Tema 1 - Estructura de los metales

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
CATEDRA MATERIALES INDUSTRIALES 
AÑO LECTIVO: 2020 
 
TEMA Nº 1 - ESTRUCTURA DE LOS METALES Y SUS 
PROPIEDADES 
 
1 - REDES ESPACIALES Y CELDAS UNIDAD: 
 La importancia en ingeniería de la estructura física de los materiales sólidos depende 
principalmente de la disposición de los átomos, iones o moléculas que constituyen el sólido y de 
las fuerzas de enlace existente entre ellos. Si los átomos o iones de un sólido se ordenan en una 
disposición que se repite en las tres dimensiones, forman un sólido del que se dice tiene una 
estructura cristalina y nos referiremos a él como un sólido cristalino o material cristalino. 
Ejemplos de los materiales cristalinos son los metales, las aleaciones y algunos materiales 
cerámicos. 
 
El ordenamiento atómico en sólidos cristalinos puede representarse asimilando los átomos a los 
puntos de intersección de una red de líneas en tres dimensiones. Tal red recibe el nombre de 
retículo espacial (figura 1-a) y puede ser descrita como una disposición de puntos tridimensional 
infinita. Cada punto en la red espacial tiene idéntico entorno. En un cristal ideal, la agrupación de 
puntos reticulares alrededor de cualquier punto dado es idéntica con la agrupación entorno a 
cualquier otro punto reticular en la red cristalina. Cada red espacial puede ser descrita de este 
modo, especificando las posiciones atómicas en una celda unidad que se repite, tal como la que 
se muestra en la figura 1-a. El tamaño y la forma de la celda unidad puede describirse por tres 
vectores reticulares a, b y c, que se originan a partir de un vértice de la celda unidad (figura 1-b). 
Las longitudes axiales a, b y c, y los ángulos ,  y  son las constantes reticulares de la celda 
unidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – (a) Retículo espacial de un sólido cristalino ideal. 
(b) Celda unidad con las constantes reticulares 
 
2 – SISTEMAS CRISTALINOS Y REDES DE BRAVAIS: 
 Asignando valores específicos para las longitudes axiales y los ángulos interaxiales es 
posible construir diferentes tipos de celdas unidad. La cristalografía muestra que son necesarias 
sólo siete tipos diferentes de celdas unidad para crear todas las redes puntuales. Estos sistemas 
cristalinos se resumen en la tabla siguiente: 
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TABLA 1 – CLASIFICACION DE RETÍCULOS ESPACIALES 
EN SISTEMAS CRISTALINOS 
ESTRUCTURA LADOS ANGULOS 
Cúbica a = b = c Todos de 90º 
Tetragonal a = b  c Todos de 90º 
Ortorrómbica a  b  c Todos de 90º 
Hexagonal a = b  c 2 ángulos de 90º y 1 ángulo de 120º 
Romboédrica a = b = c Todos iguales y  a 90º 
Monoclínica a  b  c 2 ángulos de 90º y 1 ángulo ()  90º 
Triclínica a  b  c Todos los ángulos son distintos y ninguno es de 90º 
 
La mayor parte de estos siete sistemas cristalinos presentan variaciones de la celda unidad 
básica. Augusto Bravais demostró que con 14 celdas unidad estándar se podían describir todas 
las estructuras reticulares posibles. Estas redes llamadas redes de Bravais se muestran en la 
figura 2. Hay cuatro tipos básicos de celdas unidad: (1) Sencilla, (2) Centrada en el cuerpo, (3) 
Centrada en las caras, y (4) Centrada en las bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Las 14 celdas unidad convencionales de Bravais 
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En el sistema cúbico hay tres tipos de celdas unidad: cúbica sencilla, cúbica centrada en el 
cuerpo y cúbica centrada en las caras. En el sistema ortorrómbico están representados los cuatro 
tipos. En el sistema tetragonal hay sólo dos: sencilla y centrada en el cuerpo. El sistema 
monoclínico tiene celdas unidad sencilla y centrada en la base, y los sistemas romboédrico, 
hexagonal y clínico tienen sólo una celda unidad. 
 
Es decir los 7 sistemas cristalinos y los cuatro tipos básicos que dan origen a las 14 redes de 
Bravais, ordenados según la figura 2, son los que se indican a continuación: 
 
Nº Orden Estructura Tipo de celda 
1 Cúbica Sencilla 
2 Cúbica Centrada en las caras 
3 Cúbica Centrada en el cuerpo 
4 Tetragonal Sencilla 
5 Tetragonal Centrada en el cuerpo 
6 Romboédrica Sencilla 
7 Hexagonal Centrada en las bases 
8 Ortorrómbica Sencilla 
9 Ortorrómbica Centrada en las bases 
10 Ortorrómbica Centrada en las caras 
11 Ortorrómbica Centrada en el cuerpo 
12 Monoclínica Sencilla 
13 Monoclínica Centrada en las bases 
14 Triclínica Sencilla 
 
3 – PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METALICAS: 
 La mayoría de los metales elementales (alrededor del 90 %) cristalizan en alguna de las tres 
estructuras cristalinas densamente empaquetadas: cúbica centrada en el cuerpo (BCC) (figura 3-
a), cúbica centrada en las caras (FCC), (figura 3-b) y hexagonal compacta (HCP) (figura 3-c). 
La estructura HCP es una modificación más densa de la estructura cristalina hexagonal sencilla 
(figura 2). La mayor parte de los metales cristaliza en estas estructuras densamente 
empaquetadas debido a que se libera energía a medida que los átomos se aproximan y se enlazan 
cada vez más estrechamente entre sí. De este modo, dichas estructuras densamente 
empaquetadas se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energía cada vez más baja y 
estable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Celdas unitarias de las principales estructuras cristalinas metálicas: (a) Cúbica centrada en el 
cuerpo. (b) Cúbica centrada en las caras. (c) Hexagonal compacta 
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Es conveniente resaltar el hecho de que las celdillas unidad de los metales mostrada en la figura 
3 son extremadamente pequeñas, del orden de las décimas de nanómetros. 
 
Para facilitar su estudio, se efectúa la aproximación de considerar a los átomos de estas 
estructuras como esferas rígidas. La distancia entre los átomos (distancia interatómica) en las 
estructuras cristalinas puede ser determinada experimentalmente por análisis de difracción de 
rayos X 
 
3.1 - ESTRUCTURA CRISTALINA CÚBICA CENTRADA EN EL CUERPO (BCC): 
 Consideremos la situación de los átomos en la celda unidad para la estructura BCC 
mostrada en la figura 4-a. En esta celda unidad las esferas sólidas representan los centros donde 
los átomos están localizados e indican claramente sus posiciones relativas. Si se representan los 
átomos en estas celdas como esferas rígidas, entonces la celda unidad presentará el aspecto 
mostrado en la figura 4-b. En esta celda unidad se puede observar que el átomo central se 
encuentra rodeado por otros ocho vecinos más cercanos y se dice entonces que tiene un número 
de coordinación igual a 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Celdas unitarias BCC: (a) Celda unitaria de sitios atómicos. (b) Celda unitaria de esferas 
rígidas. (c) Celda unitaria aislada 
 
Si aislamos una celda unidad sencilla de esferas rígidas, obtendremos el modelo mostrado en la 
figura 4-c. Cada una de estas celdas tiene el equivalente de dos átomos por celda unidad. 
 
Hay un átomo completo el cual está localizado en el centro de la celda unidad, y también un 
octavo de átomo que está localizado en cada vértice de la celda unidad, considerando que hay 
ocho vértices en la celda unidad se tiene el equivalente a otro átomo. Es decir: 1 átomo (en el 
centro) + 8 x 1/8 átomos (en los vértices) = 2 átomos por celda unidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
Figura 5 – Celda unidad BCC mostrando la relación entre a (constante de red) y R (radio atómico). 
 
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Los átomos en las celdas BCC contactan entre sí a través de la diagonal del cubo, según se 
muestra en la figura 5, de modo que la relación entre la longitud de la cara del cubo a y el radio 
atómico R es: 
 
 3 · a = 4 · R o bien a = 4 · R (1)3 
 
Si los átomos en la celda BCC se consideran esféricos, el factor de empaquetamiento atómico 
(APF) puede calcularse usando la ecuación siguiente: 
 
 Factor de empaquetamiento = Volumen de átomos en la celda BCC (2) 
 Atómico (APF) Volumen de la celda unidad BCC 
 
Utilizando esta ecuación, el factor de empaquetamiento atómico (APF) para la celda unidad BCC 
resulta ser del 68 %. Es decir, el 68 % de la celda BCC está ocupada por átomos y el 32 % 
restante del espacio está vació. El cristal BCC no es una estructura totalmente compacta, ya que 
los átomos aún podrían situarse más juntos. Muchos metales como el hierro, cromo, tungsteno, 
molibdeno y vanadio tienen estructura cristalina BCC a temperatura ambiente. 
 
3.2 - ESTRUCTURA CRISTALINA CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS (FCC): 
 Consideremos la celda reticular unitaria FCC de la figura 6-a. En esta celda unidad hay un 
punto reticular en cada vértice del cubo y otro en el centro de cada cara del cubo. El modelo de 
esferas sólidas de la figura 6-b indica que los átomos de esta estructura están unidos del modo 
más compacto posible. El APF de esta estructura de empaquetamiento compacto es de 0,74, que 
al compararla con el valor de 0,68 de la estructura BCC, indica que ésta última no es compacta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Celdas unitarias para estructuras FCC: (a) Celda unitaria de sitios atómicos. (b) Celda unitaria 
de esferas sólidas. (c) Celda unitaria aislada 
 
La celda FCC, según se puede observar en la figura 6-c, tiene el equivalente a cuatro átomos por 
celda unidad. Los ocho octavos de átomo de los vértices cuentan por uno entero y las seis 
mitades de átomos ubicados en las caras del cubo contribuyen con otros tres átomos más, 
haciendo un total de cuatro átomos por celda unidad. 
 
 8 x 1/8 átomos (en los vértices) + 6 x ½ átomos (en el centro de las caras) = 4 átomos 
 
Los átomos en la celda FCC se contactan entre sí a lo largo de la diagonal de la cara del cubo, 
según se muestra en la figura 7, de manera tal que la relación entre la longitud de la cara del cubo 
y el radio atómico es: 
 
 2 · a = 4 · R o bien a = 4 · R (3) 
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 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 - Celda unidad FCC mostrando la relación entre a (constante de red) y R (radio atómico) 
 
El APF para la estructura FCC es 0,74, que es mayor que el valor de 0,68 correspondiente a la 
estructura BCC. El valor de 0,74 correspondiente a la estructura FCC es el máximo posible para 
empaquetamiento de “átomos esféricos”. Muchos metales como aluminio, cobre, plomo, níquel 
y hierro a temperaturas elevadas (entre 910 y 1401 °C) cristalizan según la estructura FCC. 
 
3.3 - ESTRUCTURA CRISTALINA HEXAGONAL COMPACTA (HCP): 
 La tercera estructura más común es la HCP, que se muestra en la figura 8. Los metales no 
cristalizan en la estructura hexagonal sencilla mostrada en la figura 2 porque el APF es 
demasiado bajo. Los átomos pueden alcanzar una energía más baja y unas condiciones más 
estables para formar la estructura HCP de la figura 8. El APF de esta estructura es de 0,74, es 
decir tiene el mismo valor que el de la estructura FCC ya que para ambas estructuras los átomos 
están empaquetados de un modo lo más cercano posible. En ambas estructuras, HCP y FCC cada 
átomo está rodeado por otros 12 átomos y por lo tanto ambas estructuras tienen un número de 
coordinación igual a 12. Las diferencias en el empaquetamiento atómico en las estructuras HCP 
y FCC serán analizadas más adelante (ver sección 8). 
 
La celda unidad HCP aislada se muestra en la figura 8-c y tiene un equivalente de seis átomos 
por celda unidad. Tres átomos forman un triángulo en la capa intermedia, como puede 
observarse en la figura 8-a. Existen 6 x 1/6 secciones de átomos en las capas de arriba y de abajo, 
haciendo un equivalente de 2 átomos más (2 x 6 x 1/6 = 2). Finalmente, hay dos mitades de 
átomos en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un átomo 
más. El número total de átomos en la estructura HCP es, por lo tanto, 3 + 2 + 1 = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 - Celdas unidad HCP: (a) Celda unidad de posiciones atómicas. (b) Celda unidad de esferas 
sólidas. (c) Celda unidad aislada 
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La relación de la altura c del prisma hexagonal de la estructura cristalina HCP al lado de la base 
a se llama relación c/a (figura 8-a). La relación c/a para una estructura cristalina HCP ideal 
consistente en esferas uniformes tan próximas como sea posible es 1,633. 
 
4 – POSICIONES ATOMICAS EN CELDAS UNIDAD CUBICAS: 
 Para localizar las posiciones atómicas en las celdas unidad se utiliza el sistema de ejes 
coordenados x, y, z. En cristalografía, el eje x positivo es normalmente la dirección perpendicular 
al plano del papel, el eje y positivo es la dirección hacia la derecha del papel y el eje z positivo es 
la dirección hacia la parte superior del papel. Las direcciones negativas son las opuestas a las 
indicadas antes. 
 
Las posiciones atómicas en celdas unitarias se localizan utilizando distancias unidad a lo largo de 
los ejes x, y, z. Las posiciones atómicas para los ocho átomos situados en los vértices de la celda 
unidad BCC son: 
 
(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 
(1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) 
 
El átomo central de la celda unitaria BCC tiene las coordenadas (1/2, 1/2, 1/2). Por sencillez, 
muchas veces sólo se especifican las coordenadas del origen (0, 0, 0) y del átomo central (1/2, 
1/2, 1/2), sobreentendiendo las restantes. De la misma forma es posible es posible localizar las 
posiciones de los átomos de las estructuras FCC y HCP. 
 
5 – DIRECCIONES EN CELDAS UNIDAD CUBICAS: 
 A menudo, es necesario referirnos a posiciones específicas en las redes cristalinas. Esto es 
especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades que varían con la 
orientación cristalográfica. Para cristales cúbicos los índices de las direcciones cristalográficas 
son los componentes vectoriales de las direcciones resueltos a lo largo de cada eje coordenado 
y reducidos a los enteros más pequeños. 
 
Para indicar en un diagrama una dirección en una celda cúbica unitaria, se dibuja un vector de 
dirección desde el origen (que es normalmente una esquina de la celda cúbica) hasta que sale a la 
superficie del cubo. Las coordenadas de posición de la celda unidad donde el vector de dirección 
sale de la superficie del cubo menos las coordenadas del origen después de ser convertidas a 
enteros son los índices de dirección. Los índices de dirección se encierran entre corchetes   
sin separación por comas. 
 
Generalmente son utilizadas las letras u, v, w para índices de dirección en las direcciones de los 
ejes x, y, z, respectivamente y se escriben como uvw. 
 
También es importante conocer que todos los vectores de dirección paralelos tienen los mismos 
índices de dirección. 
 
Las direcciones se dice que son cristalográficamente equivalentes si los espacios atómicos a lo 
largo de cada dirección son los mismos. Así, por ejemplo, las siguientes direcciones de una arista 
del cubo son cristalográficamente equivalentes: 
 
 100, 010, 001, 010, 001, 100  <100> 
 
Las direcciones equivalentes se llaman familia de índices. La notación <100> es usada para 
indicar colectivamente las direcciones de lados del cubo. Otras direcciones de una familia son las 
diagonales del cuerpo cúbico <111> y las diagonales de cara cúbica <110>. 
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6 - INDICES DE MILLER PARA PLANOS CRISTALOGRÁFICOS EN 
CELDAS UNIDAD CÚBICAS:A veces es necesario referirnos a planos reticulares específicos de átomos dentro de una 
estructura cristalina o puede ser necesario conocer la orientación cristalográfica de un plano o 
grupo de planos en una red cristalina. 
 
Para identificar planos cristalinos en estructuras cristalinas cúbicas se usan los índices de Miller 
que para un plano cristalino están definidos como las inversas de las intersecciones que el plano 
determina con los ejes x, y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. 
 
Las aristas de una celda cúbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de 
los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias. 
 
El procedimiento de determinación de los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico es 
el siguiente: 
 
1. Se debe verificar que el plano considerado no pase por el origen de coordenadas, es decir 
el (0,0,0). En el caso de que esto ocurra se debe redefinir el sistema de coordenadas de 
manera tal que el plano que no pase por el nuevo origen de coordenadas. 
 
2. Determinar las intersecciones del plano con los ejes coordenados x, y, z (cristalográficos) 
para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias. 
 
3. Construir las inversas o reciprocas de estas intersecciones. 
 
4. Despejar (eliminar) fracciones, si las hubiera, y determinar el conjunto de números 
enteros más pequeño que estén en la misma razón que las intersecciones. Estos números 
enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre 
paréntesis sin comas. La notación (hkl) se usa para indicar los índices de Miller en 
sentido general, donde h, k y l son los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico 
de ejes x, y, z. 
 
En la figura 9 se muestran tres de los más importantes planos cristalográficos de las estructuras 
cúbicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 - Índices de Miller de algunos planos cristalinos importantes. 
 
Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de coordenadas de manera que uno o 
más cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posición equivalente en la misma 
celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo al original. Esto es posible porque 
todos los planos paralelos equidistantes son indicados con los mismos índices de Miller. 
 
 
 9 
Si grupos de planos de redes equivalentes están relacionados por la simetría del sistema 
cristalino, se llaman familia de planos, y los índices de una familia de planos son encerrados 
entre llaves, para representar los índices de una familia de planos simétricos. Así por ejemplo, 
los índices de Miller de los planos de la superficie del cubo (100), (010) y (001) se designan 
colectivamente como una familia con la notación 100. 
 
Una importante relación valida solo para el sistema cúbico es que los índices de una dirección 
perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los índices de Miller para ese plano. 
Por ejemplo, la dirección [100] es perpendicular al plano (100). 
 
En estructuras cristalinas cúbicas la distancia interplanar entre dos planos paralelos muy 
cercanos con los mismos índices de Miller se designa como dhkl donde h, k y l son los índices de 
Miller de los planos. Este espaciado representa la distancia desde un origen elegido contenido en 
un plano y otro plano paralelo con los mismos índices que sea muy cercano a él. A partir de 
conocimientos geométricos sencillos puede ser mostrado para estructuras cristalinas que 
(expresión cuadrática de Miller): 
 
 dhkl = a (4) 
 h
2
 + k
2
 + l
2
 
Dónde: 
dhkl = Distancia interplanar, expresada en nanómetros, entre planos cercanos con índices de 
Miller h, k, y l. 
a = Constante de red (lados del cubo unidad), se expresa en nanómetros. 
(h k l) = Índices de Miller de los planos cúbicos considerados 
 
7 - PLANOS Y DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS EN CELDILLAS 
UNIDAD HEXAGONALES: 
 
7.1 - ÍNDICES PARA PLANOS CRISTALINOS EN CELDILLAS UNIDAD 
HEXAGONALES HCP: 
 Las superficies cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser identificadas 
comúnmente utilizando cuatro índices en vez de tres. Los índices para los planos cristalinos 
HCP, llamados índices de Miller - Bravais, son designados por las letras h, k, i, l y encerrados 
entre paréntesis y sin comas (hkil). Estos sistemas hexagonales de cuatro índices están basados 
en un sistema coordenado de cuatro ejes como se muestra en la figura 10 para una celdilla unidad 
HCP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Los cuatro ejes coordenados (a1, a2, a3 y c) 
de la celda unidad de la estructura cristalina HCP. 
 
 10 
Existen tres ejes básicos a1, a2, y a3 que forman ángulos de 120º entre sí. El cuarto eje o eje c es 
el eje vertical y está localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad a de medida a lo 
largo de los ejes a1, a2, y a3 es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes como se 
indica en la figura 10. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad. 
Las inversas de las intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes a1, a2, y a3 
proporcionan los índices h, k e i mientras que la inversa de la intersección con el eje c da el 
índice l. 
 
7.2 - PLANOS BASALES: 
 Los planos basales de la celdilla unidad HCP son unos planos muy importantes para esta 
celdilla unidad y se indican en la figura 11-a. Puesto que el plano basal de la parte superior de la 
celdilla unidad HCP en la figura 11-a es paralelo a los ejes a1, a2, y a3, las intersecciones de este 
plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a1 = , a2 = , a3 = . El eje c, sin 
embargo, es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia 
unidad. Tomando las inversas de estas intersecciones tenemos los índices de Miller – Bravais 
para el plano basal HCP. Así, h = 0, k = 0, i = 0 y l = 1 es decir (0001). 
 
7.3 - PLANOS DE LAS CARAS DEL PRISMA: 
 Utilizando el mismo método, las intersecciones del plano (cara) del prisma frontal (ABCD) 
de la figura 11-b son a1 = +1, a2 = , a3 = -1 y c = . Tomando las inversas de estas 
intersecciones tenemos h = 1, k = 0, i = -1 y l = 0 o sea el plano (1010). De modo análogo, el 
plano (cara) del prisma ABEF de la figura 11-b tiene los índices (1100) y el plano (cara) DCGH 
los índices (0110). Todos los planos del prisma HCP pueden ser identificados colectivamente 
como la familia de planos {1010}. 
Algunas veces los planos HCP son identificados únicamente por tres índices (hkl) puesto 
que h + k = - i. Sin embargo, los índices (hkil) se utilizan de modo más común debido a que 
ellos revelan la simetría hexagonal de la celdilla unidad HCP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Indices de Miller – Bravais de planos cristalinos hexagonales (a) Planos de las bases, (b) 
Planos del prisma 
 
7.4 - ÍNDICES DE DIRECCIÓN EN LAS CELDAS UNITARIAS HCP: 
 Las direcciones en las celdas unitarias HCP normalmente se indican también por cuatro 
índices u, v, t y w encerrados entre corchetes como [uvtw]. Los índices u, v, t son vectores 
reticulares en las direcciones a1, a2, y a3, respectivamente y el índice w es un vector reticular en 
la dirección c. Al objeto de mantener uniformidad entre ambos índices HCP para planos y 
direcciones se ha acordado que u + v = - t lo sea también para direcciones. Algunas de las 
direcciones más importantes de las celdas unitarias HCP se muestran en la figura 12 
 
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Figura 12 – Algunas direcciones importantes en las celdillas unidad HCP. 
 
8 - COMPARACIÓN ENTRE LAS ESTRUCTURASCRISTALINAS FCC, 
HCP Y BCC. 
 
8.1 - ESTRUCTURAS CRISTALINAS CÚBICA CENTRADA EN CARAS Y 
HEXAGONAL COMPACTA: 
 Como ya se indicó antes, ambas estructuras cristalinas FCC y HCP son estructuras 
compactas. Esto es, sus átomos que son considerados aproximadamente “esferas” y se 
encuentran tan íntimamente agrupados cómo es posible, poseen un factor de empaquetamiento 
atómico (APF) de 0,74. Los planos (111) de la estructura cristalina FCC mostrados en la figura 
13-a tienen un orden de agrupamiento idéntico al de los planos (0001) de la estructura cristalina 
HCP mostrados en la figura 13-b. Sin embargo, tridimensionalmente, las estructuras cristalinas 
FCC y HCP no son idénticas debido a que existe una diferencia en la disposición de apilamiento 
de sus planos atómicos, los cuales pueden describirse mejor por consideración del apilamiento de 
esferas rígidas que representa a los átomos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Comparación de la estructura cristalina FCC: (a) Mostrando planos (111) compactos, y de la 
estructura cristalina HCP (b) Mostrando planos (0001) compactos. 
 
 12 
Considérese primero un plano de átomos compacto designado como plano A, tal como se 
muestra en la figura 14-a. Obsérvese que hay dos tipos diferentes de espacios vacíos o huecos 
entre los átomos. Los espacios señalados en la parte superior de la figura son designados 
espacios a, y los señalados en la parte inferior de la figura, espacios b. Un segundo plano de 
átomos puede ser localizado sobre los huecos a y b y se producirá la misma estructura 
tridimensional. Localicemos el plano B sobre los espacios a, como se muestra en la figura 14-b. 
Ahora si un tercer plano de átomos se coloca sobre el plano B para formar una estructura 
compacta, es posible formar dos estructuras de empaquetamiento compacto diferentes. Una 
posibilidad es situar los átomos del tercer plano sobre los huecos b del plano B. Entonces los 
átomos del tercer plano descansarán directamente sobre el plano A y así pueden designarse como 
nuevo plano A (figura 14-c). Si subsiguientes planos de átomos se colocan en este orden 
alternativo de apilamiento, entonces la secuencia de apilamiento de la estructura tridimensional 
producida puede ser denominada ABABAB.... Tal secuencia de apilamiento lleva a la estructura 
cristalina HCP (figura 13-b). La segunda posibilidad para formar una estructura compacta es 
situar el tercer plano en los huecos a del plano B (figura 14-d). Este tercer plano se designa como 
plano C, puesto que sus átomos no descansan sobre los del plano B, ni sobre los del plano A. La 
secuencia de apilamiento en esta estructura compacta se designa así como ABCABCABC....y 
lleva a una estructura FCC, mostrada en la figura 13-a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Formación de las estructuras cristalinas HCP y FCC por apilamiento de planos atómicos. (a) 
Plano mostrando los espacios a y b. (b) Plano B localizado en espacios a del plano A. (c) Tercer plano 
localizado en espacios b del plano B, determinando otro plano A y formando la estructura cristalina HCP. 
(d) Tercer plano localizado en espacios a del plano B, dando lugar a un nuevo plano C y formando la 
estructura cristalina FCC. 
 
8.2 - ESTRUCTURA CRISTALINA CÚBICA CENTRADA EN EL CUERPO: 
 La estructura BCC no es una estructura compacta, de ahí, que no tenga planos compactos 
como los 111 de la estructura FCC y los planos 0001 de la estructura HCP. Los planos más 
densos en la estructura BCC son los planos de la familia 110 de los cuales el plano (110) se 
muestra en la figura 15-b. Los átomos, sin embargo, en la estructura BCC tienen unas 
direcciones compactas a lo largo de las diagonales del cubo, que son las direcciones <111>. 
 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 – Estructura BCC mostrando: (a) El plano (100). (b) Una sección del plano (110). 
 
9 - CÁLCULOS DE DENSIDAD VOLUMÉTRICA, PLANAR Y LINEAL EN 
CELDILLAS UNIDAD: 
 
9.1 - DENSIDAD VOLUMÉTRICA: 
 Utilizando el modelo atómico de esfera compacta para la celdilla unidad de la estructura 
cristalina de un metal y un valor para el radio atómico del metal obtenido del análisis de 
difracción de rayos X, se puede obtener un valor para la densidad volumétrica usando la 
ecuación: 
 
 Densidad volumétrica = V = masa de la celdilla unidad . (5) 
 del metal volumen de la celdilla unidad 
 
9.2 - DENSIDAD ATÓMICA PLANAR: 
 Algunas veces es importante determinar la densidad atómica en varios planos cristalinos. 
Para hacer esto, se calcula una magnitud llamada densidad atómica planar usando la relación: 
 
Densidad atómica = n° de átomos cuyos centros están intersectados por el área seleccionada (6) 
planar P área seleccionada 
 
Por convención, en estos cálculos se utiliza el área de un plano que intersecta a la celda unidad, 
como se muestra en la figura 16 para el plano (110) en la celda unitaria BCC. Para que el área de 
un átomo se tenga en cuenta en este cálculo, el plano considerado debe intersectar el centro del 
átomo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 – (a) Celda unitaria BCC mostrando un plano (110) sombreado, (b) áreas de atomos en la 
celda unitaria BCC cortada por el plano (110). 
 14 
9.3 - DENSIDAD ATÓMICA LINEAL: 
 Algunas veces es importante determinar las densidades atómicas en varias direcciones de 
las estructuras cristalinas. Para hacer esto, se calcula una magnitud llamada densidad atómica 
lineal utilizando la relación: 
 
 Número de átomos que tienen sus centros localizados en 
 Densidad atómica = una línea dirección dada dentro de una longitud seleccionada (7) 
 lineal L longitud de la línea seleccionada 
 
10 - POLIMORFISMO O ALOTROPÍA: 
 Muchos elementos y compuestos existen en más de una forma cristalina bajo diferentes 
condiciones de temperatura y presión. Este fenómeno se denomina polimorfismo o alotropía. 
Muchos metales industrialmente importantes como hierro, titanio y cobalto experimentan 
transformaciones alotrópicas a elevadas temperaturas a presión atmosférica. 
 
El hierro existe en ambas estructuras BCC y FCC, sobre un rango de temperatura que va desde la 
temperatura ambiente hasta su punto de fusión de 1535 °C, como se muestra en la figura 17. El 
hierro alfa () existe desde – 273 a 910 °C y tiene la estructura cristalina BCC. El hierro gamma 
() existe desde 910 hasta 1401 °C y tiene una estructura cristalina FCC. El hierro delta () existe 
desde 1401 hasta 1535 °C, que es el punto de fusión del hierro. 
 
La estructura cristalina del hierro delta es también BCC pero con una constante de red algo 
mayor que la del hierro alfa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Formas alotrópicas cristalinas del hierro en distintos rangos de temperatura a presión 
atmosférica. 
 
11 - ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA DEL CRISTAL: 
 
11.1 - FUENTES DE RAYOS X: 
 Los rayos X utilizados para la difracción son ondas electromagnéticas con longitudes de 
onda que oscilan entre 0,05 y 0,25 nm (0,5 y 2,5 Å). Para producir rayos X para propósitos de 
difracción es necesario un voltaje de unos 35 kV y se suministra entre un cátodo y un metal 
anódico o blanco, ambos mantenidos en vacío como se muestra en la figura 18. Cuando el 
filamento de wolframio del cátodo se calienta, se liberan electrones por emisión termoiónica y se 
aceleran a través del vacío por la gran diferencia de voltaje entre el cátodo y el ánodo, por 
consiguiente ganando energía cinética. Cuando los electrones golpean la lámina de metal (por 
 15 
ejemplo molibdeno)se emiten rayos X. Sin embargo, la mayor parte de la energía cinética (cerca 
del 98 %) se convierte en calor, por lo tanto, la muestra tiene que enfriarse externamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Diagrama esquemático de la sección transversal de un tubo de rayos X de filamento sellado. 
 
El espectro emitido a 35 kV usando una lámina de molibdeno se muestra en la figura 19. El 
espectro de radiación continúa de rayos X para una longitud que oscila entre 0,2 y 1,4 Å (0,02 y 
0,14 nm) y dos picos de radiación determinada que designan las líneas K y K. Las longitudes 
de onda de las líneas K y K son características para un determinado elemento. En el molibdeno 
la línea K aparece a una longitud de onda de unos 0,7 Å (0,07 nm). El origen de esta radiación 
se explica cómo sigue. Primero, electrones K (electrones del orbital n = 1) se expulsan del átomo 
por bombardeo de la lámina con electrones altamente energéticos, dejando los átomos excitados. 
A continuación, algunos de los electrones de orbitales más altos (es decir n = 2 o n = 3) caen a 
niveles energéticos más bajos, para reemplazar los electrones K perdidos, emitiendo energía de 
una determinada longitud de onda. La transición de electrones del orbital L (n = 2) al orbital K (n 
= 1) genera energía de longitud de onda correspondiente a la línea K como se indica en la figura 
20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Emisión del espectro de rayos X cuando el metal molibdeno se utiliza como metal diana en 
un tubo de rayos x operando a 35 kv 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Niveles de energía de los electrones en el molibdeno mostrando el origen de la radiación k y 
k 
 
11.2 - DIFRACCIÓN DE RAYOS X: 
 Puesto que las longitudes de onda de algunos rayos X son más o menos iguales a la 
distancia entre planos de átomos en sólidos cristalinos, los picos de difracción debido a la 
radiación de intensidades variables se pueden producir cuando un grupo de rayos X golpea un 
sólido cristalino. Sin embargo, antes de considerar las aplicaciones de las técnicas de difracción 
de rayos X al estudio de las estructuras del cristal, es necesario estudiar las condiciones 
geométricas necesarias para producir difracción o reforzar los grupos de rayos X reflejados. 
 
Consideremos que un haz de rayos X monocromático (longitud de onda sencilla) incide sobre un 
cristal, como se muestra en la figura 21. Por simplificación, permitamos el reemplazo de planos 
cristalinos de centros de dispersión atómicos por planos cristalinos que actúan como espejos 
reflejando el haz de rayos X incidente. En la figura 21 las líneas horizontales representan un 
conjunto de planos cristalinos paralelos con índices de Miller (hkl). Cuando un haz incidente de 
rayos X monocromáticos de longitud de onda  golpea este conjunto de planos con un ángulo tal 
que el diagrama de ondas del haz deja los diversos planos en una situación fuera de fase, no se 
producirá haz reforzado alguno (figura 21-a). De este modo tienen lugar interferencias 
destructivas. Si los diagramas de ondas reflejados del haz dejan a los diversos planos en fase, 
entonces se producirá un reforzamiento del haz o interferencia constructiva (figura 21-b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 – Reflexión de un haz de rayos x por los planos (hkl) del cristal. (a) Para ángulos arbitrarios de 
incidencia no se produce haz reflejado alguno. (b) Para el ángulo de Bragg,, los rayos reflejados están 
en fase y se refuerzan mutuamente. (c) Similar a (b) con la excepción de que la representación de la 
onda ha sido suprimida 
 
Consideremos los rayos X incidentes 1 y 2 como se indican en la figura 21-c. Para que estos 
rayos estén en fase, la distancia extra de recorrido del rayo 2 es igual a MP + PN, que debe ser 
un número entero de longitudes de onda . De este modo. 
 
 n = MP + PN (8) 
 
Donde n = 1, 2, 3, ...., y se conoce como orden de la difracción. Puesto que ambos MP y PN son 
iguales a dhkl seno , donde dhkl es el espaciado interplanar de los planos cristalinos de índices 
(hkl) la condición para interferencia constructiva (p.ej., la producción de un pico de difracción de 
radiación intensa) debe ser: 
 n = 2dhkl seno  (9) 
 
Esta ecuación, conocida como ley de Bragg establece la relación entre las posiciones angulares 
de los haces difractados reforzados en términos de longitud de onda  de la radiación de rayos X 
incidente y de los espaciados interplanares dhkl de los planos cristalinos. En la mayor parte de los 
casos, se utiliza el primer orden de difracción donde n = 1, y así, para este caso, la ley de Bragg 
adopta la forma: 
 
  = 2dhkl seno  (10) 
 
DIFRACCIÓN DE RAYOS X. ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS CRISTALINAS. 
 
11.3 - ANÁLISIS DE RAYOS X POR EL MÉTODO DE POLVO: 
 La técnica más comúnmente utilizada de difracción de rayos X es el método de polvo. En 
esta técnica se utiliza una muestra pulverizada a fin de que se produzca una orientación al azar de 
 18 
muchos cristales que asegure que algunas de las partículas estén orientadas en el haz de rayos X 
para satisfacer las condiciones de difracción de la ley de Bragg. Los análisis modernos de 
cristales utilizan un difractómetro de rayos X que tiene un contador de radiaciones para detectar 
el ángulo y la intensidad del haz difractado (figura 22). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 – un difractómetro de rayos X (sin la pantalla de rayos X) 
 
Un registrador representa automáticamente la intensidad del haz difractado mientras el contador 
se mueve a lo largo de un goniómetro de círculo que está sincronizado con la muestra en un 
rango próximo a valores de 2 (Figura 23). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 – Ilustración esquemática del método difractométrico de análisis cristalino y de las condiciones 
necesarias para la difracción 
 
La figura 24 muestra un registro de difracción de rayos X para la intensidad del haz difractado 
frente a ángulos de difracción 2 para una muestra de metal puro pulverizado. De esta forma los 
ángulos de los haces difractados y sus intensidades pueden ser registrados simultáneamente. 
Algunas veces se utiliza una cámara de polvo con un rollo de película en lugar de un 
difractómetro, pero este método es mucho más lento y en la mayoría de los casos, menos 
conveniente. 
 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24 – Datos de los ángulos de difracción para una muestra de wolframio obtenida mediante un 
difractómetro con radiación de cobre. 
 
11.4 - CONDICIONES DE DIFRACCIÓN PARA CELDILLAS CÚBICAS UNIDAD: 
 Las técnicas de difracción de rayos X permiten determinar las estructuras de sólidos 
cristalinos. La interpretación de los datos de difracción de rayos X para la mayoría de las 
sustancias cristalinas es compleja por ello sólo consideraremos el caso sencillo de difracción en 
metales de estructura cúbica pura. El análisis de difracción de rayos X para celdillas unidad 
cúbicas puede ser simplificado combinando la ecuación: 
 
 dhkl = a . 
 h
2
 + k
2
 + l
2
 
 
Con la ecuación de la ley de Bragg:  = 2dhkl seno , obteniendo: = 2 a seno  (11) 
 h
2
 + k
2
 + l
2
 
 
Esta ecuación puede ser utilizada con los datos de difracción de rayos X para determinar si una 
estructura cristalina es cúbica centrada en el cuerpo o cúbica centrada en las caras. 
 
Para utilizar la ecuación (11) en el análisis de difracción, debemos saber que planos del cristal 
son los planos de difracción para cada tipo de estructura cristalina. Para la red cúbica simple, son 
posibles reflexiones desde todos los planos (hkl). Sin embargo, para la estructura BCC la 
difracción ocurre sólo sobre los planos cuyos índices de Miller sumados (h + k + l) nos da un 
número par (Tabla 2). Por ello, para la estructura cristalina BCC, los planos principales de 
difracción son 110, 200, 211, etc., que están numerados en la tabla 3. En el caso de la 
estructura cristalina FCC, los planos principales de difracción son aquellos cuyos índices de 
Miller son todos pares o todos impares (el cero se considera par). De este modo, para la 
estructura cristalina FCC, los planos difractantes son 111, 200, 220, etc., que están 
numerados en la Tabla 3. 
 
 
 
 
 
 20 
TABLA 2 – Reglas para determinar los planos de difracción (hkl) en redes cúbicas cristalinas 
Redes de Bravais Reflexiones presentes Reflexiones ausentes 
BCC (h+k+l) = pares (h+k+l) = impares 
FCC (h, k, l) todas pares 
o todas impares 
(h, k, l) no todas pares 
ni todas impares 
 
TABLA 3 – Índices de Miller de planos de difracción para redes BCC y FCC. 
Planos 
Cúbicos 
{hkl} 
 
 
h
2
 + k
2
 + l
2 
 
Suma 
Σ (h
2
 + k
2
 + l
2
) 
Planos cúbicos 
difractantes (hkl) 
FCC BCC 
{100} 1
2
 + 0
2
 + 0
2 
1 
{110} 1
2
 + 1
2
 + 0
2
 2 ------ 110 
{111} 1
2
 + 1
2
 + 1
2
 3 111 
{200} 2
2
 + 0
2
 + 0
2
 4 200 200 
{210} 2
2
 + 1
2
 + 0
2
 5 
{211} 2
2
 + 1
2
 + 1
2
 6 ----- 211 
------ 7 
{220} 2
2
 + 2
2
 + 0
2
 8 220 220 
{221} 2
2
 + 2
2
 + 1
2
 9 
{310} 3
2
 + 1
2
 + 0
2
 10 310 
 
11.5 - INTERPRETACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES DE DIFRACCIÓN DE 
RAYOS X PARA METALES CON ESTRUCTURAS CÚBICAS CRISTALINAS: 
 Podemos utilizar datos de difractómetros de rayos X para determinar estructuras 
cristalinas. Un caso simple para ilustrar cómo puede ser utilizado este análisis es para diferenciar 
entre las estructuras BCC y FCC de un metal cúbico. Supongamos que tenemos un metal que 
tiene una estructura cristalina BCC y FCC y que es posible identificar los planos principales de 
difracción y sus correspondientes valores 2, como se indica en la figura 24 para el metal 
wolframio. 
 
Elevando al cuadrado las dos partes de la ecuación (11) y despejando seno
2
 , obtenemos: 
 
 Seno
2
  = 
2
 (h
2
 + k
2
 + l
2
) (12) 
 4 a
2
 
 
De los datos de difracción de rayos X podemos obtener valores experimentales de 2 para una 
serie de planos principales difractantes hkl. Puesto que la longitud de onda de la radiación 
emitida y la constante de red a son dos valores constantes, podemos eliminar estas cantidades 
dividiendo los dos valores de sen
2 
 del modo siguiente: 
 
 sen
2
 A = h
2
A + k
2
A + l
2
A (13) 
 sen
2
 B h
2
B + k
2
B + l
2
B 
 
Donde A y B son dos ángulos difractantes asociados con los planos principales de difracción 
hAkAlAhBkBlB, respectivamente. 
 
Utilizando la ecuación (13) y los índices de Miller de la primera y segunda serie de planos 
principales refractantes enumerados en la tabla 3 para las estructuras BCC y FCC, podemos 
determinar los valores de los cocientes de sen
2
 θ para ambas estructuras BCC y FCC. 
 
 21 
Para la estructura cristalina BCC, las dos primeras series de planos principales difractantes son 
los planos {110} y {200} (Tabla 3). Sustituyendo los índices de Miller {hkl} de estos planos en 
la ecuación (13), nos queda: 
 
 sen
2
 A = 1
2
+ 1
2
 + 0
2
 = 0,5 (14) 
 sen
2
 B 2
2
 + 0
2
 + 0
2
 
 
De este modo, si la estructura cristalina del metal cúbico desconocido es BCC, el cociente de los 
valores de sen
2
 θ que corresponden a los dos primeros planos principales de difracción será 0,5. 
 
Para la estructura cristalina FCC, las dos primeras series de planos principales difractantes son 
los planos {111} y {200} (Tabla 3). Sustituyendo los índices de Miller {hkl} de estos planos en 
la ecuación (13), nos queda: 
 
 sen
2
 A = 1
2
+ 1
2
 + 1
2
 = 0,75 (15) 
 sen
2
 n 2
2
 + 0
2
 + 0
2
 
 
Por ello, si la estructura cristalina del metal cúbico desconocido es FCC, la razón de los valores 
del sen
2 
θ que corresponden a los dos primeros planos principales de difracción será 0,75. 
 
12 – BIBLIOGRAFIA: 
 Smith, W. F.: “Fundamentos de la ciencia e ingeniería de materiales”; Mc Graw Hill. 
 Askeland, Donald R.; Ciencia e ingeniería de los materiales - México: International 
Thomson Editores, 2001 
 Callister, W.D.: “Introducción a la Ciencia e Ingeniería de los Materiales”, tomos I y II -
Reverte 
 Shackelford, J. F.: “Introducción a la Ciencia de Materiales para Ingenieros”; Mc Graw 
Hill. 
 Schaffer James P., [et al.]. ; Ciencia y diseño de ingeniería de los materiales - 1a. ed. 
México: CECSA, 2000.