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Álgebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matemáticas
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Álgebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matemáticas II
E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación
I.T. Telecomunicación Esp. Telemática y Sistemas de
Telecomunicación
Curso 2009-2010
Tema 11: Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
Jorge Mozo Fernández
Dpto. Matemática Aplicada
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Tema 11
Introducción a las ecuaciones en
derivadas parciales
11.1. Introducción
En este tema aplicaremos los resultados obtenidos en los dos temas anteriores para tratar un tipo de
ecuaciones en derivadas parciales lineales. El método que expondremos es el de separación de variables,
que como ya hemos comentado consiste esencialmente en buscar inicialmente soluciones en la forma de un
producto de funciones, cada una de ellas dependiendo de una única variable. Para ello hemos de emplear
las técnicas sobre problemas de contorno del tema 9. Posteriormente, con estas funciones formamos una
serie y en el cálculo de los coeficientes de esta serie será necesario aplicar lo que hemos visto en el tema
10 sobre series de Fourier. Siendo nuestro estudio necesariamente limitado, nos contentaremos aqúı con
tratar tres tipos de ecuaciones modelo: la ecuación de ondas (modelo de ecuación hiperbólica), la
ecuación del calor (ecuación parabólica) y la ecuación de Laplace (ecuación eĺıptica).
El tipo de ecuaciones en derivadas parciales que consideraremos son las lineales en las variables (x, y)
(ó (t, x) si queremos representar el tiempo). Una ecuación lineal de orden n es una del tipo
∑
0≤i+j≤n
aij(x, y)
∂i+ju
∂xi∂yj
= f(x, y),
donde aij(x, y), f(x, y) son funciones definidas en un cierto conjunto abierto de R
2, y que supondremos
continuas. La ecuación es:
1. Homogénea, si f(x, y) = 0.
2. De coeficientes constantes, si aij(x, y) ∈ R.
De acuerdo con los ejemplos que se han ido desarrollando en temas precedentes, nos quedaremos con
las ecuaciones de coeficientes constantes y de orden 2. Una tal ecuación tiene la forma siguiente:
auxx + buxy + cuyy + dux + euy + fu = g(x, y), (11.1)
expresión en la que hemos empleado la notación habitual de sub́ındices para las derivadas parciales, y en
la que u(x, y) es la función incógnita.
Decimos que la ecuación anterior es:
11-1
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11-2 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
1. Hiperbólica, si b2 − 4ac > 0.
2. Parabólica, si b2 − 4ac = 0.
3. Eĺıptica, si b2 − 4ac < 0.
Como ejemplos de las ecuaciones anteriores tenemos:
Ejemplo 11.1
1. La ecuación de ondas, utt = α
2uxx, α > 0 es una ecuación hiperbólica.
2. La ecuación del calor, ut = α
2uxx es un ejemplo de ecuación parabólica.
3. La ecuación de Laplace, uxx + uyy = 0 es una ecuación eĺıptica.
Estos tres modelos de ecuaciones nos servirán para ilustrar el método de separación de variables, que
es, no obstante, aplicable a otros tipos de ecuaciones en derivadas parciales más generales, lo limitaremos
sólo a algunos ejercicios.
Las dos primeras ecuaciones (ondas y calor) representan fenómenos que evolucionan en el tiempo,
representado éste como es usual por la variable t. Su generalización a mayor número de variables es clara.
Aśı, por ejemplo, el modelo utilizado para representar la vibración de una membrana bidimensional es
utt = α
2(uxx + uyy),
donde (x, y) vaŕıan en cierto dominio D ⊆ R2, y t ≥ 0. Para la ecuación de ondas, aśı como para la del
calor, tendremos dos tipos de condiciones adicionales:
Condiciones iniciales: representan el estado del sistema en tiempo 0. Aśı, en el caso de la ecuación de
ondas, las condiciones iniciales serán
u(x, 0) = f(x); ut(x, 0) = g(x).
La primera de ellas representa la posición del sistema en tiempo t = 0, y la segunda su velocidad.
Para la ecuación del calor, la condición inicial será
u(x, 0) = f(x),
expresión que representa, según este modelo, la temperatura inicial del cuerpo.
Condiciones de contorno: Representan la evolución del sistema en los extremos del mismo. Tanto
para la ecuación de ondas como para la del calor, su forma más general es
a1u(0, t) + b1ux(0, t) = f1(t)
a2u(L, t) + b2ux(L, t) = f2(t).
Por el contrario, la ecuación de Laplace es un ejemplo de modelo que no depende del tiempo. Responde
por ejemplo al cálculo del potencial electrostático en el interior de un recinto D ⊆ R2, conocido dicho
potencial en la frontera del recinto. Dado que el fenómeno es independiente del tiempo, no tiene sentido
plantearse las condiciones iniciales, sino únicamente las de contorno: el conocimiento del valor de la
función solución en la frontera del dominio.
Las ecuaciones en derivadas parciales lineales comparten algunas propiedades con las ecuaciones dife-
renciales ordinarias, pero difieren de aquellas en otras. Aśı, escribamos abreviadamente
L[u] = g(x, y)
una ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden, donde definimos
L[u] = auxx + buxy + cuyy + dux + euy + fu.
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11.2. EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES 11-3
El problema de hallar sus soluciones, se reduce, como en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, a
calcular una solución particular up, y a resolver completamente la homogénea. Al igual que alĺı, el conjunto
de soluciones de una ecuación en derivadas parciales lineal homogénea forma un espacio vectorial, pero
en este caso no es de dimensión finita.
Ejemplo 11.2
Consideremos la ecuación ux − uy = 0. Cualquier función de la forma u(x, y) = f(x + y), siendo
f una función arbitraria de una variable, es solución. Esto incluye en particular las funciones {1, x +
y, (x + y)2, . . . , (x + y)n, . . .}, que forman un conjunto linealmente independiente, infinito en número,
con lo que la dimensión del espacio de soluciones es infinita.
Aśı, si u1, . . . , uN son soluciones de L[u] = 0, cualquier combinación lineal suya también lo es:
L
[
N
∑
i=1
αiui
]
=
N
∑
i=1
αiL [ui] = 0.
Supongamos que hemos hallado una familia infinita de soluciones linealmente independientes u1, u2, . . . un, . . .,
y que una función u se escribe como
u =
∞
∑
i=1
αnun.
Entonces, bajo ciertas condiciones se tiene que
L [u] = L
[
∞
∑
n=1
αnun
]
=
∞
∑
n=1
αnL[un] = 0,
con lo que, una combinación lineal infinita de soluciones resulta ser también una solución, caso de que
converja. Se conoce este resultado como principio de superposición, y es una de las claves para la
aplicación del método de separación de variables.
11.2. El método de separación de variables
Para una ecuación en derivadas parciales lineal homogénea L[u] = 0 como las anteriores, existen diver-
sos métodos de solución. Vamos a describir en esta sección, de manera general, el método de separación de
variables, el cual resulta ser válido para una gran cantidad de modelos. Por fijar ideas, supongamos que
tenemos un problema en el que interviene la ecuación de ondas, con condiciones de contorno homogéneas
utt = α
2uxx
u(x, 0) = f(x); ut(x, 0) = g(x)
a1u(0, t) + a2ux(0, t) = 0
b1u(L, t) + b2ux(L, t) = 0.
Buscamos en primer lugar soluciones u(x, t) en la forma X(x)T (t), es decir, con las variables separadas,
que verifiquen la ecuación y las condiciones de contorno. Obtenemos
X ′′(x)
X(x)
=
1
α2
·
T ′′(t)
T (t)
= −λ,
con λ ∈ R. Planteamos las ecuaciones
X ′′(x) + λX(x) = 0
T ′′(t) + λα2T (t) = 0.
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11-4 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
Las condiciones de contornose traducen en
(a1X(0) + a2X
′(0))T (t) = 0
(b1X(L) + b2X
′(L))T (t) = 0.
Aśı, en primer lugar nos encontramos con el problema de Sturm-Liouville siguiente:
X ′′(x) + λX(x) = 0
a1X(0) + a2X
′(0) = 0
b1X(L) + b2X
′(L) = 0,
el cual tiene, como hemos visto, una sucesión {λn}
∞
n=1 de autovalores asociados, y para cada uno de ellos,
un espacio de autofunciones generado por Xn(x). Para cada autovalor λn resolvemos la ecuación
T ′′(t) + λnα
2T (t) = 0.
Suponiendo que λn > 0 (cosa que, como hemos visto, ocurre frecuentemente, y en todo caso, siempre
salvo un número finito de valores de n), la solución de la ecuación es de la forma
Tn(t) = an cos(
√
λnαt) + bn sen(
√
λnαt).
Aśı, cualquier combinación lineal
N
∑
n=1
[
an cos(
√
λnαt) · Xn(x) + bn sen(
√
λnαt) · Xn(x)
]
verifica la ecuación y las condiciones de contorno. Hemos comentado que una combinación lineal infinita
también es solución, si converge. Aśı, supondremos en la expresión anterior que N = ∞. Las condiciones
iniciales significan que
f(x) =
∞
∑
n=1
anXn(x); g(x) =
∞
∑
n=1
bn
√
λnαXn(x).
En caso de que las funciones Xn(x) sean de la forma cos
(nπ
L
x
)
, ó sen
(nπ
L
x
)
(lo cual será la situación
habitual), el problema ahora será desarrollar f(x), g(x) en serie de Fourier, lo que ya hemos estudiado
en el tema anterior.
En esto consiste, en resumidas cuentas, el método de separación de variables, el cual puede aplicarse
usando exclusivamente lo estudiado en los temas anteriores. Nos permite hallar una solución en forma de
serie de funciones. Para completar el estudio, es interesante resolver los dos problemas siguientes:
1. La serie obtenida, ¿converge? Es decir, ¿representa realmente una función solución?
2. Dicha solución, ¿es única?
En este tema de carácter básico no entraremos en el detalle de los problemas anteriores. En las
próximas secciones aplicaremos el método de separación de variables a los tipos básicos de las diferentes
ecuación en derivadas parciales lineales.
11.3. La ecuación de onda unidimensional
Como ya hemos comentado, las vibraciones de una cuerda de longitud L sujeta en los extremos
responde al modelo matemático siguiente:
utt = α
2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0
u(x, 0) = f(x); ut(x, 0) = g(x) (11.2)
u(0, t) = u(L, t) = 0.
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11.3. LA ECUACIÓN DE ONDA UNIDIMENSIONAL 11-5
Aplicamos el método de separación de variables a este problema. Como hemos visto antes, llegamos al
problema de Sturm-Liouville siguiente:
X ′′(x) + λX(x) = 0
X(0) = X(L) = 0.
Este problema fue estudiado en el tema 9, donde vimos que los autovalores son λn =
n2π2
L2
, n = 1, 2 . . .,
y las autofunciones Xn(x) = sen
(nπ
L
x
)
.
El planteamiento de las condiciones iniciales nos lleva a desarrollar
f(x) =
∞
∑
n=1
an sen
(nπ
L
x
)
,
g(x) =
∞
∑
n=1
bn
nπ
L
α sen
(nπ
L
x
)
.
Para que se verifiquen las condiciones iniciales y de contorno simultáneamente debe ser
f(0) = u(0, 0) = 0; f(L) = u(L, 0) = 0.
Aśı, si f : [0, L] → R es continua, de clase C1 a trozos, y f(0) = f(L) = 0, puede desarrollarse en serie de
Fourier en senos y se tiene la primera igualdad, donde
an =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx.
Además,
g(0) = ut(0, 0) =
∂
∂t
(u(0, t))
∣
∣
∣
∣
t=0
= 0, g(L) = ut(L, 0) =
∂
∂t
(u(L, t))
∣
∣
∣
∣
t=0
= 0,
de donde, si g es continua y C1 a trozos, es válido el mismo razonamiento, obteniéndose que
bn =
2
nπα
∫ L
0
g(x) sen
(nπ
L
x
)
dx.
La solución del problema 11.2 es, pues,
u(x, t) =
∞
∑
n=1
[
an cos
(nπα
L
t
)
sen
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπα
L
t
)
sen
(nπ
L
x
)]
,
con los an, bn obtenidos anteriormente.
Escribimos la serie anterior como
u(x, t) =
1
2
∞
∑
n=1
an
[
sen
(nπ
L
(x + αt)
)
+ sen
(nπ
L
(x − αt)
)]
−
1
2
∞
∑
n=1
bn
[
cos
(nπ
L
(x + αt)
)
− cos
(nπ
L
(x − αt)
)]
.
El primer sumando es, por lo tanto,
fi(x + αt) + fi(x − αt)
2
. Integrando, el segundo sumando resulta ser
1
2α
∫ x+αt
x−αt
gi(s)ds.
En las expresiones anteriores, fi, gi son las extensiones impares 2L-periódicas de f , g, respectivamente.
La interpretación de la solución obtenida es clara: la solución se obtiene por superposición de dos ondas
que se desplazan a derecha e izquierda con velocidad dada por la constante α. En general se tiene el
siguiente resultado:
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11-6 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
Teorema 11.3
Si f ∈ C2([0, L]), f(0) = f(L) = f ′′(0) = f ′′(L) = 0, y g ∈ C1([0, L]), g(0) = g(L) = 0, entonces
u(x, t) =
1
2
[fi(x + αt) + fi(x − αt)] +
1
2α
∫ x+αt
x−αt
gi(s)ds.
es la única solución del problema 11.2.
Nota 11.4
Algunos comentarios sobre las hipótesis del teorema anterior. Hemos visto que para que el problema
tenga sentido, debe ser f(0) = f(L) = g(0) = g(L) = 0. Además,
∂2u
∂t2
(x, 0) = α2
∂2u
∂x2
(x, t) = α2f ′′(x),
y por tanto
0 =
∂2u
∂t2
(0, 0) = α2f ′′(0) =⇒ f ′′(0) = 0
0 =
∂2u
∂t2
(L, 0) = α2f ′′(L) =⇒ f ′′(L) = 0.
Razonando de otra manera, la derivada de una función impar es par, y la de una función par es impar
(¡demuéstrese!). Aśı, si pretendemos que la extensión impar 2L-periódica fi(x) de f(x) sea de clase
C2, debe ser
f ′′i (0) = f
′′(0) = 0; f ′′i (L) = f
′′(L) = 0.
Ejemplo 11.5
Resuélvase, por el método de separación de variables, el problema
utt = uxx, 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = senx.
La expresión de la solución es
u(x, t) =
∞
∑
n=1
[an cos(nt) sen(nx) + bn sen(nt) sen(nx)] .
Ahora,
0 = u(x, 0) =
∞
∑
n=1
an sen(nx),
de donde an = 0 para todo n.
sen x =
∞
∑
n=1
nbn sen(nx),
y aśı, b1 = 1, bn = 0 si n ≥ 1.
La solución es u(x, t) = sen t · sen x.
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11.4. LA ECUACIÓN DEL CALOR 11-7
11.4. La ecuación del calor
Consideramos una barra de longitud L aislada en uno de sus extremos, y cuya temperatura inicial
viene dada por la función f(x), x ∈ [0, L] (f(0) = f(L) = 0). Supongamos que no hay intercambio de
calor con el exterior. Si u(x, t) representa la temperatura del punto x de la barra en el instante t, es
conocido que u(x, t) verifica el modelo matemático
ut = α
2uxx
u(0, t) = u(L, t) = 0, t ≥ 0 (11.3)
u(x, 0) = f(x), x ∈ [0, L].
Este es un modelo de ecuación parabólica, con condiciones iniciales y de contorno. Planteamos el método
de separación de variables, buscando soluciones de la forma u(x, t) = X(x)T (t). Debe ser:
X ′′(x)
X(x)
=
1
α2
T ′(t)
T (t)
= −λ,
y nos encontramos de nuevo con el problema de Sturm-Liouville
X ′′ + λX = 0
X(0) = X(L) = 0,
el cual tiene autovalores λn =
n2π2
L2
, y autofunciones asociadas Xn(x) = sen
(nπ
L
x
)
. La ecuación
T ′(t) + λnα
2T (t) = 0
admite como solución
Tn(t) = bn exp(−λnα
2t) = bn exp
(
−
n2π2α2
L2
t
)
.
Buscamos una solución en la forma
u(x, t) =
∑
n≥1
bn sen
(nπ
L
x
)
exp
(
−
n2π2α2
L2
t
)
.
La condición inicial se traduce en
f(x) =
∑
n≥1
bn sen
(nπ
L
x
)
.
Si f ∈ C([0, L]), y C1 a trozos, con f(0) = f(L) = 0, lo anterior es la representación en serie de Fourier
en senos de f , siendo
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx.
La expresión para un(x, t) define efectivamente una función. En efecto, si |f(x)| ≤ M en [0, L] (¿por
qué existe M?), entonces
|bn| ≤
2
L
∫ L
0
Mdx = 2M,
y
|un(x, t)| ≤ 2M
∑
n≥0
exp
(
−
n2π2α2
L2
t
)
≤ 2M
∑
n≥0
exp
(
−
π2α2
L2
t0
)n
,
si t ≥ t0, y el criterio mayorante de Weierstrass nos dice que la serie que define u(x, t) converge unifor-
memente. Se tiene el resultado siguiente:
Teorema 11.6
Si f ∈ C2([0, L]), f(0) = f(L) = 0, entonces el problema 11.3 admite una única solución u(x, t) ∈
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11-8TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
C([0, L] × [0,∞)), que es la obtenida por el método de separación de variables.
Ejemplo 11.7
Resolvamos la ecuación
ut = 5uxx, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = senπx − 3 sen 7πx.
La solución es
u(x, t) =
∞
∑
n=1
bn sen(nπx) exp(−n
2π25t),
donde
∞
∑
n=1
bn sen(nπx) = senπx − 3 sen 7πx.
Aśı,
u(x, t) = sen(πx) · e−5π
2t − 3 sen(7πx) · e−245π
2t.
11.5. La ecuación de Laplace
Consideremos de nuevo la ecuación del calor tratada en la sección anterior, pero ahora en una dimen-
sión más: si pretendemos estudiar la distribución de temperatura a lo largo de una lámina bidimensional
D ⊆ R2, hemos de considerar el modelo matemático siguiente:
ut = α
2(uxx + uyy)
u(0, x, y) = f(x, y).
Supongamos que mantenemos el contorno de D, C, aislado a cierta temperatura g(x, y):
u|C(t, x, y) = g(x, y).
Obviamente, debe ser g = f |C . Tras un periodo muy grande de tiempo, podemos suponer que la tempera-
tura del sistema se estabiliza, esto es, ya no vaŕıa más. Matemáticamente, esto se representa por ut = 0.
Para calcular el estado en el que queda el sistema hemos de resolver el problema
uxx + uyy = 0 (11.4)
u|C = g(x, y), (11.5)
donde ahora u es una función de dos variables (x, y). Esto constituye el modelo de problema eĺıptico
(ecuación de Laplace) que hemos mencionado anteriormente. Es un modelo independiente del tiempo t.
El planteamiento de su solución variará según sea la forma del dominio D. Podemos aplicar el método
de separación de variables si la función g(x, y) tiene las variables separadas, esto es, si por ejemplo el
contorno es rectangular. Supongamos que D = [0, a] × [0, b], y que las condiciones de contorno son:
g1(x) = g(x, 0) si x ∈ [0, a]
g2(y) = g(0, y) si y ∈ [0, b]
g3(x) = g(x, b) si x ∈ [0, a]
g4(y) = g(0, y) si y ∈ [0, a].
Supongamos en primer lugar que las condiciones son homogéneas en y, esto es g2(y) = g4(y) = 0. El
método de separación de variables nos lleva a plantear la búsqueda de soluciones u(x, y) = X(x)Y (y).
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11.5. LA ECUACIÓN DE LAPLACE 11-9
Debe ser:
X ′′(x)
X(x)
= −
Y ′′(y)
Y (y)
= −λ.
En primer lugar, tenemos el problema de Sturm-Liouville
X ′′ + λX = 0
X(0) = 0; X(a) = 0,
de autovalores λn =
n2π2
a2
y autofunciones Xn(x) = sen
(nπ
a
x
)
.
La ecuación
Y ′′(y) −
n2π2
a2
Y (y) = 0
tiene por soluciones
an exp
(nπ
a
y
)
+ bn exp
(
−
nπ
a
y
)
.
De ah́ı, planteamos la solución de 11.4 como
u(x, y) =
∑
n≥1
sen
(nπ
a
x
)
·
[
an exp
(nπ
a
y
)
+ bn exp
(
−
nπ
a
y
)]
.
Imponiendo las otras condiciones de contorno,
g1(x) =
∑
n≥1
(an + bn) sen
(nπ
a
x
)
g3(x) =
∑
n≥1
[
an exp
(
nπ
b
a
)
+ bn exp
(
−nπ
b
a
)]
sen
(nπ
a
x
)
.
Como g1(0) = g1(b) = g3(0) = g3(b) = 0, pueden calcularse los coeficientes anteriores a partir de los
desarrollos de Fourier en senos de g1(x), g3(x) en [0, a].
Actuaŕıamos de manera simétrica si en las condiciones de contorno tuviéramos g1(x) = g3(x) = 0,
calculando una solución en serie v(x, y). En el caso general, descomponemos el problema original en dos
problemas:
uxx + uyy = 0 vxx + vyy = 0
u(x, 0) = g1(x) v(x, 0) = 0
u(x, b) = g3(x) v(x, b) = 0
u(0, y) = 0 v(0, y) = g2(y)
u(a, y) = 0 v(a, y) = g4(y).
Para cada uno de ellos hallamos una solución u(x, y), v(x, y), la cual será válida en (0, a) × (0, b). La
función u(x, y) + v(x, y) es solución del problema original, en el interior del rectángulo. Observemos
que hemos de excluir las esquinas del rectángulo en cada uno de los problemas anteriores, al no tenerse
necesariamente que g1(0) = g3(0) = 0, ó g2(0) = g4(0) = 0. La convergencia de la serie que define la
solución se da, por tanto, en el interior del rectángulo.
La existencia y unicidad de soluciones en el problema de Laplace queda garantizada por
Teorema 11.8
La ecuación uxx + uyy = 0 en R = [0, a] × [0, b], u|C = g(x, y), donde C es el contorno del rectángulo
R, y g(x, y) es continua en C y de clase C1 a trozos en cada lado del rectángulo, admite solución única
u(x, y) ∈ C2((0, a) × (0, b)).
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11-10 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
11.6. Ejercicios
1. Resuélvanse los siguientes problemas de valores iniciales y de contorno relacionados con la ecuación
de ondas, por el método de separación de variables.
a)
utt = uxx, 0 < x < 1, t ≥ 0
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = x(1 − x); ut(x, 0) = sen 7πx.
b)
utt = 16uxx, 0 < x < π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = sen2 x; ut(x, 0) = 1 − cos x.
c)
utt = 4uxx, 0 < x < π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = x2(π − x); ut(x, 0) = 0.
d)
utt = uxx, 0 < x < π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = senx − sen 3x; ut(x, 0) = 2 sen 4x.
2. Considera el siguiente problema en el que interviene la ecuación de onda no homogénea:
utt = uxx + tx, 0 < x < π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = senx, ut(x, 0) = 5 sen 2x − 3 sen 5x
a) Plantea la búsqueda de una solución en la forma
∞
∑
n=1
un(t) sen(nx).
b) Utilizando la ecuación, aśı como las condiciones iniciales y de contorno, calcula los coeficientes
un(t) de la solución.
3. Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales relacionados con la ecuación del calor:
a)
ut = 5uxx, 0 < x < 1, t ≥ 0
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = (1 − x)x2.
b)
ut = uxx, 0 < x < π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = x2.
c)
ut = 2uxx, 0 < x < 1, t ≥ 0
ux(0, t) = ux(1, t) = 0
u(x, 0) = x(1 − x).
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11.6. EJERCICIOS 11-11
d)
ut = 7uxx, 0 < x < π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = senx − sen 2x.
4. Considera el siguiente problema en el que interviene la ecuación del calor no homogénea:
ut = uxx + e
−x, 0 < x < π, t ≥ 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = sen 2x.
a) Plantea la búsqueda de una solución en la forma v(x) + w(x, t), con v(0) = 0, v(π) = 0.
b) Halla v(x), y la ecuación que debe verificar w(x, t).
c) Emplea el método de separación de variables para calcular w(x, t).
5. Resuelve los siguientes problemas de contorno, relacionados con la ecuación de Laplace.
a)
uxx + uyy = 0, 0 < x < π, 0 < y < 1
ux(0, y) = ux(π, y) = 0
u(x, 0) = 4 cos 6x + cos 7x
u(x, 1) = 0.
b)
uxx + uyy = 0, 0 < x < π, 0 < y < π
u(0, y) = u(π, y) = 0
u(x, 0) = senx + sen 4x
u(x, π) = 0.
c)
uxx + uyy = 0, 0 < x < π, 0 < y < 1
ux(0, y) = ux(π, y) = 0
u(x, 0) = cos x − cos 3x
u(x, 1) = cos 2x.
d)
uxx + uyy = 0, 0 < x < π, 0 < y < π
u(0, y) = u(π, y) = sen y
u(x, 0) = u(x, π) = senx.
6. Emplea el método de separación de variables para resolver el siguiente problema:
utt + 2ut + u = uxx, 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = sen
π
L
x − 3 sen
2π
L
x
ut(x, 0) = 5 sen
2π
L
x.
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