Programa-para-indexar-patrones-de-difraccion-obtenidos-a-partir-de-una-FFT

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
PROGRAMA PARA INDEXAR PATRONES DE DIFRACCIÓN 
OBTENIDOS A PARTIR DE UNA FFT 
 
 
 T E S I S 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 FÍSICO 
 P R E S E N T A : 
 
RAFAEL GALICIA RAMÍREZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
TUTOR: 
DR. RAÚL HERRERA BECERRA 
 
2011 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Hojas de Datos del Jurado 
1. Datos del alumno 
Galicia 
Ramírez 
Rafael 
55 68 37 39 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Física 
075112864 
2. Datos del tutor 
Dr 
Raúl 
Herrera 
Becerra 
3. Datos del sinodal 1 
Dr 
Alfredo 
Gómez 
Rodríguez 
4. Datos del sinodal 2 
Dr 
Luis Felipe 
Jiménez 
García 
5. Datos del sinodal 3 
Dr 
Julio Alberto 
Juárez 
Islas 
6. Datos del sinodal 4 
Dr 
Pablo 
de la Mora 
y Palomar Askinasy 
7. Datos del trabajo escrito 
Programa para indexar patrones de difracción obtenidos a partir de una FFT 
110 p 
2011 
 Índice 
 
 
 
Índice 
Introducción……………………………………………………………………………………………………………. 1 
Capítulo 1: Antecedentes……………………………………………………………………………………….. 3 
Capítulo 2: Introducción Teórica 
2.1 Bases Microscopía Óptica………………………………………………………………………………… 9 
2.2 Interferencia y Difracción…………………………………………………………………………….. 19 
2.3 Geometría de Cristales………………………………………………………………………………… 31 
Capítulo 3: Algoritmo para indexar patrones de difracción. 
3.1 Desarrollo del Algoritmo para indexar patrones de difracción a 
 partir de una FFT…………………………………………………………………………………………. 46 
Diagrama 3.1 Captura de información de una imagen FFT de un patrón 
de difracción………………………………………………………………………….. 48 
Diagrama 3.2 Datos tarjeta Powder Diffraction File (PDF)…………………………… 50 
Diagrama 3.3 Algoritmo para indexar patrones de difracción a partir de 
una FFT……………………………………………………………………………….…. 51 
Diagrama 3.4. Bloque A…………………………………………………………………………….…. 55 
Diagrama 3.5. Bloque B………………………………………………………………………………… 56 
Diagrama 3.6. Bloque C………………………………………………………………………………… 57 
Diagrama 3.7. Bloque Eje de Zona……………………………………………………………….. 58 
Diagrama 3.8. Matriz Eje de Zona……………………………………………………………………. 59 
Diagrama 3.9. Matriz Permuta……………………………………………………………………… 61 
Diagrama 3.10 QuitarRepetidos…………………………………………………………………... 62 
Diagrama 3.11. Matriz Acomoda………………………………………………………………….. 63 
Capítulo 4: Programa DPIP. 
4.1. Pantalla Datos FFT. Captura de los datos del patrón de difracción…………………. 67 
 Índice 
 
 
 
4.2. Pantalla Tabla de Rayos X. Captura de Datos Generales de una tarjeta 
de Rayos X……………………………………………………………………………………………………… 69 
4.3. Pantalla Cálculo. Realiza los cálculos correspondientes a la indexación…………... 71 
Capítulo 5: Manual 
5.1 Pantallas Programa…………………………………………………………………………………………. 73 
5.2. Captura de información…………………………………………………………………………………. 76 
5.3. Ejecución del algoritmo………………………………………………………………………………….. 83 
5.4. En busca de la mejor solución………………………………………………………………………… 85 
5.5. Presentación de Resultados……………………………………………………………………………. 86 
Capítulo 6: Ejemplos de indexación. 
6.1 Metodología……………………………………………………………………………………………………. 88 
6.2 Ejemplos…………………………………………………………………………………………………………. 89 
Capítulo 7: Conclusiones………………………………………………………………………………………… 97 
Anexos……………………………………………………………………………………………………………………. 100 
Bibliografía……………………………………………………………………………………………………………… 109 
 Introducción 
1 
 
 
Introducción 
Una de las herramientas más potentes para el estudio de la estructura de la materia 
condensada es, sin lugar a dudas, la difracción. Ya sea ésta de rayos X, neutrones o 
electrones, proporciona información básica sobre la simetría y los arreglos atómicos; la 
determinación de la estructura del ADN quizá sea, unos de los logros de mayor alcance 
jamás obtenidos. 
En los experimentos de difracción en cristales uno de los datos que se obtienen del patrón 
de difracción es el que se refiere a la distancia interplanar dhkl (en Å) en la familia {hkl}. La 
indexación consiste en analizar el patrón de difracción tomando las distancias d medidas 
del centro a cada uno de los puntos del patrón para identificar el plano que los genera por 
medio de los llamados índices de Miller. 
Sabemos que es posible generar el patrón de difracción o difractograma directamente de 
una imagen al aplicarle la transformada rápida de Fourier (FFT) (obtenido por medios 
digitales). 
En nuestro caso particular, se tiene el problema de indexar nanopartículas metálicas y de 
algunos óxidos obtenidos por el método de biosíntesis, con la intensión de determinar los 
cambios estructurales de las mismas al cambiar una o más de las variables que intervienen 
en su proceso. Llevar a cabo la indexación con un máximo de exactitud lleva al usuario una 
gran cantidad de tiempo y es difícil asegurar que llegará a la “mejor solución”. En la 
actualidad no existen programas en el Instituto de Física de la UNAM que lleven a cabo 
este tipo de tareas. Por lo anterior, dada la necesidad de indexar una gran cantidad de 
patrones de difracción, se ha decidido elaborar un programa que automatice esta ardua y 
tediosa labor. 
El proyecto consiste en el desarrollo informático amigable para el usuario, que realice la 
indexación en una forma rápida y lo más exacta posible. La “entrada” está dada por la lista 
de las distancias “d” medidas sobre el patrón de difracción, medidas del centro a cada uno 
de los puntos del patrón. Además, se puede o no tener una idea cercana de la naturaleza 
química de la muestra, por lo que el programa se apoyará en una base de datos en la que 
se almacenan tarjetas de rayos X del “Joint comitee of powder diffraction file” para 
diversos materiales. Las ecuaciones que se emplean son ampliamente conocidas, y para 
este caso en particular se han escogido las correspondientes a las estructuras: cúbica, 
ortorrómbica, tetragonal y hexagonal. El programa es transportable y amigable para el 
usuario. 
Este trabajo está divido en siete capítulos y tres anexos. 
El capítulo 1 presenta, brevemente la idea de lo que es indexación y el porqué de la 
necesidad de desarrollar un sistema de cómputo, cuyo objetivo es facilitar una mejor 
 Introducción 
2 
 
solución. Se exponen en forma general los resultados de algunos trabajos realizados para 
automatizar la indexación. 
El capítulo 2 presenta, las bases teóricas empleadas, que ubican el concepto de indexación 
dentro de la física. Entre otros brevemente el funcionamiento del microscopio electrónico 
de transmisión y el concepto de difracción y así como la geometría de cristales. 
Elcapítulo 3 está dedicado al desarrollo del algoritmo para indexar patrones de difracción 
obtenidos a partir de una FFT, que para una mejor comprensión, se presenta en forma de 
diagramas de flujo. 
El capítulo 4, con la ayuda de los diagramas de flujos, se lleva acabo un ejercicio del 
funcionamiento del algoritmo a partir de una imagen digitalizada de una partícula de oro 
obtenida con un microscopio electrónico JEOL2010-FEG. Se dará un seguimiento del 
funcionamiento del algoritmo a través de un menú y ventanas del desarrollo 
computacional. 
En el capítulo 5, muestra como el programa consiste en una interfaz gráfica, que incluye 
menú, botones, campos editables, listas, etc., que permiten al usuario elegir comandos 
para controlar ventanas y cuadros de diálogo, además de iniciar procesos y presentar 
resultados. Por lo que es necesario, un manual del usuario para un mejor manejo del 
programa. 
El capítulo 6 presenta, 12 ejemplos de indexación donde se utilizó el programa. Los casos 
fueron seleccionados de los trabajos que se realizan actualmente en el Laboratorio de 
Nuevos Materiales del Instituto de Física. 
El capítulo 7 presenta, las conclusiones finales, una vez que el sistema ha sido probado 
comentándose las ventajas y desventajas de utilizar el programa. 
Al final de la tesis se presentan los anexos y la bibliografía utilizada a lo largo de este 
trabajo.
 Capítulo 1: Antecedentes 
 
3 
 
Capítulo 1 
Antecedentes. 
La difracción ya sea de rayos X, neutrones o electrones, se ha convertido en la 
herramienta más empleada para la caracterización y determinación de estructuras de los 
materiales como superconductores, semiconductores, compuestos orgánicos, inorgánicos, 
productos farmacéuticos, macromoléculas biológicas, materiales cerámicos y productos 
minerales. La determinación de la estructura del ADN quizá sea, unos de los logros de 
mayor alcance jamás obtenidos. 
La difracción es esencialmente un fenómeno de dispersión en el que intervienen un gran 
número de átomos. Puesto que los átomos están dispuestos periódicamente en una red, 
los rayos dispersados por ellos tienen unas relaciones de fase definidas, tales que en la 
mayoría de las direcciones se produce una interferencia destructiva pero en algunas 
direcciones se produce una interferencia constructiva y formándose rayos difractados. 
Cuando un rayo de electrones incide perpendicularmente sobre la superficie de una 
muestra cristalina el rayo se difractará de la misma forma que lo hace la luz 
monocromática cuando pasa por una rejilla. En materiales se pueden obtener dos tipos de 
patrones de difracción, (a) patrón de anillos, cuando la muestra es policristalina (sustancia 
formada por varios pequeños cristales) y, (b) patrón de puntos, cuando la muestra es un 
monocristal o región monocristalina. 
Un patrón de difracción contiene dos tipos de información: 
1. Arreglo espacial, las distancias “R” entre el punto del rayo transmitido y de los otros 
puntos de difracción, así como los ángulos formados por el punto transmitido y el 
punto de difracción. 
2. Las intensidades, dadas en valores comparativos al punto central con los otros 
máximos que ocurran en la difracción. 
La obtención de un patrón de difracción en un microscopio electrónico se realiza cómo se 
muestra en la figura 1.1. 
 
 
 Capítulo 1: Antecedentes 
 
4 
 
 
Figura 1.1. (a) Formación de un patrón de difracción. (b) Patrón de difracción donde el eje 
de zona [uvw] es paralelo al rayo transmitido formando el punto central (000). 
Los electrones que inciden sobre una muestra, son difractados formando un patrón de 
puntos sobre una pantalla o placa fotográfica. La distancia “R”, es la distancia entre el rayo 
transmitido (el que no sufre desviación alguna), y el punto difractado. En la figura “L” 
representa la distancia entre la muestra y la pantalla, y se le conoce como la “longitud de 
cámara”. De la figura se puede obtener la siguiente relación: 
Tan2θ=R/L [1.1] 
De acuerdo con la Ley de Bragg (ver ecuación [2.2.12]) para n=1 
λ =2dsenθ [1.2] 
para ángulos muy pequeños se tiene que tan2θ=2θ y senθ=θ entonces 
d=(λL)/R [1.3] 
Esta ecuación relaciona las distancias interplanares “d” en el cristal con las distancias “R” 
del patrón de difracción. 
En la figura, el microscopio electrónico se considera como una simple cámara de 
difracción de electrones los cuales inciden sobre una muestra, para después ser 
difractados y formar un patrón de puntos sobre la placa fotográfica, la cual se encuentra a 
una distancia “R” del centro de patrón de difracción. La cantidad λL es llamada la 
“constante de la cámara”. 
Si se conocen los valores R, λ, L, para cada punto difractado, es posible encontrar las 
distancias interplanares del cristal y comparar sus valores con tablas de distancias para 
diferentes cristales (Base de datos de Powder Diffraction File) y encontrar el tipo de cristal 
que se trata. 
A cada valor “d” se le puede asignar un conjunto de índices de Miller (khl), dependiendo 
del tipo de estructura. La identificación de los índices de Miller de cada punto de 
difracción se le conoce como indexación. 
 Capítulo 1: Antecedentes 
 
5 
 
El procedimiento para determinar la estructura química de un material desconocido: 
 
Figura 1.2. Procedimiento para determinar la estructura de un material desconocido. 
El amplio uso del microscopio electrónico, en los últimos años y la necesidad de 
indexación de una gran cantidad de patrones de difracción hacen conveniente un método 
sistemático, rápido para indexar los patrones. 
Aunque parezca sencillo el procedimiento de medición, no lo es, puede llegar a ser muy 
complicado y más cuando la simetría de la estructura del material disminuye. Por lo tanto 
se hace necesario desarrollar sistemas de cómputo para realizar la indexación más rápida 
y exacta posible, de manera de que se puede evitar el trabajo tedioso y rutinario. 
En la literatura se pueden encontrar varios desarrollos computacionales, pero por algún 
motivo en el Instituto de física de la UNAM, no existe alguno. 
Este proyecto que aquí se desarrolla, tiene como objetivo primero de realizar un algoritmo 
que reduzca los errores posibles y segundo transformarlo en un sistema computacional 
amigable que permita a los investigadores dedicados al estudio de las estructuras de 
materiales realizar cálculos que ahora le pueden llevan días, reducirlos a unos cuantos 
minutos. 
A continuación se presentan algunos trabajos dentro de la literatura, para realizar la 
indexación. Pasando por el papel, regla, transportador, regla de cálculo hasta los algunos 
desarrollos computacionales. 
El procedimiento de medición más elemental es utilizar una regla y un transportador y 
papel [1]. La placa fotográfica se coloca debajo del papel, se marcan todos los puntos. El 
origen debe de coincidir con el centro del rayo transmitido, ver Figura 1.3. A partir del 
origen se seleccionar los puntos A y B más cercanos a éste. Del origen se mide OA=R1 y 
 Capítulo 1: Antecedentes 
 
6 
 
OB=R2, siendo siempre R2≥R1. El ángulo entre estas direcciones se denota como θ12. Los 
errores en las medidas están determinados por la regla y el transportador. 
 
Figura 1.3 La utilización del papel, regla y transportador. 
Sin embargo, este procedimiento de medición se puede mejorar utilizando una imagen 
digitalizada. Por ejemplo, con la ayuda del software DigitalMicrograph (DM), pueden 
trazarse los puntos(x,y) para formar los vectores OA y OB, encontrar las distancias de 
dichos vectoresy por el producto punto hallar el ángulo. La fuente de error, sería la 
capacidad del usuario para localizar el origen del rayo transmitido y a la precisión que 
ofrece el “mouse”. 
Para aquellos materiales que presentan una estructura cúbica existe un método muy 
simple propuesto en 1963, por W.R. Roser y G. Thomas[2], para determinar directamente 
de los valores de R, los índices de los puntos de difracción sin que sea necesario conocer la 
constante de la cámara definida cómo el producto λL=C y es una constante para una placa 
fotográfica por lo que: 
λL=R1d1=R2d2=Rndn [1.4] 
por lo tanto 
R1/R2=d2/d1, R1/Rn=dn/d1 [1.5] 
Entonces las proporciones de las distancias medidas en la fotografía son iguales a las 
proporciones de las distancias “d” para todos los cristales. 
Para los sistemas cúbicos, la distancia interplanar (ver tabla 2.3.2, capítulo 2) 
 
sustituyendo en [1.5] 
 
Por lo que se demuestra que las distancias interplanares y las distancias de los puntos 
pueden relacionarse sin considerar la constante de la cámara. 
Un patrón de difracción individual puede ser indexado obteniendo el cociente de las 
distancias “R” medidas en el patrón de difracción y su comparación con el cociente de las 
 Capítulo 1: Antecedentes 
 
7 
 
(N)1/2. El último cociente puede tabularse para lograr una comparación conveniente. Sin 
embargo, cuando este cociente se compila en forma de tabla, primero se hace necesario 
obtener el cociente de los valores de “R” a partir de mediciones y manipulaciones 
matemáticas y luego determinar a partir de las tablas PDF que planos corresponden a este 
cociente. Para dar una respuesta rápida, los autores proponen utilizar la regla de cálculo 
(ya ahora en desuso), colocando el valor del cociente (N)1/2, con lo cual, los valores “C” y 
“D”, de la regla darán dos enteros adecuados. Luego empleando una tabla de valores 
h2+k2+l2, pueden identificarse los índices del punto en cuestión. Para disminuir el error de 
medición, para asignar índices específicos de varios puntos, es necesario medir los ángulos 
entre los puntos de zonas diferentes utilizando la relación: 
 
En 1977, Raymond P. Goehner y Prakash Rao [3], presentan un programa asistido por 
computadora, escrito en lenguaje FORTRAN, donde los datos de entrada a considerar son 
la constante de cámara y las coordenadas (x,y) de al menos tres puntos, las constantes de 
la red cristalina y la estructura cristalina. El programa genera las coordenadas de los 
puntos permitidos de la red recíproca, como consecuencias de las restricciones del grupo 
espacial, la escala se toma de la placa fotográfica o de la impresión del patrón de 
difracción. Los puntos de la red recíproca en términos de coordenadas x, y, se comparan 
con las magnitudes de todos los puntos difractados proporcionados a la computadora del 
modelo experimental. Si la magnitud calculada y experimental cae dentro de un error de 
posición determinado los datos se guardan. A continuación el programa, de tres puntos 
difractados selecciona dos y determina todos los ángulos posibles entre ellos de acuerdo 
lo establecido por las constantes de red. Estos ángulos son comparados con los ángulos 
experimentales. Una vez obtenida la igualdad dentro de un error de ángulo dado, se 
aplica un producto cruz entre dos series de índices para dar la orientación del cristal, es 
decir, el eje de zona. El procedimiento se aplica para todos los puntos y sus posibles 
índices (hkl). 
Narayan, C. [4] en 1986, presentan un programa más simple, para la indexación de 
patrones de difracción, se utilizan tres puntos difractados seleccionados por el usuario, 
Figura 1.4, además de los datos de entrada como son los parámetros de red del cristal a 
estudiar, las distancias “R” de los tres puntos difractados y las medidas de los ángulos 
entre los puntos 1 y 2, 2 y 3 y 1 y 3. Es necesario considerar un error de posición entre las 
distancias calculadas y experimental, así como un error de ángulo, el cual se considera un 
error de 0.01nm y 2.5 grados. El programa comienza recorriendo todos los posibles planos 
del tipo hkl, en cualquier orden especificado por el usuario, para localizar los planos que 
tienen espacios interplanares cercanos a los medidos para los tres puntos de difracción. La 
ordenación secuencial genera tres conjuntos de planos independientes, uno para cada 
uno de los tres puntos de difracción con espacios interplanares d1, d2, y d3. 
 Capítulo 1: Antecedentes 
 
8 
 
 
Figura 1.4. Patrón de difracción de electrones 
La búsqueda genera más de una solución, por lo que para simplificar, los puntos 1, 2 y 3 
deben ser elegidos de tal manera que estos puntos, junto con el de punto de transmisión 
forman un paralelogramo. Si los puntos son elegidos como se mencionó anteriormente, 
una solución consistente puede seleccionarse entre un conjunto de soluciones de acuerdo 
a las siguientes igualdades como requisito: 
h1+h2=h3; k1+k2=k3; l1+l2=l3. 
En 1987 P. A. Stadelmann [5], presenta un paquete de programas muy completo llamado 
EMS para la simulación y el análisis de imágenes de un microscopio electrónico de alta 
resolución (HREM) y para el análisis de patrones de difracción. Maneja los cálculos típicos 
de la cristalografía de la microscopía electrónica, como la indexación automática de la 
difracción y los modelos de Kikuchi, la simulación de patrones de puntos y polvo, 
elaboración de proyecciones estereográficas, el cálculo de la red de Bravais de un 
estructura desconocida a partir de dos patrones de difracción, etc. Aunque no contiene un 
algoritmo como tal, el sistema EMS se organizó en torno a archivos que contienen todos 
los datos necesarios cristalográficos para la simulación de imágenes HREM o para el 
cálculo de los patrones de difracción, etc., en la mayoría de los casos, el usuario primero 
crea el archivo de cristal de la estructura de interés, utilizando una notación tensorial para 
todos los cálculos cristalográficos (distancias, ángulos,...) así como datos que figuran en las 
tablas internacionales de cristalografía de rayos X. 
En 1992, Xiaodong Zou, et. al *6+ . Desarrollan un programa en “C” llamado “ELD”, para 
extraer las intensidades de patrones de difracción de electrones. Los patrones de 
difracción de electrones se digitalizan utilizando una cámara CCD cuyos datos se 
transfieren a la PC. Con la información de los vectores de la red, forma y tamaño de los 
puntos de difracción, es posible por medio de “ELD” extraer las intensidades de la 
difracción de electrones. 
Finalmente Li, X.Z. en 2004 [7], describe un programa de computadora conocido como 
“JECP / PCED”, que está diseñado para la identificación de fase usando un patrón de 
anillos de difracción de electrones o una muestra en polvo policristalina del TEM. La 
entrada son los datos de la estructura cristalina en formato ascii. Se carga una imagen 
experimental por separado, haciendo coincidir a los patrones simulados. La salida se 
presenta de dos formas: (i) Una tabla en formato ascii que contiene (hkl), ghkl, intensidad y 
dhkl, (ii) La imágenes de los patrones de difracción pueden imprimirse o guardarse.
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
9 
 
Capítulo 2 
Introducción Teórica 
2.1 Bases Microscopía Óptica 
El ojo humano constituye una herramienta esencial para la observación que es una de las 
bases principales de la investigación, pero para el estudio de objetos pequeños están 
limitados a una resolución de aproximadamente 10-3 m. Cuando el ojo se acerca a un 
objeto hasta una distancia de 25 cm, se observa una imagen cada vez mayor y con más 
detalles. Esta distancia determina el punto próximo. El ojo no puede enfocar objetosque 
se encuentren a una distancia menor, y a partir de este punto si hay un mayor 
acercamiento al objeto, la imagen se hace borrosa. 
La necesidad de una mejor resolución, propició la aparición de instrumentos ópticos. 
Primero se descubren los lentes y con una combinación de ambas se obtienen imágenes 
de mayor resolución. Aparece el microscopio óptico, invento que se le atribuye a holandés 
Zacarías Janssen a finales del siglo XVI. 
En 1873 Ernest Abbe, le dio un gran impulso a la óptica teórica al encontrar que el 
aumento de un microscopio depende más de la longitud de onda de luz que de la calidad 
del sistema óptico. Debido al trabajo De Broglie en 1924, basado en la dualidad onda-
partícula de la radiación electromagnética, especuló sobre la posibilidad que también las 
partículas materiales (electrones, átomos, etc.) tuvieran un comportamiento dual. Las 
longitudes de onda generadas principalmente por electrones son 10,000 veces más 
pequeñas que la longitud de onda de la luz visible, lo que permitió el surgimiento del 
microscopio electrónico. 
En este capítulo se darán las bases para entender el funcionamiento del microscopio 
electrónico, y para esto se estudian los fundamentos del microscopio óptico. 
2.1.1 Microscopio óptico. 
El instrumento más sencillo de todos los microscopios es una lente de aumento (lente 
biconvexa). Si un objeto se sitúa detrás de la lente y próxima a la misma, aparenta ser 
mayor cuando se observa a través de ella, apreciándose más detalles del objeto. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
10 
 
 
Figura 2.1.1 Formación de la imagen virtual y derecha por una lente biconvexa. 
El aumento angular que produce una lente es de aproximadamente 25/f donde f es la 
distancia focal de la lente expresada en cm, una lupa por lo general tiene un poder de 
magnificación de aproximadamente 5. Este aumento se expresa como X5. 
Un microscopio óptico está formado por dos lentes biconvexas en su forma más sencilla. 
 
Figura 2.1.2 Microscopio óptico. 
El objeto I, se coloca delante de la lente objetivo por estar cerca del objetivo, y a una 
distancia ligeramente superior a la focal, se obtiene una imagen intermedia I1 real y 
aumentada del mismo, la segunda lente denominada ocular por estar cerca del ojo puede 
emplearse para formar una imagen virtual aumentada I2 de la imagen intermedia I1. 
Todos los sistemas ópticos, presentan errores que producen distorsión de las imágenes. 
Son producidos mediante varios mecanismos, ya sea por el comportamiento de la luz al 
incidir sobre el objeto en estudio o por defectos propios de los lentes. Estos defectos son 
comúnmente conocidos como aberraciones. Hay varios tipos de aberraciones entre las 
que se encuentran las de esfericidad, cromáticas, astigmatismo, coma, distorsión y 
curvatura del campo. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
11 
 
La mayor parte de los fenómenos en lo que tiene lugar la interacción de la luz con la luz 
puede explicarse con la teoría ondulatoria. Cada vez que las ondas golpean un obstáculo, 
se producen ondas secundarias que pueden interactuar o interferir con el frente de onda 
inicial, originando aumentos o disminuciones en la iluminación. Cuando la luz pasa por 
una abertura circular, si el foco luminoso se encuentra sobre el eje del orificio, se produce 
un patrón de difracción simétrico respecto a dicho eje y constituida por una serie de 
anillos circulares y brillantes. 
 
Figura 2.1.3 Difracción 
Puesto que los sistemas ópticos están diafragmados para disminuir aberraciones, al 
emplear un lente para formar una imagen, la correspondiente a cada punto no será un 
simple punto, sino una figura de difracción en la que la luz se distribuye en máximos y 
mínimos concéntricos. Donde el máximo central concentra la mayor parte de la energía de 
luz difractada. En microscopia, este modelo recibe el nombre de Disco de Airy. 
 
Figura 2.1.4 Disco de Airy. 
El radio del primer anillo oscuro que rodea al máximo central es 0.61λ/nsenθ donde λ es la 
longitud de onda de la luz, n es el índice de refracción en el lado del objeto de la lente y α 
es el ángulo formado por el eje de la lente y una línea trazada desde el punto axial del 
objeto hasta el borde de la apertura. El número que define el máximo cono de luz que una 
lente pueda alcanzar, desde un punto, en una muestra se le denomina Apertura Numérica 
(AN) y es igual a nsenθ. El objetivo recibe un cono luminoso que parte del objeto. La 
resolución de detalles finos depende esencialmente de la cantidad de luz que penetra en 
el objetivo, y es evidente que esta cantidad será tanto mayor cuanto mayor sea θ (ángulo 
de apertura). Además, la cantidad de luz depende, el índice de refracción del medio que 
separa el objetivo del objeto y a través del cual los rayos formarán la imagen. Al aumentar 
el índice de refracción aumenta la cantidad de luz que penetra en el objetivo. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
12 
 
 
Figura 2.1.5 Apertura Numérica. 
Cuando las imágenes de dos puntos están muy próximos entre sí, se puede verlos 
separados sólo si los discos de Airy no están muy próximos o superpuestos. La capacidad 
de separar detalles será entonces el poder de resolución. 
 
Figura 2.1.6 Resolución de dos objetos Puntuales, a) Superpuestos, b) No resueltos c) Resueltos. 
A finales del siglo XIX, Ernest Abbe, desarrollo la primera teoría de la formación de la 
imagen en microscopio, encontró la siguiente expresión para que la separación mínima 
sea resuelta y se denomina como el Poder de Resolución: 
 
De esta fórmula, se deduce que se obtiene una mayor resolución para luz de menor 
longitud de onda (violeta) y para un ángulo de apertura mayor y un índice de refracción 
más elevado. Cuando las condiciones teóricas son óptimas θ=90° (sen90°=1), índice medio 
de refracción elevado (1.52) y radiación violeta (λ=4000Å), el poder de resolución de un 
microscopio óptico es de PR=0.16 µm. De la ecuación de Abbe, se puede ver que no se 
puede hacer mucho para mejorar la resolución, salvo usar un longitud de onda más corta. 
Sin embargo la luz con una longitud de onda más corta de 4000Å se acerca a la 
ultravioleta, que no puede ser vista con los ojos. De lo anterior se deduce que no tiene 
ningún sentido conseguir una imagen muy ampliada del objeto, si los detalles del mismo 
no aparecen resueltos. Con una longitud de onda mucho menor y lentes que la 
focalizaran, se conseguirían límites de resolución más pequeñas. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
13 
 
Con base a los trabajos de Einstein-Planck, en 1924 Louis de Broglie, propuso la hipótesis 
de que las partículas podrían comportarse como ondas. En 1927, Davisson y Germer, y 
G.P. Thomson, confirmaron la hipótesis de De Broglie, demostrando que los electrones se 
difractan al ser dispersados en cristales cuyos átomos tienen un espaciamiento adecuado. 
La ecuación de De Broglie para calcular la longitud de onda de una partícula es: 
 
Donde λ es la longitud de onda de la partícula, h la constante de Planck, m la masa de la 
partícula y v la velocidad de la partícula. La utilización de partículas, tales como electrones, 
previamente acelerados por una diferencia de potencial elevada, puede proporcionar 
información que no puede obtenerse con la luz normal, vía fenómenos de dispersión e 
interferencia ondulatoria. Si un haz de electrones se está moviendo bajo la influencia de 
una diferencia de potencial V, entonces la longitud de onda asociada al movimiento viene 
dada por: 
 
Si se utilizara un potencial de 100kv, la λ=0.038Å (no relativista) o λ=0.037Å (relativista),Un valor pequeño comparado con las dimensiones interatómicas en un cristal. 
2.1.2 Microscopio Electrónico de Transmisión. 
El microscopio electrónico de transmisión, es un instrumento que emplea un haz de 
electrones acelerados que interactúa en la cara de una muestra, emergiendo por la cara 
contraria y proyectados sobre una pantalla fluorescente formando una imagen visible o 
bien sobre una placa fotográfica. 
Las partes principales de un microscopio electrónico son a) Cañón de electrones, b) Lentes 
electromagnéticas: lentes condensadoras que controlan el tamaño, y lentes objetivas que 
enfocan el haz de electrones sombre la muestra c) Bobinas deflectoras que sirven para 
rastrear el haz a través de la superficie de la muestra 
La fuente de electrones son suministrados por un cañón que consiste en un cátodo 
constituido por un filamento de tungesteno (o hexaboruro de lantano LaB6) 
incandescente, en forma de V, rodeando por una pantalla cilíndrica (cilindro de Wehnelt o 
cilindro de control) polarizada negativamente respecto al filamento, dotada por una 
abertura circular de 1 a 3mn de diámetro y un ánodo. 
El cilindro con preferencia negativa tiene un efecto repulsivo sobre los electrones y actúa 
como una lente electrostática focalizando a los electrones justo enfrente del ánodo. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
14 
 
El calentamiento del filamento produce una nube de electrones, concentrados por el 
cilindro más negativo que el cátodo, siendo acelerados por una diferencia de potencial 
entre el cátodo y el ánodo. Está diferencia de potencial (voltaje de aceleración), determina 
la energía del haz de elección que influirá en el poder de los electrones y en el contraste 
de la imagen resultante. 
 
Figura 2.1.7 Cañón Electrónico 
Debajo del ánodo, se ubican una serie de lentes electromagnéticas que se utilizan para 
controlar el haz de electrones. Las lentes electromagnéticas consisten de cilindros que 
contienen una bobina de alambre de cobre a través del cual pasa una corriente regulada 
que genera un campo magnético en el núcleo. En el centro de cada lente hay un pedazo 
de barra que actúa en gran medida para concentrar el campo magnético. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
15 
 
 
Figura 2.1.8 Lente Electromagnética. 
Los electrones describen trayectorias helicoidales, debido al hecho de que una partícula 
cargada viajando con una velocidad V dentro de un campo electromagnético, experimenta 
una fuerza F (Centrípeta) de acuerdo a la Ley de Lorentz: F=eE+e(vXB), cada giro que 
realiza un electrón se irá aproximando al eje óptico, por lo que la misión de las lentes 
electromagnéticas o condensadoras es afinar el haz proveniente del cañón, definiendo su 
tamaño y el nivel de convergencia. Si se aumenta la corriente en las lentes condensadoras, 
la distancia focal será menor, el punto será más pequeño y por lo tanto se tendrá una 
mejor resolución. De esta manera se pueden definir los mismos parámetros que para los 
lentes de vidrio: distancia focal, ángulo de apertura, entre otras. 
En realidad, cada lente puede consistir en una serie de lentes pequeñas que actúan en 
conjunto. La disposición de las lentes en un microscopio electrónico se muestra en la 
figura 2.19: 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
16 
 
 
Figura 2.1.9 Microscopio Electrónico. 
De la parte superior de la columna al inferior se encuentra la lente condensadora, la lente 
objetiva, lentes intermedias, y las lentes proyectoras. Las lentes condensadoras regulan la 
convergencia del haz controlando su “brillo”. La lente objetiva forma y enfoca la imagen 
de la muestra. La muestra se sitúa en el interior de la lente. A continuación esta la lente 
intermedia, que da el primer aumento. Por último la lente proyectora que es la encargada 
de proyectar la imagen en una pantalla. Debido a que los electrones no pueden verse con 
los ojos, se proyectan en una pantalla fluorescente y los fotones resultantes son vistos. 
Para grabar una imagen los electrones chocan contra una película o bien dentro de una 
cámara de dispositivo de carga acoplada. 
Los electrones se propagan por la columna, a un alto vacío, para prevenir que las 
moléculas del aire interactúen con el haz. Para alcanzar el alto vacío, se emplean dos tipos 
de bombas. La mayoría de los microscopios electrónicos utilizan bombas mecánicas 
rotatorias, que realizan la evacuación del aire desde la presión ambiente hasta los 
milibarios (milésima parte de la presión atmosférica). Esta etapa permite a las bombas de 
alto vacío comenzar su función. Existen varios tipos de bombas de alto vacío: a) difusoras 
b) turbomoleculares y c) atrapadoras de iones. Estas bombas pueden llevar a la columna a 
presiones de 10-7 hasta 10-10 mB. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
17 
 
La caracterización estructural y química de la muestra es dada al interpretar las 
interacciones del haz de electrones con la muestra. Estas interacciones producen varios 
tipos de señal que se identifican como electrones retrodispersados, secundarios, 
absorbidos, Auger, transmitidos y rayos x (ver figura 2.1.10). Los electrones 
retrodispersados se producirán cuando un electrón del haz choca frontalmente con el 
núcleo del átomo, siendo repelido en sentido contrario fuera de la muestra; los electrones 
secundarios son aquellos cuando un electrón del haz pasa muy cerca del núcleo 
proporcionando la suficiente energía a uno o varios electrones interiores, para saltar fuera 
de la muestra; cuando un electrón secundario es expulsado de átomo, otro electrón más 
externo pasa a llenar este hueco. El exceso de energía debido a este desplazamiento se 
corrige emitiendo un nuevo electrón de la capa externa, estos son los electrones Auger; el 
exceso de energía también puede ser balanceada mediante la emisión de rayos X. 
Los electrones retrodispersados y secundarios dan información sobre la superficie de la 
muestra. Los electrones absorbidos nos informan, acerca de la resistividad de la muestra. 
Los electrones Auger y los rayos X dependen de la composición química de la muestra. Los 
electrones que atraviesan la muestra se pueden clasificar como transmitidos (aquellos que 
pasan la muestra sin sufrir desviación alguna) y difractados (aquellos que son desviados de 
su dirección de incidencia). Si la imagen se forma a partir del haz transmitido, entonces la 
imagen de la muestra es obscura sobre un fondo brillante. Si se utilizan los electrones los 
electrones dispersados la imagen aparece brillante sobre un fondo oscuro. De aquí que 
esta formación de imágenes se les conoce como imagen en campo claro y en campo 
oscuro respectivamente, la primera es la más utilizada. 
 
Figura 2.10 Tipos de interacciones entre el haz de electrones y los átomos de la muestra. 
Los electrones dispersados elásticamente, son desviados de su trayectoria original por los 
átomos sin pérdida de energía. Los electrones con mayor energía se dispersan a través de 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
18 
 
un ángulo menor que los electrones de baja energía, esto es importante para determinar 
el contraste de la imagen. En materiales cristalinos, estos electrones son desviados en un 
ángulo fijo de acuerdo a la longitud de onda del haz y la distancia entre los planos 
atómicos de la muestra, ver más adelante Ley de Bragg. 
Los electrones dispersados inelásticamente, se producen cuando el electrón del haz 
interactúa con un electrón orbital del átomo enviándolo a un nivel deenergía mayor o 
expulsándolo fuera del átomo. En consecuencia el electrón del haz emerge con menos 
energía y en un ángulo menor. Al perder energía los electrones también experimentan un 
cambio de longitud de onda. Cuando se combinan las ondas producidas por los electrones 
dispersados y no dispersados y si la onda resultante tiene una amplitud diferente a la 
onda dispersada, se produce el efecto conocido como contraste de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
19 
 
2.2 Interferencia y Difracción 
 
Isaac Newton propuso en el siglo XVII, una teoría corpuscular para la luz en contraposición 
a un modelo ondulatorio propuesto por Christian Huygens. El modelo supone que la luz 
está compuesta por corpúsculos o partículas luminosas, que se propagan en línea recta, 
con esto explica la propagación rectilínea, la refracción y reflexión, pero no explica 
tampoco los fenómenos de interferencia y difracción. 
La teoría corpuscular de la luz, sustentada por el enorme prestigio de Newton, prevaleció 
durante el Siglo XVIII, pero cedió en el siglo XIX frente a la teoría ondulatoria. 
El modelo ondulatorio propuesto por Christian Huygens en el año 1678, define a la luz 
como un movimiento ondulatorio semejante al que se produce con el sonido. Todos los 
puntos de un frente de onda se pueden considerar como centros emisores de onda 
secundarias. Después de un tiempo t, la nueva posición del frente de onda será la 
superficie tangencial a esas ondas secundarias. 
 
Figura 2.2.1 Modelo de Huygens 
Sea el frente de ondas inicial AB originadas por una fuente puntual. Sobre este frente se 
sitúan partículas en fase, que radian, de igual forma ondas secundarias. Si v es la velocidad 
de propagación en el punto donde se sitúa la fuente secundaria de ondas, y suponiendo 
que al tiempo t, se traza una circunferencia de radio vt. La envolvente de todas las 
circunferencias es el nuevo frente de ondas A´B´. De esta forma las ondas traseras 
desaparecen a medida que persisten las posteriores. Además estas ondas secundarias 
avanzan en cada punto del espacio con una velocidad y frecuencia igual a la de la onda 
primaria. Los fenómenos de reflexión y de refracción pueden ser explicados con esta 
teoría, pero no puede explicar el fenómeno de difracción. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
20 
 
Paso más de un siglo, para que la teoría ondulatoria de luz fuera un hecho. Siendo 
decisivos los experimentos de Thomas Young sobre los fenómenos de interferencia, y 
Auguste J. Fresnel sobre la difracción. 
Interferencia. 
Alrededor del año 1800, Thomas Young realizo un experimento que produjo un fenómeno 
inexplicable en términos de la teoría “corpuscular” de la luz. Observó la imagen que 
producía la luz al pasar primero a través de una rendija y luego a través de dos rendijas 
muy cercanas entre sí, una paralela a la otra ver figura 2.2.2. 
 
Figura 2.2.2. Experimento del Modelo Young. 
La luz procedente de una fuente situada a la izquierda, incide sobre una rendija S0; S1 y S2 
son otras dos rendijas paralelas a S0 y equidistantes de la misma. En una pantalla a la 
derecha de estas rendijas se observan franjas brillantes y oscuras. Cada rendija S1, S2 actúa 
como una fuente puntual secundaria. En cualquier punto sobre la pantalla P, las 
contribuciones de las dos rendijas se superponen y aunque sean de igual amplitud, 
pueden diferir significativamente en su fase. Como la misma onda primaria S0, excita las 
fuentes secundarias en cada rendija, las ondas resultantes serán coherentes (que 
mantengan una relación de fase constante) y por lo tanto deberá haber interferencia. 
 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
21 
 
Figura 2.2.3. Los rayos que salen de S1 y de S2 se combinan en P. 
Se S1 y S2 las dos fuentes coherentes, separados por una distancia d y D la distancia entre 
el centro de S1 y S2 y la pantalla P. En un punto P a distancia “y” de P0, la diferencia de los 
caminos ópticos es de 
r1-r2= dsenθ [2.2.1] 
Las ondas secundarias S1 y S2 parten necesariamente en concordancia de fase, pero 
estarán desfasadas al llegar a P a causa de esta diferencia de recorrido. El número de 
ondas en la distancia dsenθ es de dsenθ/λ (λ es la longitud de onda), como la fase de 
onda aumenta en 2πradianes en cada longitud de onda, la diferencia de fase φ entre las 
ondas cuando alcanzan P es: 
 
En P0, θ vale cero, la diferencia de fase es cero, por lo tanto las ondas alcanzan en P0 en 
fase, las amplitudes se suman y hay una franja brillante en el centro de la figura de 
interferencia. 
 
Figura 2.2.4. Interferencia Constructiva 
Se produce interferencia constructiva (franjas brillantes), si φ=2π, 4π,..2nπ 
 
Para φ=π se tiene , las ondas están en oposición de fase, se produce una 
interferencia destructiva (franja oscura). 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
22 
 
 
Figura 2.2.5. Interferencia destructiva. 
Se produce interferencia destructiva (franjas oscuras), si φ=π, 3π,..(2n+1)π 
 
 
La interferencia en el punto P es constructiva sí: 
 
la interferencia en punto P destructiva sí: 
 
Para n=1, 2, 3,… De esta manera se observarán puntos de máxima y mínima intensidad. 
Difracción. 
Difracción (del latín diffractus que significa quebrado), ocurre cuando una onda rodea un 
obstáculo en su propagación alejándose de la teoría de rayos rectilíneos. 
El fenómeno permite que las ondas de luz se propaguen en torno a las esquinas. Cuando 
un frente de onda pasa cerca de un obstáculo o discontinuidad cuyas dimensiones sean de 
tamaño comparable a una longitud de onda. 
Un caso general de difracción, A es un frente de onda que llega a la pantalla B, que 
contiene una abertura de forma arbitraria, C es una pantalla que recibe la luz que pasa por 
la rendija. El patrón de intensidad luminosa en C se calcula subdividiendo el frente de 
ondas en cada elemento infinitesimal de área dS, cada uno de estos elementos se 
considera como una pequeña fuente que emite frentes de ondas secundarias (ondas 
parciales de Huygens). Las ondas procedentes de cada elemento pasan por el punto P, y la 
intensidad luminosa se obtiene superponiendo las perturbaciones ondulatorias, causadas 
por las ondas secundarias que llegan a P provenientes de todos los elementos, con 
amplitud y fase propia. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
23 
 
 
Figura 2.2.6. La luz se difracta en la abertura de la pantalla B e ilumina la pantalla C. 
La Difracción de Fresnel en la cual la fuente luminosa y la pantalla donde se forma el 
patrón de difracción, se encuentran a una distancia finita de la rendija, los frentes de onda 
que llegan a la rendija y salen de esta llegan al punto P de la pantalla no son planos, y los 
rayos correspondientes no son paralelos. Las amplitudes y fases de las ondas secundarias 
serán distintas debido a que la distancia al punto como el ángulo formado con la dirección 
inicial de la luz varía. 
 
Figura 2.2.7. Difracción de Fresnel. 
El problema se simplifica si la pantalla está alejada o bien la abertura es demasiado 
estrecha. Para que todos los rayos procedentes de la abertura que vayan a un punto de la 
pantalla puedan considerarse paralelos. Este caso límite se conoce se llama difracción de 
Fraunhofer. 
Se puede considerar la difracción de Fraunhofer usando una lente convergente, la que 
hace enfocar o converger los rayos en un punto P. La lente forma en su plano focal una 
imagen reducida de la figura que aparecería sobreuna pantalla distante en ausencia de 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
24 
 
lente. En otras palabras todos los rayos que determinan al punto P, saldrán de la rendija 
paralelos a la línea interrumpida Px. 
 
 
Figura 2.2.8. Difracción de Fraunhofer 
En ambos casos son manifestaciones de un mismo fenómeno, interferencia. Además la 
Difracción de Fresnel se mezcla gradualmente con la Fraunhofer cuando la pantalla se 
aleja de la rendija o se disminuye la anchura de está. 
Considerar un frente de onda que pasa perpendicularmente por una rendija de anchura 
“a”. Los rayos de luz que llegan a P1, salen de la rendija con un ángulo θ. r1 sale por debajo 
del borde superior de la rendija y r2 sale de su centro, r1 ha de recorrer una distancia 
mayor que r2, de la figura 2.9 se deduce que esta distancia adicional es , para los 
rayos que pasan por P0 la diferencia de recorrido es nula y por lo tanto θ es cero. El centro 
de la figura de difracción es brillante. Si se consideran puntos más alejados del centro, el 
ángulo aumenta y por lo tanto la diferencia de recorrido. Si la diferencia de recorrido es 
λ/2, r1 y r2 estarán desfasados, y se produce una interferencia con anulación total. De 
hecho cada rayo de de la mitad superior de la rendija se anulara con un rayo de la mitad 
inferior. Por consiguiente hay un mínimo (franja oscura) si: 
 
Por extensión para encontrar los mínimos del patrón de difracción en la pantalla es: 
 asenθ=mλ para m=1,2,3… [2.2.5] 
Para θ=0° habrá un máximo en la intensidad del patrón de interferencia, conocido como el 
máximo central. Hay un máximo (franja brillante), entre cada par de mínimos 
(aproximadamente la mitad). 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
25 
 
 
Figura 2.2.9 Difracción de Fraunhofer por una sola rendija. 
 
La intensidad para otros ángulos diferentes a cero y que no cumplan con la ecuación 
(2.2.1) está dada por: 
 
donde I(0) es la intensidad del máximo central. 
De esta ecuación se tiene los siguientes casos: 
1. Si θ 0 y I(θ)=0 si y sólo si , 2π, 3π,… ó bien asenθ=mλ 
2. Sabiendo que , entonces 
 
Que es la intensidad del máximo central y no depende de λ, ni de la anchura “a” de la 
rendija. 
Para el caso de dos rendijas se puede demostrar que la intensidad está dada por la 
siguiente relación: 
 
 
Donde , es la diferencia de fase entre los rayos que proceden de los centros de 
las dos rendijas, relacionados por la separación la separación “d” (Caso de interferencia). 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
26 
 
Además es la diferencia de fase entre la primera y última onda de una misma 
rendija de anchura “a” (Caso difracción). 
Entonces para que haya mínimos (intensidad cero), se debe de cumplir: 
 
y para máximos: 
 
Para encontrar la intensidad de n rendijas se tiene la ecuación: 
 
De la ecuación se puede resaltar que conforme van aumentando el número de rendijas 
con las mismas dimensiones los máximos de intensidad tienen un ancho menor. 
 
Figura 2.2.10 Difraccion para 2, 3 y 5 rendijas de las mismas dimensiones. 
Para el caso de seis rendijas, donde la distancia es el cuádruplo de la anchura de estás. Se 
observa que la intensidad puede expresarse por un término principal de interferencia 
modulado por el término de difracción. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
27 
 
 
Figura 2.2.11 Difraccion y figuras para 6 rendijas. 
Para n rendijas, la intensidad de los máximos principales es n2I(0) (modulado por el 
término de difracción) y existen n-2 máximos secundarios entre cada par de máximos 
principales. La generalización para un gran número de rendijas como sucede en las redes 
reales. Los máximos principales se hacen más intensos, y los máximos secundarios tienen 
intensidad despreciable. 
 
Figura 2.2.12. Figura de Difracción para 1, 2, 3, 4 y rendijas. 
En conclusión una red de difracción consiste en una gran cantidad de rendijas igualmente 
separadas y en general corresponden a un elevado número de ellas. Por ejemplo puede 
ser del orden de 5000 líneas o ranuras por centímetro ó aun bastante más dependiendo 
del avance tecnológico para su construcción. 
La separación entre rendijas se llama constante de la red y se representa con “d”. Los 
máximos de interferencia se producen para la expresión dsenα=mλ. 
Red bidimensional. Puede considerarse como una pantalla opaca con un número de 
pequeñas aberturas ubicadas en los puntos de intersección de dos familias de líneas 
paralelas y equidistantes, mutuamente perpendiculares. Si la red es iluminada por una 
onda monocromática, que incide perpendicularmente sobre la misma y que la luz 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
28 
 
difractada por las aberturas es recogida por una lente convergente. Las aberturas operan 
esencialmente como fuentes sincrónicas. En el plano focal de la lente, la intensidad será 
un máximo en aquellos puntos donde los rayos que se originan en todas las aberturas 
llegan con la misma fase. Esto ocurre cuando las trayectorias ópticas entre la red y el 
punto de convergencia difieren en múltiplos enteros de la longitud de onda. 
 
Figura 2.2.13. Red Bidimensional. 
Sean de la figura hx y hy los espacios entre las aberturas en las direcciones de los ejes x, y 
respectivamente. Si el origen está en el centro de una de las aberturas las coordenadas x, 
y de todas las otras aberturas son múltiplos de hx y hy, respectivamente. Sean γx y γy, los 
cosenos de los ángulos que estos rayos forman con los ejes x, y. En las direcciones que 
satisfacen ecuaciones del tipo hxγx =kxλ 
Donde ky es un número entero, las perturbaciones provenientes de las aberturas que se 
encuentran en líneas paralelas al eje x llegan en fase al punto de interferencia. 
Similarmente en las direcciones que satisfacen ecuaciones del tipo hyγy =kyλ donde ky es 
igualmente un número entero, las perturbaciones provenientes de las aberturas que se 
encuentran en líneas paralelas al eje y llegan en fase al punto de interferencia. 
En puntos correspondientes a direcciones que satisfacen las ecuaciones simultáneamente 
las ecuaciones anteriores, las perturbaciones provenientes de todas las aberturas están en 
fase, y los máximos de interferencia que aparecen en tales puntos corresponden a los 
máximos principales producidos por las redes lineales. Cuando hay muchas aberturas, la 
intensidad de la luz se concentra en la vecindad inmediata de los puntos definidos por las 
ecuaciones anteriores, por lo que esencialmente son las mismas razones que explican los 
delgados máximos de interferencia de la red lineal. Consecuentemente, se observará una 
distribución rectangular de puntos luminosos sobre un fondo oscuro, siendo cada uno una 
imagen separada de una fuente puntual en el plano focal de la lente que recoge la luz 
difractada como se ve en la figura. Cada punto puede ser considerado como una imagen 
separada de la fuente puntual. Si f es la longitud del foco de la lente, el intervalo entre los 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
29 
 
puntos es f λ/hx , f λ/hy, en las direcciones x , y respectivamente. Los números asignados a 
cada punto indican los valores kx y ky respectivamente. El punto correspondiente a 
kx=ky=0 se encuentra en el eje de la lente, y como la intensidad de los puntos decrece con 
los valores crecientes kx y ky los puntos más intensos se encuentran distribuidos en forma 
de cruz, alrededor de las líneas correspondientesa kx=0 y ky=0. 
 
Figura 2.2.14 Estructura de difracción para una red bidimensional. 
Red de difracción en tres dimensiones. Max von Laue (1879-1960), propuso en 1913, que 
si los átomos de un cristal estuvieran dispuestos regularmente, podría utilizarse un cristal 
como una red de difracción de tridimensional para los rayos X. Los rayos X fueron 
descubiertos por Roentgen en 1895, y su longitud de onda es orden de 10-8cm, siendo 
aproximadamente la distancia de separación de los átomos en un cuerpo sólido, los picos 
de difracción debido a la radiación de de intensidades variables se puede producir cuando 
un haz de rayos X incide sobre un sólido cristalino. 
Cuando un haz de rayos X incide sobre el material, los rayos X se dispersan en todas las 
direcciones. La mayor parte de la radiación dispersada por un átomo anula la dispersada 
por otros, de este modo tienen lugar interferencias destructivas. Sin embargo, los rayos X 
que inciden sobre ciertos planos cristalográficos en ángulos específicos se ven reforzados 
en vez de eliminados, entonces se produce una interferencia constructiva. 
Considerar los rayos X incidentes (onda 1 y onda 2), como se indica en la figura 2.14, Para 
que estén en fase, la distancia extra recorrida por la onda 2 es igual CB+BD, que debe ser 
un número entero de longitudes de onda λ. De este modo nλ=CB+BD donde n=1,2,3,… que 
es el orden de la difracción. Puesto CB y BD son iguales a dsenθ, donde “d” es la distancia 
interplanar de los planos cristalinos, al sustituir lo anterior se tiene lo siguiente: 
 
 
La relación anterior se llama Ley de Bragg , establece la relación entre las posiciones 
angulares de los rayos difractados reforzados en términos de la longitud de onda λ de la 
radiación de rayos X incidentes y de los espacios “d” interplanares de los espacios 
cristalinos. En la mayor parte de casos, se utiliza el primer order de difracción n=1, y así 
para este caso, la Ley de Bragg adopta la forma λ=2dsenθ 
 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
30 
 
 
Figura 2.2.15. Descripción bidimensional de la reflexión de un haz de rayos X en dos planos paralelos de un 
cristal y separados por una distancia “d”. El haz reflejado en el plano inferior recorre una distancia mayor 
que el reflejado en el plano superior. La diferencia del camino es igual a 2dsenθ. 
Reacomodando la ecuación: 
 
Que es la relación que existe entre el espacio real y lo que se conoce como espacio 
recíproco, que se verá más adelante. 
Los haces difractados están caracterizados no solo por su posición angular respecto del 
haz incidente sino también por su intensidad y por su forma, es decir, por la distribución 
de la intensidad alrededor del ángulo de difracción. Esta información se presenta 
típicamente en un gráfico de intensidad en función del ángulo 2θ, llamado diagrama de 
difracción. 
Como cada sólido cristalino produce un diagrama de difracción característico 
independientemente que se encuentre en estado puro o formando parte de una mezcla, 
con base en este principio se puede hacer análisis químico por métodos de difracción y 
por lo tanto hacer identificación de fases. 
Este análisis puede realizarse en forma cualitativa, identificando a qué sustancia o 
sustancias corresponden los diagramas de difracción. O en forma cuantitativa, ya que las 
intensidades de las líneas de difracción de cada fase son proporcionales a la fracción en 
volumen de esa fase presente en la muestra. 
La identificación se realiza por comparación con fichas preexistentes en el PDF (Powder 
Diffraction File) que contiene información de alrededor de 60000 sustancias entre 
elementos, aleaciones, compuestos inorgánicos, orgánicos, minerales, etcétera. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
31 
 
2.3 Geometría de Cristales 
Cristal 
Un cristal se define como un sólido compuesto de átomos distribuidos en un modelo que 
se repite periódicamente en las tres direcciones del espacio. Un cristal se diferencia de un 
gas o un líquido en que en estos no hay orden ni periodicidad. No todos los sólidos son 
cristales, algunos son amorfos, como el vidrio, en estos no hay una distribución regular de 
los átomos. 
Los sólidos amorfos son en realidad líquidos sobre enfriados, enfriados muy por debajo de 
sus puntos de congelación (debido a que tienen el mismo desorden molecular de los 
líquidos y por supuesto carecen de una organización a nivel atómico regular), sin que 
realmente se congelen. Son sólidos sin formas geométricas regulares y se les llama: 
vidrios. 
El modelo a que se refiere esta definición puede consistir en un solo átomo, un grupo de 
átomos, una molécula o un grupo de moléculas. El rasgo importante de un cristal es la 
periodicidad o regularidad de la disposición de estos modelos. Este modelo o patrón 
puede ser tan simple con un solo átomo o puede componerse de varias moléculas, cada 
una de las cuales puede contener muchos átomos. Este modelo completo se repite una y 
otra vez a intervalos regularmente espaciados, y con la misma orientación por todo el 
cristal. 
Red 
A menudo es conveniente olvidarse de los átomos como tales y pensar en puntos 
imaginarios, a modo del esqueleto del cristal. 
Considerar el espacio dividido en tres conjuntos de planos, cada uno de ellos constituidos 
por planos paralelos e igualmente espaciados. Esta división del espacio producirá un 
conjunto de celdas idénticas en tamaño, forma y orientación a sus vecinas. Cada celda es 
un paralelepípedo, donde caras opuestas son paralelas y cada cara forma un 
paralelogramo. Al interceptarse los planos se producen conjunto de líneas y estas se 
cortan en lo puntos antes mencionados. Ver figura 3.1 
 
 
Figura 2.3.1 Red puntual. 
 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
32 
 
El conjunto de puntos así formado constituye la red puntual que se define como una 
ordenación de puntos en el espacio colocados de tal manera que cada punto tiene 
idénticos alrededores. Entendiendo por idénticos alrededores que la red de puntos, 
cuando se mira en una dirección determinada a partir de un punto de la red, tiene la 
misma apariencia cuando se mira en igual dirección desde cualquier otro punto de la red. 
Todas las celdas de una red son iguales, por lo que se puede elegir una a la que se llama 
celda unidad. El tamaño y forma de la celda unidad pueden describirse con tres vectores 
a, b, c a los que se le llaman ejes cristalográficos de la celda porque la definen. Estos 
vectores pueden describirse en términos de longitudes (a, b, c) y ángulos (α,β,γ). A estas 
longitudes y ángulos se les denomina constantes o parámetros de la celda unidad. 
 
Figura 2.3.2 Parámetros de la celda unidad. 
 a, b, c longitud de las aristas correspondientes a los ejes coordenados X, Y, Z 
 α,β,γ ángulos entre aristas. 
Estos vectores, no solo definen la celda unidad , sino a todos los puntos de la red a través 
de traslaciones . Es decir, que las coordenadas vectoriales de cualquier punto en la red 
puede ser definido por , donde P,Q y R son números enteros. 
La estructura de un cristal real queda descrita cuando se da la red y la distribución de los 
átomos dentro de la celda primitiva (motivo). El motivo (o base) contiene la información 
del tipo de átomos asociados a un punto y también de las posición de esos átomos. El 
motivo se lleva a un primer punto, por translación paralela y allí se aplica. La red cristalina 
está formada por copias de la misma unidad fundamental o motivo localizada en todos los 
puntos de la red. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
33 
 
 
Figura 2.3.3 (a) Celda unidad y red cristalina.(b) motivo. (c) estructura del cristal. 
La elección de la celda unidad no es única, cualquier paralelepípedo cuyas aristas unan 
puntos de la red es una celda válida. Hay un número infinito de posibilidades de elección. 
Está permitido tener puntos de red en el interior de la celda unidad, dando lugar a las 
celdas centradas frente a las que no la tienen llamadas primitivas. 
Asignando valores específicos para las longitudes axiales y los ángulos, se pueden 
construir diferentes tipos de celda unidad. Hay siete formas distintas de celdas que 
corresponden a los 7 sistemas cristalinos en las que puede incluirse cualquier cristal: 
 
Sistema Longitudes y 
ángulos 
Redes de 
Bravais 
Símbolo 
reticular 
Cúbico 3 ejes iguales y ángulos 
rectos 
a=b=c, α=β=γ=90°. 
Simple 
Body Centered 
Face Centered 
P 
I 
F 
Tetragonal 3 ejes en ángulo recto, 2 de 
ellos iguales 
a=b≠c, α=β=γ=90°. 
Simple 
Body Centered 
P 
I 
Ortorrómbico 3 ejes desiguales y ángulos 
rectos 
a≠b≠c; α=β=γ=90°. 
Simple 
Body Centered 
Base Centered 
Face Centered 
P 
I 
C 
F 
Romboédrico o 
trigonal 
3 ejes iguales, e igualmente 
inclinados 
a=b=c, 
α=β=90°;γ≠90°. 
Simple R 
Hexagonal 2 ejes coplanares a 120º, el 
3º en ángulo recto 
a=b≠c; α=β=90°, 
γ=120°. 
Simple P 
 
Monoclínico 3 ejes desiguales, un par no 
en ángulo recto 
a≠b≠c; α= γ=90°.≠ β 
Simple 
Base Centered 
P 
C 
Triclínico 3 ejes desiguales, inclinados 
desigualmente y ninguno en 
ángulo recto 
a≠b≠c; α≠β≠γ≠90°. 
Simple P 
Tabla 2.3.1. Sistemas Cristalinos. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
34 
 
En 1848, Bravais demostró que hay 14 puntos reticulares posibles, y de ahí que el término 
retículo puntual se le conozca como red de Bravais. 
 
Figura 2.3.4. Red de Bravais. 
Simetría 
Las redes de Bravais y los cristales reales tienen una simetría que le es característica. Un 
objeto simétrico consiste de las partes iguales, que se repiten. 
Un cristal tiene simetría si algún movimiento del cristal o alguna operación sobre el cristal 
lo dejan en una posición indistinguible de su posición original. La cualidad simétrica de un 
cristal viene dada por la repetición regular de los elementos que los limitan es decir las 
caras, aristas y vértices. Las transformaciones que revelan la simetría de las figuras se 
llaman las operaciones de simetría. Existen tres tipos de operaciones de simetría. 
1. Reflexión sobre un plano. 
2. Rotación alrededor de un eje. 
3. Inversión alrededor de un centro. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
35 
 
Los elementos de simetría puntual (la operación de simetría deja un punto particular del 
diagrama inmóvil), sin traslación, son el plano de simetría (P), el eje de rotación (L) y el 
centro de simetría (C) o centro de inversión. 
El plano de simetría divide al cristal en dos partes iguales, de modo que cada una es la 
imagen de la otra reflejada en un espejo. En la rotación o giro la figura puede coincidir 
consigo mismo haciéndola girar cierto ángulo. El ángulo de giro debe ser como una 
fracción entera de 360°. El eje de simetría (L) es una línea recta del cristal que cuando éste 
gira alrededor de ella, un cierto ángulo, todas las caras, aristas y vértices coinciden 
exactamente con sus respectivas posiciones iniciales. El centro de simetría (C), es el punto 
en el interior del cristal en que se cruzan y quedan divididas en segmentos iguales todas 
las líneas que unen los puntos correspondientes tomados en la superficie del cristal. La 
inversión alrededor de un centro es una operación de simetría análoga a reflexión, la 
diferencia consiste en que la reflexión se produce en un plano mientras que la inversión es 
equivalente a la reflexión en un punto. En el cristal que tiene C, a cada cara le 
corresponde otra igual, paralela e inversamente ubicada, por eso el centro de simetría 
también se denomina centro de inversión. 
 
Figura 2.3.5. Planos y direcciones de una red cristalina. 
Direcciones Cristalográficas. 
El estudio de las estructuras de cristalinas, presenta la necesidad de utilizar símbolos 
convencionales para describir la orientación de éstos en el espacio. Para identificar en un 
cristal los planos y direcciones cristalográficas de interés se utilizan los índices de Miller, 
los cuales no son más que números de enteros simples. Está descripción permitirá analizar 
además los patrones de difracción con el propósito de determinar las estructuras 
cristalinas. 
Para determinar la dirección de un plano se realiza lo siguiente: 
1. Se traza un vector paralelo a la dirección de la línea que se quiere indexar, que 
pase por el origen de coordenada del sistema. 
2. Se determina la longitud de la proyección de ese vector sobre cada uno de los ejes 
en función de las dimensiones de la celda unidad. 
 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
36 
 
 
Figura 2.3.6. Trazo de vector. 
3. Se determina la longitud de la proyección de ese vector sobre cada uno de los ejes 
en función de las dimensiones de la celda unidad. 
 
Figura 2.3.7. Proyecciones del vector. 
4. Estos tres números se multiplican o dividen por un factor común para reducirlos al 
menor entero posible. Una vez calculados los índices, la recta se representa por estos tres 
enteros encerrados entre corchetes y sin comas entre ellos [uvw], u v w corresponden a 
las proyecciones reducidas a lo largo de los ejes x, y, z respectivamente. Los índices 
pueden ser negativos, cuando éste sea el caso se indica colocando una línea sobre el 
índice. 
En la figura 2.3.7, las coordenadas del punto en notación vectorial son , y la 
dirección de la linea plano es [1 2 2]. 
Entonces [uvw], son los índices de la dirección de la línea. También son los índices de 
todas las líneas paralelas a la línea dada, debido a que la red es infinita y el punto del 
origen puede ser cualquier punto. Por lo que los valores u v w, son el conjunto de más 
pequeño de números enteros: [1/2 1 1], [1 2 2], y [2 4 4], representan a la misma 
dirección, pero por convención se toma [1 2 2]. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
37 
 
 
Figura 2.3.8 Índices de direcciones. 
En un cristal, una familia de planos equivalentes (direcciones relacionados por simetría), 
los índices estarán en < >. Por ejemplo, las tres aristas de un cubo constituyen la familia 
<1 0 0>, cuyos tres elementos son las direcciones [100], [010] y [001]. 
Para identificar los planos en una red es mediante los índices de Miller. 
1. Con cualquier celda unitaria elegir cualquier vértice, que servirá de origen de 
coordenadas. Seleccionar un plano de un conjunto de planos paralelos. Si el plano pasa 
por el origen, se debe buscar el más próximo. El plano debe de intersectar a los ejes. Si el 
plano es paralelo a uno de los ejes, intersecta en el infinito. 
 
Figura 1.3.9 
 
2. Determinar las intersecciones del plano en términos de las longitudes a, b, y c. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
38 
 
 
Figura 2.3.10 
 
3. Se multiplica o divide por un factor común los recíprocos de cada número. 
4. Expresar los índices de Miller como los tres números agrupados en paréntisis. 
En el ejemplo de la figura, 1/2, 1, 1 son las intersecciones en términos de los vectores a, b 
y c respectivamente, multiplicando por 2 para obtener los recíprocos de las 
intersecciones, (1 2 2) son los tres números enteros que se denominan Índices de Miller. 
En definitiva, los índices de Miller de un plano cristalográfico son los menores números 
enteros proporcionales a los recíprocosde las intersecciones del plano a los ejes 
cristalográficos, expresados en unidades del parámetro respectivo. 
Los índices de Miller para cualquier plano de posiciones del cristal pueden determinarse 
por medio de este método. La forma general para expresar los índices Miller es (h k l), 
donde h, k y l representan los índices a lo largo de las dimensiones a, b y c 
respectivamente. En el caso de las celdas unitarias cúbicas, hay equivalencias entre los 
planos con los mismos índices del Miller, de tal manera que (1 0 0) es equivalente a (0 1 
0), que equivale a (0 0 1), etc. 
Existen algunas dificultades. La primera, cuando los planos son también planos de la 
propia celda unitaria. En este caso, se considera que las intersecciones tienen una 
dimensión infinita y el inverso de es cero. Segunda, los índices también pueden ser 
mayores que uno (normalmente enteros). Para números negativos, se coloca una barra 
sobre el índice de Miller. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
39 
 
 
Figura 2.3.11. Índices de Miller de Planos de Red 
 
Una familia de Planos equivalentes, es el conjuntos de planos de red equivalentes por 
razones de simetría y se designan de manera colectiva encerrado entre llaves { }. Por 
ejemplo, las caras de un cubo, pertenecen a la 
familia de planos {100}, debido a que todos ellos pueden ser generados por una operación 
de simetría. 
Se denomina zona a un conjunto de planos del cristal, todos los cuales son paralelos a una 
dirección determinada. Esta dirección recibe el nombre de eje de zona y se designa como 
[uvw]. 
 
Figura 2.3.12 Eje de Zona. 
 
De la figura se puede demostrar que cualquier plano que pertenece a la zona con índices 
(hkl), satisface la relación hu+kv+lw=0. Dos planos de zona con índices (h1k1l1) y (h2k2l2) 
respectivamente, paralelos a una línea de intersección, los índices del eje de zona [uvw] 
están dados por: 
u=k1k2-k2l1 v=l1h2-l2h1 w=h1k2-h2k1 Ecuación [1.3.1] 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
40 
 
En un conjunto de planos en Red existen varias distancias interplanares. Los Planos con 
mayor distancia interplanar tendrán índices menor y pasan a través de un alta densidad de 
puntos. 
La distancia entre dos planos paralelos adyacentes con los mismos índices de Miller se 
llama distancia interplanar dhkl, estará en función de los índices (hkl) y los parámetros de 
red (a, b, c, α,β,γ). La relación depende del sistema de cristal involucrado. 
Las distancias interplanares de materiales no cúbicos se calculan con ecuaciones más 
complejas. Ver tabla 1.3.2. También ver tabla 1.3.3 ángulos entre dos planos (h1,k1,l1) y 
(h2,k2,l2). 
 
Tabla 2.3.2 Distancias interplanares. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
41 
 
 
Tabla 2.3.3 Ángulo entre dos planos (h1,k1,l1) y (h2,k2,l2). 
 
El concepto de índices de Miller muestra que existen muchos posibles planos, pero 
proporcionan una manera de representar la forma en que los diferentes planos del cristal 
pueden interactuar con la radiación. Ya que diferentes planos tienen diferentes distancias 
interplanares d, los planos con distintos índices de Miller difractaran los mismo rayos X 
con diferentes ángulos. 
Esfera de Ewald 
De la ecuación de la Ley de Bragg [2.12], se puede obtener la siguiente expresión 
 
Geometricamente la expresión representa un triángulo rectángulo ABC, que esta inscrito 
en una esfera de diámetro 2/λ. Dicho diámetro coincide con la dirección de un haz de luz 
incidente (rayos x) S0. 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
42 
 
 
Figura 2.3.13 Esfera de Ewald. 
 
La interpretación de la figura, se considera un cristal situado en el centro O, al que se le 
incide un haz indicado por el vector . El cateto BC, tiene una magnitud y 
representará al vector recíproco . Por ello, la red recíproca del cristal estará 
construida con origen B, punto en el que el haz incidente abandona la esfera. Es decir, que 
por O pasará un plano (hkl) perpendicular al vector recíproco y paralelo a AC, 
formando un ángulo θ con . El haz difractado , tendrá la dirección del radio OC, 
dibujado hasta el extremo C del vector . Por ello, el haz incidente y el 
difractado , forman el ángulo 2θ, verificándose la condición de difracción de la Ley de 
Bragg (El punto C cortará la esfera sólo si el ángulo de difracción y de incidencia son 
iguales). En la construcción se ve cómo el segmento OC, que une el origen de la red con el 
punto recíproco correspondiente está inclinado un ángulo θ respecto a la familia de 
planos. 
Esta es la llamada esfera de Ewald (1921) figura 2.3.13, que proporciona una 
interpretación geométrica, para las posiciones de máximo de difracción, pues cuando el 
vector pertenece a la red recíproca y ésta corta a la esfera de Ewald, se producen 
máximos de difracción, y el cristal queda situado en posición de Bragg. 
Es decir, se produce un máximo de difracción cuando el vector de dispersión , 
sea igual en magnitud y dirección al vector recíproco . 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
43 
 
De la ecuación [3.3], se tiene que las únicas soluciones posibles se dan cuando r*hkl=1/dhkl 
no sea mayor a la longitud de la esfera de reflexión 2/λ. 
Como la relación entre el espacio real y el espacio recíproco es geométrica existen 
ecuaciones para calcular los parámetros de uno usando los del otro. Si se considera una 
red cristalina, definida por los vectores la red recíproca, de esta, se 
relaciona mediante lo siguiente: 
 
 
Por lo que es perpendicular a y paralelo al producto , por lo tanto 
 donde R es un escalar, que sustituyendo en la ecuación [3.4], se tiene 
, con lo que se concluye 
 
 
Figura 2.3.14 Relación de la Red Cristalina (Red directa) y Red Recíproca. 
Estos vectores se encuentran en el espacio recíproco. El vector del espacio real tiene 
unidades de longitud. Por lo tanto los vectores en el espacio recíproco tienen unidades 
de inverso de longitud. Cualquier vector de la forma: 
 h, k, l enteros [2.3.6] 
 Capítulo 2: Introducción Teórica 
 
44 
 
se le denomina vector de la red recíproca. A cada estructura cristalina se le asocian dos 
redes: la red cristalina y la red recíproca. 
Si se considera una red cristalina definida por a1, a2 y el ángulo γ, donde se muestran dhkl 
y dh1k1l1. La red recíproca estará construida por los vectores b1, b2 y estarán separados por 
un ángulo γ*. b1 será perpendicular a los planos h,k,l , y su magnitud será igual recíproco 
de la distancia de dichos planos (dhkl), es decir 1/dhkl. Mismo caso para b2, debe de ser 
perpendicular a los planos h1k1l1, y cuya magnitud es 1/ dh1k1l1, ver figura 3.15 a. Cada 
punto en la red recíproca representa un plano de la red directa ver figura 3.15 b. Los 
puntos finales que forman la red recíproca, resulta ser la Transformada de Fourier de la 
red directa. 
 
Figura 1.3.15. (a) Red directa y red recíproca. Caso bidimensional (a3 y b3 son perpendiculares al plano). (b) 
Puntos recíprocos de los planos de un red directa. 
Hasta aquí se ha considerado el fenómeno de difracción como la interferencia 
constructiva de ondas dispersadas por cada punto de una celda unitaria. Si la red cristalina 
contiene en su base (motivo) N átomos entonces debe de considerarse la contribución del 
conjunto fuentes de dispersión idénticas en la posiciones r1, r2,…,rn. 
La intensidad de los puntos de difracción depende de la