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Materia: Herramientas Matemáticas I-Álgebra 
Profesora: Nancy Stanecka 
 
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MÓDULO 1 
 
Lectura 1: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
 
 
 
1. Ecuaciones 
 
 
Generalidades 
 
 
Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican 
para ciertos valores de las letras, a las cuales se denominan incógnitas. 
 
 
 
Ejemplos de ecuaciones: 
 
 
x + 1 = 3 ; 2 x  3 y  xy  z 
 
 
 
; x2  3x  4  0 ; 2 x  4x  1 
y 
 
Si bien hay distinto tipo de ecuaciones (con una incógnita, con dos incógnitas, con la incógnita 
elevada al cuadrado, etc.), en todos los casos se intenta buscar el valor de las incógnitas que 
satisfacen la igualdad. 
 
Por ejemplo en el caso de la ecuación x + 1 = 3 podemos afirmar que x=2 verifica la igualdad. 
 
 
Los valores que satisfacen la ecuación reciben el nombre de raíces o soluciones 
de la misma. 
 
 
¿Cómo surgen las ecuaciones? 
Hace más de 3000 años el hombre intentaba resolver problemas y observó que su traducción al 
lenguaje de los símbolos posibilitaba su resolución. Muchos siglos después se llegó a la 
simbología actual y con el objetivo de encontrar respuesta a problemas de cierta naturaleza se 
intenta traducir el mismo al lenguaje matemático. 
 
 
 
Veamos cómo hacerlo en una situación particular: 
 
El gerente de producción de una pequeña empresa dispone de $8.000 que desea destinar 
totalmente a la producción mensual. 
Sabe que los gastos fijos ascienden a $500 por mes y que el costo de fabricación de cada 
producto es $30. 
Bajo estas condiciones, ¿cuántas unidades como máximo podrá producir por mes? 
 
 
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El primer paso para resolver un problema es analizar detenidamente la situación, estableciendo 
cuáles son las incógnitas y cuáles son datos. 
En nuestro caso la incógnita es "la cantidad de unidades a producir por mes", la cual puede ser 
representada por la letra x. 
 
x : "cantidad de unidades a producir por mes" 
 
Los valores 30, 500 y 8.000 son datos, ahora debemos traducir al lenguaje algebraico lo que ellos 
representan. 
 
Como producir una unidad le cuesta $30, el costo de producción de "x" unidades será: 
 
30 x 
 
Además existe un gasto fijo mensual de $500, independiente de las cantidades producidas, que 
deberemos agregar al gasto total: 
 
30 x + 500 
 
Si el gerente dispone de un presupuesto de $8.000, quiere decir que el gasto máximo que puede 
realizar en la producción es igual a $8.000, así la situación planteada puede ser representada 
algebraicamente por la ecuación: 
 
30 x + 500 = 8000 
 
Hemos obtenido una ecuación, que debido a su estructura, se la denomina lineal. 
 
 
 
2. Ecuaciones lineales con una incógnita 
 
 
Una ecuación lineal en una variable x es una ecuación donde la incógnita está 
elevada a la potencia 1, y en general puede escribirse en la forma: 
 
a x + b = 0, 
 
donde a y b son constantes y a es distinta de cero. 
 
 
 
 
El proceso de encontrar las raíces se denomina resolver la ecuación. 
 
La idea es transformar la ecuación, a través de operaciones algebraicas (como suma, resta, 
multiplicación, división, entre otras), en otra más simple de resolver, pero que admite las mismas 
raíces que la ecuación original. 
En tal sentido diremos que dos ecuaciones con las mismas incógnitas son equivalentes 
si y sólo si tienen las misma soluciones. 
 
 
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¿Cómo pasar de una ecuación a otra equivalente? 
 
Para ello podemos valernos de las siguientes operaciones algebraicas: 
1) Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma expresión. 
2) Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo factor no nulo. 
 
Por ejemplo si queremos dar solución al problema planteado por el gerente de la empresa la 
ecuación a resolver es: 
30 x + 500 = 8000 
 
Como el objetivo es encontrar el valor de x, parece razonable tratar de "aislar" de algún modo la 
variable en cuestión. Si sumamos a ambos miembros de la igualdad (- 500): 
 
30 x + 500 - 500 = 8000 - 500 
obtenemos así una ecuación equivalente, más simple que la original: 
30 x = 7500 
 
 
 
Aún no hemos encontrado el valor de la incógnita. 
 
Podemos entonces simplificar más la ecuación si multiplicamos ambos miembros por 1/30 
 
1 
30 x  1 7500 
30 30 
 
de donde surge que el valor de x es: 
x = 250 
 
Así el gerente de la empresa podrá producir, de acuerdo a su presupuesto, 250 unidades 
mensuales. 
 
 
 
OBSERVACIÓN 
 
Por lo general, el estudiante, para encontrar el valor de x usa reglitas tales como: 
 "Lo que esta sumando en un miembro pasa restando al otro", 
 "lo que está multiplicando pasa dividiendo". 
 
Estas reglitas no son incorrectas, pues en cierta medida constituyen una forma abreviada de las 
operaciones enunciadas anteriormente. 
 
 
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3. Ecuaciones lineales con dos incógnitas 
 
 
No todos los problemas involucran una sola variable, puede que en el planteo surjan dos, tres o 
más incógnitas, y cuanto mayor es el número de ellas, más complicada es la búsqueda de sus 
soluciones. 
 
Dentro de la gama de posibilidades que pueden darse, tenemos el caso de una ecuación lineal 
con dos incógnitas x e y, la cual tiene la siguiente estructura: 
 
a x + b y = c 
 
donde a, b y c son los parámetros de la ecuación con a y b distintos de cero. 
Ejemplifiquemos a través de un problema particular: 
Un criador de animales puede adquirir dos tipos de alimentos A y B al mismo costo. 
Si se sabe que el alimento A contiene 60 gramos de grasa por kilogramo, mientras que el B 
contiene 30 gramos, ¿cómo debe combinar los alimentos si desea que el contenido de 
grasa sea en total de 600 gramos? 
 
Llamemos 
“x” a la cantidad de alimento A en la mezcla, en kg. 
“y” a la cantidad de alimento B en la mezcla, en kg. 
 
El aporte de grasa del alimento A es de 60 gr/kg, entonces el aporte de grasa de x kg será: 
 
60 x 
 
Análogamente el aporte de grasa del alimento B en gr/ kg. Será: 
 
30 y 
Dado que el aporte total debe ser de 600 gramos, la ecuación que describe la situación planteada 
será: 
 
60 x + 30 y = 600 
 
Estamos en presencia de una sola ecuación con dos incógnitas, veamos cuáles son las 
soluciones: 
 
Si x = 0, entonces y = 20 
Si x = 5, entonces y = 10 
Si x = 10, entonces y = 0 
 
Cada una de estas soluciones se denomina solución particular. 
 
Así podríamos encontrar infinitas alternativas de mezcla de los alimentos que contengan un total 
de 600 gramos de grasa. 
La solución general, se obtiene despejando una de las variables en función de la otra, esto es 
despejando x en términos de y ó y en términos de x, 
 
 
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
 
 
 
En nuestro caso, despejemos y 
 
 
60 x + 30 y = 600  y  600  60 x 
30 
 
 
Distribuyendo denominador, la solución general será: 
 
y  20  2 x cualquiera sea x 
 
Es decir, cualquier solución particular se obtiene dando a “x” un valor arbitrario. 
 
 
 
3. 1 Visualización gráfica del conjunto solución 
 
Los pares (x, y) que verifican la ecuación, se pueden graficar en un sistema de coordenadas 
cartesianas y se alinean formando una recta. 
 
Por ejemplo en el caso anterior se obtendría la siguiente solución gráfica 
 
y 
 

20 
 
 
10 
 
 5 10 x 
 
 
 
 
 
4. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 
 
¿Qué ocurriría si en el caso anterior agregamos una nueva restricción? 
 
Por ejemplo, que el criador de animales desee que la mezcla contenga exactamente 15 kg de 
alimento. 
 
Algebraicamente podemos expresar esta condición a través de la ecuación: 
 
x + y = 15 
 
es decir, la cantidad de alimento de tipo A másla cantidad de alimento de tipo B debe ser igual a 
15 kg. 
 
Tendremos pues que la solución del problema consistirá en encontrar los valores de x e y que 
satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones: 
 
 
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60 x + 30 y = 600 
x + y = 15 
 
 
 
Esto es lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos 
ecuaciones con dos incógnitas. 
 
 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnita, tiene la estructura ax  by  f 
cx  dy  g 
donde a, b, c, d, e, f, g son constantes. 
 
 
 
¿Cómo obtener el conjunto solución? 
 
Apliquemos el método por sustitución, el cual consiste en despejar de cualquiera de las 
ecuaciones, una de las incógnitas, por ejemplo de la segunda ecuación despejemos "y". 
 
y = 15 - x 
 
 
 
Para que también verifique la primera ecuación, deberíamos sustituir el valor de y en la primera 
ecuación por la expresión hallada anteriormente. 
 
Esto es: 
60 x + 30 y = 600 
 
60 x + 30 (15 - x) = 600 
 
Hemos obtenido al sustituir, una ecuación de primer grado con una incógnita, cuya solución es: 
 
x = 5 
 
Pero para dar respuesta a nuestro interrogante también debemos encontrar el valor de y. 
 
Como vimos la segunda ecuación es y = 15 –x. Reemplazando a x por 5 obtenemos el valor de y: 
 
y= 15-5=10 
 
Así, la respuesta al problema planteado será: para que el criador de animales obtenga una mezcla 
de 15 kg. con un aporte de 600 gramos de grasa deberá usar 5 kg de alimento A y 10 kg de 
alimento B. 
 
También podemos especificar la solución, de una manera más algebraica diciendo que: 
“El par (x , y) = (5 , 10) es la solución del sistema.” 
 
 
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4.1 Visualización gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos 
incógnitas 
 
Ahora agreguemos al gráfico anterior las soluciones de la segunda ecuación. 
Como nos interesa los valores de x y de y que verifiquen simultáneamente ambas ecuaciones, la 
solución al sistema estará dado por la intersección entre ambos conjuntos de soluciones, es decir 
por el punto de encuentro entre las dos rectas. 
 
y 
 
20 
 
 
 
 
 
 
10 15 x 
 
 
 
 
En este caso hemos encontrado una única solución a nuestro problema, pero esto no siempre 
ocurre. 
 
Veamos el siguiente sistema 
 
 
 
 
 
 
Despejemos y de la primera ecuación 
 
 
 

 
y = 10 - 2 x 
 
 
 
Sustituimos y en la segunda ecuación por su expresión equivalente y operamos: 
 
0 x + 15 = 15 
 
¡Hemos obtenido una identidad! Esto significa que cualquiera sea el valor de x, verifica la 
ecuación propuesta. Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es compatible 
indeterminado, compatible porque admite solución e indeterminado pues para cada valor de "x", 
"y" asumirá el valor "10 2x", como lo establecía la primera ecuación. 
Así la solución como par ordenado en este caso será: 
 
( x , y ) = ( x , 10 - 2 x)  x  R 
 
 x  R se lee “Para todo x que pertenece a los reales” 
 
Finalmente consideremos el siguiente sistema: 
 
 
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 2 x  y  10  3 
3x  2 y  20 
 
Es muy parecido al anterior, y los cálculos son bastantes similares 
 
Despejemos y de la primera ecuación 
 
y = 10 - 2 x 
 
sustituimos y en la segunda ecuación por su expresión equivalente y resolvemos. 
Realizando las operaciones indicadas, resulta 
0 x + 15 = 20 
 
¡Llegamos a una proposición que es falsa! obviamente 15 no es igual a 20, esto significa que 
no existen valores de x e y que verifiquen simultáneamente las dos ecuaciones propuestas. 
Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es incompatible, es decir no posee solución. 
 
Resumiendo un sistema de ecuaciones lineales será: 
Compatible determinado: cuando el sistema posea una única solución. 
Compatible indeterminado: cuando el sistema posea múltiples soluciones. 
Incompatible: cuando el sistema no admita solución. 
 
 
 
5. Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas 
 
Si tenemos ecuaciones lineales con tres incógnitas se procede de manera similar teniendo en 
cuenta que nuestro conjunto solución, si existe, debe estar compuesto por ternas ordenadas. La 
idea básica es pasar de un sistema de tres ecuaciones a un sistema de dos ecuaciones y luego 
resolver como antes. 
 
Veamos cuáles son los pasos a seguir, insistiendo en el método de sustitución. 
 
Consideremos el sistema: 
2x  y  z  3 
x  z  2 
x  y  z  6 
 
El primer paso es despejar una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones, en nuestro caso 
conviene despejar x de la segunda ecuación. 
x = - 2 + z 
 
Sustituimos el valor de x por la expresión anterior, en las ecuaciones restantes: 
 
 
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2 (- 2 + z) - y + z = 3 
(-2 + z) + y + z = 6 
 
 
Operamos algebraicamente en cada ecuación, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos 
incógnitas: 
 
 
 
 
-y + 3 z = 7 
y + 2 z = 8 
 
Resolviendo como antes resulta que y = 2 y z = 3, pero para encontrar el valor de la solución, 
falta hallar el valor de x. Como esta variable había sido despejada anteriormente: 
 
x = - 2 + z 
 
Reemplazamos z por 3, de donde surge que 
x = 1 
 
Así nuestro sistema es compatible determinado, siendo su única solución la terna 
 
(x, y , z ) = (1 , 2, 3) 
 
Al igual que en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas se podría haber presentado una 
situación de indeterminación o incompatibilidad. 
En todos los casos los resultados pueden ser verificados a través de su reemplazo en las 
ecuaciones originales, este es un punto en que no nos detendremos, pero que sugerimos como 
forma de auto-evaluación. 
 
Generalmente, la mayor dificultad que se presenta al resolver sistemas de ecuaciones consiste en 
expresar un enunciado escrito en un lenguaje coloquial al lenguaje matemático. 
Primero se debe leer atentamente el enunciado e identificar las incógnitas en el problema. Luego, 
reconocer las operaciones matemáticas involucradas con dichas incógnitas y escribir las 
ecuaciones correspondientes. 
 
Veamos el siguiente ejemplo: 
 
Un automovilista recorre 764 km en tres etapas; en la segunda etapa el recorrido es 124 km 
más que en la primera, y en la tercera el 20% más que en la primera. ¿Cuántos km recorrió 
en la primera etapa? 
 
Llamaremos: 
x = “cantidad de kilómetros que recorre el automovilista en la primera etapa” 
 
y = “cantidad de kilómetros que recorre el automovilista en la segunda etapa” 
 
z = “cantidad de kilómetros que recorre el automovilista en la tercera etapa” 
 
 
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De la primera parte del enunciado “Un automovilista recorre 764 km en tres etapas”, podemos 
deducir la siguiente ecuación: 
 
x + y + z = 764 
 
Siguiendo con la lectura “en la segunda etapa el recorrido es 124 km más que en la primera”, 
se deduce la segunda ecuación: 
 
y = 124 + x 
 
Y finalmente para “y en la tercera el 20% más que en la primera”, obtenemos la tercera 
ecuación: 
 
z= x + 0,20 x 
 
 
 
Note que 20% le corresponde el número real 0,20. No es correcto escribir 20 ya que la ecuación 
sería: z = x + 20 x y coloquialmente esto representa: “lo que recorrió en la primera más 20 
veces de lo que recorrió en la primera”, lo que equivale a decir, 21 veces de lo que recorrió en 
su primera etapa. 
Ahora, si solo planteamos z = 0,20 x estamos diciendo que “en la tercera recorre el 20% de la 
primera etapa”. El enunciado es claro cuando dice que recorre el 20% más que la primera, es 
decir, lo que recorre en la primera más su 20%. 
 
Con las tres ecuaciones deducidas de la lectura del problema conformamos el sistema de 
ecuaciones: 
 
 
 
Ahoratenemos nuestro problema expresado en lenguaje matemático y aplicamos alguna de las 
técnicas conocidas para su resolución. 
Resolviendo por sustitución, en la primera ecuación reemplazando a y y a z por la segunda y la 
tercera ecuación respectivamente, obtenemos: 
 
 
 
x + (124 + x) + (x + 0,20 x) = 764 
 
y z 
 
Operamos en términos de x: 
 
x + 124 + x + x + 0,20 x = 764 
 
3,20 x + 124 = 764 
 
 
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3,20 x = 764 -124 
 
3,20 x = 640 
x = 640 : 3,20 
x= 200 
Concluimos que, en la primera etapa el automovilista recorrió 200 km., en la segunda 324 km y en 
la tercera 240km. Estas cantidades suman los 764 km que recorre el automovilista. 
 
 
 
6. Inecuaciones 
 
 
 
6.1 Inecuaciones con una incógnita 
 
Analicemos las siguientes expresiones: 
 
 El número de inscriptos no llega a 40. 
 Se deben imprimir por lo menos 600 copias. 
 El total de empleados no pasa de 55. 
 El porcentaje de deserción es superior al 30%. 
 
¿Las podremos expresar matemáticamente? La respuesta es sí. 
Si llamamos x al número de inscriptos, podemos simbolizar la primera expresión como 
x < 40. 
Si llamamos y a la cantidad de copias a imprimir tendremos y 600 
Si llamamos z a la cantidad de empleados surge que z 55 
 
Finalmente, llamando w al porcentaje de deserción se tiene que w > 30 
 
Como vemos estas y otras relaciones, mucho más complejas, se pueden expresar 
matemáticamente como desigualdades que involucran incógnitas, en tales casos decimos que 
estamos en presencia de inecuaciones. 
 
Formalmente: 
 
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica 
para algunos valores de sus letras, a las que denominamos incógnitas. 
 
 
 
 
El objetivo es encontrar el conjunto de valores de las incógnitas que verifican la desigualdad, este 
conjunto se denomina SOLUCIÓN DE LA INECUACIÓN. 
 
Ejemplifiquemos este último concepto: 
 
1) Si x pertenece a los números naturales y x < 5, entonces el conjunto solución de esta 
 inecuación es: 
 
 
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S = { 1, 2, 3, 4 } 
 
2) Si x pertenece a los números enteros y x < 5 , entonces el conjunto solución de esta 
inecuación es: 
S = {. . . -1, 0 , 1 , 2, 3, 4 } 
 
3) Si x pertenece a los reales y x < 5, entonces el conjunto solución ya no puede ser expresado 
por enumeración de sus elementos sino que debe recurrirse a la notación por intervalos: 
 
S = ( , 5 ) 
De estos ejemplos surge una primera observación: 
“En la resolución de una inecuación es fundamental el conocimiento del conjunto de referencia” 
Concentraremos nuestra atención en las inecuaciones definidas sobre el conjunto de los reales. 
Para avanzar sobre el tema revisemos algunas propiedades de las desigualdades: 
 
6.1.1 Propiedades de las desigualdades 
 
Propiedad 1: Si a ambos miembros de una desigualdad se agrega la misma cantidad, el sentido 
de la desigualdad no cambia. 
 
Si 4 < 7, entonces 4 + 2 < 7 + 2 
 
Si 4 < 7, entonces 4 + (- 3) < 7 + (- 3) 
 
 
 
Propiedad 2: Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad 
positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. 
 
Si 8 > 6, entonces 2 . 8 > 2 . 6 
 
Si 8 > 6, entonces 1/2 . 8 > 1/2 . 6 
 
Propiedad 3: Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad 
negativa, el sentido de la desigualdad se invierte. 
 
Si 8 > 6, entonces - 2 . 8 < - 2 . 6 
 
Si 8 > 6, entonces - 1/2 . 8 < - 1/2 . 6 
 
Estas propiedades nos servirán para encontrar el conjunto solución de cualquier inecuación, 
efectivamente con ellas podemos transformar inecuaciones de aspecto complicado en 
inecuaciones simples. 
 
Observemos los siguientes ejemplos: 
 
 
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Ejemplo 1: 
 
Sea la inecuación: x - 3 < 5 
 
Queremos los valores de x que la verifiquen entonces debemos dejar sola la x en el primer 
miembro, para ello debe eliminarse el (- 3), por lo tanto podemos sumar a ambos miembros el 
valor 3: 
x - 3 + 3 < 5 + 3 
 
x < 8 
 
Así hemos logrado el objetivo de establecer para qué valores de x se cumple la desigualdad. 
El conjunto solución a la inecuación dada será: 
S = { x / x R ^ x < 8} ó S = ( , 8 ) 
 
También es posible graficar el conjunto solución. Dado que hay una sola incógnita nos bastará 
con expresar dicha solución sobre la recta real. 
 
Usando el x = 8 de referencia tendremos la semirrecta sombreada: 
 
) 
 
8 
 
Observemos que la solución no incluye al valor 8 (esto se simboliza con paréntesis). 
Ahora avancemos un poco más. 
 
Ejemplo 2: 
 
Si tenemos: 2 x + 1 3 
 
Restamos en ambos miembros 1: 
 
 
 
 
Multiplicamos ambos miembros por ½: 
 
 
2 x + 1 - 1 3 1 
 
2 x 2 
 
(1/2) . 2 x (1/2) . 2 
 
x 1 
 
Gráficamente: 
 
 
 
Observemos que se incluye en la solución al valor 1 (esto se simboliza con corchetes). 
 
 
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Ejemplo 3: 
 
 
- 1/3 x+ 2 < 4 
 
Restamos a ambos miembros el valor 2: 
 
 
- 1/3 x < 2 
 
Multiplicamos ambos miembros por (- 3), recordemos que hay que invertir el sentido de la 
desigualdad. 
 
-3 (-1/3) x > (-3) 2 
 
x > -6 
 
 
Gráficamente: 
( 
-6 
 
 
En cuanto a la mecánica de resolución de inecuaciones es muy similar a la de ecuaciones con la 
salvedad de que hay un caso en el cambia el sentido de la desigualdad. ¿Cuál es ese caso? La 
respuesta está en este mismo texto. 
 
 
 
6.2 Inecuaciones lineales con dos incógnitas 
 
 
Una inecuación lineal con 2 incógnitas es aquella que responde a algunas de las siguientes 
estructuras: 
 
1) ax + by + c 0 
2) ax + by + c > 0 
3) ax + by + c 0 
4) ax + by + c < 0 
 
 
En todos los casos el conjunto solución será un semiplano, es decir que el conjunto solución 
puede ser representado como pares (x, y) en un sistema de ejes cartesianos. 
 
Así como cuando teníamos una sola incógnita, despejábamos “x”, tomábamos de referencia un 
punto y luego establecíamos si eran los que estaban a la derecha ó a la izquierda de ese punto, 
ahora vamos a despejar “y”, tomaremos de referencia la recta que surge de igualar “y” al segundo 
miembro de la inecuación y luego estableceremos si son los puntos que están por encima ó por 
debajo de esa recta. 
 
Veamos cómo hacerlo en un ejemplo. 
 
 
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Sea la siguiente inecuación: 
 
4 x – 2 y 6 
 
Para despejar “y” pasamos 4x al segundo miembro: 
 
– 2 y 6 – 4 x 
 
El (–2) está multiplicando pasa dividiendo, pero por ser negativo cambia el sentido de la 
desigualdad: 
 
y (6 – 4 x ) / (–2) 
Aplicando propiedad distributiva resulta: 
y –3 + 2 x 
 
Volviendo al objetivo, que era encontrar los pares (x, y) que satisfacen la inecuación, resulta que 
podemos usar de referencia la recta : “y = –3 + 2x” 
 
Para graficar la recta basta encontrar dos puntos que pertenezcan a ella, es decir dos pares (x, y) 
que verifiquen la ecuación. 
 
Por ejemplo: Si x = 0 y = –3 
 
Si x = 3/2 y= 0 
 
. 
 
 
 
 
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¿Qué ocurre si tenemos un conjunto de inecuaciones? 
 
En tal caso diremos que estamos en presencia de un sistema de inecuaciones y la solución 
será aquella región del plano que satisfaga simultáneamente todas las inecuaciones, 
gráficamente sería la intersección de las respectivas soluciones. 
 
Por ejemplo: 
 
4 x – 2 y 6 (1) 
 
3 x + y 2 (2) 
 
 
 
 
En el ejemplo anterior encontramos la región solución a la primera inecuación, falta ver cuál es la 
solución a la segunda. 
 
Despejamos “y” dela ecuación (2): 
 
y 2 – 3 x 
 
Graficamos la recta en el mismo sistema de coordenadas cartesianas y encontramos la región 
común a ambas (zona rayada), esa es la solución del sistema.