) 4 b) -4 c) 3 
d) -3 e) -2 
 
12.Hallar el resto en: 
 
 
(x  4)80  (x  4)60  1 
x  5 
 
a) 1 b) 3 c) 2 
d) -1 e) 0 
el resto es dos, hallar "a". 
 
a) 3 b) 2 c) 1 
d) -2 e) -1 
 
15.Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la división: 
 
 
2x5  4x3  2x  5 
x  3 
 
a) 50 b) -60 c) -66 
d) 66 e) -50 
 
16.Hallar el coeficiente cuadrático del cociente, en: 
 
 
x5  x 3  x 
x  1 
 
a) 3 b) 1 c) 0 
d) 2 e) -2 
 
17. Hallar el resto, en: 
 
 
2x 9  3x6  x3  1 
x3  1 
 
a) 1 b) 2 c) 0 
d) -1 e) -2 
 
18.Hallar el residuo, en: 
 
 
 3x15  6x10  3 
x5  1 
 
a) 5 b) 4 c) 10 
d) 6 e) 8 
 
a) 2x b) 2x - 12 c) 2x + 5 
d) 2x + 12 e) 2x + 7 
 
a) 7 b) -2 c) 2 
d) 4 e) 16 
 
4 
19.Hallar el resto de la división: 25.Hallar el resto en: 
 
 
(x  1)35  7(x  1)28  3(x  1)17  3 
x 2  2x  2 
y 8  y 4  1 
y2  y  1 
 
 
 
 
20.Determinar la suma de coeficientes del cociente que se 
obtiene al dividir: 
a) 1 b) 0 c) 8 
d) 7 e) 16 
 
26.Hallar el resto en: 
 
 
4x 80  2x 79  x  b 
x  1 
 
a)165 b) 162 c) 163 
d) 164 e) 161 
 
Bloque III 
 
21.Hallar el resto de la división: 
 
 
x3 
(x  1)(x  2) 
 
(x  5)(x  4)(x  3)(x  2)...(x  1)(x  2) 
x  1 
 
a) 1 b) 2 c) 0 
d) 16 e) 18 
 
27. Hallar el resto en: 
 
 
(x  3)(x  7)90  7 
x  6 
 
a) 7x + 5 b) 76x + 2 c) 7x + 6 
d) 6x - 1 e) 3x - 1 
 
22.En la división: 
28.Hallar el resto en: 
 
 
x 60  x 80 
 
 
 
 x 90  x 20  4 
 
x n1  (n  2)x  n  1 
x  1 
 
el término independiente del cociente es -10, ¿de qué 
grado es el dividendo? 
 
a) 13 b) 9 c) 7 
d) 3 e) 8 
 
23.Dado el polinomio: 
x10  1 
 
a) 2 b) 4 c) 10 
d) 8 e) 6 
 
29.Hallar el resto: 
 
 
27x 425  81x 424  5x  19 
x  3 
 
a) -2 b) 3 c) -4 
d) 1 e) 0 
F(x)  ( 3  2)x 4  (1  2  3)x 3  2 6  (4  2 6)x 2 
 
Hallar su valor numérico en: x 
 
 
a) 1 b) 5 c) 
 
3  2 
 
 
3  2 
30.En la siguiente división: 
 
(2x 40  n)x  5 
; 
x  1 
determinar el resto, para que la suma de coeficientes 
d) 6 e) 5 6 del cociente sea 93. 
 
24. Hallar el resto en: 
 
 
 (1  x) 
1  x 2 
 
 
 
 
x  1; -1 
a) 2 b) -6 c) 18 
d) 16 e) 24 
 
a) 8x b) 8x + 8 c) 8x - 6 
d) 8x + 11 e) 16 
 
Autoevaluación 
 
1. Dividir: 
 
3x 4  5x  2 
x  2 
4. Dividir: 
 
27x 4  6x2  x  15 
3x  1 
 
hallar el residuo. 
 
a) 12 b) 24 c) 60 
d) 28 e) -16 
dar el término independiente del cociente. 
 
 
a) -3 b) -1 c) 0 
d) 9 e) 1 
 
2. Dividir: 
 
3x5  10x2  12x  x3  15 
x  3 
 
 
5. Hallar el resto en: 
 
 
425
 
 
 
 
 
 
424
 
hallar el resto. 
8x  16x 
x  2 
 5x  19 
 
a) 26 b) 223 c) 663 
d) 441 e) 645 
 
3. Hallar el término independiente del cociente de dividir. 
 
a) 29 b) 9 c) -9 
d) -29 e) 2 
 
 
2y 4  14y  2y3  5 
y  3 
 
a) 16 b) 24 c) 58 
d) 169 e) 170 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Claves 
 
1. c 
2. c 
3. c 
4. c 
5. a