Taller semana 6

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 6
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller,repase un poco la teoŕıa, ejemplos y videos
propuestos en la plataforma y vistos en los encuentros virtuales correspondientes a esta semana.
1. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué, y si es falso escriba el enunciado correcto
o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla.
a) ( ) Si ĺım
x→ 2
f(x) = 5, entonces para x ≈ 2 se tiene que f(x) ≈ 5.
b) ( ) Si f(a) = 0, entonces ĺım
x→ a
f(x) no existe.
c) ( ) Si f(a) = 0, entonces ĺım
x→ a
1
f(x) no existe.
d) ( ) Si existen los ĺımites laterales de f en x = a, entonces ĺım
x→ a
f(x) existe.
e) ( ) Si ĺım
x→ a
f(x) existe y ĺım
x→ a
g(x) existe, entonces ĺım
x→ a
[f(x) + g(x)] existe.
f ) ( ) Siempre que se cumpla ĺım
x→ a
f(x) no existe y ĺım
x→ a
g(x) no existe, entonces ĺım
x→ a
[f(x) + g(x)] no existe .
g) ( ) Si ĺım
x→ a
f(x) existe y ĺım
x→ a
g(x) existe, entonces ĺım
x→ a
f(x)
g(x) existe.
h) ( ) Si ĺım
x→ a
f(x) = l, entonces f(a) = l.
i) ( ) Si tenemos que
∣∣∣∣h(x)x
∣∣∣∣ ≤ 2 para todo x 6= 0, ĺımx→ 0h(x) existe y es 2.
j ) ( ) Si tenemos que
∣∣∣∣h(x)x
∣∣∣∣ ≤ 2 para todo x 6= 0, ĺımx→ 0h(x) existe y es 0.
k) ( ) Si ĺımx→a f(x) y ĺımx→a g(x) no existen, entonces ĺım
x→ a
f(x) · g(x) no existe.
l) ( ) Si tenemos que 2− x2 ≤ g(x) ≤ 2 senx para todo x ∈ R, entonces ĺım
x→ 0
g(x) existe y es 0.
m) ( ) Si tenemos que 2− x2 ≤ g(x) ≤ 2 cosx para todo x ∈ R, entonces ĺım
x→ 0
g(x) existe y es 2.
2. ¿Por qué no tiene sentido calcular ĺım
x→ 1
√
x− 2?
3. Calcular, si existen, los siguientes ĺımites supuesto que ĺım
x→ 1
f(x) = −8 y ĺım
x→ 1
g(x) = 3
a) ĺım
x→ 1
[f(x)− g(x)]
b) ĺım
x→ 1
g(x)
f(x)
c) ĺım
x→ 1
[5f(x) + πg(x)]
d) ĺım
x→ 1
1
g(x)
e) ĺım
x→ 1
[f(x)]
3
f ) ĺım
x→ 1
4
√
f(x)
g) ĺım
x→ 1
3
√
f(x)
4. Utilice las leyes de los ĺımites, justificando paso a paso cada ley, para calcular.
a) ĺım
x→−8
[
2x2 + 3x+ 3
√
x− 4
]
b) ĺım
x→−8
[
2x2 + 3x+ 3
√
x− 4
]3
c) ĺım
x→−1
3t3 − 2t2 + t− 5
t− 1
d) ĺım
x→ 1+
√
1− 3x2
5x5 − 3x2 − 3
e) ĺım
x→ 1
5
√[
x− 3x2
5x5 − 3x2 − 3
]3
f ) ĺım
x→−1
[
3t3 − 2t2 + t− 5
t2 + 1
]2
5. La función de posición s(t) = −4, 9t2 + 200 indica la altura (en metros) de un objeto que cae desde una altura de m, t
segundos después de dejarse caer. La velocidad en el instante t = a está dada por
ĺım
x→−1
s(t)− s(a)
t− a
a) Determinar la velocidad del objeto cuando t = 3.
b) ¿A qué velocidad golpeará el suelo?
6. Sea
f(x) =

2x3 − c; si x ≤ 1,
2; si x = 1,
3
√
x− 9; si 1 ≤ x.
Encuentre el valor de c de tal forma que ĺım
x→ 1
f(x) exista.
7. Sea
f(x) =

ax2 + a; si x ≤ 1,
1
x
− a− b
x− 1
; si x > 1.
Encuentre los valores de a y b tal que ĺım
x→ 1
f(x) exista.
8. ¿Existe un número a tal que ĺım
x→ 1
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2
exista? Si es aśı, encuentre el valor de a y el valor del ĺımite.
9. Sea
f(x) =

x2 − 3; si x < 0,
2; si x = 0,
2x3 + 1; si 0 < x ≤ 1,
3
√
x; si x > 1.
Calcular si existen, ĺım
x→ 12
f(x), ĺım
x→ 0
f(x), ĺımx→ 0,9999 f(x) y ĺım
x→−1
f(x). Utilice las leyes de los ĺımites para justificar
donde sea necesario.
10. Considere las funciones fy g dadas por:
f(x) =
x− 3; si x < 0,x2 − 4; si x > 0. g(x) =
2x+ 4; si x < 0,3√x− 1 + 6; si x > 0.
Calcular si existen, ĺım
x→ 0
f(x), ĺım
x→ 0
g(x) y ĺım
x→ 0
[f(x) + g(x)] .
11. Calcular (si existen) los siguientes ĺımites. Utilice las leyes de los ĺımites para justificar donde sea necesario.
a) ĺım
x→ 4
4− x
16− x2
b) ĺım
x→ 0
3x
x2 + 2x
c) ĺım
r→ 0
(4 + r)2 − 16
r
d) ĺım
x→ 1
x3 − 3x+ 2
x4 − 4x+ 3
e) ĺım
x→ 1
(
1
1− x
− 3
1− x3
)
f ) ĺım
t→ 0
t√
1 + 3t− 1
g) ĺım
x→ 4
3−
√
5 + x
1−
√
5− x
h) ĺım
θ→ 0
(
1
θ
√
1 + θ
− 1
θ
)
i) ĺım
x→ 8
x− 8
3
√
x− 2
j ) ĺım
x→−1
2x2 − x− 3
x2 − 4x+ 5
k) ĺım
x→ 2
x3 − 8
2x2 − 3x− 2
l) ĺım
t→ 16
√
t
√
t− 8
4
√
t− 2
m) ĺım
h→ 0
1
3+h
h
− 13
n) ĺım
x→ 0
x2 cos
(π
x
)
ñ) ĺım
x→ 0
x arctan
(
1
x
)
o) ĺım
x→ 1
3
√
x− 5−
√
12 + x+ 5
x− 3
p) ĺım
x→ 4
3
√
x− 3− 1√
x− 2
q) ĺım
x→−6
2x+ 12
|x+ 6|
r) ĺım
x→ 1
x2 − 1
|x− 1|
s) ĺım
x→ 0
|2x− 1| − |2x+ 1|
x
t) ĺım
x→ 1
(1− |x+ 1|)