Taller semana 5

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 5
1. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si
es verdadero explique por qué y si es falso escriba el enun-
ciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado
dado no se cumpla.
a) ( ) Si f(x) = L para x suficientemente cercano a
x = a, entonces ĺım
x→a
f (x) = L
b) ( ) Si ĺım
x→a+
f (x) = L1 y ĺım
x→a−
f (x) = L2 enton-
ces L1 = L2.
c) ( ) Si ĺım
x→b+
f (x) y ĺım
x→b−
f (x) existen entonces
ĺım
x→b
f (x) existe.
d) ( ) Si f(x) no está definida en x = a entonces la
recta x = a es una aśıntota vertical de la gráfica de
f .
e) ( ) Una función puede tener infinitas aśıntotas
verticales.
f ) ( ) Las funciones racioanles tienen al menos una
aśıntota vertical.
g) ( ) ĺım
x→ 4
[|x|] no existe.
2. Sea
f(x) =

√
2− x, Si x ≤ 0
1
x , Si 0 < x < 4
3, Si 4 ≤ x < 5
−1, Si x = 5
−3x
2 +
21
2 , Si x > 5
Realice la gráfica de f y a partir de ésta deduzca los
siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→0−
f (x) d) ĺım
x→4+
f (x) g) ĺım
x→5+
f (x)
b) ĺım
x→0+
f (x) e) ĺım
x→4−
f (x) h) ĺım
x→5−
f (x)
c) ĺım
x→0
f (x) f) ĺım
x→4
f (x) i) ĺım
x→5
f (x)
3. En los siguientes casos encuentre las aśıntotas verticales
(si las hay) de la gráfica de la función dada
a) y = 2x+83x−9 b) y =
x2+1
2x+3x2
4. Determine cada uno de los siguientes ĺımites infinitos:
a) ĺım
x→−2−
x + 3
x + 2
c) ĺım
x→0+
2
x
− 2
x2
b) ĺım
x→−3+
ln
(
9− x2
)
h) ĺım
x→1
3− x
(x− 1)2
Problemas de modelado de funciones
5. Expresar el área A de un triángulo equilátero como fun-
ción de la altura h del mismo.
6. Un granjero que tiene 750 pies de cerca, desea cerrar un
lote rectangular y dividirlo en cuatro corrales, colocando
cercas paralelas a uno de los lados del rectangulo. Expre-
sar el área total A del lote en terminos de la longuitud x
del lado del lote paralelo a las cercas interiores. Indicar
el dominio de la función.
7. Se bombea agua en un tanque cónico invertido, cuya al-
tura es de 1.2 m y cuyo radio es de 40 cm. Expresar, en
m3, el volumen del agua dentro del tanque, como una
función del radio r de la superficie del agua.
8. Suponga que una farola se ecuentra en el extremo su-
perior de un poste de 15 pies de altura, situado en una
calle horizontal y recta. Si un hombre de 6 pies de estatu-
ra camina por dicha calle, alejandose del poste, expresar
la longitud de su sombra s (en cualquier instante t) en
terminos de la distancia x del hombre al poste.
9. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2m3/min
hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un
cono circular invertido de 16 m de altura y 4 m de radio.
Expresar el volumen V de agua en el depósito, en un ins-
tante cualquiera, como función de la profundidad h del
agua.
10. Un trozo de alambre de 10 pies de longuitud se corta en
dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y
la otra se dobla en forma de cuadrado. Si x es la longitud
del trozo de alambre usado para construir la circunferen-
cia, expresar el área A de las dos figuras como función
de x. Indicar el dominio de la fución.
11. Los naranjos que crecen en la pintada producen 600 na-
ranjas por año si no se plantan más de 20 árboles por
héctarea. Por cada naranjo adicional por héctarea el ren-
dimiento por arbol decrece en 15 naranjas. Expresar el
número de naranjas N producidas en cada héctarea por
año como una función del número de naranjos x planta-
dos por héctarea.
12. Estudios recientes indican que el promedio de temperatu-
ra de la superficie de nuestro planeta ha estado subiendo
continuamente. Algunos cient́ıficos han modelado la tem-
peratura por medio de la función lineal T = 0, 02t+8, 50
donde T es temperatura en grados cent́ıgrados y t repre-
senta años desde 1900.
a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección de T?
b) Use la ecuación para predecir el promedio de tempe-
ratura de la superficie en el mundo en 2100.
13. Un cultivo de bacterias inicia con 100 bacterias y se du-
plica cada 5 horas.
a) Encuentre el número de bacterias en el cultivo después
de 20 horas.
b) Indique la población P (t) de bacterias que hay des-
pués de t horas.
c) ¿A cuánto asciende el número de bacterias cuando han
transcurrido 5 d́ıas?