Taller semana 2

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 2
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller,repase un poco la teoŕıa, ejemplos y videos
propuestos en la plataforma y vistos en los encuentros virtuales.
1. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué, y si es falso escriba el enunciado correcto
o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla.
a) ( ) Los dominios de y = f(x) y y = f(x) + 5 son iguales.
b) ( ) Los rangos de y = g(x) y y = g(x− 1) son distintos.
c) ( ) Los dominios de y = f(x) y y = −f(x) son iguales.
d) ( ) Los rangos de y = h(x) y y = h(5x) son iguales.
e) ( ) Sea y = f(x). Si f se alarga horizontalmente en un factor de 2 unidades, entonces la fórmula de la nueva
función es y = f(x2 ).
f ) ( ) Si la gráfica de y =
√
−x se traslada 1 unidad a la derecha, entonces la ecuación de la gráfica resultante es
y =
√
−x + 1.
g) ( ) Si la gráfica de y = f(x) se alarga horizontalmente en un factor de 4 y posteriormente se traslada 4 unidades
a la izquierda, entonces la ecuación de la gráfica resultante es y = f(x4 + 1).
h) ( ) f(g(x)) = g(f(x)).
i) ( ) Dom(f + g) = Dom(f)
⋃
Dom(g).
j ) ( ) Dom(f − g) = Dom(f)
⋂
Dom(g).
k) ( ) Dom(f/g) = Dom(f)
⋂
Dom(g).
l) ( ) Dom(f ◦ g) = Dom(f)
⋂
Dom(g).
Selección múltiple con única respuesta. Preguntas (2-4)
2. La gráfica de g(x) = x3 se traslada 1 unidad a la derecha, luego se desplaza 2 unidades hacia abajo y por último se refleja
con respecto al eje x. La ecuación de la gráfica resultante es:
a) y = −(x− 1)3 − 2.
b) y = −(x− 1)3 − 1.
c) y = −(x− 1)3 + 2.
d) y = (x− 1)3 − 2.
3. La gráfica de y =
√
x se comprime horizontalmente en un factor de 3 unidades, luego se sube verticalmente 1 unidad, a
continuación se desplaza 1 unidad a la derecha. La ecuación de la gráfica resultante es:
a) y =
√
3x + 1 + 1.
b) y =
√
3x− 3 + 1.
c) y =
√
x
3 + 1− 1.
d) y = 3
√
x− 1 + 1.
e) y = 3
√
3x− 1 + 1.
4. La gráfica de y = sen x se refleja con respecto al eje y, luego se desplaza 2 unidades a la izquierda, después se baja
verticalmente 3 unidades y por último se refleja con respecto al eje x. La ecuación resultante es:
a) y = − sen(−x− 2) + 3.
b) y = − sen(−x + 2) + 3.
c) y = − sen(−x− 2)− 3.
d) y = − sen(−x + 2)− 3.
e) y = sen(−x− 2) + 3.
f ) y = sen(−x + 2) + 3.
5. Considere la función f dada por:
f(x) =

x + 1; si − 2 ≤ x ≤ 1,
2; si 1 < x < 2,
−x + 4; si 2 ≤ x ≤ 4.
Dibuje la gráfica de f. Indique además dominio y rango. Utilizando transformaciones de funciones, empezando con f :
a) Dibuje la gráfica de y = f(x + 2). Indique el dominio y rango.
b) Dibuje la gráfica de y = f(x + 2)− 1. Indique el dominio y rango.
c) Dibuje la gráfica de y = f(−x). Indique el dominio y rango.
d) Dibuje la gráfica de y = −f(−x). Indique el dominio y rango.
e) Dibuje la gráfica de y = f(2x). Indique el dominio y rango.
f ) Dibuje la gráfica de y = f
(
x
2
)
. Indique el dominio y rango.
g) Dibuje la gráfica de y = − 13f(2x− 1) + 1. Indique el dominio y rango.
6. Empezando con la función de la derecha y usando transformaciones de funciones dibuje la gráfica de la función de la
izquierda. Indique paso a paso el dibujo de cada transformación, el dominio y el rango de cada función respectivamente.
a) y =| x2 − 2 |, a partir de y = x2.
b) y =| x− 2 |, a partir de y =| x | .
c) y = 2cos(x2 ) + 1, a partir de y = cos x.
d) y = x2 − 2x, a partir de y = x2.
e) y = −x2 + 4x− 5, a partir de y = x2.
f ) y = −
√
−2x + 1− 3, a partir de y =
√
x.
g) y =| 2− | x− 1 || .
7. Encuentre las funciones (a) f ◦ g, (b) g ◦ f, (c) f ◦ f, (d) g ◦ g, con sus respectivos dominios.
a) f(u) =
√
25− u, g(t) = t2 + 9.
b) f(x) = 3
√
16− x, g(x) = 4
√
x− 5.
c) f(x) = x +
1
x
, g(t) =
t + 1
t + 2
.
d) f(x) =
x
1 + x
, g(x) = 2cos x.
8. Encuentre f ◦ g ◦ h.
a) f(x) =
2x− 3
x + 1
, g(x) = tanx + 5, h(x) = x− 3.
b) f(x) = x3 − x2 + 3, g(x) = secx, h(x) =
√
x.
9. Para cada caso, encuentre f y g tales que F = f ◦ g.
a) F (x) =
√
tanx.
b) F (x) = cos2 x.
c) F (x) = cosx2.
d) F (x) =
1 +
√
x
x + 1
.
e) F (x) = (1 + senx)5 + 2
10. Una piedra se deja caer en un lago, creando una onda circular que se desplaza hacia fuera con una rapidez de 60 cm/s.
a) Exprese el radio r de este ćırculo como función del tiempo t en segundos.
b) Si A es el área de este ćırculo como función del radio, encuentre A ◦ r e interprétela.
11. Un globo esférico está siendo inflado y el radio del globo está aumentando a razón de 2 cm/s.
a) Exprese el radio r del globo como función del tiempo t en segundos.
b) Si V es el volumen del globo como función del radio, encuentre V ◦ r e interprételo.
12. Un avión está volando a una rapidez de 350 mi/h a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de
radar en el tiempo t = 0.
a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función del tiempo t.
b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de la distancia horizontal d.
c) Use composición para expresar s como función de t.