Mód III - Matemática I -funciones

Vista previa del material en texto

Matemática I 
 
MÓDULO III: 
Funciones Exponencial y 
logarítmica 
 
© Universidad de Congreso 
Sistema Institucional de Educación a Distancia 
Año 2019 Mendoza - Argentina 
Lic. Eliana Arcoraci 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 1 de 22 
 
CONTENIDO 
I. Función Exponencial ............................................................................................. 3 
a. Características ................................................................................................... 3 
b. Crecimiento y Decrecimiento .............................................................................. 4 
c. Aplicaciones ....................................................................................................... 6 
II. El Interés compuesto como aplicación de la función exponencial .......................... 7 
III. La Función Logarítmica .................................................................................... 13 
a. Características ................................................................................................. 14 
b. Propiedades ..................................................................................................... 15 
c. Crecimiento y decrecimiento ............................................................................ 15 
d. Ecuaciones Logarítmicas ................................................................................. 18 
e. Escalas Logarítmicas ....................................................................................... 19 
f. Aplicaciones ..................................................................................................... 20 
IV. Bibliografía ....................................................................................................... 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 2 de 22 
 
AYUDA AL APRENDIZAJE 
Este material educativo está pensado para acompañar la cursada de las materias a 
distancia en la Universidad de Congreso y en él encontrarás distintos elementos 
orientados a favorecer el abordaje de los contenidos. 
 
 
Atención Señala una referencia a la bibliografía de la materia. 
 
Bibliografía 
Explicación de casos reales o hipotéticos que ilustran 
comportamientos relativos a la temática trabajada. 
 
Caso 
Propuestas sobre temas o recursos extras 
relacionados con el desarrollo de los contenidos. 
 
Ejemplo 
Indica que se explica el significado de una palabra o 
expresión importante para la disciplina, que es nueva 
y/o que puede resultar difícil de comprender. 
 
Glosario / Definición 
Indica una lectura recomendada, más allá de la 
bibliografía de la materia, relevante para el tema que 
se está tratando. 
 
Lectura 
Anticipa que el contenido que se desarrolla profundiza 
el tema que se viene desarrollando. 
 
Para profundizar 
Señala un tema que ya fue explicado y que se retoma 
en el contexto de otro tema. 
 
Recordar 
Marca un texto o esquema que resume los aspectos 
fundamentales del contenido que se viene trabajando. 
 
Síntesis 
Indica la recomendación de un contenido audiovisual 
relevante para el tema que se está tratando. 
 
Trabajo colaborativo 
Indica un punto importante dentro del desarrollo del 
contenido, en el que te recomendamos detenerte 
especialmente. 
 
Videos Señala una referencia a la bibliografía de la materia. 
 
Norma Jurídica 
Mandato o regla dirigida a regular la conducta de un 
individuo en una sociedad determinada. 
 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 3 de 22 
 
INTRODUCCIÓN 
En esta nueva unidad, exploraremos la naturaleza de las funciones exponenciales y 
logartimicas, sus técnicas de graficación y sus aplicaciones. 
Las ecuaciones exponenciales se usan desde el tamaño de la población hasta 
fenómenos físicos como la aceleración, velocidad y densidad y a traves de estas 
funciones podemos entender ampliamente ese fenómeno y tal vez predecir su 
comportamiento en el futuro. 
En especial la función Exponencial es utilizada en la Matemática Financiera. 
I. FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma general: 
f(x)= k.ax-b + c con a>0 y a≠1 
En donde la base a, es una constante y el exponente la variable independiente. La 
definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de 
uno (a>0 y a≠1). 
a. Características 
 La condición que a sea diferente de uno se produce debido a que al 
reemplazar a a por 1, la función ax se transforma en la función constante f(x) 
= c. 
 La base no puede ser igual a 0 porque cualquier número exponencial de base 
cero es igual a 1, resultando la función y = 1x, la cual no tendría sentido, 
debido a que su valor es constantemente igual a 1, con lo que gráficamente 
es una función constante y=1 (recta paralela al eje X en el punto y = 1). 
 La base no puede ser negativa porque el valor de la función será positivo si x 
es par y negativo si el exponente es impar. Además, si x es una fracción como 
½, entonces la función no tiene imagen en los reales. 
 
Por ejemplo: 
Para la función y = (-3)x 
Si x = 2, entonces y = (-3)2= 9 
Si x = 3 , entonces y = (-3)3= -27su imagen es -27 
Si x = ½ entonces y = (-3)1/2, que es igual a la raíz cuadrada de -3, cuyo 
valor no es real. 
 
Por lo tanto, la base no puede ser negativa porque funciones con base 
negativa y exponente impar no tendrían sentido en los números 
reales. 
 
Usuario
Resaltado
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 4 de 22 
 
Se llama función exponencial de base a, a aquella cuya forma genérica es 
f(x)=ax, siendo a un número positivo distinto de 1. 
 
Por lo tanto, en una función exponencial la variable independiente 
(absisa) es el exponente de la función. Por su propia definición, el 
dominio de toda función exponencial es el conjunto de los números 
reales R. 
 
Ejemplo de una función exponencial: 
El crecimiento la población. Podría pasar que la tasa de nacimiento en un 
determinado periodo se duplica cada hora. 
Si comenzamos con 1 nacimiento y se duplica en cada hora, tendremos 2x 
nacimientos después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2x. 
 
x y=2x 
-3 0,125 
-2 0,25 
-1 0,5 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armamos la tabla de valores y marcamos dichos puntos en el gráfico 
Vemos que la función en su dominio puede tomar los números reales pero su imagen 
solo son los reales positivos. También, observaremos que a medida que los valores de x 
aumentan, aumentan los valores de y; por lo tanto la función es creciente. Esta función 
exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a la izquierda 
(conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x. Este es un ejemplo de un 
crecimiento exponencial. Conforme aumenta x, f(x) “crece” más rápido. 
 
b. Crecimiento y Decrecimiento 
En el ejemplo anterior función exponencial nos muestra una gráfica que se acerca 
mucho al eje porque se extiende a la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), 
pero nunca toca el eje x. Conocer la forma general de las funciones exponenciales es 
útil para graficar ecuaciones o funciones exponenciales específicas. 
 
Intentemos otro ejemplo: 
Ahora supongamos ahora que f(x) = 3x 
 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 5 de 22 
 
 
x y=3x 
-3 0,04 
-2 0,11 
-1 0,33 
0 1,00 
1 3,00 
2 9,00 
3 27,00 
. 
Observamos que la amplitud del gráfico cambia 
 
x y=4x 
-3 0,02 
-2 0,06 
-1 0,25 
0 1,00 
1 4,00 
2 16,00 
3 64,00 
¿Qué pasa si f(x) = 4x? 
 
Observamos que la amplitud del gráfico se vuelve a incrementar. 
Comparemos las tres gráficas que hemos visto, las funciones f(x)=2x, f(x)=3x 
yf(x)=4x 
 
Vemos que una base más grande 
hace más empinada la gráfica. Una 
base más grande también hace que 
la gráfica se acerque al eje y por 
0x>0 y más cerca al eje x por x<0. 
Este es un ejemplo de un crecimiento exponencial. Conformeaumenta x, f(x) 
“crece” más rápido. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
-4 -2 0 2 4
Usuario
Resaltado
Usuario
Resaltado
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 6 de 22 
 
 
EN CONCLUSIÓN: 
Una función exponencial de la forma f(x) = ax, donde a > 1, y a ≠ 1. 
La función aumenta conforme x aumenta. 
 
¿Qué pasa cuando a está entre 0 y 1, es decir, 0 <a< 1? 
Supongamos ahora que 
f(x)=(1/2)x 
 
x y=(1/2)x 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 0.5 
2 0,25 
3 0,125 
 
Vemos que la función en su dominio puede tomar los números reales pero su 
imagen solo son los reales positivos. También, observaremos que a medida que los 
valores de x aumentan disminuyen los valores de y; por lo tanto la función es 
decreciente. Esta función exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x 
porque se extiende a la derecha (conforme x se vuelve más positiva), pero nunca toca 
el eje x. 
Este es un ejemplo de un decaimiento exponencial. Conforme aumenta x, f(x) 
“decrece” más rápido. 
 
Observa que la forma es similar a la forma cuando a > 1, pero esta vez 
la gráfica se acerca al eje x cuando x > 0, en lugar de x < 0. Esto es 
un decrecimiento exponencial. 
En lugar de que los valores de la función “crezcan” conforme aumentan los valores de 
x, como sucedía antes, los valores de la función “decaen” o disminuyen conforme los 
valores de x aumentan. Se acercan cada vez más a 0. 
 
c. Aplicaciones 
Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, 
administración, economía, química, física e ingeniería. 
Las funciones exponenciales pueden usarse en muchos contextos, como el interés 
compuesto (dinero), crecimiento poblacional y decaimiento radioactivo. En muchos de 
Usuario
Resaltado
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 7 de 22 
 
estos, sin embargo, la función no es exactamente de la forma f(x)=ax. Normalmente, 
ésta se ajusta sumando o multiplicando constantes. 
Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial; por 
ejemplo, un papel que se dobla sucesivamente en 2 partes iguales. La hoja de un 
determinado grosor tendrá al primer doblez un grosor igual al doble del primero; y en el 
segundo doblez tendrá un grosor equivalente a cuatro veces el primer grosor, y luego 
grosor 8, 16, 32, 64,… etc. 
Podemos ver también, que las partículas radiactivas tienen una función exponencial 
que da cuenta la desintegración de la partícula inicial en el tiempo 
El crecimiento de las poblaciones también puede analizarse a través de una función 
exponencial. 
En otro ejemplo práctico de crecimiento exponencial es el aumento de un capital 
invertido a interés continuo; por lo que el caso especial del interés compuesto lo 
veremos en la próxima clase. 
II. EL INTERÉS COMPUESTO COMO APLICACIÓN DE LA 
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
 
La Matemática Financiera como su nombre lo indica es la aplicación de la 
matemática a las finanzas en ella se estudia el valor del dinero en el tiempo, 
combinando el capital, la tasa de interés y el tiempo para obtener un rendimiento, a 
través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión 
El concepto básico que se encierra en este análisis es que es el valor de un peso hoy 
es distinto al valor de ese mismo peso en el futuro. Pensemos, por ejemplo, cuantos 
bienes comprábamos con $100 hace un año, en contraste a cuantos bienes 
compramos con $100 hoy. 
 
Hay tres causas que explican la diferencia en la valoración del dinero: 
 
1. Riesgo: vivimos en un mundo de incertidumbre, tener un peso en el bolsillo 
hoy nos permite comprar cosas hoy, pero la promesa de un pago en el futuro 
es nada más que eso, una promesa, hasta el momento en que se concreta. 
Dicha promesa de pago futuro puede haber sido hecha con la mejor buena 
voluntad, pero una gran cantidad de imprevistos pueden ocurrir, que impidan el 
cumplimiento de la misma. 
 
2. Inmediatez en la satisfacción: la naturaleza humana hace que valoremos 
mucho más la satisfacción de una necesidad hoy que en el futuro, por lo que, 
generalmente, es preferible obtener una suma de ingreso lo más pronto 
posible, salvo que ciertas consideraciones (impuestos, por ejemplo) nos 
indiquen lo contrario. 
 
3. Oportunidades de inversión: un peso recibido hoy es más valioso que uno 
recibido en un futuro, debido a las alternativas de inversión que disponibles 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 8 de 22 
 
para ese peso en la actualidad. Prestando o invirtiendo hoy, puedo obtener una 
suma considerablemente mayor en un determinado lapso de tiempo. 
 
Es por eso que es fundamental trabajar con el valor del dinero a lo largo del tiempo. 
 
 
Cuando la operación que realizamos consiste en invertir o prestar un 
capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión 
la llamamos Capitalización; por el contrario, cuando la operación 
consiste en devolver un capital que nos han prestado con los 
correspondientes intereses se llama Amortización. 
 
En base a esto analizaremos las leyes matemáticas que regulan estas dos 
operaciones: 
El capital que se invierte se llama capital inicial C el beneficio que nos produce se 
llama interés I y la cantidad que se recoge al final, sumando el capital y el interés, es el 
capital final, VF. 
El rendimiento, o tanto por ciento, es la cantidad que producen cien unidades 
monetarias del capital en cada periodo de tiempo. El tanto por uno i es la cantidad 
que produce una unidad en cada periodo. Se cumple: r = 100 x i 
La capitalización puede ser: 
Simple: según que el interés no se acumule 
VF= C0[ 1+(i.n)] 
 
Compuesta: se acumule al capital al finalizar cada periodo de tiempo 
VF= C0 (1+i)n 
En la Capitalización Simple el interés no es productivo y podemos disponer de él al 
final de cada periodo. En la Capitalización Compuesta, el interés es productivo -se 
une al capital para producir intereses en el siguiente periodo- pero no podemos 
disponer de él hasta el final de la inversión. 
…Pero ¿a que llamamos Interés en términos financieros? 
 
La palabra interés significa la renta que se paga por el uso de dinero 
ajeno, o la renta que se gana por invertir dinero propio. Para concretar 
esto, es necesario realizar ciertas precisiones sobre la forma de cálculo 
del interés. 
 
Empezaremos analizando el concepto de Interés Simple para llegar a nuestro objeto 
de estudio de esta clase que es el Interés Compuesto. 
 
Pensemos, por ejemplo, que una persona tiene la posibilidad de gastar o invertir el 
dinero que proveniente de sus ingresos no destine a cubrir necesidades básicas. Si 
optan por ahorrarlo, es porque esperan satisfacer necesidades en el futuro. 
Usuario
Resaltado
Usuario
Resaltado
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 9 de 22 
 
Una manera de ahorrar es invertir un capital en una Institución que actúa como 
intermediario financiero (Banco). 
Recordemos que cuando la gente deposita su dinero en el banco y recibe a cambio un 
cierto interés (tasa de interés pasiva), y a su vez esa entidad utiliza los capitales 
depositados para efectuar préstamos a una tasa de interés mayor (tasa de interés 
activa) 
En una operación financiera intervienen tres elementos: 
● Capital inicial invertido (C) 
 
● Cantidad de momentos en el tiempo (vigencia de la operación) se representa 
con la letra n 
● Tasa de interés (porcentaje del capital invertido), se representa con la letra i 
 
Estas tres variables son las variables de las que depende el interés. 
Decimos entonces que si se coloca un capital inicial (C) a una tasa de interés (i) 
durante n momentos, para calcular las ganancias en conceptos de interés obtenidos 
después de n momentos, se utiliza la siguiente fórmula: 
I=C.i.n 
donde: 
 
De esta fórmula se desprenden tres identidades: 
 
1. Si conocemos el interés simple obtenido después de n períodos de tiempo a 
una tasa de interés (i = r/100), podemos obtener el capital inicialque 
generó ese valor final 
 
2. Si lo que se desconoce es la cantidad de períodos de tiempo 
 
 
3. Para calcular el porcentaje del capital invertido: 
 
 
 
Usuario
Resaltado
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 10 de 22 
 
El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial. 
 
 
 
 
Ejemplo: Si disponemos de $ 1.000.000 que invertimos al 5% anual 
simple durante tres años 
 
 C = 1.000.000, i = 0,05 anual., n=3 
 
 
En términos de Capitalización Simple: 
 
Fin del 1º año: I= C0.i=50.000 
Fin del 2º año: I= C0.i=50.000 
Fin del 3º año: I= C0.i=50.000 
 
Utilizando la fórmula de Capitalización Simple es más rápido: 
VF=C0..[1+(i.n)] 
 
 
 
Entonces ahora es momento de conocer el concepto de Interés Compuesto y su 
vinculación con la función exponencial 
El interés compuesto se calcula sobre el monto acumulado al finalizar cada uno 
de los períodos de tiempo. Cuando se invierte a interés compuesto, lo intereses que 
se obtienen son reinvertidos para obtener más intereses en los próximos periodos. De 
esta forma obtenemos intereses sobre intereses y esto es la capitalización del 
dinero, un concepto fundamental para entender la Matemática Financiera. 
 
C0 C1=C0+I C2 =C0+I C3=C0+I …………………….. Cn=C0+I 
C0 ………………. 
C0 ………………….. 
Mto 0 Mto 1 Mto2 Mto3……………………Mto n 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 11 de 22 
 
El capital cambia en cada periodo, pues hay que sumar al capital anterior el 
interés producido en ese periodo. Designamos con C0 al capital inicial. El segundo 
capital C1se obtiene sumando los intereses al primer capital: C2 = C1 + I. En el 
segundo periodo los intereses producidos son mayores por ser mayor el capital C2 . 
Para el tercer periodo el capital es C3 = C2 + I. Y así sucesivamente. Designamos 
con Cn al capital en el periodo n. Se tiene Cn = Cn-1+I Pero como In = Cn.i, 
entonces Cn =Cn-1.(1+i). 
 
 
Si la inversión dura n momentos, los sucesivos capitales se obtienen multiplicando 
siempre por el mismo número (1+i) y forman una progresión geométrica cuyo primer 
término es el capital inicial C0, utilizando la fórmula para calcular los términos de una 
progresión geométrica obtenemos: 
VF=C0.(1+i)n 
Es aquí, que vemos la aplicación de la función exponencial: la variable n es 
equivalente a la x. El tiempo que estén los fondos invertidos es vital para la 
generación de intereses. 
 
 
Ejemplo: Si disponemos de $ 1.000.000 que invertimos al 5% anual 
simple durante tres años 
 
Capital inicial = C0 = 1.000.000, i = 0,05 anual. 
 
C0 C1=C0+I C2 =C1+I C3=C2+I …………………….. Cn=Cn-1+I 
C0 ………………. 
C0 ………………….. 
Mto 0 Mto 1 Mto2 Mto3…………………… Mto n 
 
C0 C1=C0 (1+i) C2 = C0 (1+i)(1+i) C3= C0 (1+i)(1+i))(1+i)…………n= C0 (1+i)(1+i)…(1+i) 
C0 C1=C0 (1+i) C2 = C0 (1+i)2 C3= C0 (1+i)3………………………...Cn= C0 (1+i)n 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 12 de 22 
 
Fin 1º año: C1=C0+I= C0+ C0.i =C0+(1+i)= 
1.000.000 x 1,05 = 1.050.000 
 
Fin 2º año: C2 = C1+1 = C1+ C1.i= 
C1+(1+i)=1.050.000x1.05=1.102.500 
 
Fin 3º año: C3 =C2+I= C2+ C2.i =C2+(1+i)= 
1.102.500x1.05=1.157.625 
 
Utilizando la fórmula es más rápido: 
 
 
Los intereses ganados se calculan como la diferencia entre el capital final y el capital 
invertido: 
I=VF-C0 
I=1.157.625-1.000.000=1.157.625 
 
Entonces… ¿Cuál es la diferencia entre el interés Simple y el Interés Compuesto? 
Existe una importante diferencia entre el interés simple y el compuesto. Cuando se 
invierte a interés compuesto, lo intereses devengados son reinvertidos para obtener 
más intereses en los próximos periodos. Al contrario, en una inversión que produce 
interés simple solo se reciben intereses sobre el capital inicial (principal) invertido o 
prestado. 
 
Ejemplo: Si disponemos de $ 1.000.000 que invertimos al 5% anual 
simple durante tres años 
Debemos tener en cuenta que periodo momento. El tiempo se divide en periodos 
 podemos tener momentos con distintos periodos de tiempo: 
● Supongamos que tenemos periodos mensuales: 
 
● Supongamos que tenemos periodos bimestrales: 
 
 
Mto 0 Mto 1 Mto2 Mto3 Mto4 Mto5 Mto6….. 
 Mes1 Mes2 Mes3 Mes 4 Mes5 Mes6 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 13 de 22 
 
 
 
III. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
En matemáticas, el logaritmo de un número (en una base de logaritmo determinada) 
es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. 
 
Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la 
potencia 3:1000 = 103 = 10×10×10. 
La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función 
logarítmica 
Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y 
desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre 
otros fines, se usa ampliamente para “comprimir” la escala de medida de magnitudes 
cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la 
sistematización del fenómeno que representa. 
Se define función logarítmica de base a, a la función inversa de la función exponencial 
de base“a”. 
f(x)= y = logax ↔ ay = x ^ x > 0 ^ a>0 ^ a ≠ 1 
 
 
Ejemplo: f(x)= y = log2 x ↔ 2y = x 
La ecuación x = 2y normalmente se escribe como una función logarítmica. 
La función logarítmica de x = 2y se escribe como y = log2 x o f(x) = log2 x. 
 
Mto 0 Mto 1 Mto2 Mto3 Mto4 Mto5 Mto6….. 
 Bimestre1 Bimestre 2 Bimestre 3 Bimestre 4 Bimestre 5 Bimestre 6 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 14 de 22 
 
El número 2 se sigue llamando base. En general y = loga x se lee como, “y igual al 
logaritmo base a de x.” Al igual que con las funciones exponenciales, a> 0 y a ≠ 1. 
El uso de los logaritmos se da, por ejemplo, si se conoce la tasa de crecimiento 
promedio de una población, y se quiere saber cuántos años tardará en llegar a cierta 
cantidad (por ejemplo duplicarse). Para calcularlo, necesitaremos aplicar logaritmo. 
Para que se entienda este ejemplo: dada una población (base) y otra cantidad a la que 
hay que llegar (potencia), cuántas veces hay que aplicar la tasa de crecimiento 
(exponente) para llegar a esa cantidad; lo que necesitas obtener es el exponente, por 
lo que usas logaritmos. Esto se puede escribir como f(x) = log2x. 
 
x y=log2x 
0.25 -2 
0.5 -1 
1 0 
2 1 
3 1,58 
4 2 
6 2,58 
8 3 
 
Vemos que la función en su dominio puede tomar solo los números reales positivos 
pero su imagen solo son los reales. Además, a medida que los valores de x aumentan 
también aumentan los valores de y; por lo tanto, la función es creciente. 
Este es un ejemplo de un crecimiento logarítmico. Conforme aumenta x, f(x) “crece” 
más rápido. 
a. Características 
Las características generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su 
inversa, la función exponencial. Así, se tiene que: 
 
 La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el 
cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+∞). 
 
 Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica 
corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego 
el recorrido de esta función es R. 
 
 En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en 
cualquier base. 
 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 15 de 22 
 
 La función logarítmicade la base es siempre igual a 1. 
 
 La función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente 
para a < 1 
 
 loga1=0 ya que a0=1 
 
 logaa=1 ya que a1=a 
 
b. Propiedades 
Y para finalizar este análisis veremos cuáles son las Propiedades de Función 
Logarítmica que tenemos que saber y que nos servirán de herramienta fundamental la 
próxima clase cuando analicemos las ecuaciones logarítmicas: 
 Logaritmo del producto: 
loga(b·c)=logab+logac 
Ejemplo: log2 (4.8)= log2 4+log2 8 = 2+3 =5 
 Logaritmo del cociente: 
Logac/b=logab–logac 
Ejemplo: log2 (8/4)= log2 8+log2 4 = 3-2 =1 
 Logaritmo de una potencia: 
loga(bm)=m·logab 
Ejemplo: log2 (84)= 4.log2 8 = 4.3 =12 
 En cualquier base: 
loga x=logbx/logb a 
Ejemplo: log2 4= log4 4 /log4 2 = 1/0,5 =2 
 
c. Crecimiento y decrecimiento 
Ahora supongamos ahora que f(x) = 3x 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 16 de 22 
 
 
 
x y=log3x 
0.25 
0.5 
1 
2 
3 
4 
6 
8 
10 
-1,26 
-0,63 
0 
0,63 
1 
1,26 
1,63 
1,89 
2,09 
 
Observamos que la amplitud del gráfico cambia. 
¿Y si hacemos ahora que f(x) = log4x? 
 
x y=log4x 
0.25 
0.5 
1 
2 
3 
4 
6 
8 
10 
-1 
-0,5 
0 
0,5 
0,79 
1 
1,29 
1,5 
1,66 
 
Observamos que la amplitud del gráfico vuelve a cambiar 
 
Comparemos las tres gráficas que hemos visto, las funciones f(x)=log2x, f(x)=log3x 
yf(x)=log4x 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 17 de 22 
 
 
Vemos que una base más grande 
hace menos empinada la gráfica. 
Una base más grande también hace 
que la gráfica se aleje del eje x 
 
 
Este es un ejemplo de un crecimiento logarítmico. 
 
 
En conclusión: Una función logarítmica de la forma f(x) = loga x, 
donde a > 1, y a ≠ 1. 
La función aumenta conforme x aumenta. 
 
¿Qué pasa cuando a está entre 0 y 1, es decir, 0 <a< 1? 
Supongamos ahora que f(x)=log1/2x 
 
 
 
x y=log1/2x 
0.25 2 
0,50 1 
1 0 
2 -1 
3 -1,58 
4 -2 
6 -2,58 
8 -3 
10 -3,32 
 
Armamos la tabla de valores y marcamos dichos puntos en 
el gráfico. 
Vemos que la función en su dominio puede tomar los números reales positivos, 
pero su imagen solo son los todos los reales. 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 18 de 22 
 
Vemos también que a medida que 
los valores de x aumentan 
disminuyen los valores de y; por lo 
tanto la función es decreciente. Esta 
función logarítmica tiene una gráfica 
que se acerca mucho al eje x 
conforme la base se hace más 
chica. 
 
 
Este es un ejemplo de un decrecimiento logarítmico. Conforme aumenta x, f(x) 
“decrece”. 
Vemos que la forma es similar a la forma cuando a > 1, pero esta vez la gráfica se 
acerca al eje x cuando x > 0, en lugar de x < 0. Esto es un decaimiento 
loagarítmico. En lugar de que los valores de la función “crezcan” conforme aumentan 
los valores de x, como sucedía antes, los valores de la función “decaen” o disminuyen 
conforme los valores de x aumentan. 
d. Ecuaciones Logarítmicas 
La resolución de Ecuaciones Logarítmicas se basa en los mismos procedimientos 
utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos 
fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente 
donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación 
semejante a la siguiente: 
loga f (x) = loga g (x) 
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f(x)= g(x), 
que se resuelve por los métodos habituales. 
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación 
equivalente del tipo: 
loga f (x) = m 
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual. 
¿Qué quiere decir esto? 
Que para resolver una ecuación logarítmica se tienen que tener en cuenta cuatro 
pasos fundamentales: 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 19 de 22 
 
1. Las propiedades de los logaritmos 
2. La Inyectividad de los logaritmos, es decir: loga x= logb y → x=y 
3. La Definición de logaritmos: loga x→ax=y 
4. La solución de la ecuación no pueden ser números negativos o nulos 
 
¿Qué quiere decir esto?, mejor aún….¿cómo resolvemos una ecuación logarítmica 
teniendo en cuenta estas premisas? 
Analicémoslo con un ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación: 
 
log2+log (11-x2) = 2.log (5-x) 
Lo primer que hacemos es separar los miembros de cada lado de la 
ecuación: log2+log (11-x2)=2log(5-x) 
 
1°) En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo 
miembro la propiedad del logaritmo de una potencia: 
 
log [2 * (11-x2)] = log(5-x)2 
 
2°) Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos: 
 
2 (11-x2)= (5-x)2 
 
3°) Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o 
negativo: 3x2-10x+3=0 
e. Escalas Logarítmicas 
Una vez que ya sabemos resolver ecuaciones a base de funciones logarítmicas, 
también podemos dar un paso más allá y plantearnos graficar determinados hechos o 
ejemplo e la vida real utilizando las Escalas Logarítmicas. ¿De qué hablamos cuando 
analizamos esto? 
 
 
Una escala logarítmica es una escala de medida que utiliza el logaritmo 
de una cantidad física en lugar de la propia cantidad. La presentación de 
datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los datos cubren 
una amplia gama de valores - el logaritmo los reduce a un rango más 
manejable. 
 
Las escalas logarítmicas se definen en función de las potencias de la cantidad 
subyacente (base), o se tiene que estar de acuerdo en medir la cantidad en 
unidades fijas. 
 
Las bases de logaritmos más empleadas son 10 (base de los logaritmos decimales) y 
el número e (base de los logaritmos naturales o neperianos) 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 20 de 22 
 
Si la magnitud a representar no es una potencia entera de la base de logaritmos 
empleada, para representar dicha medida en la escala logarítmica habrá que añadirle 
una constante aditiva. 
¿Cómo sería esto? 
log10=1; log100=2 
log30= log (10*4)= log10+log4= 1+0,60 =1,60 
a base de los logaritmos también tiene que ser especificada, a menos que el valor de 
la escala se considere como una magnitud dimensional expresada en unidades 
logarítmicas genéricas (de base indefinida). 
Y entonces…cuando graficamos: ¿Usamos la Escala logarítmica o la escala lineal? 
Supongamos que queremos ver como aumentan los precios de un determinado 
producto en el tiempo, en el eje x ponemos el tiempo y en el eje y los precios. 
Para representar esto, tenemos dos tipos de escalas para el eje vertical de los gráficos 
con las que nos interesa ver el precio: 
 Lineal 
 Logarítmica (Algunos puristas le llaman a esta escala semi-logarítmica, porque 
no afecta a ambos ejes, sino sólo al eje vertical) 
¿Cuál es mejor? 
Ninguna es mejor, en todo caso debemos preguntarnos: ¿Cuál es más apta según qué 
aplicación? 
En el caso de nuestro ejemplo, El gráfico lineal muestra por igual variaciones de 
precio iguales. 
 
Por ejemplo, si el precio sube $5, el gráfico sube visualmente 5 lugares: 
Es más, va a subir esa misma distancia, tanto si el precio pasa de $5 a 
$10, como si pasa de $50 a $55. 
En cambio, el gráfico logarítmico tiene un enfoque distinto: busca mantener 
constantes las proporciones, no los números brutos. 
 
Es el caso de que si el precio pasa de $5 a $10, en realidad, el precio se ha 
duplicado, y te lo va a mostrar con una subida enorme en el gráfico. En cambio, si el 
precio pasa de $50 a $55, en la práctica ha avanzado muy poco, y el gráfico 
logarítmico lo reflejará con una pequeña subida. 
 
f. Aplicaciones 
Podemos ver que Aplicaciones podemos encontrar de la Función Logarítmica en la 
realidad: 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 3 | Página 21 de 22 
 
Si quisiéramos saber cuánto tarda en incrementarse al doble una determinada 
población, necesitaremos utilizar logaritmos. ¿Por qué? Si tenemos una población(base) y otra cantidad a la que hay que llegar (potencia), cuántas veces hay que 
aplicar la tasa de crecimiento (exponente) para llegar a esa cantidad; lo que 
necesitamos es obtener el exponente, por lo que se usan logaritmos. 
 
 
Una curiosidad de aplicaciones de logaritmos en la vida real es la 
siguiente: en el testamento de Benjamin Franklin, famoso científico, éste 
donaba 1.000 libras a los habitantes de Boston, a condición de que se 
prestasen al 5% a artesanos jóvenes. 
Según Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras. 
Comprobemos si esto es cierto: El capital final al cabo de esos 100 años será x = 
1.000 · 1,05100. 
 
Para calcular esa enorme potencia usaremos los logaritmos: 
x = 1.000 · 1,05100; log x = log 1.000 + 100 · log 1,05 
log x = 3 + 100 · 0,0212 = 5,12; x = 105,12 = 131.825,67 libras. 
 
Los logaritmos también se utilizan en química, ya que nos permite ahorrarnos el 
problema de usar comas en números pequeños y a la vez nos podemos evitar poner 
numerosos ceros en los números grandes. 
 
 
 
IV. BIBLIOGRAFÍA 
 
1. Ernest F . Haeussler, Richard S. Paul (2016) “Matemáticas Para 
Administración y Economía” - Pearson Educación - 10° Edición - Capítulos 
0,1, 2 y 3. 
 
2. Ron Larson; Bruce H. Edwards (2010) “Cálculo I” Ed. Mac Graw-Hills - 9° 
Edición – Capítulo 1. 
 
3. Stefan Waner; Steven R. Costenoble (2002) “Calculo Aplicado” Editorial Math- 
2° Edición – Capitulo 1 y 2. 
 
4. Knut Sydsaeter; Peter Hammond (2011) “Matemáticas para el análisis 
económico” Editorial: Prentice Hall, 2° Edición - Capítulo 1. 
 
5. Michael Sullivan (2006) “Álgebra y trigonometría”, Pearson Educación - 7° 
edición – Capítulo 1.