Taller semana 7

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 7
1. Responda F si la afirmación es falsa y V si es correcta. Justifique.
a) ( ) Si a ∈ Dom{f}, entonces f es continua en a.
b) ( ) Si ĺım
x→a
f(x) existe, entonces f es continua en a.
c) ( ) Si a ∈ Dom{f} y ĺım
x→a
f(x) existe, entonces f es
continua en a.
d) ( ) En general, existen tres tipos de discontinuidad.
e) ( ) Si f y g son dos funciones continuas en a, enton-
ces g ◦ f es continua en a.
f ) ( ) Si f es una función par, entonces f es continua
en cero.
g) ( ) Si f es una función impar, entonces f es continua
en cero.
h) ( ) Si f es una función par y continua en cero, en-
tonces f(0) = 0.
i) ( ) Si f es una función impar y continua en cero,
entonces f(0) = 0.
j ) ( ) La suma de dos funciones discontinuas en a, es
discontinua en a.
k) ( ) El producto de dos funciones discontinuas en a,
es discontinua en a.
l) ( ) El cociente de dos funciones continuas en a, es
continua en a.
m) ( ) La suma de una función continua con una dis-
continua es discontinua.
n) ( ) En el teorema del valor intermedio se puede omi-
tir la continuidad.
ñ) ( ) La función f(x) =
x− 1
1 + ex
es continua en todo su
dominio.
2. Mencione los tres tipos de discontinuidad.
3. Haga un dibujo de represente el Teorema del Valor Intermedio.
4. Encuentre los números en los que f es discontinua y clasifique el tipo de discontinuidad. ¿En cuáles de estos números f
es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguna de las dos? Trace la gráfica de f . (Use una aplicación para
graficar cuando sea necesario).
a) g(x) =
x+ 4
x− 5
.
b) f(x) = [|x|], (parte entera).
c) f(x) = 2−x.
d) f(x) =
1− |x|
2x2 − x− 1
e) f(x) =
2 sen(x)− cos(x)
5 cos(x) + 3 sen(x)
.
f ) g(x) = sen(2x) tan(4x2).
g) f(x) =
3− ex
e2x − 5ex + 6
.
h) g(x) =
1− ex
1− e1−x2
.
i) f(x) =
e−x + ex
ex − e−x
.
j ) g(x) = 4 + ln(x− 5).
k) f(x) =
2 + ln(x− 3)
1− ln(2x− 6)
.
l) g(x) =
x+ 5, si x ≥ 0;2x, si x < 0. .
m) f(x) =
x2 − 3, si x ≥ −1;2x+ 1, si x < −1.
n) h(x) =

x2 − 1
x2 − x
, si x 6= 1;
1, si x = 1.
ñ) j(x) =

x2 + 1, si x ≤ 0;
3− x, si 0 < x ≤ 3;
(x− 3)2, si x > 3.
5. Explique por qué cada una de las siguientes funciones es continua en todo número de su dominio. Determine el dominio.
a) f(x) =
3x2 + x+ 6
x2 + 3
b) f(x) =
x2 − 5x+ 6
x2 − 9
c) f(x) =
etan(x)
2 + cos(πx)
d) f(x) =
esec(x)
2− 4 cos(πx)
e) f(x) =
√
1 +
2
x
f ) f(x) =
tan(x)√
16− x2
6. Calcule los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→ 0
x3 + 2x2 − 1
x2 + 3x− 2
.
b) ĺım
x→π
3 + sen(x)
4x+ tan(5x)
.
c) ĺım
x→ 2
sec
(
3x+ 2
2x+ 4
)
.
d) ĺım
x→ 1
√
x2 + 2x− 1
x4 + 2x− 1
.
e) ĺım
x→ 1
√
x2 − 1
x4 − 1
.
f ) ĺım
x→ 3
e
sen(πx)
x2−x−6 .
g) ĺım
x→π
ln
(√
x−
√
π
tan(x)
)
.
h) ĺım
x→ 1
cos
(
ln
(
5
√
x− 9
√
x
3
√
x− 5
√
x
))
.
7. Encuentre los valores de a y b que hacen a f continua para toda x ∈ R.
a) f(x) =

ax− 8; si x ≤ −3
8b− 2x2; si− 3 < x < 2
4ax+ 12b; si x ≥ 2.
b) f(x) =

ax+ b si x ≤ −2
−x si− 2 < x < 2
4ax− 2b si x ≥ 2.
c) f(x) =

1
2x+ 2b si x ≤ 0
ax+ b si 0 < x < 4
bx+ 10a si x ≥ 4.
d) f(x) =

1
2x+ 2b si x ≤ −4
1
2ax− b si − 4 < x < 0
bx+ a si x ≥ 0.
e) f(x) =

− 12x− a− b si x ≤ −2
bx si − 2 < x < 2
6− ax si x ≥ 2.
f ) f(x) =

ax2 + 1, si x ≤ 0;
3b− ax, si 0 < x ≤ 3;
(x− 3a)2, si x > 3.
8. El una consecuencia del Teorema del Valor Intermedio es el método de bisección que sirve para aproximar soluciones de
ecuaciones. Apĺıquelo para aproximar una solución (a 4 cifras decimales) de cada una de las siguientes ecuaciones en el
intervalo indicado.
a) x4 + x− 3 = 0 en [0, 2].
b) ex − 1 = 2− 2x en [0, 1].
c) senx− x = x2 en [1, 2].
d) x+ 1 = (2− x)3 en [0, 2].